1 • Produkte von Operatoren. Kommutator Def.: ( ) = ψ BˆAˆ BˆAˆ

6 Woche 17./18.5.11
•
Produkte von Operatoren. Kommutator
( )
(
Def.: ÂB̂ ψ = Â B̂ ψ
)
(5.10)
Im Allgemeinen sind Operatoren nicht vertauschbar. Die Differenz
[ Â, B̂] := ÂB̂ − B̂Â
(5.11)
wird Kommutator der Operatoren  und B̂ genannt.
[ x̂, p̂ x ]
■
∂ ⎞ ⎛
∂ ⎞
∂
∂ ⎞
∂
∂ ⎞
⎛
⎛
⎛
= x ⎜ − i h ⎟ − ⎜ − ih ⎟ x = ih ⎜ − x
+ x ⎟ = ih ⎜ − x + 1 + x ⎟ = ih
Ortsd.
∂x ⎠ ⎝
∂x ⎠
∂x ∂x ⎠
∂x
∂x ⎠
⎝
⎝
⎝
→ komplexe Zahl
■
⎡ ∂ ∂ ⎤
∂2
∂2
,
−
=0
⎢
⎥=
⎣⎢ ∂x i ∂x j ⎦⎥ ∂x i ∂x j ∂x j ∂x i
■
⎡
∂ ⎤
∂
∂
∂
∂
= xi
−
xi = xi
− δij − x i
= − δij also
⎢xi ,
⎥ Ortsd
.
∂x j ∂x j
∂x j
∂x j
⎣⎢ ∂x j ⎦⎥
(stetige WF)
[ x̂ , p̂ ] = ih δ
i
j
ij
(5.12)
Bem.: Vergleiche mit fundamentalen Poisson-Klammern.
■
Komponenten des Bahndrehimpulses
Drehimpuls L = r × p
Korrespondenz −
→
L̂ = r̂ × p̂
prinzip
Orts−
=
darst .
h
r ×∇
i
Für den Kommutator der Operatoren der Komponenten des Drehimpulses erhalten wir
[ L̂
x
, L̂ y
] = [ y p̂
z
]
[
Null
= yp̂ x [ p̂ z , z ] + xp̂ y [ z , p̂ z ] = ih ( xp̂ y − yp̂ x ) = ih L̂ z
123
123
− ih
] [
]
− z p̂ y , z p̂ x − x p̂ z = [ y p̂ z , z p̂ x ] − [ y p̂ z , x p̂ z ] − z p̂ y , z p̂ x + z p̂ y , x p̂ z =
14243 14243
Null
ih
1
[ L̂ , L̂ ]
i
■
j
= ih εijk L̂ k
p̂ 2
Für den Hamilton-Operator Ĥ =
+ U(r ) eines qmT bei Bewegung in U(r) ist
2m
[ Ĥ , x̂ ]
i
■
(5.13)
= −i
h
p̂ i und
m
[ Ĥ , p̂ ] =
i
⎡
∂ ⎤
∂U
⎢ U(r ) , − ih
⎥ = −ih
∂x i ⎦
∂x i
⎣
(5.14)
Matrixelemente von  B̂
( Â B̂ )
nn ′
= n  B̂ n ′ = n  1̂ B̂ n ′ = ∑ n  k k B̂ n ′ = ∑ A nk B kn′ (5.15)
k
k
→ Matrizenmultiplikation
■
Beachte die Relationen
(i)
[ Â B̂ , Ĉ] = Â [ B̂ , Ĉ]+ [ Â, Ĉ] B̂
(ii)
e  B̂ e −  = B̂ + Â, B̂ +
[
] 21! [ Â, [ Â, B̂ ]] + ... → Baker-Hausdorff-Identität
∞
1 n
 definiert ist .
n = 0 n!
wobei der Ausdruck e durch die Potenzreihe e := ∑
Â
Â
2
Satz: Zwei lineare Operatoren haben genau dann einen gemeinsamen VONS von EF, wenn
sie kommutieren.
