Ferienkurs Quantenmechanik Inhaltsverzeichnis - TUM

Ferienkurs Quantenmechanik
Struktur der Quantenmechanik
23.02.10
Richard Steinacher und Mathias Kammerlocher
Inhaltsverzeichnis
1 Struktur der Quantenmechanik
1.1 Hilbertraum . . . . . . . . . . . .
1.2 Skalarprodukt . . . . . . . . . . .
1.3 Operatoren . . . . . . . . . . . .
1.4 Spektralzerlegung . . . . . . . . .
1.4.1 Projektionsoperator . . . .
1.4.2 Zustände . . . . . . . . . .
1.4.3 Operatoren . . . . . . . .
1.4.4 Kontinuierliches Spektrum
1.5 Kommutator . . . . . . . . . . . .
1.6 Bilder der Quantenmechanik . . .
1.6.1 Schrödingerbild . . . . . .
1.6.2 Heisenbergbild . . . . . .
1.7 Unschärferelation . . . . . . . . .
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2
2
2
3
4
4
4
4
5
5
7
7
7
8
2 Harmonischer Oszillator
2.1 Algebraische Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Zusammenfassung der wichtigen Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . .
8
9
10
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1 STRUKTUR DER QUANTENMECHANIK
1
Struktur der Quantenmechanik
1.1
Hilbertraum
Wie wir gesehen haben beschreiben die Wellenfunktionen quantenmechanische Zustände.
Nun wollen wir diese Zustände mit abstrakten Ket-Vektoren |·i darstellen. Diese Vektoren
sind aus dem Hilbertraum H, welcher ein vollständiger, linearer Vektorraum
der quadratinR
tegrablen Funktionen mit Skalarprodukt ist (siehe Normierbarkeit |ψ|2 dx, math. genauer
L2 (R3 )).
Auf H sind folgende Verknüpfungen definiert:
→ Mit |vi ∈ H und λ ∈ C ist auch λ |vi ∈ C
→ Aus |vi, |ui ∈ H folgt |vi + |ui ∈ H
Der zu H duale Raum beinhaltet die sogenannten Bra-Vektoren, welche durch Konjugation
erhalten werden:
|vi =
X
λi |ii
↔
hv| =
i
1.2
X
hi| λ∗i
i
Skalarprodukt
Das Skalarprodukt zwischen zwei Zuständen |ψ1 i und |ψ2 i ist definiert durch:
Z
hψ1 | ψ2 i =
d3 x ψ1∗ (~x)ψ2 (~x)
∈C
Dieses Skalarprodukt hat die bekannten Eigenschaften:
→ hφ| ψ1 + ψ2 i = hφ| ψ1 i + hφ| ψ2 i
→ hφ| cψi = c hφ| ψi
→ hφ| ψi = hψ| φi∗
→ hψ| ψi ≥ 0 ,
(⇒ hcφ| ψi = c∗ hφ| ψi)
hψ| ψi = 0
⇔
hψ| = 0
Aus diesen Eigenschaften folgt auch die Schwarzsche Ungleichung
hφ| ψi2 ≤ hφ| φi hψ| ψi
2
(1)
1.3 Operatoren
1.3
1 STRUKTUR DER QUANTENMECHANIK
Operatoren
Der Erwartungswert einer Observablen A ist über dessen Operator  bestimmbar, und
gegeben durch:
Z
hAi =
dx ψ ∗ Âψ = hψ| Âψ
(2)
Da der Erwartungswert eine messbare Größe ist, muss er (folglich auch die Eigenwerte des
!
Operators Â) reell sein, also hAi = hAi∗ :
! hψ|  ψi = Âψ ψ = † ψ|ψ
{z
}
|
Def.adjungierterOperator
⇒
 = †
Alle beobachtbaren Größen müssen also hermitesche Operatoren besitzen.
Allgemein können wir nun viele Probleme der Quantenmechanik durch Eigenwertprobleme
darstellen:
herm.Konjugation
Âψα = aα ψα
⇐⇒
ψα † = ψα a∗α
Der zu  gehörige Eigenvektor ψα gibt also den Eigenwert aα aus.
Bemerkung:
Die Eigenzustände (nicht entartete Eigenwerte) zu einem hermiteschen Operator sind orthogonal zueinander.
