Quanten Mechanik

Quanten Mechanik
Operatoren
Âψ(~x) = ϕ(~x) ∈ L2
Â(c1 ψ1 + c2 ψ2 ) = c1 ϕ1 + c2 ϕ2
[Â, B̂] = (ÂB̂ − B̂ Â)
R
(ϕ, ψ) := ϕ∗ (~x)ψ(~x)d~x
(Â† ϕ, ψ) = (ϕ, Âψ)
Â† = Â
R
hÂi = ψ ∗ (~x, t)Âψ(~x, t)d~x
Â · ψn (~x) = a · ψn (~x)
~ =
∇
∂
∂
∂
∂x , ∂y , ∂z
2
2
∂ f
+ ∂∂yf2
∂x2
∆f =
~2 =∆
∇
+
Definition eines Operators
Linearität (c1 , c2 ∈ C)
Kommutator
Skalar Produkt
Â† = adjungierter Operator
hermitescher (selbstadjungierter) Operator
Mittelwert
Operator · Eigenfunktion = Eigenwert · Eigenfunktion
Nabla
∂2f
∂z 2
2
Laplace
h̄
Ĥ = − 2m
∆ + V (~x)
Hamilton (ein Teilchen, skalares Potential)
|(ϕ, ψ)|2 ≤ (ϕ, ϕ)(ψ, ψ)
[Â, B̂] = 0 ⇒
Schwarzsche Ungleichung
Â und B̂ haben gemeinsame Eigenfunktionen
Schrödinger Gleichung
∂
ih̄ ∂t
ψ(~x, t) = Ĥψ(~x, t)
Ĥψ(~x) = Eψ(~x)
zeitabhängig
zeitunabhängig
Eigenfunktionen
Eigenwerte von hermiteschen Operatoren sind reell.
Eigenfunktionen hermitescher Operatoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
ür m=n
(ψm , ψn ) = δmn = {10 fsonst
Orthogonalitätsrelation
P
∗
0
0
n ψn (x )ψn (x) = δ(x − x ) = Vollständigkeitsrelation
∞
ür x=x0
{0 fsonst
P
ψ(x) = n cn ψn (x)
vollständiges Orthonormalsystem
cn = (ψn , ψ)
Entwicklungskoeffizienten
1
Darstellungstheorie
Matrizen
Anm = (ψn , Âψm )
A∗nm = Amn
Anm = an δnm
Matrixdarstellung von Operator Â
hermitesche Matrix (falls Â hermitesch)
falls {ψn (x)} Basis von Â
Ŝ Ŝ † = Ŝ † Ŝ = 1
unitäre Transformationsmatrix Smn
1 = Einheitsmatrix
Operatoren können durch Matrizen dargestellt werden und Zustände durch Vektoren.
Die Darstellungen zu verschiedenen Basissystemen hängen durch unitäre Transformationen zusammen.
Zustandsvektoren
|ψi
hψ| = |ψi†
ha|bi = ha||bi = (ψa , ψb )
hÂi = hψ|Â|ψi
ha|bi∗ = hb|ai
ha|ai ≥ 0,
|ha|bi|2 ≤ ha|aihb|bi
P
|ψi = cn |ni
R
= dξ ψ(ξ)|ξi
R
= dp cp |pi
Â|ai = |bi
P̂ 2 = P
ha|ai = 1
hn|mi = δnm
P
n |nihn| = 1
(ket-)Vektor in unendlich-dimensionalen linearen
Vektorraum (Hilbertraum)
zu |ψi dualer Zustandsvektor (bra-Vektor)
Produkt von ha| und |bi
Skalarprodukt von |ai und |bi
Erwartungswert
0 dann, wenn |ai = 0 ist
Schwarz-Ungleichung
cn = hn|ψi
ψ(ξ) = hξ|ψi
cp = hp|ψi
basisunabhängige Notation eines Operators
Projektionsoperator
normierter Zustand
vollständiges Orthonormalsystem
Darstellungen
Zeitliche Änderung von Zuständen wird durch unitäre Transformationen ausgedrückt.
Schrödinger-Bild: Operatoren zeitunabhängig; Zustände zeitabhängig
Heisenberg-Bild: Operatoren zeitabhängig; Zustände zeitunabhängig
Wechselwirkungs-Bild: (Dirac-Darstellung) Zwischenstellung; für Störungstheorie
2
Axiome der Quantentheorie
1. Der Zustand eines Systems wird durch den Zustandsvektor |ψi im Hilbertraum L
beschrieben.
2. Die Observablen werden durch hermitesche Operatoren Â dargestellt, wobei Funktionen von Observablen durch die entsprechenden Funktionen der Operatoren dargestellt werden.
3. Die Mittelwerte der Observablen sind gegeben durch hÂi = hψ|Â|ψi
4. Die Zeitentwicklung wird durch die Schrödiger-Gleichung bestimmt
ih̄
∂
|ψ, ti = Ĥ|ψ, ti
∂t
5. Bei Messung von Â geht das System, wenn an gemessen wurde, in |ni über.
Spin
1
2
|χi = α+ | ↑i + α− | ↓i
+
χ = αα−
beliebiger Spinzustand
Spinor
Projektions auf Basissystem {| ↑i, | ↓i}
komplexe Koeffizienten
α+ = h↑ |χi
α− = h↓ |χi
|α+ |2 + |α− |2 = 1
ˆ~
S
= h̄2 ~σ
Spin-Operatoren
Pauli-Spinmatrizen:
σx =
0 1
1 0
!
,
σy =
0 −i
i 0
!
,
σz =
1 0
0 −1
!
Drehimpuls
~
~ = ~x × p~ = h̄ ~x × ∇
L
Pn ˆ i
L̂ = α=1 lα
Bahndrehimpuls
Gesamtdrehimpuls
Beschreibung eines Systems aus zwei Teilchen (α = 1, 2)
|l1 , l2 , m1 , m2 i = |l1 , m1 i|l2 , m2 i
durch Eigenzustände der Einzeldrehimpulse
|L, M, l1 , l2 i
durch Eigenzustände des Gesamtdrehimpulses
3
Dichtematrix
ρ̂ =
i pi |ψi ihψi |
P
Dichtematrix: allgemeinste Form der
quantenmechanischen Zustandsbeschreibung
Sp ρ̂ = 1
ρ̂† = ρ̂
hf |ρ̂|f i ≥ 0 ∀|f i
Sp ρ̂2 ≤ 1
hF i = Sp (ρ̂F̂ )
ρ̂2 = ρ̂0 = |ψihψ|
d
i
dt ρ̂ = − h̄ [Ĥ, ρ̂]
Sp ρ2 ist zeitunabh.
Erwartungswert
reiner Zustand |ψi
von-Neumann-Gleichung
reiner (gemischter) Zustand bleibt rein (gemischt)
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