Beweis:
(→) Angenommen, Â und B̂ haben einen gemeinsamen VONS von EF
{ ψ } , d.h.
n
 ψ n = a n ψ n und B̂ ψ n = b n ψ n . Dann gilt für alle ψ ∈ H
 B̂ ψ =  B̂ ∑ c n ψ n =  ∑ c n B̂ ψ n =  ∑ c n b n ψ n = ∑ c n b n  ψ n = ∑ c n b n a n ψ n
Vollst .
n
n
n
n
n
bzw.
B̂ Â ψ = ... = ∑ c n a n b n ψ n .
n
Also ist  B̂ ψ − B̂  ψ = 0 , für beliebige ψ , denn die EW sind als i.a. komplexe Zahlen
beliebig vertauschbar.
[ ]
(←) Sei Â, B̂ = 0 . Dann ist mit ψ n auch B̂ ψ n Lösung des EWP Â ψ n = a n ψ n ,
also EF von  , denn
(
)
(
 B̂ ψ n = B̂  ψ n = B̂ a n ψ n = a n B̂ ψ n
).
Angenommen, der EW an ist nicht entartet. Dann entspricht ihm (bis auf Multiplikation mit
einer (Normierungs)Konstanten) genau eine EF ψ n , es muss also
B̂ ψ n = const ψ n =: b n ψ n .
Das bedeutet, ψ n ist auch EF von B̂ (zum EW bn).
3
Im Fall an entartet wird der Beweis etwas aufwendiger, da dann B̂ ψ n ≠ const ψ n möglich
ist:
Angenommen, der EW an ist k-fach entartet und
{ψ
(1)
n
, ... , ψ (nk )
von  zu diesem an. Wie oben gezeigt, sind alle B̂ ψ (ni )
den
{ ψ } entwickelbar
} eine Basis im Eigenraum
i = 1, ... , k auch EF zu  , d.h. nach
k
B̂ ψ (ni ) = ∑ cij ψ (ni ) (*).
(i )
n
j
Wir behaupten, es gibt EF von B̂ , die passende Linearkombinationen der ψ (ni )
und damit
auch EF von  sind: Wir suchen also φ derart, dass gilt
k
B̂ φ = b φ
und
φ = ∑ ci ψ (ni )
.
i
Wir haben
k
k
k
k
(*) k
k
i
i
i
i
i
j
B̂ φ = B̂ ∑ ci ψ (ni ) = b ∑ ci ψ (ni ) und B̂ φ = B̂ ∑ ci ψ (ni ) = ∑ ci B̂ ψ (ni ) = ∑ ci ∑ cij ψ (nj)
also
k
k
k
i
j
i
∑ ci ∑ cij ψ (nj) = b ∑ ci ψ (ni)
Das führt auf das EWP
k
∑ (c
ij
und schließlich
⎛ k
⎞
∑j ⎜⎝ ∑i ci cij − b ci δij ⎟⎠ ψ (ni) = 0 .
k
− b δij ) ci = 0 für die Matrix cij :
i
c12
⎛ c11 − b
⎜
c 22 − b
⎜ c 21
⎜ ∴
∴
⎜
⎜ c
ck 2
⎝ k1
... c1k ⎞ ⎛ c1 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
... c 2 k ⎟ ⎜ c 2 ⎟ ⎜ 0 ⎟
=
∴ ∴ ⎟ ⎜ ∴ ⎟ ⎜∴⎟
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
... c kk ⎟⎠ ⎜⎝ c k ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠
Es hat k Lösungen; diese sind reell, wenn B̂ ein hermitescher Operator ist (s.u). Beachte, dass
k
allen φ(i ) = ∑ c (ji ) ψ (nj)
derselbe EW an bzgl. Â , aber i.a. unterschiedliche EW b(i) bzgl. B̂
j
entsprechen.
4
•
Adjungierte und selbstadjungierte Operatoren.
Im Zusammenhang mit Operatoren im Skalarprodukt φ Q̂ ψ = ∫ d f x φ*( x ) Q̂ ψ ( x ) definieren
wir den adjungierten Operator Q̂ + .