ψα Âψβ = ψα Âψβ = aβ ψα ψβ
= ψα Â ψβ = aα ψα ψβ
⇒
ψα ψβ = 0
3
für aα 6= aβ
(3)
1.4 Spektralzerlegung
1 STRUKTUR DER QUANTENMECHANIK
1.4
Spektralzerlegung
1.4.1
Projektionsoperator
Ein Satz von Eigenvektoren {|ni} mit nm = δnm lässt sich als eine Basis in H benutzen.
Mit dem Projektionsoperator
P̂n = n n
(4)
lässt sich ein Zustand ψ auf den Eigenzustand n projezieren. Die Summe über alle
Projektionsoperatoren (Dekomposition der Identität) ist dann
X
X n n = 1
P̂n =
(5)
n
1.4.2
n
Zustände
Mit den Projektionsoperatoren lässt sich nun ein beliebiger Zustand zerlegen:
X X n n ψ =
ψ =
cn n
| n {z
=1
, mit cn = nψ
(6)
n
}
Bemerkungen:
→ Wahrscheinlichkeit, dass ψ in Eigenzustand von n ist dann: |cn |2
P
→ ψ ψ = n |cn |2 = 1
1.4.3
Operatoren
Analog dazu lassen sich Operatoren darstellen.
 =
X
an n n
n
Daraus ergibt sich schließlich:
X
X Âψ =
am m mn cn =
c n an n
| {z }
m,n
n
=δmn
4
(7)
1.5 Kommutator
1 STRUKTUR DER QUANTENMECHANIK
⇒
X
X ∗
|cn |2 an
ψ Âψ =
cm cn an mn =
n
m,n
Bei Messungen der Observable  wird der Eigenwert an mit der Wahrscheinlichkeit |cn |2
gefunden. (Max Born, 1926)
1.4.4
Kontinuierliches Spektrum
Die bisherige Zerlegung gilt nur für Operatoren die ein diskretes Spektrum verfügen (i.A.
gebundene Zustände). Das ganze lässt sich auch für diskrete Spektren von uneigentlichen
Zuständen durchführen. Betrachtung
x̂ mit den uneigentlichen
nun mit dem
Ortsoperator
(nicht normierbaren) Zuständen x . Es gelte x̂ x = x x .
Dann folgt
ψ =
Z
dx x
x ψ
| {z }
(8)
W F in Ortsdarst.
Wobei für die Orthogonalität gilt: x0 x = δ(x0 − x)
1.5
Kommutator
Zwei Operatoren vertauschen nicht automatisch miteinander, d.h. ÂB̂ 6= B̂ Â. Um diese
Eigenschaft anzugeben, definiert man den sogenannten Kommutator:
h
i
Â, B̂ = ÂB̂ − B̂ Â
Der Kommutator erfüllt folgende Eigenschaften:
h
i
h
i
1. Antisymmetrie
Â, B̂ = − B̂, Â
h
i
h
i h
i
2. Linearität
λ + B̂, Ĉ = λ Â, Ĉ + B̂, Ĉ
ii h h
ii
ii h h
h h
3. Jacobi-Identität
Â, B̂, Ĉ + B̂, Ĉ, Â + Ĉ, Â, B̂ = 0
h
i
h
i h
i
4. Produktregel
Â, B̂ Ĉ = B̂ Â, Ĉ + Â, B̂ Ĉ
5
(9)
1.5 Kommutator
1 STRUKTUR DER QUANTENMECHANIK
Bemerkung: Kommutatoren aus Operatoren sind wiederum Operatoren.
h
i D.h. bei Rechnungen sollten sie immer auf Testfunktionen angewendet werden: Â, B̂ ψ = ...
Konsequenzen:
(i) Vertauschen  und B̂, dann folgt zu Âψ = aψ , dass auch B̂ ψ ein Eigenvektor
zu  mit dem Eigenwert a ist:
 B̂ ψ = B̂ Âψ = B̂aψ = a B̂ ψ
(ii) Kommutieren zwei Operatoren, so besitzen sie eine gemeinsame Basis aus Eigenzuständen. Physikalisch bedeutet
h
i dies, dass dann beide Größen gleichzeitig scharf
gemessen werden können. ( Â, B̂ 6= 0 legt untere Grenze der Unschärfe fest, siehe
Übung)
h
i
(iii) Â, Ĥ = 0
⇔
 ist eine Erhaltungsgröße
Beispiel: Die fundamentale Vertauschungsrelation zwischen einer Funktion f (x) und dem
Impulsoperator p̂x .
