Ubung 8 : Wasserstoff Atom
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Universität Potsdam Vorlesung Theoretische Physik II (LA) M. Rosenblum Institut für Physik SS 2017 Übung 8 : Wasserstoff Atom (Besprechung am 18.07.2016) Aufgabe 8.1 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das Elektron des Wasserstoffatoms innerhalb des Bohr-Radius zu finden, wenn es sich im Zustand | 1, 0, 0i bzw. |2, 1, 0i befindet? Aufgabe 8.2 Ein Wasserstoffatom befinde sich im Zustand √ 3 i | ψi = |1, 0, 0i + | 3, 1, 0i . 2 2 (a) Welche Meßwerte der Energie sind möglich? Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten diese auf? (b) Welche Meßwerte von L2 und von Lz sind möglich? Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten diese auf? Aufgabe 8.3 Wasserstoffartige Atome bestehen aus einem einzelnen Elektron, dass im Potential des Atomkernes mit Z Protonen gebunden ist. (Z = 1 entspricht dem Wasserstoffatom selbst; Z = 2 entspricht ionisiertem Helium, Z = 3 entsprich zweimal ionisiertem Helium, u.s.w.). (a) Bestimmen Sie die Energie-Niveaus En (Z), die Bindungsenergie E1 (Z), den Bohr-Radius a0 (Z), und die Rydberg-Konstante R(Z) für wasserstoffartige Atome. Drücken Sie diese Werte durch die entsprechenden Werte für das Wasserstoffatom aus. (b) Wo im elektromagnetischen Spektrum liegen die Linien der Lyman-Serie für Z = 2 und Z = 3? Zusatzaufgabe 8.4 (+30%) Ein Teilchen der Masse m bewegt sich im eindimensionalen iV = V (x). Die h Potential 2 + it wobei a eine Wellenfunktion des Teilchens lautet Ψ(x, t) = A exp −a mx ~ positive reelle Konstante ist. (a) Bestimmen Sie die Energie des Teilchens und das Potential V in dem sich das Teilchen bewegt. (b) Welche Einheit hat a? (c) Bestimmen Sie die Normierungskonstante A. Hinweis: Die standard Normalh 2i 1 x verteilung lautet p(x) = √2π exp − 2 . (d) Welche anderen Energie Eigenwerte kann das Teilchen in diesem Potential annehmen? Zusatzaufgaben 8.5(+50%) (a) Zeigen Sie, dass die Eigenwerte Hermitescher Operatoren reell sind. (b) Zeigen Sie, dass die Eigenfunktionen Hermitescher Operatoren orthogonal sind. (c) Zeigen Sie, dass die Erwartungswerte Hermitescher Operatoren reell sind. (d) Zeigen Sie mit Hilfe der Schrödinger Gleichung oder des Ehrenfest Theorems, dass der Erwartungswert eines nicht explizit zeitabhängigen Operators, welcher mit dem Hamiltonoperator vertauscht zeitunabhängig ist. (e) Unter welcher Bedingung ist der Erwartungswert des Impulsoperators zeitunabhängig? Zum Nachdenken : (a) Welche physikalischen Effekte und Naturgesetze werden durch die Maxwellschen Gleichungen beschrieben und durch welche Experimente werden diese gestützt? (b) Welche fundamentale Größe kann aus den Maxwelschen Gleichungen abgeleitet werden und wie? (c) Welche physikalische Rolle spielen Hermitesche Operatoren in der Quantenmechanik? (d) Wie verändert eine Messung den Zustand eines quantenmechanischen Systems?