Def.: Q̂ + ist der zu Q̂ adjungierte Operator, wenn für beliebige Kets φ und ψ gilt
Q̂ + φ ψ = φ Q̂ ψ , φ , ψ ∈ H
Def.:
(5.16)
Q̂ heißt selbstadjungiert oder hermitesch , wenn Q̂ + = Q̂ .
(5.17)
Eigenschaften:
(i)
(Q̂ + ) + = Q̂ ,
(ii)
Mit  und B̂ ist auch α  + β B̂ , α, β ∈ C ein selbstadjungierter Operator.
(iii)
(Â B̂) + = B̂+ Â +
denn
(λ Q̂) + = λ* Q̂ ( λ ∈ C)
φ (ÂB̂) + ψ = (ÂB̂) φ ψ = Â (B̂ φ) ψ = B̂ φ Â + ψ = φ B̂+ Â + ψ .
Also ist das Produkt zweier vertauschbarer hermitescher Operatoren hermitesch
(Â B̂) + = B̂+ Â + = B̂Â = ÂB̂ .
Da jeder Operator mit sich selbst kommutiert, ist der Operator f (Â) hermitesch, wenn Â
hermitesch ist und die Funktion f als Potenzreihe (Taylor-Reihe) darstellbar ist.
(iv)
[ Â , B̂] = [ B̂ , Â ]
denn
[ Â , B̂] = (Â , B̂)
+
+
+
+
+
[
− (B̂, Â ) + = B̂+ Â + − Â + B̂+ = B̂+ , Â +
]
.
5
Folglich ist der Kommutator aus zwei hermiteschen Operatoren  und B̂ antihermitesch
[ Â , B̂] = [ B̂ , Â ] = [ B̂, Â ] = − [ Â , B̂]
+
+
+
[
.
]
Dagegen ist der Operator i  , B̂ hermitesch, wenn  und B̂ hermitesch sind.
Beweisen Sie, dass p̂ = −ih ∇ und Ĥ = −
■
∞
Z.B.
⎞*
h2 2
3 ⎛
⎜
d
r
−
∫− ∞ ⎜⎝ 2m ∇ ψ(r) ⎟⎟⎠ φ(r) =↑
h2 2
∇ + U(r ) hermitesche Operatoren sind.
2m
∞
⎛ h2 2
⎞
3
*
⎜⎜ −
d
r
(
r
)
ψ
∇ φ(r ) ⎟⎟ ,
∫− ∞
⎝ 2m
⎠
↑
zweimal partiell integrieren
unter der Voraussetzung, dass ψ(r) und φ(r) im Unendlichen verschwinden.
•
ψn
Eigenwerte und Eigenfunktionen hermitescher Operatoren
ist Eigenfunktion (→ Eigenvektor, Eigenzustand) des Operators Q̂ zum Eigenwert qn
wenn gilt
Q̂ ψ n = q n ψ n
→ Eigenwertgleichung.
(5.18)
Satz: EW hermitescher Operatoren sind reell.
Beweis:
ψ n Q̂ ψ n = ψ n q n ψ n = q n ψ n ψ n
ψ n Q̂ ψ n = Q̂ + ψ n ψ n = Q̂ψ n ψ n = q n ψ n ψ n = q *n ψ n ψ n
−) − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
0 = (q n − q *n ) ψ n ψ n
Da ψ n ψ n ≠ 0 folgt q n = q*n (für diskretes und kontinuierliches Spektrum).
6
Satz: EF hermitescher Operatoren zu unterschiedlichen EW sind orthogonal.
Beweis: Seien die EW qn und qm des Q̂ + = Q̂ entsprechend Q̂ ψ n = q n ψ n und
Q̂ ψ m = q m ψ m nicht entartet. Wir haben
q n ψ m ψ n = ψ m Q̂ ψ n
= Q̂ψ m ψ n = q*m ψ m ψ n
Q̂ + =Q̂
Daraus folgt 0 = (q n − q m ) ψ m ψ n
= qm ψm ψn .
q m = q*m
bzw. ψ m ψ n = 0 für q n ≠ q m .