[p̂x , f (x)] ψ =
~
~
[∂x , f (x)] ψ = (∂x f (x)ψ − f (x)∂x ψ)
i
i
! ~
~
=
ψ∂x f (x) + f (x)∂
f (x)∂
∂x f (x) ψ
x ψ − x ψ =
i
i
⇒
[p̂x , f (x)] =
~
∂x f (x)
i
Daraus folgt auch der wichtige Kommutator: [xi , p̂j ] = i~δij
Weitere sind:
→ [xi , xj ] = 0
→ [pi , pj ] = 0
(wg. Satz von Schwarz)
6
(10)
1.6 Bilder der Quantenmechanik
1.6
1.6.1
1 STRUKTUR DER QUANTENMECHANIK
Bilder der Quantenmechanik
Schrödingerbild
Bis jetzt haben wir uns im Schrödingerbild aufgehalten, welches charakterisiert ist durch
die Zeitabhängigkeit der Zustände |ψ(x, t)i. Die Operatoren sind im Allgemeinen zeitunabhänging. Die Dynamik des Systems ist gegeben durch die Schrödingergleichung:
i~
∂
|ψ(x, t)i = Ĥ |ψ(x, t)i
∂t
(11)
Wir haben festgestellt, dass sich die Zeitabhängigkeit der Zustände durch den unitären
Zeitentwicklungsoperator Û (t, t0 ) beschreiben lässt (∂t Ĥ = 0):
i
|ψ(t)i = Û (t, t0 ) |ψ(t0 )i = exp − Ĥ(t − t0 ) |ψ(t0 )i
~
1.6.2
Heisenbergbild
Im Heisenbergbild wird nun die Zeitabhängigkeit der Zustände auf die Operatoren übergeben. Hierzu betrachten wir einen nicht explizit zeitabhängigen Operator ÂS aus dem
Schrödingerbild (setze oBdA t0 = 0):
ψ(t)ÂS ψ(t) = ψ(0)Û † (t) ÂS Û (t)ψ(0) = ψ(0)ÂH (t)ψ(0)
ÂH (t) = Û † (t) ÂS Û (t)
(12)
Die zeitabhängigen Operatoren werden also über eine Ähnlichkeitstransformation gewonnen. Diese erhält die Eigenwerte der Operatoren. Die zeitliche Entwicklung wird durch die
Heisenberg-Bewegungsgleichung beschrieben:
i ∂ Â(t)
ih
dÂ(t)
=
Â(t), Ĥ +
dt
~
∂t
7
(13)
1.7 Unschärferelation
1.7
2 HARMONISCHER OSZILLATOR
Unschärferelation
Die Unschärferelation gibt an ob zwei (hermitesche) Operatoren Â, B̂ gleichzeitig und beliebig genau gemessen werden können.
iE
1 Dh
∆A ∆B ≥ Â, B̂ 2
D E D E 12
2
.
Wobei die Varianz ∆A gegeben ist durch ∆A = Â2 − Â
2
(14)
Harmonischer Oszillator
Der harmonische Oszillator ist in der Quantentheorie von großer Wichtigkeit. Er tritt in
vielen Anwendungen auf und stellt außerdem eine gute Illustrattion für die allgemeinen
Prinzipien und den Formalismus der Quantenmechanik dar.
In der klassischen Mechanik ist ein harmonischer Oszillator ein Teilchen, das einer anziehenden, zum Abstand von einem festen Punkt proportionalen Kraft unterworfen ist.
1
1
~ (~x)
F (x) = −kx
F~ (x) = −∇V
⇒
V (x) = kx2 = mw2 x2
2
2
q
k
Wobei für w die Eigenfrequenz des harmonischen Oszillators w = m
eingesetzt wurde.
Damit lässt sich der Hamiltonoperator des System aufschreiben.
1
p2
+ mw2 x2
2m 2
Die Aufgabe reduziert sich also wieder auf die Lösunge des Eigenwert Problems in der
zeitunabhängigen Schrödinger Gleichung.
H=
~ d2 Ψ(x) 1
−
+ mw2 x2 = EΨ
2
2m dx
2
Die analytische Lösung dieses Problems mit der Randbedingung, dass die Wellenfunktion
normierbar ist, führt auf die Lösung:
r
mw 14 1
mw mw
√
Ψn (x) =
Hn
x exp
x2
π~
~
2~
2n n!
