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Theoretische Physik II Quantenmechanik
Skript zur Vorlesung
von Prof. Dr. Schöll
erweitert um zahlreiche Kapitel zur
fortgeschrittenen Quantenmechanik
Verfasser:
Franz- Josef Schmitt
1
Struktur der Quantenmechanik
Formalismus
Zustand des Systems:
Wird beschrieben durch den Zustandsvektor
n m = δ nm
Für die Basis gilt:
n n
Mit den Projektoren
∑
und
Ψ ∈ H , der im Hilbertraum lebt.
n n = 1 ( jeder Zustand ist in der Basis entwickelbar)
n
Der Ortsraum
Ist ein unendlich dimensionaler Hilbertraum
Ortsdarstellung:
Ψ (r ) = r Ψ
r r ´ = δ( r − r ´)
Ortsbasis:
∫d
r r r =1
3
Der Impulsraum
Ebenso sind die Frequenzen der Zustände darstellbar. Dies geschieht im Impulsraum:
~
Ψ ( p) = p Ψ
Mit der Impulsbasis:
p p´ = δ ( p − p´)
∫d
3
p p p =1
Der Übergang wird durch eine Fouriertrafo geleistet:
p p´ = δ ( p − p´) =
wegen
1
(2π)
3
2
∫
d 3re i r ( p − p´) bzw: δ ( x) =
1
∫ dpe
(2π )
ipx
Dabei ist auch die Fouriertransformierte der Deltafunktion bedeutsam:
1=
+∞
1
(2π )
∫−∞ dxe
−ipx
δ ( x)
Dabei ist es unerheblich, wie genau der Rauminhalt des Delta- peaks normiert ist. Dies ist Konventionssache.
Gemäß der gewöhnlichen Konvention
f (0 ) = ∫
+∞
−∞
dx f ( x )δ( x)
würde man schreiben:
1=
+∞
∫−∞ dxe −ipx δ (x )
Somit gilt:
Ψ (r ) = r Ψ = ∫ d 3 p p p r Ψ =
∫d
3
~
p r p p Ψ = ∫ d 3 p r p Ψ( p)
Dies ist aber gerade die Fourier- Transformation, weshalb folgt:
r p =
1
3
(2πh ) 2
i
pr
h
e
2
Wahrscheinlichkeitsinterpretation
n Ψ ∈ C ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude, den Meßwert n im Zustand Ψ zu treffen
nΨ
2
r Ψ
2
ist die Wahrscheinlichkeit, den Meßwert n zu finden
ist WSK- Dichte ( als Funktion von
r ), Teilchen am Ort r zu finden
Von der Observablen zum Operator:
Fˆ : H → H
ist hermitescher Operator, das Bild einer Observablen im Hilbertraum, selbst Element des
+
ˆ
ˆ
=
F F
Hilbertraums
Merke: Urbilder der hermiteschen Operatoren sind die Observablen ! Observablen werden auf Operatoren
abgebildet !
Operatoren können durch Matrixelemente dargestellt werden:
Fˆ =
∑n
n Fˆ n´ n´
n.n´
Oder in der Spektraldarstellung durch ihre Eigenwerte:
Fˆ = ∑ n Fn n
n
Dabei kennzeichnen Fn die Eigenwerte des Operators
ˆ =∑ n E n
Beispiel: H
n
F̂ .
n
Für den Erwartungswert eines Operators gilt:
Fˆ = Ψ Fˆ Ψ ( Erwartungswert im Zustand Ψ )
Der orthogonale Projektor lautet:
Pn = n n
P2 = P = P+
Damit gilt:
n Ψ
2
= Ψ n n Ψ = Ψ Pn Ψ
Die Wahrscheinlichkeit, den Messwert n im Zustand
Ψ zu treffen ist gleich dem Erwartungswert des
orthogonalen Projektors auf diesen Messwert im Zustand
Ψ .
Man kann sagen: Projektoren sind in der Hinsicht Observablen, dass sie die Wahrscheinlichkeit eines
Messwertes repräsentieren. Als relative Wahrscheinlichkeit für beliebig viele Messungen ist diese
Wahrscheinlichkeit prinzipiell messbar und damit ist die Wahrscheinlichkeit eines Messwerts selbst ein
Messwert und der Projektor, der Operator, dessen Eigenwerte diese Wahrscheinlichkeit darstellen, eine
Observable !
Quantisierung
Quantisierung ist das Aufstellen von Vertauschungsrelationen, wodurch die Algebra der Observablen festgelegt
wird.
Heisenberg: kanonische Vertauschungsrelationen:
[ pˆ i , xˆ k ] = h δik 1
i
3
Nichtvertauschbarkeit bedeutet quantenmechanische Unschärfe
[ ]
Fˆ , Gˆ = Aˆ ⇔
( )
2
∆Fˆ
( )
∆Gˆ
2
≥
Aˆ
2
Beispiel:
[ pˆ i , xˆ k ] = h δik 1 ⇔ (∆pˆ i )2
i
(∆xˆ k ) 2
≥
h
δik
2
Maximalmessung
Bedeutet die gleichzeitige Messung eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen.
In diesem Fall existiert ein gemeinsames System von Eigenvektoren zu diesen Observablen.
Dynamik
Ehrenfestsches Theorem ( klassische Mechanik):
d
dt
d
dt
1 ˆ
rˆ =
p
m
pˆ = − ∇ V ( r )
+
−1
Erwartungswerte sind invariant unter unitären Transformationen: U = U
è aus dieser Tatsache folgt die Äquivalenz zwischen Schrödinger- und Heisenbergbild
Schrödingerbild
ih
∂
Ψ
∂t
S
= Hˆ S Ψ
S
Hier sind die Operatoren zeitunabhängig und damit auch die Eigenvektoren. Die Zustände jedoch unterliegen
einer zeitlichen Entwicklung, die durch die Schrödingergleichung beschrieben wird.
Die Operatoren wohnen dem Messwert inne. Sie entsprechen dem Messmechanismus, der im Schrödingerbild
zeitlich konstant gehalten wird. Die Zustände entsprechen der Außenwelt die gemessen wird.
Im Heisenbergbild nimmt man folglich an, dass sich im Messgerät etwas ändert und die Außenwelt konstant
bleibt ! ( Diese Aussage sollte nicht zu ernst genommen werden !)
Heisenbergbild
Hier unterliegen die Operatoren einer zeitlichen Entwicklung. Dabei gilt für einen zeitabhängigen
Heisenbergoperator als Entwicklungszustand eines stationären Schrödingeroperators:
FˆH (t ) =
i ˆ
i
Ht
− Hˆ t
e h FˆS e h
mit
i ˆ
Ht
h
e
= U + (t ,0)
i
− Hˆ t
h
e
= U ( t ,0)
Diese Form des Zeitentwicklungsoperators erfüllt die Schrödingergleichung:
(
H ΨS = H U Ψ
t =0
) = ih∂ t (U Ψ t=0 ) = ih(∂ tU ) Ψ t =0 = ih ΨS
Die Zustände im Heisenbergbild selbst jedoch sind zeitunabhängig:
Ψ
H
= U + ΨS = U +U Ψ
t =0
=1Ψ
t =0
= Ψ
t =0
4
Für die Zeitentwicklung eines beliebigen Operators gilt außerdem:
[
d ˆ
i
FH (t ) = H , FˆH
dt
h
]
Wechselwirkungsbild
Hˆ = Hˆ 0 + Hˆ 1
i ˆ
H 0t
i
− Hˆ 0 t
h
FˆW (t ) = e h
FˆS e
∂
Ψ
∂t
= Hˆ W 1 Ψ
ih
W
[
d ˆ
i
FW (t ) = H 0 , FˆW
dt
h
W
]
Man kann sagen: Ein Bild entspricht einer mehr oder weniger willkürlichen Zerlegung des Hamiltonoperators.
Man teilt die Dynamik auf eine Dynamik der Innenwelt ( Operator) und der Außenwelt ( Zustand) der Messung
auf.
Die Störung des ungestörten Hamiltonian bestimmt die Dynamik der Zustände. Der ungestörte Hamiltonian
dagegen bestimmt die Dynamik der Operatoren. Die Dynamik der Zustände wird durch die Differenz zwischen
H und Ho bestimmt, also durch den Störoperator. Die Innenweltdynamik entspricht also dem ungestörten
Hamiltonian.
[
d ˆ
i
FW (t ) = H 0 , FˆW
dt
h
]
Das ungestörte Messgerät entspricht einer Zeitentwicklung INNERHALB des Messgerätes. Dies Zustände sind
ohne Störung zeitlich konstant. Die Störung dagegen wirkt als Zeitentwicklung auf die Zustände, unterliegt aber
keiner zeitlichen Dynamik INNERHALB des Messgerätes, ist als Observable selbst also zeitlich konstant. Sie
wirkt nur zeitabhängig auf die Zustände, die sich dadurch , genau dadurch zeitlich verändern:
ih
∂
Ψ
∂t
W
= Hˆ W 1 Ψ
W
Das heißt, wenn die Störung verschwindet, so geht das Wechselwirkungsbild ins Heisenbergbild über !
Drehimpuls und kugelsymmetrische Potenziale
Ein Potenzial sei kugelsymmetrisch: V( r), dann gilt:
è H ist rotationsinvariant, da sich die potenzielle Energie nicht ändert
è Drehimpulserhaltung
è
[H , L ] = [H , L ] = 0
2
3
Darstellungsfreie Berechnung der Drehimpulseigenwerte:
L± = L1 ± iL 2
Leiteroperatoren ( nicht hermitesch)
5
Aus der Leitereigenschaft und der Beschränktheit des Spektrums
L2 ≥ L3 ≥ 0 wegen L = L+
a ≥ b2 ≥ 0
Eigenwerte von
L2 und L3
und wegen der Eindeutigkeit des Grundzustands:
L− bmin = L+ bmax = 0
L+ L− bmin = L− L+ bmax = 0
folgt mit Hilfe von
L+ L− = L2 − L3 2 − hL3
L− L+ = L2 − L3 2 + hL3
dass:
L2 lm = h 2 l ( l + 1) lm
L3 lm = hm lm
mit l= 0, 1/2, 1, 3/2, ....
m = -l, -l+1, ..., l-1, +l
Zusammenfassung
Bei kugelsymmetrischen Potenzialen existieren vertauschbare Observablen:
H, L² und L3,
dabei vertauschen auch L1 und L2 jeweils mit H und L², nicht jedoch untereinander !
[L j , Lk ] = ihε jkl Ll ⇔ L × L = ihL
Also existieren gemeinsame Eigenzustände zu H, L² und L3
6
Quantisierung
L± = L1 ± iL 2 als Leiteroperatoren
L± lm ~ l , m ± 1
Daraus folgt:
L2 lm = h 2 l ( l + 1) lm
L3 lm = hm lm
mit l= 0, 1/2, 1, 3/2, ....
m = -l, -l+1, ..., l-1, +l
è Weitere Einschränkung:
Bahndrehimpuls
L =r × p
Somit müssen die Eigenwerte:
l = 0,1,2,3,4,...
m = −l ,−l + 1,..., l − 1, l
Grund: Konsistenz mit den Eigenwerten des Orts- und Impulsoperators.
Prinzipiell, aus der obigen Ableitung kann jedoch l nur auf halbzahlige Werte eingeschränkt werden
è Drehimpulse sind prinzipiell Vielfache von 1/2 !
è Bahndrehimpulse dagegen sind ganzzahlig. Dies ist notwendig wegen der 360 ° - Symmetrie !
In Kugelkoordinaten:
Ψlm ( r ,ϑ, ϕ) = e im ϕ f lm (r , ϑ)
m = −l ,..., l
Eindeutigkeit:
e im ϕ = e im (ϕ +2π )
⇒ m∈Z
⇒ Für Bahndrehimpulse sind nur GANZZAHLIGE l-WERTE zulässig.
Mit diesen Angaben ( mit Hilfe der Algebra alleine) können nun die Eigenzustände konstruiert werden.
Also das gesuchte gemeinsame Eigenzustandssystem für H, L² und L3
Eigenwertproblem in Wiederholung / ähnlicher Zugang:
Die gemeinsamen normierten Eigenvektoren
a, m von L̂2 und L̂3 gehorchen den Eigenwertgleichungen
Lˆ2 a, m = ah 2 a, m
Lˆ 3 a, m = mh a , m
Da
L̂ hermitesch ist, gilt:
3
ah 2 = a, m Lˆ 2 a, m = ∑ a , m Lˆ i + Lˆ i a, m
i =1
a, m Lˆ i + Lˆi a , m := Φ Φ ≥ 0
3
ah 2 = a, m Lˆ 2 a, m = ∑ a , m Lˆ i + Lˆ i a, m ≥ a , m Lˆ 3 2 a, m ≥ 0
i =1
2
a, m Lˆ 3 a , m = m h
2 2
→ ah 2 ≥ m 2 h 2 ≥ 0
7
Setze
a, m = u
Betrachte:
Lˆ3 Lˆ ± u = Lˆ ± Lˆ3 u ± hLˆ ± u
[Lˆ3 , Lˆ± ] = ±hLˆ±
Lˆ3 Lˆ ± u = Lˆ ± u (m ± 1)h
Lˆ3 Lˆ ± u = (m ± 1)h Lˆ ±u
Also:
L̂± sind die Auf- und Absteigeoperatoren im Spektrum von Lz
Satz:
( )
( )
q
q
Lˆ 3 Lˆ ± u = (m ± q )h Lˆ ± u
q = 0,1, 2,3...
L̂± im Spektrum von L² ?
Lˆ2 Lˆ ± u = Lˆ ± Lˆ2 u
Was machen die
Lˆ ± Lˆ 2 u = Lˆ ± ah 2 u
Lˆ2 Lˆ ± u = ah 2 Lˆ ±u
Satz:
( )
( )q u
q
Lˆ2 Lˆ ± u = ah 2 Lˆ ±
ah 2 ≥ m 2 h 2 ≥ 0
⇒ a ≥ m2 ≥ 0
⇒ a≥m≥− a
Das Spektrum von L̂3 ist nach oben und nach unten beschränkt:
3
ah 2 = a, m Lˆ 2 a, m = ∑ a , m Lˆ i + Lˆ i a, m
i =1
a, m Lˆ i + Lˆi a , m := Φ Φ ≥ 0
3
ah = a, m Lˆ 2 a, m = ∑ a , m Lˆ i + Lˆ i a, m ≥ a , m Lˆ 3 2 a, m ≥ 0
2
i =1
2
a, m Lˆ 3 a , m = m h
2 2
→ a≥m≥− a
Also existiert ein größter Eigenwert
mmax = m0 + nmaxh und ein kleinster Eigenwert mmin = m0 − k maxh
mit
Lˆ + a , mmax = Lˆ − a, mmin = 0
Daraus folgt:
(
= (Lˆ
)
+ hLˆ ) a, m
(
= (a − m
)
0 = Lˆ − Lˆ + a , mmax = Lˆ 2 − Lˆ 3 2 − hLˆ 3 a, mmax = a − mmax 2 − hmmax h 2 a, mmax
0 = Lˆ + Lˆ − a , mmin
2
− Lˆ 3 2
3
min
2
min
)
+ hmmin h 2 a, mmin
8
Also:
a = mmax2 + hmmax = mmin 2 − hmmin
Andererseits existiert ein
Also:
( )n a, mmin
n ∈ N 0 mit a , mmax = Lˆ +
mmaxh = mmin h + nh
Setzt man dies in
ah 2 = h 2 mmax2 + h 2 mmax = h 2 mmin 2 − h 2 mmin ein, so folgt:
h 2 mmin 2 + 2nh 2 mmin + n 2h 2 + h (hmmin + nh ) = h 2 mmin 2 − h 2 mmin
2 nh 2 mmin + n 2 h 2 + h(h 2mmin + nh ) = 0
⇒ mmin h = −
n( n + 1) h 2
n
= − h =: −l h
2(n + 1)h
2
mit
l :=
n
, n ganzzahlig
2
Somit:
ah 2 = h 2 mmin (mmin − h ) = (− l )(− l − 1)h 2
a = l (l + 1)
mmaxh = mmin h + 2l h = lh
mmin h = −lh
Mögliche Eigenwerte von
L̂2 : ah 2 = l (l + 1)h 2
n∈N
1 3
⇒ l = 0, ,1, ,...
2 2
Mögliche Eigenwerte von
L̂3 für festes l:
mh
mit
m = −l ,−l + 1,−l + 2,..., l − 2, l − 1, l
m=-l -> gehört zu bmin
m=+l -> gehört zu b max
Es können keine weiteren Eigenwerte von
L̂3 zwischen diesen Werten liegen, weil man sonst durch wiederholte
L̂+ bzw. L̂− die Schranken m ≤ l verletzen könnte.
Zu jedem l gibt es 2l + 1 Werte von m:
2
Dies entspricht der 2l + 1 - fachen Richtungsentartung von L̂
Das bedeutet: es existieren zu jedem l 2l + 1 Zustände mit gleicher Energie !
Anwendung von
Denn: entartete Zustände haben gleiche Energieeigenwerte !
9
Tabelle:
Quantenzahlen
Eigenwert von
Richtungsquantenzahl m
l
L̂
h l (l + 1)
m
0
0
0
1
2
1
3
2
h
3
4
h 2
15
h
4
1 1
,+
2 2
− 1,0,1
−
−
3 1 1 3
,− , ,
2 2 2 2
Lˆ2 l , m = h 2l (l + 1) l , m
Lˆ3 l , m = hm l , m
Diracsches Vektormodell:
Darstellung der Richtungsquantisierung:
m=1/2 -> Der Drehimpuls steht parallel zur x3- Achse
m=-1/2 -> der Drehimpuls steht antiparallel zur x3- Achse
10
Zur Übung ist zu zeigen:
l , m Lˆi l , m = 0 für i=1,2
(
l , m Lˆi − Lˆi
)
2
l , m = 0 soll berechnet werden
Nebenbemerkung: Die Drehimpulsquantisierung ist eine Folge der Nichtvertauschbarkeit der einzelnen
Komponenten des Drehimpulses !
Grundsätzlich gilt: Unschärfe / Nichtvertauschbarkeit bedingt die Quantisierung und umgekehrt. Die beiden
Effekte hängen über den Formalismus zusammen !
Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses
h
r pˆ l , m = ∇Ψlm (r )
i
r r l , m = r Ψlm ( r )
Lˆ = rˆ × pˆ
ergibt:
h
r Lˆ3 l , m = ( xˆ1∂ 2 − xˆ 2 ∂1 )Ψlm ( r ) = hmΨlm ( r )
i
In Kugelkoordinaten:
x1 = r sin ϑcos ϕ
x 2 = r sin ϑsin ϕ
x3 = r cos ϑ
x1∂ 2 − x 2 ∂1 =
⇒
∂
∂ϕ
h ∂
Ψlm (r , ϑ, ϕ) = hmΨlm ( r ,ϑ, ϕ) Eigenwertgleichung für L̂3 .
i ∂ϕ
Lösung
Ψlm ( r ,ϑ, ϕ) = e im ϕ f lm (r , ϑ)
m = −l ,..., l
11
Eindeutigkeit:
e im ϕ = e im (ϕ +2π )
⇒ m∈Z
⇒ Für Bahndrehimpulse sind nur GANZZAHLIGE l-WERTE zulässig.
Ergebnis: Ortsdarstellung der Eigenzustände
r nlm = Ψnlm = Rnl ( r )Yl m (ϑ, ϕ)
Hamiltonoperator:
h

