Ubungen zu “Lineare Operatoren im Hilbertraum”

TU Braunschweig, Institut Computational Mathematics
Prof. Dr. R. Hempel und Dr. M. Stautz
28. 06. 2017
Blatt 11
Übungen zu “Lineare Operatoren im Hilbertraum”
Sommersemester 2017
Aufgabe 51
Es seien A, B selbstadjungierte Operatoren im Hilbertraum H mit D := D(AB) ∩ D(BA)
dicht in H, die mit einem h > 0 der Vertauschungsrelation
ABu − BAu =
h
u,
2πi
u ∈ D,
genügen. Für ψ ∈ D, ||ψ|| = 1, sei EA (ψ) := hAψ, ψi der Erwartungswert der Observablen
A im Zustand ψ, und
2
2
vA (ψ) := ||(A − EA (ψ))ψ|| = ||Aψ|| − EA (ψ)2
die mittlere quadratische Abweichung der Meßgröße vom Erwartungswert. Man zeige mit
Hilfe von Aufgabe 49 die Heisenbergsche Unschärferelation
vA (ψ) · vB (ψ) ≥
h2
.
16π 2
Aufgabe 52
(a) Es sei T ein symmetrischer Operator im Hilbertraum H mit
||T f || ≥ ||f || ,
f ∈ D(T ),
und dichtem Bild (d.h., R(T ) = H). Dann ist T selbstadjungiert.
Hinweis: Man zeige zunächst R(T ) ⊃ R(T ).
(b) Sei T ein symmetrischer Operator mit R(T ± iI) dicht in H. Dann ist T , die Abschließung von T , selbstadjungiert.
Anleitung: Man rechne nach, daß ||(T ± iI)f|| ≥ ||f ||, für alle f ∈ D(T ).
Aufgabe 53
Es seien T : D(T ) → H und V : D(V ) → H Operatoren im Hilbertraum H mit D(V ) ⊃
D(T ). Zeigen Sie die Äquivalenz der beiden folgenden Bedingungen:
(i) Es gibt Zahlen 0 ≤ a < 1 und b ≥ 0 mit
||V f || ≤ a ||T f || + b ||f || ,
f ∈ D(T )
und
(ii) Es gibt Zahlen 0 ≤ a′ < 1 und b′ ≥ 0 mit
2
2
2
||V f || ≤ a′ ||T f || + b′ ||f || ,
f ∈ D(T )
—2—
Aufgabe 54
Sei T : D(T ) → H abgeschlossen (bzw. abschließbar) und sei V : D(V ) → H relativ beschränkt bzgl. T mit Schranke < 1. Dann ist
T + V : D(T ) → H
abgeschlossen (bzw. abschließbar mit D(T + V ) = D(T )).
Aufgabe 55∗
(a) Sei S: D(S) → H symmetrisch. Dann gilt
||(S + iI)u|| ≥ ||u|| ,
∀u ∈ D(S).
(b) Sei T : D(T ) → H symmetrisch und abgeschlossen mit R(T + iI) = H, R(T − iI) 6= H.
Dann besitzt T keine selbstadjungierte Fortsetzung.
Abgabe: Mittwoch, den 05. 07. 2017, vor der Vorlesung.