Operatoren im Hilbertraum
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74 Kapitel 6 Operatoren im Hilbertraum Ein Operator Ô im Hilbertraum ordnet einen Ket-Vektor ψ einem Ket-Vektor ψ zu 1 ψ 1 Ô1 ψ ϕ ϕ Ô (6.1) und ein Bra-Vektor ϕ ein Bra-Vektor ϕ 6.1 Darstellung eines linearen Operators durch Matrizen Ein linearer Operator hat die Eigenschaften Ô a ψ1 b ψ2 aÔ ψ1 bÔ ψ2 (6.2) ψ1 a ψ2 b Ô a ψ1 Ô b ψ2 Ô (6.3) und Die in der Quantenmechanik vorkommenden Operatoren sind in der Regel linear. Wir setzen ein VONS ϕn voraus und setzen die vollständige 1 in Gleichung (6.1) in den markierten Stellen ein. Wir erhalten auf Grund der Linearität von Ô ∑ n ∑ ϕn ϕn ϕn ϕ nn bn O ϕn ϕn ϕ (6.4) an Onn Für die Entwicklungskoeffizienten ergibt sich eine zu 6.1 äquivalente Matrizengleichung b Oa wobei die Vektoren a und b gegeben sind durch a an ! " ϕn ϕ ! b # bn ! und die Matrix $% % O Onn ! " n Ô n ! 75 & " ϕn ϕ (6.5) ! O11 O12 O13 O21 O22 O23 O31 O32 O33 "" "" "" "" "" "" "" (6.6) KAPITEL 6. OPERATOREN IM HILBERTRAUM 76 Die Operatoren lassen sich also durch unendlich-dimensionale Matrizen darstellen. Darstellungsfreie Repräsentation des Operators Ô ∑ ϕn ϕn Ô ϕn ϕn (6.7) nn Analog ψ ' ∑ ϕn ϕ ϕn (6.8) n Anmerkung zur darstellungsfreien Representation des Operators darstellungsfrei: Die Basisvektoren ϕn sind als abstrakte Hilbertraumelemente ausgedrückt und nicht als N-Tupel in einer konkreten Basis. Analogie zu einer linearen Abbildung  im reellen R3 mit y Âx x und y ( R3 Koordinatenfreie Darstellung von x 3 x ∑ xi ei ei : orthonormierte Einheitsvektoren (6.9) i) 1 $ x *+ x1 x2 x3 & Darstellung des Vektors x im System der e i Operator im Hilbertraum H Koordinatenfreie Darstellung Abbildung im reelen R 3 3 ∑ Onn ϕn ϕn Ô Â ∑ Ai j nn ϕn (6.10) ij Basis Darstellung Onn : unendlich-dimensionale Matrix e1 e2 e3 ei , e j Dyadisches Produkt Ai j 3 x 3 Matrix 6.2 Adjungierter Operator Betrachte zunächst den Bra-Vektor ψ ∑ an ψn Darstellung -/. 00 a n 2 an ! " ψn ψ ! (6.11) an2 ! (6.12) Spalten Das Ket ψ ist der zu ψ adjungierte Vektor, ψ ψ 1 ψ ∑ an 3 n ψn ψ 2 Darstellung -/. T 03 0 a Zeilenvektor 6.3. HERMITESCHER (SELBSTADJUNGIERTER) OPERATOR 77 T : transponiert Es gilt dann $% ψ ψ ∑ an -/. 2 Darstellung ∑ a3 T a n an 2 a13 "" aN3 ! & n a1 .. . aN *4 + ∑ an 2 (6.13) n Anschauliche Definition des zu Ô adjungierten Operators Ô 2 über seine Darstellung $% % Ô -/. O & $% % Ô 2 -/. T O3 & O11 O12 O13 O21 O22 O23 O31 O32 O33 "" "" "" "" "" "" "" O11 O12 O13 3 3 3 O22 O23 O21 3 3 3 O32 O33 O31 3 3 3 "" "" "" "" "" "" "" (6.14) (6.15) Von der allgemeinen Matrizenrechnung abgeleitete Regeln ( Übung) Ô 2 Ô1 Ô2 ! Ô ψ ϕ Wendet man Regel 3 auf O 2 9 2 Ô Ô22 Ô12 ! 2 ! 2 2 ψ Ô 2 an, erhält man ϕ Ô ψ 5 Ô 2 ϕ ψ 76 9 Definition von Ô 2 ohne Darstellung ϕ ψ 8( H (6.16) wichtig! 6.3 Hermitescher (selbstadjungierter) Operator Definition: Ein Operator ist genau dann hermitesch, wenn gilt Ô Ô 2 selbstadjungiert (6.17) oder äquivalent ϕ Ô ψ Ôϕ ψ Diese Operatoren sind von zentraler Wichtigkeit für die Formulierung der Quantenmechanik. (6.18) 78 KAPITEL 6. OPERATOREN IM HILBERTRAUM Kapitel 7 Allgemeine Postulate der Quantenmechanik P1: Zustand eines Systems Der Zustand eines Systems ist zu jedem Zeitpunkt durch einen Zustandsvektor ψ t ! im Hilbertraum spezifiziert. ψ t ! enthält alle zugänglichen Informationen über das System. P2: Zu jeder physikalischen Messgröße A (Observable) gehört ein Hermitescher Operator. Konstruktion: Klassisch ist jeder Observablen eine Funktion F r p ! zugeordnet. > :; ; F r p! p2 2m < V r! p r l r ; ;= ? p E p r ! Energie Impuls Ort Drehimpuls Quantenmechanisch wird in dieser Funktion durch Einsetzen des Quantenmechanik-Operators ein Operator. Klassisch Quantenmechanik p pˆ Impuls Ort r > Energie Drehimpuls p2 2m > 2 pˆ 2m V r! rx p rˆ V rˆ ! rˆ ? pˆ Überkomponenten definiert Wie ist die Funktion eines Operators â definiert? 79 KAPITEL 7. ALLGEMEINE POSTULATE DER QUANTENMECHANIK 80 @ F a! 1 ∑ n! n ∂t ∂a A @ 2B B an B B B F̂ â ! a) 0 1 ∑ n! n ∂F̂ ∂â A 2B B ân B B B (7.1) a) 0 Hermizität des Ortsoperators in einem Ortsoperator x C C x̂ϕ 3 ψdx C xn ϕ x !"! 3 ψ x ! dx C ϕ 3 x ! xn ψ x !"! dx ϕ 3 x̂n ψdx (7.2)