r ⋅ p r ⋅ p + 

p
i
L2
1  h 2 ∂2
L2

H =
+ V (r) =
+
+ V (r) =
(rΨ ) +
+ V (r)
−
2
2m
2m  r ∂r 2
2 mr 2
2mr 2
 2mr
2
−
h2 ∂ 2
(rΨ ) = p r 2 Ψ
2
r ∂r
Aber:
−
h 2 ∂2
(r ⋅ p ) 2 wie im Klassischen
2
(
r
Ψ
)
=
p
Ψ
≠
r
r ∂r 2
r2
Mit Hilfe des Separationsansatzes kann man eine radiale Schrödingergleichung mit effektivem Potenzial
hinschreiben:
−
 h 2 l ( l + 1)

h2 d 2

( rRnl ) = 0
(
rR
)
+
+
V
(
r
)
−
E
nl
 2mr 2

2m dr 2


mit dem Zentrifugalpotenzial:
h 2 l (l + 1)
2mr 2
zusammengefasst: effektives Potenzial:
Veff . ( r ) =
h 2 l (l + 1)
2 mr 2
+ V (r )
Spin
Aus den Drehimpulsvertauschungsrelationen folgt:
1 3
l = 0, ,1, , 2,...
möglich
2 2
m = −l ,−l + 1,..., l − 1, l
1
ˆ
Für den Spin S bei s =
2
existieren die Eigenwerte
ms = ±
1
2
+
1
= ↑
2
−
1
= ↓
2
Das bedeutet, der Spin ist ein Zwei- Zustands- System:
Somit:
ms ∈ H s , ein zweidimensionaler Hilbertraum
12
Operator: ist der dimensionslose Spinoperator
2
σˆ := Sˆ
h
⇒ σˆ 3 ↑ = ↑
σˆ 3 ↓ = − ↓
Weiter gilt:
σˆ 1 ↑ = ↓
σˆ 1 ↓ = ↑
Spin- flip- Operator
und
σˆ 2 ↑ = i ↓
σˆ 2 ↓ = −i ↑
Die Vertauschungs- Relation:
[σˆ j ,σˆ k ] = 2iε jklσˆ l
↑ ↑ = ↓ ↓ =1
Orthonormierung:
Vollständigkeit :
↑ ↓ =0
↑ ↑ + ↓ ↓ =1
Darstellung der Spinoperatoren durch Matrizen:
0 1
σˆ 1 = 

1 0 
0 −i 
σˆ 2 = 

i
0


1 0 
σˆ 3 = 

 0 − 1
 1
  = ↑
 0
Mit
 0
  = ↓
 1
Die in 2x2- Darstellung gezeigten Matrizen sind die Pauli- Spinmatrizen
Spin- Bahn - Produktzustände
nlmms = nlm ms Produktzustand aus Bahnzustand und Spinzustand
nlm ms ∈ H B × H s direktes Produkt
n´l´m´ms ´ nlmms = n´l´m´ nlm m s ´ ms
n´l´m´ nlm
ms ´ ms
inH B
inH s
Hˆ = Hˆ B + Hˆ S
13
mit
(Hˆ B × 1S + 1B × Hˆ S ) Ψ
= ih
∂
Ψ
∂t
Dabei gilt:
2
1 ˆ
pˆ 2
eB ˆ
ˆ

ˆ
HB =
+ V (r ) −
L3
 p − eA  + V ≈

bildet im Hilbertraum HB ab ( also im
2m0 
2 m0
2m0
H B → HB
Bahndrehmimpuls- Hilbertraum !
2
pˆ
+ V ( r ) = Hˆ 0
Dabei: 2m 0
HB → HB
und
eB
Hˆ S = −
hσˆ 3
2 m0
HS → HS
In Matrix- Darstellung folgt dann:
 Hˆ B + hωl