Auch wenn mehrere EF zu einem EW gehören, also im Fall der Entartung, können die EF
eines hermiteschen Operators immer so gewählt werden, dass die Orthogonalitätsrelationen
erfüllt sind (→ Hilbert-Schmidt-Verfahren, vgl. S. 4).
5.5
Fünf Postulate
1. Postulat: Zustand eines quantenmechanischen Systems (qmS)
Alle physikalischen Eigenschaften eines qmS zur Zeit t sind im Zustandsvektor (ZV) ψ ( t )
codiert. Alle möglichen Zustände bilden einen linearen Raum, den Zustandsraum H.
Beachte:
1. Da H linear, ergeben Linearkombinationen von ZV neue ZV → Superpositionsprinzip.
2. Postulat: Physikalische Größen
Jede Observable1) Q wird durch einen im Zustandsraum H wirkenden linearen hermiteschen
Operator beschrieben.
Folge: EF von Q̂ = Q̂ + bilden VONS, also eine Basis in H, und EW von Q̂ = Q̂ + reell.
7
Fazit: QM beschreibt den Zustand eines Systems durch einen Vektor ψ ( t ) , die Observablen,
also die beobachtbaren (messbaren) physikalischen Größen (Energie, Ort, Impuls,
Drehimpuls, usw.), durch hermitesche Operatoren im H.
•
Messung physikalischer Größen
3. Postulat: Messwerte, Zustandsreduktion
Wird eine Observable Q im Zustand ψ gemessen, so kann das Messergebnis nur einer der
EW des zugeordneten Operators Q̂ sein.
Zusatz: Unmittelbar nach der Messung befindet sich das qmS in dem zum EW qn gehörenden
Eigenzustand ψ n von Q̂ (entsprechend Q̂ ψ n = q n ψ n ).
Also: Messe Q im Zustand
Q̂ ψ n =
I. Postulat
→
ψ bedeutet Zuordnung Q
→
II. Postulat
Q̂ und
Zus tan d unmittelbar
nach der Messung
q
n
Messwerte
ψn
.
Dass die EW von Q̂ die möglichen Messwerte von Q sind ist einer der Gründe, den
Observablen hermitesche Operatoren zuzuordnen. Bei diskretem Spektrum von Q̂ sind die
möglichen Messergebnisse "quantisiert".
Beachte: Messung ändert den Zustand!
ψ
Messung von Q
→
mit Ergebnis q n
ψ n → Zustandsreduktion
Eine (unmittelbar) anschließende zweite Messung trifft qmS u.U. bereits in einem anderen
Zustand an.
8
• Welcher der möglichen Messwerte qn wird tatsächlich gemessen? Die Antwort auf diese
Frage ist abhängig von Systemzustand ψ und statistischer Natur.
4. Postulat: Messwahrscheinlichkeiten
Wird die Observable Q eines qmS im (normierten) Zustand ψ gemessen, so ist die
Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis der (nichtentartete) EW des dazugehörigen
(hermiteschen) Operators Q̂ ist, gleich
Pr ob (q = q n ) = ψ n ψ
2
, Q̂ ψ n = q n ψ n .
(5.19)
Anders formuliert: Der Zustand ψ , in dem die Observable Q gemessen werden soll (er sei
bekannt) ist als Superposition der EF ψ n von Q̂ darstellbar (da Q̂ = Q̂ + , bildet
{ ψ } eine
n
Basis in H)
ψ = ∑ cn ψ n , cn = ψ n ψ .
n
Die Wahrscheinlichkeit der Messergebnisse ist durch das Betragsquadrat der
Entwicklungskoeffizienten gegeben.
Bei entartetem Spektrum gilt
gn
Pr ob(q = q n ) = ∑
1 =1
ψn ψ
2
.
Dabei ist gn der Entartungsgrad des EW qn und
(5.20)
{ ψ } das System orthonormierter Vektoren,
i
n
die im Eigenraum Hn zum EW qn von Q̂ eine Basis bilden.