Wobei Hn (z) die Hermitepolynome darstellen. Diese Polynome lösen folgende Differentialgleichung:
2
d
d
d
2
2
− 2z + 2n Hn (z) = 0 ⇒ Hn (z) = (−1)n ez ( )n e−z
2
dz
dz
dz
Diese expliziten Lösungen interessieren uns aber nicht weiter. Interessant sind vor allem
die Energieeigenwerte, die wir im folgenden Abschnitt algebraische herleiten werden.
8
2.1 Algebraische Lösung
2.1
2 HARMONISCHER OSZILLATOR
Algebraische Lösung
Die algebraische Lösung des Problems ist wesentlich eleganter und sollte im Gegensatz
zu den Hermitpolynomen auf jedenfall verinnerlicht werden. Zunächst schreiben wir den
Hamiltonoperator in der Form:
1 2
(p + (mwx)2 )
H=
2m
Die Grundidee ist es diesen Hamiltonoperator zu faktorisieren. Dazu definieren wir Aufund Absteigeoperatoren:
1
1
(mwx̂ + ip̂)
â+ = √
(mwx̂ − ip̂)
â = √
2m~w
2m~w
Es ist zu beachten, dass es sich dabei um Operatoren handelt. Wenn man also das Produkt
bildet muss auf die Vertauschungsrelationen geachtet werden.
1
(−i[x, p] + i[p, x]) = 1
[x, p] = i~
⇒
[a, a+ ] =
2~
1
1
i
+
+
2
2
a a=
p + (mwx) + [x, p] ⇒ H = ~w a a +
2~mw
2~
2
An dieser Stelle kommt die entscheidende Aussage. Wenn | ni Eigenfunktion von H zum
Eigenwert En ist gilt:
(i) a+ | ni ist EF zum EW En + ~w
(ii) a | ni ist EF zum EW En − ~w
Der Beweis hierfür kommt häufiger vor und sollte daher gut verstanden werden.
1
1
1
Ha+ | ni = ~w(a+ a+ )a+ | ni = ~wa+ (aa+ + ) | ni = ~wa+ (a+ a+1+ ) | ni = a+ (H+~w) | ni
2
2
2
+
+
Ha | ni = (En + ~w)a | ni
Dies bedeutet also, dass man aus einer bekannten Lösung | ni durch anwenden der Aufund Absteigeoperatoren beliebig viele neue Lösungen konstruieren kann, deren Eigenwerte
ebenfalls bekannt sind. Wir müssen nun also nur noch eine dieser Lösungen bestimmen
und nutzen dazu aus, dass die Energie nicht negativ werden kann. Es muss also einen
Grundzustand geben für den gilt:
d
a | 0i = 0 ⇔ (mwx + ~ )Ψ(x) = 0
dx
Zusammen mit der Normierungsbedinung folgt daher :
mw 41
mw 2
exp(−
⇒ Ψ0 (x) =
x)
π~
2~
1
1
1
H | 0i = ~w(a+ a + ) | 0i = ~w | 0i ⇒ E0 = ~w
2
2
2
Somit sind also auch alle anderen Energieeigenwerte des Problems bekannt: En = ~w(n +
1
)
2
9
2.2 Zusammenfassung der wichtigen Eigenschaften2 HARMONISCHER OSZILLATOR
2.2
Zusammenfassung der wichtigen Eigenschaften
(i) â =
(ii) x =
√ 1
(mwx̂
2m~w
q
~
(a
2mw
+ ip̂)
+
+a )
(iii) H = ~w a+ a + 12
p=
q
~mw a−a+
2
i
⇒ En = ~w(n + 12 ), n = 0, 1, 2, ...
(iv) Ha+ | ni = (En + ~w)a+ | ni
Ha | ni = (En − ~w)a | ni
(v) [a, a+ ] = 1
√
(vi) a+ | n − 1i = n | ni
√
(vii) (a+ )n | 0i = n! | ni
a | ni =
√
n | n − 1i
a+ a | ni = n | ni
aa+ | ni = (n + 1) | ni
Literatur:
Basdevant, Dalibard; Quantum Mechanics; Springer
Griffiths; Introduction to Quantum Mechanics; Pearson
Vorlesungsskript Zwerger; SoSe 2009
Wachter, Hoeber; Repetitorium Theoretische Physik; Springer
10