0

 Ψ1 
0
∂ Ψ 

 = ih  1 
∂t  Ψ2 
Hˆ B − hωl  Ψ2 
(Zeitabhängige Pauli- Gleichungen)
Anwendung: Zeeman- Effekt mit Spin
µB B = hωl =
e hB
2m0
Zeitunabhängige Pauli- Gleichungen
(Hˆ B + hωl ) n, l , m, ↑
(Hˆ B − hωl ) n, l, m, ↓
= E n, l , m, ↑
= E n, l , m, ↓
⇔ [H 0 + µB B( m + 2mS )] n, l , m, mS = E n, l , m, mS
mit
H 0 n, l , m = E nl n, l , m
E = E nl + µB B( m + 2mS )
Man erhält also sehr schnell ein Ergebnis für die Aufspaltung der atomaren Energieniveaus:
E = E nl + µB B( m + 2mS )
Dabei wir die Entartung teilweise aufgehoben
Spindynamik
i
σ& = [H S , σ ] = iωl [σ3 , σ ] im Heisenberg- Bild
h
⇒ σˆ 1 t = σˆ 2 0 sin( 2ωl t ) + σˆ 1 0 cos(2ωl t )
σˆ 2
t
= σˆ 21
σˆ 3
t
= σˆ 3
0
cos (2ωl t ) − σˆ 1
0
sin (2ωl t )
0
14
Für die Spin- Eigenzustände
m S gilt:
σˆ 1
0
= σˆ 2
σˆ 3
0
= ±1
0
=0
Die Spin- Eigenzustände sind also stationär, das heißt: Es existiert keine Dynamik in den Pauli- Matrizen
Für eine spezielle Präparation der Anfangsbedingungen ( kein Eigenzustand) gilt:
Spinpräzession ! Der Spin präzediert -> vergl. kohärente Zustände
15
Quantenmechanik
Einleitung
Inhalt im Grundstudium
Schrödingersche Wellenmechanik
einfache Anwendungen ( eindimensionaler Oszi im unendlich tiefen Potenzialtopf, Potezialschwelle, H- Atom)
Inhalt im Hauptstudium
-
Ausbau des math. Formalismus ( Operatoren, Zustände, Hilbertraum, Darstellungen, Bilder)
weitere Anwendungen ( dreidimensionale Probleme, Mehrteilchen- QM, Spin und Systeme identischer
Teilchen, Näherungsmethoden, Atom- und Molekülphysik, nichtstationäre Probleme, Streutheorie)
Erweiterung der Theorie ( Feld- oder 2. Quantisierung, relativistische Quantenmehanik)
Phänomene, die die klassische Physik nicht erklären kann:
-
makroskopische Systeme:
( Gase, Flüssigkeiten, Festkörper)
Energieverteilung der Strahlung schwarzer Körper
Thermodynamisches Verhalten bei niedrigen Temperaturen ( spezifische Wärme von Festkörpern)
Schallphänomene in Festkörpern ( Phononen)
Ferromagnetismus
Supraflüssigkeit ( He-4)
Supraleitung
Josephson- Effekt ( Tunneln)
Quanten- Hall Effekt ( Nobelpreis 1985: von Klitzing)
Elektronenmikroskop ( Ruska)
Raster- Tunnelmikroskop( Binning und Rohrer, Nobelpreis 1986)
Hoch- Temperatur- Supraleitung ( Bednorz und Müller, Nobelpreis 1987)
-
Chemie- und Molekülphysik
-
Periodensystem der Elemente
Molekülspektren
Chemische Bindung
Atomphysik
-
Atomspektren
Größe und Stabilität der Atome
photoelektrischer Effekt
Kernpyhsik
-
Kernspektren
Kernreaktionen
radioaktiver Zerfall
Die Schrödingersche Wellenmechanik
Historisch
-
bis 1900: Klassische Physik
Eine Erweiterung der klassischen Physik wurde notwendig, da einige experimentelle Fakten nicht zu
verstehen sind
1900: Planck
-
Hohlraum- Strahlungsformel.
16
-
Dabei erste Quantenhypothese: Energie Austausch zwischen Materie und Strahlung im thermodynamischen
Gleichgewicht erfolgt in Quanten mit Energie E = hν
h = 6,6 ⋅ 10 −34 Js Plancksches Wirkungsquantum
1905: Einstein
Photoeffekt: Photonen als Lichtquanten mit der Energie
und dem Impuls p = hk ( Compton 1925)
E = hν
Beim Photoelektrischen Effekt werden trotz eintreffender Photonen zunächst gar keine Elektronen emittiert. Erst
ab einer gewissen Schwellfrequenz des eingestrahlten Lichtes, nicht jedoch ab einer gewissen Schwellintensität
kommt es dann zur Emission von Elektronen. Deren kinetische Energie steigt jedoch nicht mit der Intensität der
eingestrahlten Photonen sondern hängt lediglich von der Frequenz des eingestrahlten Lichtes ab.
1912/13: N. Bohr
-
Energieterme des Atoms
Rutherford zeigt 1911 durch Streuung von α - Teilchen die Existenz von positiv geladenen Atomkernen mit
sehr kleinem Radius.
Modell: Elektronen kreisen um den Kern. Klassische Elektrodynamik fordert jedoch die Abstrahlung von
Energie bei beschleunigten Ladungen. Dann müssten die Elektronen spiralförmig in den Kern stürzen.
-
Bohrs ad hoc Postulat: Stabile Bahnen mit diskreten Energien sind möglich:
Energie: E n
-
Strahlung:
hν = E2 − E1 bei Übergang E2 → E1
Quantenbedingung:
∫ pdq = 2πpϕ = nh , n aus ganzen Zahlen
Wir erinnern uns: Dies entspricht einer Transformation der klassischen Hamiltonfunktion auf
Wirkungsvariablen!
Man bekommt eine Quantisierungsbedingung, wenn man fordert, dass der Drehimpuls auf den Bahnen
quantisiert ist ! Dies war das eigentliche ad- hoc- Postulat von Bohr.
Seine Metapher war: Es existieren nur Bahnen, auf denen ein halbzahliges Vielfaches der Elektronenwellenlänge
untergebracht werden kann, um die Elektronenwelle auf der Bahn stetig schließen zu können ! ( dazu existieren
schöne, veranschaulichende Bildchen mit ganzen Wellen auf den äußeren Bahnen !)
Aus den Gesetzen der klassischen Mechanik folgt dann aus dieser Quantisierungsbedingung für den Drehimpuls
eine Quantisierungbedingung an die Energie:
En = −
Z 2e2
a B 2n 2
mit dem Bohrschen Radius
aB = −
h2
me e 2
17
Wir stellen analog zur Darstellung der kinetischen Energie in der Hamiltonschen Mechanik fest: Der
Hamiltonoperator kann dargestellt werden:
pˆ 2
Lˆ2
pˆ r 2
H =
+ V (r ) =
+
+ V (r )
2m
2mr 2 2 m
1924 L. de Broglie: Materiewellen
Beliebigen , freien Teilchen wird mittels der Beziehungen
über
k =
E = hν und p = hk eine Frequenz ω = 2πν und
2π
eine Wellenlänge ( De- Broglie- Wellenlänge) zugeordnet.
λ
Ganz in Analogie zum Licht
Dispersionsbeziehung der De- Broglie Welle:
nichtrelativistisch
relativistisch
p2
= hω(k )
2m
hk 2
ω(k ) =
2m
E = m0 2 c 4 + c 2 p 2
E=
ω(k ) =
1
m0 2 c 4 + c 2 h 2 k 2
h
Mit der Teilchengeschwindigkeit v ergibt sich:
p = mv
m0 v
p=
1−
v2
c2
E=
m0 c 2
1−
v2
c2
Phasengeschwindigkeit der de Broglie Welle:
v ph :=
ω hk v
=
=
k 2m 2
v ph :=
ω E c2
= =
>c
k
p
v
v ph = v = c für Photonen im Vakuum
Gruppengeschwindigkeit:
vGr :=
dω hk
=
=v
dk
m
vGr :=
dω c 2 k c 2
=
=
=v
dk
ω
v ph
Die Gruppengeschwindigkeit der De- Broglie- Wellen ist also gleich der Teilchengeschwindigkeit
Für ebene Wellen gilt:
vGr :=
dω ω
= = v ph
dk k
für ebene Wellen im Vakuum ist die Frequenz also linear von der Wellenzahl abhängig ! Dies gilt nicht mehr im
Medium !
18
Experimenteller Nachweis
-
Elektronenstrahlen zeigen Interferenz, also eindeutige Welleneigenschaften ( Davisson, Germer, 1927, Rupp
1928)
Aus einer Glühkathode mit Beschleunigungsspannung fliegen die Elektronen auf die Probe, eine Metallfolie mit
Gitterkonstante a. Dabei zeigen sich Bereiche konstruktiver Interferenz auf dem Fluoreszenzschirm.
Die Bedingung für konstruktive Interferenz ( Nebenmaxima) ist:
a sin ϑ = nλ
Anwendung: Elektronenmikroskopie
Doppelspaltexperiment:
Im Fall a) und b) wird nur ein Spalt freigegeben.
Die Intensität der Schwärzung:
2
ρ( x , t ) ~ Ψ( x , t ) folgt einer Gaußverteilung.
Der Aufbau wird derart realisiert, dass jedes Elektron einen lokalisierten Lichtblitz erzeugt.
ρ( x , t ) ist also nicht als Materiedichte sondern als WSK- Dichte, das Teilchen am Ort x zur Zeit t anzutreffen,
zu interpretieren.
Die Häufigkeitsverteilung de Auftreffens ergibt dann das Beugungsbild.
Dies ist wesentlich. Es handelt sich eben nicht um Interferenz gleichzeitig propagierender Elektronen. Selbst mit
einzelnen Elektronen ergibt sich das gezeigte Bild.
Im Fall c), wenn beide Spalte offen sind, kommt es gerade zu der angesprochenen interferierenden Verteilung.
Dabei gilt:
ρ( x , t ) ~ Ψ A ( x , t ) + ΨB ( x , t )
2
19
Dies ist das Superpositionsprinzip mit der Interpretation des Betragsquadrats als Wahrscheinlichkeit. Aus diesen
beiden Axiomen folgt die Interferenz der Quantenmechanik ! Das Superpositionsprinzip folgt aus der Linearität
der Schrödingergleichung !
Zusammenfassung: Welle- Teilchen- Dualismus ( ohne äußere Potenziale)
Wellenexperimente
ω, k
Licht: klassisch als Welle verstanden:
ω= ck
Elektron: quantenmechanische Vorstellung einer Welle:
ω(k ) =
hk 2
2m
ω=
E
h
k =
p
h
Teilchenexperimente ( Photoeffekt, Comptoneffekt)
E = hω
p = hk
E = cp
nicht klassisch bei Licht:
klassisch bei Elektronen:
E, p wie bei Teilchen: E =
p2
(nichtrelativistisch)
2m
Weitere Entwicklung
1925: Schrödinger E.: Wellen- Mechanik
Schrödingergleichung:
ih
∂
h2
Ψ = HΨ = −
∆Ψ + V ( r ) Ψ
∂t
2m
Dies entspricht einer nichtrelativistischen Wellengleichung für die Wellenfunktion
Ψ (r , t )
1925: Heisenberg: Matrizenmechanik
Entwicklung der kanonischen Vertauschungsrelationen für die kanonische Variable
q , entsprechend q = r ,
p = Impuls:
[ p k , q l ] := h δkl
i
Ort und
Interpretation von p und q als unendlichdimensionale Matrizen ( in der heutigen Sprache: lineare Operatoren im