Beachte: Für die bedingte Wahrscheinlichkeit Prob(q = qm| q = qn) gilt
9
Pr ob(q = q m | q = q n ) = ψ n ψ
⎧ 1, m = n
= δ mn = ⎨
⎩ 0, m ≠ n
2
(5.21)
→ Eine "zeitnahe" erneute Messung von Q ergibt mit Sicherheit wieder qn. Offensichtlich
sichert die Zustandsreduktion die Reproduzierbarkeit der Messung: Für eine Theorie, die
Anspruch auf die Beschreibung von Experimenten erhebt, ist die Reproduzierbarkeit einer
Messung unverzichtbar.
Fazit:
Sicher ist (→ 3. Postulat), dass eine Messung von Q im Zustand ψ (→ 1. Postulat) einen
Eigenwert qn aus dem Spektrum des repräsentierenden Operators Q̂ = Q̂ + (→ 2. Postulat)
ergibt. Welcher der Eigenwerte tatsächlich gemessen wird, kann nur mit einer
Wahrscheinlichkeit
•
ψn ψ
2
vorhergesagt werden (→ 4. Postulat).
Quantenmechanischer Erwartungswert (qmEWW) einer Observablen Q im
Zustand ψ .
Wir haben
Q̂ = ∑ q n Prob(q = qn) =
(5.22)
n
= ∑ qn ψn ψ
n
2
= ∑ qn ψn ψ
n
*
ψn ψ = ∑ qn ψ ψn ψn ψ = ∑ ψ qnψn ψn ψ =
n
n
EWG
.
⎛
⎞
= ∑ ψ Q̂ ψ n ψ n ψ = ∑ ψ Q̂ ψ n ψ n ψ = ψ Q̂ ⎜ ∑ ψ n ψ n ⎟ ψ = ψ Q̂ ψ = Q̂
ψ
n
n
n
⎝14
4244
3⎠
_______________________
1̂
Dieser (darstellungsunabhängige) Ausdruck für den qmEWW verallgemeinert die uns aus der
Schrödinger´schen Wellenmechanik bekannte Relation
Q̂ = ∫ d 3r ψ* (r ) Q̂ ψ (r )
10
•
Projektionsoperator und Messung
Die Wahrscheinlichkeit, mit der qn gemessen wird, ist
Prob(q = qn) = ψ n ψ
2
= ψ ψ n ψ n ψ = ψ P̂ ψ n ψ ,
also gleich dem qmEWW des Projektors P̂ n ≡ P̂ ψn = ψ n ψ n . Da mit Sicherheit einer der
EW von Q̂ gemessen wird, muss gelten
1=
∑
Prob(q = qn) = ∑ ψ ψ n ψ n ψ = ψ ψ = 1 . (vgl. 4. Postulat)
n
n
Das ist die darstellungsunabhängige Formulierung der Normierungsbedingung, die wir in der
Schrödingerschen Wellenmechanik in der Form
∫ d r ψ (r ) ψ(r ) = 1
3
*
bereits kennen gelernt haben (→ statistische Interpretation der Wellenfunktion).
Außerdem lässt sich der qmEWW in der Form
Q̂ = ∑ q n ψ n ψ
n
2
= ∑ qn ψn ψ
2
n
= ∑ q n ψ n ψ ψ ψ n = ∑ ψ n ψ ψ Q̂ ψ n
n
n
∗∗∗∗∗∗∗∗∗
also
(
Q̂ = ∑ ψ n P̂ ψ ⋅ Q̂ ψ n = Sp P̂ ψ ⋅ Q̂
)
n
darstellen.
11
5. Postulat: Zeitliche Entwicklung des Zustandes
Die zeitliche Entwicklung des ZV ψ wird durch
ih
∂
ψ ( t ) = Ĥ ψ ( t )
∂t
→ Schrödinger-Gleichung
(5.23)
mit dem (hermiteschen) Hamilton-Operator des qmS beschrieben.
Bem.: Gemeint ist die zeitliche Entwicklung des Zustand zwischen zwei Messungen;
ansonsten Zustandsreduktion.
12