Hilbertraum).
Ab 1925: Quantentheorie ( Kopenhagener Deutung)
1927: Max Born: Statistische Interpretation der Wellenfunktion: Betragsquadrat ist
Aufenthaltswahrscheinlichkeit
1932: J. v. Neumann: Äquivalenz von Wellen- und Matrizenmechanik
Dirac, P.: Relativistische Quantentheorie
R. Feynman: Quantenelektrodynamik
20
1.2 Kräftefreie Schrödingergleichung ( Keine äußeren Potenziale)
Die Bewegungsgleichung für die Materiewellenfunktion
Ψ ( r , t ) soll die folgenden Postulate erfüllen:
Ψ ( r , t ) durch die Anfangsverteilung
Ψ (r ,0) bestimmt ist ( der qm. Zustand ist vollständig durch Ψ ( r , t ) festgelegt).
2. Sie soll linear in Ψ ( r , t ) sein, damit das Superpositionsprinzip gilt. Außerdem soll sie homogen sein.
1.
Sie soll eine DGL 1.Ordnung in der zeit sein, damit
Durch das Superpositionsprinzip sind Linearkombinationen von Lösungen wieder Lösungen. Damit werden die
Interferenzeffekte mathematisch greifbar.
3.
Die Gleichung soll keine speziellen Bewegungsgrößen wie
durch Überlagerung verschiedener
E, p enthalten. Nur so können Wellenpakete
p - Werte gebildet werden.
hk 2
4. Ebene Wellen: Ψ ( r , t ) = e
mit ω(k ) =
sollen Lösung sein. Dabei gilt
2m
hk 2
p2
ω(k ) =
wegen des Zusammenhangs E = hω, p = hk , E =
2m
2m
i (k r −ωt )
Somit auch für Photonen:
E = pc = hω, p = hk
ω
⇒ =c
k
Also ergibt sich:
∂
k2
i h2
Ψ = −i ωΨ = −i h
Ψ=
∆Ψ
∂t
2m
h 2m
Also:
ih
∂
h2
Ψ=−
∆Ψ
∂t
2m
Dies ist die freie, zeitabhängige Schrödingergleichung
Bemerkungen
1.
Die physikalische Bedeutung der Wellenfunktion
Teilchen zur Zeit t im Volumen d³r am Ort
2
Ψ ( r , t ) : Ψ( r , t ) d 3 r ist die Wahrscheinlichkeit, das
r zu finden.
Ψ ( r , t ) = Ψ ( r , t ) e i ϕ ( r,t ) wird Wahrscheinlichkeitsamplitude genannt. Sie ist komplex und besteht aus
Betrag und Phase.
Dabei sind die relativen Phasen in Interferenzexperimenten beobachtbar.
2
Ψ( r , t ) ist die
Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte.
∫V
2
Ψ (r , t) d 3 r = 1
2.
Normierung:
3.
Die Schrödingergleichung ist ZEITUMKEHRINVARIANT, das heißt zu jedem Bewegungsablauf
2
2
Ψ( r , t ) ist auch der zeitumgekehrte Ψ( r ,−t ) ein physikalisch möglicher Vorgang:
21
Die Transformationsvorschrift lautet:
Also: Ψ ( r , t ) →
Beweis:
ih
Ψ * ( r ,−t )
t − > −t
i − > −i
∂
h2
Ψ=−
∆Ψ werde gelöst von Ψ ( r , t )
∂t
2m
Die ganze Gleichung kann natürlich komplex konjugiert werden:
− ih
∂
h2
Ψ* = −
∆Ψ *
∂t
2m
Ersetzt man nun t durch -t, so folgt:
ih
∂
h2
Ψ * ( r ,−t ) = −
∆Ψ * ( r ,−t )
∂t
2m
Also:
Mit
Ψ ( r , t ) ist auch Ψ * ( r ,−t ) Lösung der Schrödingergleichung
Zu Punkt 3: Mathematisch bedeutet dies: Alle Transformationen müssen unitär sein ! Physikalisch sind nur
unitäre Transformationen, weil man sonst durch Zeitumkehr nicht wieder in den Ausgangszustand zurückkommt
!
Wellenpakete
i (kx−ω t )
Ebene Wellen der Form Ψ ( r , t ) = Ce
haben eine räumlich homogene Wahrscheinlichkeitsdichte |C|²,
falls dieser Vorfaktor nicht vom Ort abhängt ( im Gegensatz zu Kugelwellen).
Die Phase verschwindet bei Betragsbildung völlig !
Lokalisierte Zustände können grundsätzlich durch die Superposition ebener Wellen dargestellt werden:
~
Ψ ( r , t ) = ∫ Ψ( k )e i ( k r −ωt ) d 3k
ω(k ) =
hk 2
2m
Man kann sich derartige Wellenpakete veranschaulichen:
eindimensional:
Die Phase kx-w(k)t kann nun um k=ko entwickelt werden:
22
ω(k ) = ω( k 0 ) +
dω
( k − k 0 ) + ....
dk k 0
Dabei sei:
ω(k 0 ) := ω0
( k − k 0 ) := k´
dω
= vg
dk k 0
Somit folgt für obige Wellenfunktion ( unser Paketchen):
~
i [( k + k ´) x −(ω 0 + vg k´)t ]
Ψ ( r , t ) = ∫ dk´Ψ( k 0 + k ´)e 0
~
ik ´[x − vg t ]
Ψ ( r , t ) = e i (k 0 x −ω 0 t ) ∫ dk´Ψ (k 0 + k´)e
Dabei stellt
e i ( k0 x −ω0 t ) ein Trägerwelle mit der Phasengeschwindigkeit v Ph =
und
ik ´[x −v g t ]
~
∫ dk´Ψ(k0 + k´)e
ist, da ja nur die Terme mit
ω0
dar.
k0
repräsentiert eine Einhüllende A(x,t), die langsam zeit- und ortsveränderlich
k´ << k 0 nennenswerte Beiträge zum Integral liefern.
Wegen der Taylorentwicklung ,macht dieser Schritt jedoch nur Sinn für Systeme, die um k0 lokalisiert sind !
Also für impulsmäßig lokalisierte Systeme ( endliche Farbbandbreite eines Lichtpulses etc...).
Grafisch:
Bewegung der Einhüllenden:
Setze:
A( x, t ) =
~
∫ dk´Ψ(k 0 + k ´)e
ik ´[x −v g t ]
= const
Dies gilt jedoch nur infinitesimal. Man kann jedoch das MAXIMUM von A(x,t) wählen:
dA( x , t ) =
∂A( x, t )
∂A( x , t )
dx +
dt
∂x
∂t
23
~
ik ´[x − v g t ]
dA( x , t ) = ∫ dk´Ψ( k 0 + k´)e
ik´dx − ik ´v g dt = 0
{
}
Dies jedoch bedingt:
{ik´dx − ik´v g dt} = 0 Also:
dx = v g dt ⇒
dx
dt
= vg
A = const
Jedenfalls bewegt sich der Schwerpunkt mit der Gruppengeschwindigkeit vg
vg =
hk
p
dω
= 0 = 0 = v als klassische Teilchengeschwindigkeit
dk k 0
m
m
Zeitliche Entwicklung der Einhüllenden:
Sei t=0
Ψ ( x ,0) =
∞
~
∫−∞ dkΨ (k )e ikx
Dies ist gerade die Fourierdarstellung mit der Fourier- Transformierten
~
Φ ( k ) = 2πΨ (k ) :
1 ∞
Φ(k ) =
dxΨ( x,0)e −ikx
∫
−
∞
2π
Interpretation der Unschärferelation: je schärfer lokalisiert im k- Raum das Wellenpaket ist, desto breiter ist es
im x-Raum und umgekehrt. Dies ist jedoch eine ganz allgemeine Eigenschaft der Fouriertransformation.
Beispiel: Stufenfunktion ( rec-Func)
1
~
Ψ (k ) =
2π
∆x
2
∫ dxe
−
∆x
2
−ikx
=
∆x
e −ikx 2
1
2π − ik
−
∆x
2
 ∆x 
sin  k 
∆x
 2 
=
2π k ∆x
2
Die Fouriertransformierte der Rec- Funktion ist als die Sincfunktion mit der inversen Breite der Spaltfunktion.
24
Denn:
∆x 
sin  k
 moduliert im k- Raum entsprechend schnell, wenn die Konstante ∆x entsprechend groß ist !
 2 
Für t>0 zerfließt das Wellenpaket, da sich die einzelnen k- Komponenten verschieden schnell ausbreiten:
v Ph =
ω
k
hk
Grund ist die nichtlineare Dispersionsbeziehung ω(k )
m
=
Das quantenmechanische Wellenpaket zeigt nun bereits im kräftefreien Fall Dispersion ( Im Gegensatz zu
elektromagnetischen Wellen im Vakuum).
Das heißt, beispielsweise ein lokalisiertes Gauß- Paket " zerfließt " bei Ausbreitung mit der
Gruppengeschwindigkeit vg.
Dies muss im Sinne von Wahrscheinlichkeit interpretiert werden. ( Interessantes Argument gegen Befürworter
einer Theorie von Materiedichte: Das Auseinanderlaufen des Paketes wäre ein Widerspruch zur Stabilität der
Materie !) Es handelt sich um eine Verbreiterung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit und nicht um ein Zerfließen
von Materie !!
Also: nicht die Materie ist hier diffus verteilt, sondern nur ihre Aufenthaltswahrscheinlichkeit !!
Makroskopische Objekte zerfließen auf sehr langer Zeitskala ! Auch hinsichtlich der
Aufenthaltswahrscheinlichkeit !
1.2 Schrödingergleichung mit äußeren Potenzialen
Für
Ψ ( r , t ) = e i (k r −ωt ) als Lösung der kräftefreien Schrödingergleichung gilt:
h
∇Ψ ( r , t ) = hk Ψ( r , t ) = pΨ( r , t )
i
Mit
p , dem Impuls des Elektrons nach De Broglie
Im kräftefreien Zustand Ψ erhält man also den Meßwert des Impulses
Impulsoperators
Die Gleichung
p durch die Anwendung des
h
∇ auf die Wellenfunktion
i
h
∇Ψ ( r , t ) = hk Ψ( r , t ) = pΨ( r , t ) ist eine Eigenwertgleichung des Impulsoperators:
i
pˆ Ψ( r , t ) = pΨ (r , t )
Somit sehen wir im quantenmechanischen Formalismus folgende Zusammenhänge:
Zusand -> beschrieben durch Wellenfunktion Psi ( beschreibt den Zustand vollständig)
Observable -> Beispiel: Impulsoperator
h
∇
i
Meßwert: -> Eigenwert eines Operators, beim Impuls:
Mittelwert vieler Messungen -> Erwartungswert:
hk = p ∈ R3 !
pˆ =
∫ Ψ *pˆ Ψd
3
r
3
R
Für einen Impuls- Eigenzustand:
∫ Ψ *pˆΨd
R3
3
r=
∫ Ψ *pΨd
R3
3
r = p ∫ Ψ *Ψd 3r = p
R3
25
Bemerkung:
Klassische Mechanik: Der Impuls ist Erhaltungsgröße, falls keine äußeren Kräfte wirken
Quantenmechanik: Der Impuls-Eigenzustand
Schrödingergleichung
Ψ ( r , t ) = e i ( k r − ωt ) ist lediglich Lösung der FREIEN
Operator der Energie/ Hamiltonoperator
2
1 2
1 h 
h2
Kinetische Energie: T =
p →
∆ =: Hˆ
 ∇ = −
2m
2m  i 
2m
Da die Energie erhalten bleibt gewinnt man eine stationäre Schrödingergleichung:
ĤΨ = EΨ
Die Bewegung des Zustandes wird wieder durch die Schrödingergleichung beschrieben:
ih
∂
Ψ = Hˆ Ψ
∂t
Diese ist jedoch die kräftefreie Schrödingergleichung.
Dies kann auf äußere Potenziale verallgemeinert werden: Wir ziehen die Analogie
Hamiltonfunktion --à Hamiltonoperator:
2
1 2
1 h 
h2
H ( p, q ) = T + V =
p + V ( q ) → Hˆ =
∆ + V (rˆ )
 ∇  + V ( rˆ ) = −
2m
2m  i 
2m
Die verallgemeinerte Koordinate q wird dabei durch den Orts- OPERATOR ersetzt .
also folgt:
ih
 h2

∂
Ψ( r , t ) = Hˆ Ψ(r , t ) =  −
∆ + V ( rˆ ) Ψ (r , t )
 2m

∂t


Dies ist die Schrödinger- Gleichung, ein Postulat, durch einen Analogieschluss motiviert.
Vielelektronensysteme:
Die klassische Hamiltonfunktion für ein System N gleicher Teilchen mit den Koordinaten
q1 ,..., q N und den Impulsen p1 ,..., p N lautet:
 1
 1
H ( p, q) = T + V = ∑ 
pi 2 + V ( qi )  + ∑ W ( qi − q j )
 2 i≠ j
i  2m
W sei dabei der Wechselwirkungsoperator ( noch unbekannt), so dass wir den Hamilton- Operator angeben
können:
 h2
 1
ˆ
H = ∑  −
∆ i + V ( ri )  + ∑ W ( ri − r j )
i  2m
 2 i≠ j
Es ergibt sich die Schrödingergleichung:
ih
∂
Ψ = Hˆ Ψ , deren Eigenfunktionen die Vielteilchenwellenfunktionen
∂t
Ψ ( r1 ,..., rN , t ) sind.
Die Wahrscheinlichkeit, zur Zeit t das Elektron i=1 in d³r1,....usw... und das Elektron i=N in d³rN anzutreffen
lautet:
2
Ψ( r1 ,..., rN , t ) d 3r1...d 3 rN
26
Also wird damit ein Gleichzeitiges Ereignis aller Elektronen beschrieben:
i = 1 an r1 ....
i = N an rN
Dabei wird jedoch die Ununterscheidbarkeit zunächst noch nicht berücksichtigt.
Merke:
2
Ψ(r ) ist eine Funktion, die Wahrscheinlichkeitsdichte, das Teilchen über dem Ort anzutreffen, an best. orten
anzutreffen. Es macht keinen Sinn, davon zu reden, wie große die Wahrscheinlichkeit ist, ein Teilchen am Ort
r anzutreffen. Diese Wahrscheinlichkeit ist immer NULL !!!
Das Elektron im elektromagnetischen Feld
Die Klassische Lagrangefunktion lautet:
L ( q , q& , t ) = T − V =
[
m 2
q& + e q& ⋅ A ( q , t ) − Φ ( q , t )
2
]
Das elektrische Feld lautet:
E = −∇Φ (q , t ) − A& ( q , t ) elektrisches Feld mit dem skalaren Potenzial Φ ( q , t )
Das magnetische :
B = ∇ xA (q , t ) magnetische Induktion mit dem Vektorpotenzial
und mit der Ladung e<0 im mks- System ! ( SI- Einheiten)
A( q , t )
Die klassische Hamiltonfunktion finden wir über die kanonisch konjugierten Impulse:
pi =
∂L (q , q& , t )
= mq& i + eAi (q , t )
∂q& i
1
⇔ q& = ( p − eA )
m
Dabei bezeichnet p − eA den kinetischen Impuls. p ist der kanonische Impuls ( eine zum Ort kanonisch
konjugierte Variable, kanonisch konjugiert <-> erfüllt Poissonklammerformalismus -> ist für den
Hamiltonformalismus geeignet !)
Es ergibt sich die klassische Hamiltonfunktion:
m
m
1
H ( p , q ) = p q& − L = T + V = (m q& + e A )q& − q& 2 − e (q& A − Φ ) = q& 2 + eΦ =
( p − e A )2 + e Φ
2
2
2m
Also können wir auch hier analog den Hamiltonoperator finden:
(
1 ˆ
Hˆ =
p − eA (rˆ , t )
2m
)
2
2
1 h

+ eΦ ( rˆ , t ) =
 ∇ − eA ( rˆ , t )  + eΦ (rˆ , t )
2m  i

Wir identifizieren:
eΦ ( rˆ , t ) = V ( r , t )
Dies ist ein schönes Ergebnis, weil eben, wie in der klassischen Hamiltonfunktion die Kräfte als Gradienten der
Potenziale folgen:
Fel . = −e∇Φ (rˆ , t )
Fmag. ( Lorentz) = qv × B
Diese Gleichung gilt natürlich nur für nichtrelativistische Elektronen,. Die Potenziale
vorgegeben. und sind nicht quantisiert
Φ , A werden von außen
27
Eichtransformation:
A´( r , t ) = A ( r , t ) + ∇ G( r , t )
Φ´(r , t ) = Φ ( r , t ) − G& ( r , t )
Dies ist eine zulässige Umeichung mit einer beliebigen , zweifach stetig diffbaren Funktion
Durch Einsetzen in
G( r , t)
E = −∇Φ (q , t ) − A& ( q , t )
B = ∇ xA (q , t )
zeigt sich
E = E´
B = B´
Jedoch muss die Wellenfunktion auch umgeeicht werden:
Ψ´(r , t ) =
e
i G( r ,t )
Ψ (r , t)e h
Die Beschränkung der Eichung auf Phasenfaktoren geschieht wegen der Eichinvarianz der
Wahrscheinlichkeitsdichte:
2
Ψ´(r , t ) = Ψ (r , t )
2
Beweis:
∂
∂
Ψ´= Hˆ ´Ψ´→ i h Ψ = Hˆ Ψ
∂t
∂t
e
e
i G (r ,t ) 
i G( r ,t )  h
h
h 


h
∇Ψ´(r , t ) = ∇ Ψ( r , t )e
=e h
 ∇Ψ( r , t ) + e(∇ G( r , t )) Ψ( r , t )
i
i 
i



Zeige:
1)
ih
e
2)
e
 h ∇ − eA´  Ψ´(r , t ) = e i h G (r ,t )  h ∇ − e ( A´−∇G( r , t )) Ψ( r , t ) = e i h G (r ,t )  h ∇ − eA Ψ ( r , t )






i

i

i

e
2
2
i G ( r ,t )  h
h


3)  ∇ − eA´  Ψ´(r , t ) = e h
 ∇ − eA  Ψ( r , t )
i

i

2
4)
e
2
i G (r ,t )  1  h
1 h



 ∇ − eA´  Ψ´(r , t ) + eΦ´Ψ´(r , t ) = e h
 ∇ − eA  + eΦ − eG& ( r , t )  Ψ( r , t )

2m  i


 2m  i

dabei:
2
1 h

 ∇ − eA´  Ψ´(r , t ) + eΦ´Ψ´(r , t ) = Hˆ ´Ψ´(r , t )
2m  i

 1 h



 ∇ − eA  + eΦ  Ψ( r , t ) = Hˆ Ψ ( r , t )

 2m  i

Schritt 4 repräsentiert die linke Seite der Schrödingergleichung. Gleichzeitig:
e
e
i G ( r ,t ) 
i G (r ,t )
∂
∂ 

h
& ( r , t ) + eG& Ψ( r , t )
5) ih
Ψ´(r , t ) = i h Ψ( r , t )e
ihΨ
= e h
∂t
∂t 


{
}
Da Gleichung4) und 5) gleich sein müssen folgt als Bedingung
& (r , t )
Hˆ Ψ ( r , t ) = i hΨ
28
Was ja gerade die nicht umgeeichte Schrödingergleichung ist.
Fazit: Die Schrödingergleichung ist eichinvariant, falls die Wellenfunktion gemäß
Ψ´(r , t ) =
e
i G( r ,t )
Ψ (r , t)e h
umgeeicht wird.
Einwurf bis Aharanov- Bohm -Effekt (kein Vorlesungsstoff !!)
Also: Die Quantenmechanik ist invariant gegen Phasenverschiebungen der Wellenfunktion ! Die Phase der
Wellenfunktion kann damit gar keine Observable sein ! ( absolut gesehen)
Interessanterweise wird in der Quantenfeldtheorie die Phase der Wellenfunktion als die kanonisch konjugierte
Variable zur Ladung aufgefasst. ( Es existiert also ein Posisonklammerformalismus. Die Phase ist ein
verallgemeinerter Ort und die Ladung der dazu verallgemeinerte kanonisch konjugierte Impuls).
Die Ladung ist grundsätzlich erhalten. Dies gilt ebenso wie beispielsweise die grundsätzliche Erhaltung der
Energie im Gesamtsystem. Nur durch nichtkonservative Potenziale kann die Energie dissipativ verloren gehen.
In einer Gesamtwellenfunktion, die auch die Energie, also die Teilchen der Umgebung beinhaltet, geht jedoch
keine Energie verloren. Dies kommt immer durch den entsprechenden Schritt zur Einschränkung auf ein
Untersystem, welches in Wechselwirkung mit dem anderen System steht ( Potenzial)
In diesem Sinne ist die Zeit als kanonisch konjugierte Variable zur Energie ( Energie- Zeit- Unschärfe,
heisenbregsche Bewegungsgleichung, Poissonklammerformalismus) auch nicht direkt beobachtbar. Wie man aus
der Einschränkung des Problems mit der Energiedissipation sieht, gilt dies jedoch eingeschränkt. Die Zeit ist in
gewisser Weise natürlich beobachtbar. Wir selbst machen dies als ein Lebewesen. Jedoch existiert kein
Zeitoperator. Eine absolute Zeit scheint nicht zu existieren in unseren Bezugssystemen.
Mit der Ladung scheint dies noch einsichtiger. Es gilt Ladungserhaltung. Grundsätzlich. Nur neue entstehende
Teilchen können die Ladung davontragen ( Autauschbosonen der schwachen Wechselwirkung) Die dazu
kanonisch konjugierte Phase ist jedoch nicht beobachtbar. Es existiert zu mindest kein hermitescher
Phasenoperator, der beobachtbare Eigenwerte besitzt.
Also: Die Phase ist nicht beobachtbar, die Quantenmechanik ist invariant gegen Phasenverschiebungen der
Wellenfunktion
Ψ´(r , t ) =
e
i G( r ,t )
Ψ (r , t)e h
( Mit der Einschränkung, dass wegen der Eindeutigkeit der
Wellenfunktion in geschlossenen Systemen die Phase dann um ganzzahlige Vielfache von 2π verschoben
werden muss, was trotz der Unbeobachtbarkeit der Phase dann auf die beobachtbare Quantisierung bestimmter
Observablen im entsprechenden Potenzial führt ( Elementarladungen, geschlossene Wellenfunktion im
Wasserstoffatom als Ansatz für die Impulsquantisierung, siehe unten beim Aharanov Bohm Effekt und der
Flussquantisierung).
Ψ´(r , t ) =
mit
e
i G( r ,t )
Ψ (r , t)e h
Ψ ( r , t ) = Ψ (r , t ) e iϕ und wegen [qˆ , ϕˆ ] ≠ 0 ( Quantisierungsbedingung, die
Poissonklammerformalismus dann gemäß Vertauschungsrelation erfüllt), zum Ausdruck der kanonisch
konjugierten Beziehung dieser Variablen, ist ϕ folglich unbeobachtbar und q grundsätzlich erhalten. Ebenso
stellt man dies für die Nichtexistenz eines hermiteschen Zeitoperators fest, der beobachtbare, reelle Eigenwerte
für eine absolute Zeit liefern sollte. Ebenso
[Eˆ , tˆ] ≠ 0 , also E, t- Unschärfe , wie q, ϕ - Unschärfe.
Hier kann man natürlich leicht nach weiteren Beispielen für absolute Erhaltungsgrößen und ihre zugehörigen
kanonischen Variablen suchen. Beispielsweise bei Leptonenzahl und Baryonenzahl. Diese sind auch absolut
erhalten. Oder die Anzahl der Leptonenfamilien ( Baryonenfamilienzahlerhaltung wird unter der schwachen
Wechselwirkung verletzt). Diese Verletzung wiederum gibt dann eine Nichterhaltung unter einer bestimmten
Kraft, die über die Gründe der Beobachtbarkeit (spontane Symmetriebrechung) Aufschluss geben könnten. Dies
müsste dazu genauer untersucht werden
29
Ist die kanonisch konjugierte Variable zur Leptonenzahl grundsätzlich nicht beobachtbar, die zur Baryonenzahl
ebenso, die zur Baryonenfamilienzahl vielleicht dann doch wieder ? Unter der schwachen Wechselwirkung, die
ja die Strangeness- Erhaltung verletzt ?
Warum wird die Erhaltung dann gerade hier gebrochen, kann man da veranschaulichende Modelle finden und
Schlüsse ziehen ?
Potenziale verletzen Erhaltungen. Andere Größen werden nicht so einfach beobachtbar, weil diese Potenziale
existieren. Auf subtilerer Ebene muss diese Analogie zu suchen sein. In allen Potenzialen ist der Impuls p̂ nicht
erhalten, (außer in reinen Wirbelfeldern). Ist dieses Potenzial dann nötig, um den Ort beobachtbar zu machen ?
Im B- Feld, einem reinen Wirbelfeld ist die Ablenkung proportional zum Impuls, jedoch ist der Impuls
hinsichtlich dieses Feldes erhalten ! ( Natürlich ist der Impuls hier dennoch nicht vollständig erhalten, weil
immer andere Felder vorhanden sind, mindestens die reine Selbstwechselwirkung mit dem eigenen Feld))
∇Φ ≠ 0 ⇒
dpˆ
dH
≠0⇔
≠ 0 ( der Impuls ist hier natürlich selbst auch beobachtbar, Ladung ist
dt
dxˆ
grundsätlzlich beobachtbar). Vor allem jedoch ist der Ort beobachtbar, er existiert. Das Teilchen hat einen Ort im
Moment der Messung.
Wenn alle Orte gleich sind, also völlige Invarianz bezüglich des Ortes herrscht, dann kann man den Ort natürlich
nicht messen. Es gibt keinen beobachtbaren Ort und der Impuls ist in jedem Fall erhalten. So bald ein Potenzial
existiert, irgendwelcher Art, wird diese Symmetrie aufgebrochen.
So bald eine schwache Wechselwirkung existiert, besteht die Symmetrie bezüglich der kanonischen Variable zur
Strangeness nicht mehr..., die Strangeness ist zeitlich nicht mehr erhalten.
Jedoch ist beispielsweise
dE
= 0 , nach einem Zeitoperator kann man lange suchen. Er existiert nicht, zu
dt
mindest nicht als hermitescher Operator mit reellen Eigenwerten.
Ebenso für die Phase
dQ
= 0 , es existiert kein hermitescher Phasenoperator, der reelle Eigenwerte, die Phase,
dt
die beobachtbar wäre, liefern würde.
Nebenbemerkung: Die Dimension aller Kommutatoren ist die einer Wirkung. Sie wird minimal sein, jedoch
verschwindet sie prinzipiell nicht bei kanonsich konjugierten Variablen mit Unschärfe (J)
[[Eˆ , tˆ], [ pˆ , xˆ],...] = Js
Man könnte hier ein Postulat formulieren, welches lautet: Die Prinzipielle
Invarianz der Quantenmechanik gegen die Transformation hinsichtlich einer
verallgemeinerten Variable, macht diese Variable aus Symmetriegründen
prinzipiell unbeobachtbar. Diese Variable muss dann zu mindest zyklisch sein
(die Lagrange- und Hamiltonfunktionen dürfen nicht von ihr abhängen). Die
zugehörige kanonisch konjugierte Variable (mit den zugehörigen
Vertauschungsrelationen) ist dann zeitlich vollständig erhalten, bis auf die
Unschärfe.
[
]
Sollte für Phasen- und Ladungsoperator qˆ , ϕ
ˆ = 0 gelten, so stört dies die obige Argumentation nicht, jedoch
würde dies im Rahmen der Theorie beweisen, dass die Ladung nicht fluktuiert. Möglicherweise hätte es gar
besondere Auswirkungen auf die prinzipielle Unbeobachtbarkeit der Phase. Vielleicht auch auf die Art der
Unbeobachtbarkeit unter verschiedenen Messungen. So können wir die Zeit wahrnehmen, nicht jedoch
unbedingt die Phase.
30
Aharanov- Bohm- Effekt
Zunächst werde ein Magnetfeld
Außerhalb der Spule sei B=0
B (r ) im Inneren einer langen Spule erzeugt.
Die Spule werde von einem zeitlich konstanten Strom durchflossen, so dass B (r ) zeitunabhängig wird.
Außerhalb der Spule ist B=0, jedoch muss das Vektorpotenzial nicht notwendigerweise verschwinden. Es darf
nur keine Wirbel aufweisen.
Außerhalb der Spule gilt:
B (r ) = ∇ xA = 0
⇒ A = ∇Λ (r ) ≠ 0
Das Vektorpotenzial muss sich als Gradient eines skalaren Feldes darstellen lassen ( im Außenraum).
B (r ) = ∇xA = 0
Wir können das magnetostatische Potenzial Λ (r ) retour aus dem Vektorpotenzial gewinnen:
Betrachten wir den Bereich
r
Λ (r ) =
∫ A (s )ds
r0
⇒ ∇ Λ (r ) ≠ 0
Wegen ∇Λ ( r ) ≠ 0 ist das System integrabel -> Lösbar durch Integration !
Für einen beliebigen Weg innerhalb des einfach zusammenhängenden Gebietes mit
B (r ) = ∇xA = 0
Unsere Wellenfunktion gehorcht der Gleichung:
2
1 h
∂

 ∇ − eA  Ψ (r , t ) + eΦΨ(r , t ) = i h Ψ( r , t )
2m  i
∂t

Wir führen die Eichtransformation durch:
A´= A − ∇Λ (r ) := A + ∇ G( r ) = 0
Wie oben gezeigt wurde, gehorcht nun die Wellenfunktion
Ψ´(r , t ) =
e
− i Λ( r ,t )
Ψ ( r , t )e h
2
der Gleichung
1 h 
∂
 ∇  Ψ´(r , t ) + eΦ´Ψ´(r , t ) = i h Ψ´( r , t )
2m  i 
∂t
Ansatz: Umeichung der Wellenfunktion bei der Eichtransformation der Potenziale !
Also:
Ψ´(r , t ) =
er
− i ∫ A ( s ) ds
Ψ ( r , t ) e h r0
Der Phasenterm ist also wegabhängig ! Es kommt zu Interferenzen !
Dabei gilt:
Ψ (r , t ) : A ≠ 0
und für
Ψ´(r , t ) : A´= 0
31
Elektroneninterferenzexperiment:
Neben der geschilderten Spule führe man ein Elektroneninterferenzexperiment durch:
Das Elektron bewegt sich dabei nur in Gebieten mit B=0 ( die Spule ist durch einen unendlich hohen
Potenzialwall abgeschirmt).
Falls nur Spalt 1 offen ist, so gilt:
e
− i ∫ A (s )ds
h
´e 1
Ψ1 ( rs ) = Ψ1
Falls nur Spalt 2, so gilt:
Ψ
Mit
( rs ) = Ψ 2 ´e
Ψi (rs ) → A ≠ 0
−i
2
e
∫ A ( s ) ds
h 2
Ψ2 ´→ A´= 0
Sind beide Spalte offen:
e
−i ∫ A ( s ) ds
´e h 1
Ψ ( rs ) = Ψ1 ( rs ) + Ψ2 ( rs ) = Ψ1
+ Ψ2
e
− i ∫ A ( s )ds
´e h 2
Es gilt:
∫ A ( s ) ds − ∫ A ( s ) ds = ∫ A ( s ) ds = ∫ df rot A = ∫ B df = Φ B
1
2
Dies ist der EINGESCHLOSSENE magnetische Fluss, also der magnetische Fluss innerhalb der Spule.
Damit folgt:
Ψ ( rs ) = Ψ1
e
− i ∫ A (s )ds
´e h 1
+ Ψ2
e
−i ∫ A ( s ) ds
h
´e 2
e

 −i e ∫ A ( s ) ds
−i Φ B

h
=  Ψ1´(rs , t )e
+ Ψ2 ´(rs , t )  e h 2


32
Denn:
e
e

 −i e ∫ A ( s )ds
i ∫ A ( s )ds − i ∫ A ( s )ds

h
2
h
1
Ψ ( rs ) = Ψ1
+ Ψ2
=  Ψ1´(rs , t ) e
+ Ψ2 ´(rs , t ) e h 2


e
e

 −i e ∫ A ( s ) ds 
 −i e ∫ A (s )ds
−i ∫ A ( s ) ds
− i ∫ df rotA

 h2


h
h
=  Ψ1´(rs , t )e
+ Ψ2 ´(rs , t ) e
=  Ψ1´(rs , t ) e
+ Ψ2 ´(rs , t ) e h 2








e
e

 −i e ∫ A ( s ) ds 
 −i e ∫ A ( s ) ds
−i ∫ B df
−i Φ B

 h2
h

h
=  Ψ1´(rs , t )e
+ Ψ2 ´(rs , t )  e
=  Ψ1´(rs , t ) e
+ Ψ2 ´(rs , t ) e h 2






e
− i ∫ A (s )ds
h
´e 1
e
−i ∫ A ( s ) ds
h
´e 2
Das bedeutet, die relative Phase zwischen Ψ1 und
der eingeschlossene magnetische Fluss
im FELDFREIEN Gebiet
2
Ψ ( rs ) =
∫ Bdf
Ψ2 und damit auch das Interferenzbild ändert sich, wenn sich
= Φ B verschiebt, obgleich die Elektronenwellen ausschließlich
B = 0 verlaufen:
e
− i ∫ A ( s )ds
Ψ1´e h 1
+ Ψ2
2
e
− i ∫ A ( s )ds
´e h 2
e

−i Φ B 
= Ψ1´ + Ψ2 ´ + 2 ReΨ1´Ψ2 ´*e h 




2
2
Flußquantisierung in Supraleitern
bei T<Tc ( kritische = Sprungtemperatur) werden viele Materialien supraleitend.
Die Elektronen bilden Cooper- Paare ( Ladung 2e).
Meißner- Effekt: Magnetfeld wird aus dem Supraleiter verdrängt ( Supraleiter 1. Art)
Betrachten wir einen supraleitenden Hohlzylinder:
33
Die Wellenfunktion der Cooperpaare ( eines Cooperpaares) lautet:
2e r
i ∫ A ( s ) ds
h r0
Ψ( r ) = Ψ´(r )e
Das heißt für r0 = r ⇒ Ψ( r ) = Ψ´(r )
Für einen geschlossenen Weg um den Zylinder gilt:
Ψ ( r0 ) = Ψ´(r0 )e
i
2e
A ( s ) ds
h ∫
= Ψ´( r0 )
Wegen der Eindeutigkeit der Wellenfunktion folgt daraus aber:
2e
A ( s ) ds = 2πn
h ∫
( Die Wellenfunktion muss sich schließen !)
∫ A (s )ds = Φ B
Also ist der eingeschlossene Fluß quantisiert !:
Φ B = nΦ 0
mit dem magnetischen Flußquantum
Φ 0 :=
hπ
h
=
= 2,07 ⋅ 10 −15 Vs
e
2e
Also:
Wir haben zwei Beispiele für beobachtbare Folgen aus der Invarianz:
1)
2)
Aharanov- Bohm - Effekt
Flussquantisierung in Supraleitern !
Ergänzung: Wellenfunktion, Eindeutigkeit, Stetigkeit und Flussquantisierung
Dass sich in einem ringförmigen System die Wellenfunktion schließen muss (also stetig sein muss, damit die
Aufenthaltswahrscheinlichkeit nicht springt !), kann als äquivalent zu ihrer Eindeutigkeit betrachtet wären. Das
Springen der Phase an einem Punkt macht ja die Phase an diesem Punkt uneindeutig.
Dies ist ein bereits von Bohr gefundenes Phänomen, welches er anschaulich zur Darstellung der
Drehimpulsquantisierung verwendet hat.
Eine Wellenfunktion im Wasserstoffatom muss sich aufgrund der Kugelsymmetrie des Potenzials schließen und
der Drehimpuls wie die Energieeigenwerte sind quantisiert, da dies nur für ganzzahlige Veränderunen der
Wellenzahl und der damit verbundenen Notwendigkeit, in ein Orbital ganz "hineinzupassen" verbunden ist
(siehe Abbildung)
Im Wellenbild kann des als guter Ansatz für alle Quantisierungsphänomene betrachtet werden. In unserem Fall
ist ganz explizit die Eichinvarianz unter Phasentransformationen im Zusammenhang zur Ladungserhaltung. Das
Maß des Kommutators zwischen Phase und Ladung bestimmt die Fluktuation der Ladung. (Und der Phase, die
jedoch sowieso unbeobachtbar ist). Die Ladung ist quantisiert, nämlich in Einheiten der Elementarladung. Dies
gilt jedoch nicht für gebundene Zustände, die sich unter der starken Wechselwirkung bilden (Quarks). Sie haben
gedrittelte Ladungen.
34
1.4 Kontinuitätsgleichung
Schrödingergleichung für Teilchen in Potenzialen V und A ( beide reell):
2
& ( r , t ) = Hˆ Ψ = 1  h ∇ − eA  Ψ (r , t ) + VΨ (r , t )
ihΨ
2m  i

V = eΦ
& ( r , t ) = 1  h ∇ − eA  h ∇ − eA  Ψ( r , t ) + VΨ( r , t )
ihΨ
2m  i
 i

1
=
− h 2 ∆Ψ + i he∇ (A Ψ ) + iheA (∇ Ψ ) + e 2 A2 Ψ + VΨ ( r , t )
2m
[
]
Dabei sind alle Terme außer dem ersten und dem letzten (V) magnetfeldabhängig, also abhängig von
A (r , t )
Die Gleichung kann komplex konjugiert werden:
[
]
& * ( r , t ) = 1 − h 2 ∆Ψ * −ihe∇ (A Ψ *) − iheA (∇Ψ *) + e 2 A 2 Ψ * + VΨ * ( r , t )
ihΨ
2m
35
Damit ergibt sich eine Bewegungsgleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte:
∂
∂
∂
∂
2
Ψ( r , t ) = ih (Ψ( r , t ) Ψ * ( r , t ) ) = Ψ * (r , t ) ih Ψ (r , t ) + Ψ (r , t ) ih Ψ * (r , t )
∂t
∂t
∂t
∂t
∂
2
& (r , t ) + Ψ
& * ( r , t ) Ψ( r , t ) ) = Ψ * Hˆ Ψ − Ψ( Hˆ Ψ) *
ih Ψ( r , t ) = ih (Ψ * ( r , t ) Ψ
∂t
ih
[
]
2
∂
− h2
2
Ψ (r , t ) =
(Ψ * ∆Ψ − Ψ∆Ψ * ) + e Ψ * A 2 Ψ − Ψ A 2 Ψ * + Ψ * V Ψ − Ψ V Ψ *
∂t
2m
2m
ih e
+
(Ψ * ∇ (A Ψ ) + A Ψ ∇ Ψ * + Ψ ∇ ( A Ψ * ) + A Ψ * ∇ Ψ )
2m
Ψ * A 2 Ψ − Ψ A 2 Ψ* = 0
Ψ * VΨ − Ψ V Ψ * = 0
ih
Ψ * ∇ (A Ψ ) + A Ψ ∇ Ψ * = Ψ ∇ (A Ψ *) + A Ψ * ∇ Ψ = ∇ (Ψ A Ψ *)
∂
− h2
2
Ψ (r , t ) =
(Ψ * ∆Ψ − Ψ∆Ψ * ) + ih e ∇ (Ψ A Ψ * )
∂t
2m
m
Ψ * ∆Ψ − Ψ∆Ψ * = ∇ (Ψ * ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ *) − (∇ Ψ * ∇ Ψ − ∇ Ψ ∇ Ψ *)
(∇ Ψ * ∇ Ψ − ∇ Ψ ∇ Ψ *) = 0
⇒ ih
∂
− h2
ih e
2
Ψ (r , t ) =
∇ (Ψ * ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ * ) +
∇ (Ψ A Ψ * )
∂t
2m
m
− h 2

∂
2
(Ψ * ∇ Ψ − Ψ ∇Ψ *) + ih e (Ψ A Ψ *)
⇒ ih
Ψ (r , t ) = ∇ 
∂t
m
 2 m

⇒ ih
Diese Gleichung hat die Form einer Kontinuitätsgleichung der lokalen Wahrscheinlichkeitserhaltung für die
Wahrscheinlichkeitsdichte quantenmechanischer Wellenfunktionen im elektromagnetischen Feld
∂
2
Ψ (r , t) + ∇ ⋅ j = 0
∂t
Die Wahrscheinlichkeitsstromdichte lautet:
h
(Ψ * ∇Ψ − Ψ∇Ψ *) − e (ΨA Ψ *)
2mi
m
1 
h

 h
 
=
 Ψ *  ∇ − eA  Ψ + Ψ  − ∇ − eA  Ψ *
2m 
i

 i
 
j=
Denn:
Wenn die Kontinuitätsgleichung
∂
2
Ψ ( r , t ) + ∇ ⋅ j = 0 erfüllt sein soll, so muss der
∂t
Wahrscheinlichkeitsstrom die obige Form haben !
Die Kontinuitätsgleichung erhält man sauber durch Anwenden der Schrödingergleichung auf Die
Wahrscheinlichkeit !
Dabei bezeichnet man
h
(Ψ * ∇Ψ − Ψ∇Ψ *) als die freie Wahrscheinlichkeitsstromdichte, die im elektromagnetischen
2mi
e
Potenzial durch den Potenzialterm −
(ΨA Ψ *) ergänzt wird
m
j=
j=
{
(
)}
1
Ψ * Pˆkin Ψ + Ψ Pˆkin Ψ *
2m
36
Mit dem kinetischen Impulsoperator
h
Pˆkin := ∇ − eA
i
Führt man den kinetischen Impuls ein, so ist die Form analog zur Darstellung der freien
Wahrscheinlichkeitsstromdichte verallgemeinert !
Bemerkungen
1.
h
∂L
Pˆ := ∇ , wobei klassisch p i =
haben wir es nun mit
i
∂q& i
h
ˆ
dem kinetischen Impulsoperator Pkin := ∇ − eA zu tun. Dieser hängt mit dem Geschwindigkeitsoperator
i
ˆ
P
Pˆ
vˆ := kin zusammen, wobei der Geschwindigkeitsoperator vˆ := kin NICHT die Zeitableitung des
m
m
Neben dem kanonischen Impulsoperator:
Orts- Operators repräsentiert.
Also:
2.
Pˆkin = mvˆ und pˆ ≠ mvˆ
Mit Hilfe des Geschwindigkeitsoperators lautet die Kontinuitätsgleichung
{
( )}
∂
1
2
Ψ ( r , t ) + ∇ ⋅ j = 0 mit j = Ψ * vˆ Ψ + Ψ vˆ Ψ *
∂t
2
Dies ist ganz analog zur Kontinuitätsgleichung für klassische Dichten:
ρ& + ∇ ⋅ j = 0 mit j = ρ ⋅ v
Quantenmechanisch muss man lediglich die symmetrische reelle Form
{
}
j = Re Ψ * vˆ Ψ wählen, da hier
ρ ⋅ v̂ oder v̂ ρ nicht wohldefiniert ist. ( Worauf wirkt der Operator ?)
ˆ = 1 pˆ − eA( rˆ , t ) 2 = 1 pˆ 2 − epˆ A − eA pˆ + e 2 A2 ist die Reihenfolge der Faktoren zu
3. In H
2m
2m
(
(
)
)
beachten !
∇ ⋅ A = 0 gilt:
h
h
pˆ A + A pˆ Ψ = ∇ ( A Ψ) + A (∇ Ψ ) = (∇ ⋅ A )Ψ + 2 A (∇Ψ )
i
i
∇⋅ A =0
Nur in der Coulomb- Eichung
(
)
[
]
[
]
Im Spezialfall der Coulomb- Eichung. Somit:
( pˆ A + A pˆ )Ψ = 2 A pˆ Ψ
Also in diesem Fall:
(
1 ˆ
Hˆ =
p − eA (rˆ , t )
2m
)2 = 21m ( pˆ 2 − 2eA pˆ + e 2 A2 )
Merke: Die Coulombeichung bringt
4.
A und p̂ zum Vertauschen !
Im Gaußschen Maßsystem gilt:
1 ˆ e 
Hˆ =
 p− A
2m 
c 
2
37
1.5 Zeitunabhängige Schrödinger- Gleichung und stationäre Zustände
& ( r , t ) = Hˆ Ψ ist ( Schrödinger- Bild) eine Schrödingergleichung mit dem zeitunabhängigen
ihΨ
Hamiltonoperator Ĥ
Es ergibt sich ein Anfangs- bzw. Randwertproblem:
Die Anfangsbedingung Ψ (r ,0) ist gegeben.
Aus der Normierbarkeit folgt:
∫R
2
Ψ( r , t ) d 3 r < ∞
3
⇒ Ψ (r , t ) → 0
für
r →∞
Eine spezielle Lösung findet man über den Separationsansatz:
Ψ ( r , t ) = ϕ( r ) + T (t )
ihϕT& = THˆ ϕ
ihϕ
T& Hˆ ϕ
=
T
ϕ
da in der letzten Zeile rechts nur Abhängigkeit vom Ort und links nur Abhängigkeit von der Zeit vorliegt, kann
diese Übereinstimmung nur gelten, wenn beide Seiten für sich konstant sind. Also:
ihϕ
T& Hˆ ϕ
=
= E = const .
T
ϕ
Also:
i
T& = − ET
h
ˆ
Hϕ(r ) = Eϕ( r )
Wir finden eine Lösung für den zeitabhängigen Teil:
TE (t ) =
i
− Et
h
ce
und erhalten gleichzeitig eine zeitunabhängige Schrödingergleichung:
Hˆ ϕ(r ) = Eϕ( r )
Somit haben wir als Eigenwertproblem des Hamilton- Operators:
Hˆ ϕ(r ) = Eϕ( r ) die Energie- Eigenfunktionen ϕE (r ) und die Energie- Eigenwerte E. Dies sind die
möglichen Meßwert der Observablen "Energie".
Die Energie- Eigenzustände lauten:
ΨE (r , t ) =
i
− Et
h
e
ϕE ( r )
Diese heißen stationäre Zustände, da die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte
2
2
ΨE ( r , t ) = ϕE ( r ) zeitunabhängig ist.
Also: Die Wahrscheinlichkeit bleibt erhalten !! ( wegen Normierbarkeit !)
Nebenbemerkung:
Die Wellenfunktion
ω=
ΨE (r , t ) =
i
− Et
h
e
ϕE ( r ) selbst ist natürlich zeitabhängig, da die Materiewelle mit
E
oszilliert. Dies gilt auch mit Potenzial ( mit Potenzial nimmt die Ozsillationsfrequenz sogar zu, da die
h
Energie steigt !)
38
Weiterhin sind jedoch alle Erwartungswerte von Observablen ( nicht die Observablen selbst, sondern ihre
Erwartungswerte !) innerhalb von Eigenzuständen ( und nur in diesen) zeitunabhängig:
F ( pˆ , rˆ ) = ∫ ΨE * ( r , t ) F ( pˆ , rˆ )ΨE (r , t ) d 3 r =
h
∫ ϕE (r ) *F ( pˆ , rˆ )ϕE (r ) = ∫ ϕE (r ) *F ( i ∇, rˆ )ϕE (r )
Insbesondere gilt:
d ˆ
p =0
dt
d ˆ
r =0
dt
Ehrenfest- Theorem
Nach dem Ehrenfestschen Theorem ( Siehe III: Statistische Physik)
gilt mit
d ˆ
p =0
dt
d ˆ
r =0
dt
auch
d ˆ
pˆ = m
r =0
dt
d ˆ
∇V = −
p =0
dt
Bemerkungen
2
1. Die Energie- Eigenwerte E des Hamilton- Operators
1 h

Hˆ =
 ∇ − eA ( rˆ , t )  + V sind reell.
2m  i

Beweis:
Nach § 1.4 gilt:
{Ψ * HˆΨ − (Hˆ Ψ)* Ψ} = −ih∇ ⋅ j
3
∫ {Ψ * Hˆ Ψ − (Hˆ Ψ)* Ψ }d r = −ih ∫R
3
R3
∇ ⋅ jd 3r = −ih ∫
∂R 3
j ⋅ df
Der Rand des R³ liegt jedoch im Unendlichen. Aus Gründen der Normierbarkeit muss der Strom dort jedoch
verschwinden.
Also gilt:
3
∫ {Ψ * Hˆ Ψ − (Hˆ Ψ)* Ψ }d r = −ih ∫R
R
3
3
∇ ⋅ jd 3r = −ih ∫
∂R 3
j ⋅ df = 0
Andererseits aber gilt:
∫
Ψ * Hˆ Ψd 3 r = E
R3
3
3
∫ (Hˆ Ψ)* Ψd r = ∫ (EΨ ) * Ψd r = E *
R3
R3
39
Also folgt:
E = E*
Für ein komplexes E mit
2
E = E1 + iE 2 wäre ΨE ´= e
2
E2
t
h
2
ϕE und würden für E2 <0 zerfallen ( und für E2 > 0 explodieren !)
Somit folgt bereits aus der Kontinuitätsgleichung, dass alle Energieeigenwerte reell sind !!
2. Die Energie- Eigenzustände sind scharf in der Energie, jedoch beliebig unscharf in der Zeit:
Hˆ = E Erwartungswert= Eigenwert
Unschärfe:
∆H :=
(Hˆ − Hˆ )
2
=
(Hˆ )2
− Hˆ
2
= E2 − E2 = 0
E und t sind wie pˆ , qˆ zueinander konjugierte Variablen, jedoch keine Operatoren !
Dies ist analog zur Situation, dass der Impuls in Impuls- Eigenzuständen beliebig scharf ist. Die
Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dann ortsunabhängig ( also beliebig unscharf im Ort, also: gleichverteilt !,
konstant !):
∫
pˆ =
R3
h
Ψ * ∇ Ψd 3 r = hk ∫ Ψ * Ψd 3 r = hk scharf
i
R3
2
ϕ( r ) = 1 unabhängig von r
Dies läuft analog zur klassischen Mechanik. Dort bedingt die Zeittranslationsinvarianz der Hamiltonfunktion
eine Erhaltung der Energie ( E Erhaltungsgröße) und die Ortstranslationsinvarianz der Hamiltonfunktion bedingt
eine Impulserhaltung.
Die Bedingung der Normierbarkeit schränkt die zulässigen Werte der Energie deutlich ein.
Randbedingungen à Eigenwertproblem !
Allgemeine Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung
Ein jeder Zustand kann nach stationären Zuständen ϕn (r ) entwickelt werden:
Ψ (r , t ) = ∑
i
− En t
h
cne
ϕn (r )
n
Für verschiedene En ist dies jedoch kein stationärer Zustand mehr: Also ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung
zeitabhängig:
Ψ (r , t ) * Ψ (r , t) =
∑
cm * c n e
−
i
(E − E )t
h n m ϕ
m
* ( r )ϕn ( r ) zeitabhängig !!
n, m
Ψ ( r , t ) ist kein Energie- Eigenzustand !
Die Entwicklungskoeffizienten c n lassen sich durch die Anfangsbedingungen bestimmen:
!
Ψ ( r ,0) = ∑ c nϕn ( r ) = Ψ0 ( r )
n
40
Falls
{ϕn (r )} ein vollständiges Orthonormalsystem darstellt, kann jede stückweise steige Funktion nach den
stationären Zuständen ϕn (r ) entwickelt werden:
∫R ϕm * (r )ϕn (r )d
3
Orthonormierung:
3
r = δnm ⇒ ∑ cn ∫ 3 ϕm * (r )ϕn ( r ) d 3r = ∑ c n δnm = c m
n
R
n
∑ c n ∫R ϕm * (r )ϕn (r )d 3 r = ∫R Ψ0 (r )ϕm * (r )d 3 r = c m
3
3
n
Man sagt: Durch die Anfangsbedingung können die Entwicklungskoeffizienten "herausprojiziert" werden.
P.S:: Dies ist im Dirac- Formalismus wesentlich einfacher !!
41
1.6 Allgemeine Eigenschaften der stationären Zustände
 h2

∆ + V ( r ) ϕ( r ) = Eϕ( r )
−
 2m

die zeitunabhängige Schrödingergleichung mit dem skalaren Potenzial V
Annahme:
V ( r ) → 0 für r → ∞
außerdem soll das Potenzial stückweise stetig sein und nach unten beschränkt.
Dann gilt:
a) E<0
Prinzipiell sind nur diskrete Eigenwerte E>Vmin möglich.
Dies ist ein klarer Widerspruch zur klassischen Mechanik, nach der alle Zustände mit
Die Anzahl der Eigenwerte und ihr Abstand hängt jedoch von der Form von V ab.
Wenn
lim
1
V ( r ) ~ 2+δ mit
r→∞
r
E ≥ Vmin möglich sind.
δ > 0 . Das Potenzial muss also nur für r gegen unendlich dieses Verhalten
zeigen. Dann existieren nur ENDLICH viele diskrete Werte.
Also: es gibt genau dann endlich viele Zustände im Potenzial, wenn das Potenzial schneller verschwindet als
1/r².
Typische Beispiele sind kurzreichweitige Potenziale wie die Dipol- Dipol- Wechselwirkung
V (r ) ~
1
r6
oder
der rechteckige Potenzialtopf.
Bei sehr flachen Potenzialen ( sehr flaches Vmin) existiert möglicherweise gar kein Zustand im Potenzialtopf (
gar kein Eigenwert existiert).
In eindimensionalen Potenzialen allerdings existiert stets ein Eigenwert E<0.
Langreichweitige, langsam abfallende Potenziale können unendlich viele E<0 mit einem Häufungspunkt bei E=0
haben ( Wasserstoffatom). Dies trifft vor allem für das 1/r- Potenzial zu !
42
Eigenzustände zu E<0
Sind in jedem Fall Normierbar:
∫R d 3 r ϕ(r )
2
3
=1
lim
ϕ( r ) → 0 hinreichend rasch !. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist damit im Endlichen lokalisiert.
r− >∞
Das bedeutet: Die Zustände sind gebunden .
Es existieren also gebundene Zustände im Bereich E<0 ( vergleiche: elliptische Bahnen bei 1/r- Potenzialen für
E<0)
Im Gegensatz zur klassischen Mechanik ist jedoch die Aufenthaltswahrscheinlichkeit auch in Bereichen mit
E<V(r ) von Null verschieden:
Klassisch:
p2
+ V (r ) = E
2m
Grund dafür ist die Unschärferelation:
∆p∆x ≥
h
2
Für ebene Wellen als Lösung der Schrödingergleichung der Form
gilt dann wegen
somit
b)
k~
e ikx
E − V ∈ Im , falls E < V
e ikx = e − Re -> exponentiell gedämpftes Eindringen in die Barriere !
E>0
Hier ist das Energiespektrum grundsätzlich kontinuierlich. Die Eigenfunktionen sind dabei nicht normierbar:
lim
ϕ( r ) → const oder oszilliert.
r− > ∞
Beispiel: Ebene Welle
ϕ( r ) = e ik r ist Lösung von
h2
h2 k 2
∆ϕ( r ) = Eϕ( r ) mit E =
>0
2m
2m
k ∈ R ⇒ e ikr ist oszillierend !
−
43
ϕ( r ) = e ik r ist also Lösung der Schrödingergleichung mit V=0
Es gibt keine Einschränkungen an
E=
h 2k 2
> 0 . Die Energie ist gleich der kinetischen Energie ! Falls V=0
2m
Das Teilchen ist ganz klar nicht im Endlichen lokalisiert.
Man spricht auch von einem stationären Streuzustand.
Beispiel: Elektronen in Metallen -> Elektronengas !
Nebenbemerkung: Wellenpakete und damit auch Photonen sind KEINE stationären Zustände (= EnergieEigenzustände). Die unendliche Delokalisation stellt sich also als Problem hier noch gar nicht an Photonen oder
Wellenpakete im Allgemeinen. ( für " Energieeigenzustände")
Bemerkungen
1.
Die Klassifizierung E<0 und E>0 gilt auch dann noch, wenn V (r ) Punktsingularitäten hat, also auch beim
V (r ) ~
2.
1
bei r=0 oder beim Delta- Potenzial
r
In Bereichen mit V (r ) → ∞ gilt grundsätzlich ϕ = 0 . Auch quantenmechanisch kann hier das Teilchen
nicht eindringen. Insbesondere folgt als Randbedingung an einer unendlich hohen Potenzialschwelle:
ϕ
Rand
=0
3.
Qualitativ verschieden ist das Verhalten bei periodischen Potenzialen
V (r ) .Dies beobachtet man
beispielsweise bei Elektronen in Kristallen. So entstehen beispielsweise Energiebänder.
Eindimensionale stationäre Zustände
In Spezialfällen lassen sich Probleme separieren/reduzieren:
V ( r ) = V1 ( x1 ) + V2 ( x 2 ) + V3 ( x3 )
Separation in kartesischen Koordinaten:
ϕ( r ) = ϕ1 ( x1 )ϕ2 ( x2 )ϕ3 ( x3 )
Die Schrödingergleichung lautet:
3
∑
i =1
 h 2 ∂2

+
V
(
x
)
−
ϕ1 ( x1 )ϕ2 ( x 2 )ϕ3 ( x 3 ) = Eϕ1 ( x1 )ϕ2 ( x2 )ϕ3 ( x 3 )
i
i
2
 2m ∂xi

h2
ϕi ´´( xi ) + Vi ( xi )ϕi ( xi )
2
m
⇒
= E (i )
ϕi ( xi )
mit
E = E (1) + E ( 2) + E (3)
44
Insbesondere ( Beispiel):
V2 + V3 = 0 -> freie Bewegung in x2 und x3- Richtung
ϕ( r ) = ϕ1 ( x1 )e ik 2 x2 eik 3 x 3
E = E (1) +
k 22h2 k32h 2
+
2m
2m
Beispiel: Quantentopf in Halbleitern ( Quantum Well)
Halbleiterschichtstruktur:
Durch die Variation des Legierungsverhältnis x und durch die Schichtdicke läßt sich Vo und a maßgeschneidert
produzieren und somit auch die Lage und Zahl der Energieniveaus im Halbleiter.
Das effektive Potenzial der Leitungselektronen ist der Quantentopf wie im rechten Diagramm dargestellt.
Beispiel: Für GaAs/ AlGaAs der Form:
GaAs / Al0,3 Ga0 ,7 As erhält man Vo = 250 meV. Bei einer Schichtdicke des GaAs von 10 nm ergeben sich 3
gebundene Zustände im Quantentopf.
Durch die gebundenen Zustände im Quantentopf und die freie Beweglichkeit in x2- und x3- Richtung mit der
effektiven Masse m * ergibt sich ein zweidimensionaler Leiter, wenn die Spannung in x2- oder x3- Richtung
angelegt wird. Legt man einen Strang durch das Material, so gewinnt man einen eindimensionalen Leiter.
Beispiel: Kugelsymmetrisches Potenzial
Sei V (r ) kugelsymmetrisch, so bietet sich Separation in Kugelkoordinaten an:
r , ϑ, ϕ :
Φ ( r ) = R( r ) + Y (ϑ, ϕ)
Beispiel: H- Atom mit Coulombpotenzial
V =−
e2
4πε0 r
1.7 Eigenschaften eindimensionaler stationärer Zustände
1) Stetigkeitsbedingung:
Bei stückweise stetigem Potenzial ( Sprünge sind erlaubt, dürfen aber nicht die Regel sein). Außerdem ist das
Potenzial ansonsten beliebig, sind Φ ( x ), Φ´( x ) stetig.
45
Die eindimensionale Zeitunabhängige Schrödingergleichung lautet:
ϕ´´( x) =
2m
h2
[V ( x ) − E ]ϕ( x)
Das Potenzial habe nun einen Sprung bei x=xo:
Wäre nun ϕ´( x ) ~
Θ[x − x 0 ] unstetig an der Stelle x=xo, so ergebe sich: ϕ´´( x) ~ δ[x − x 0 ] . Die rechte
Seite der Schrödingergleichung ist jedoch an jedem Punkt beschränkt ( die Wellenfunktion selbst muss
normierbar sein). Somit ergibt sich ein Widerspruch.
Oft ist es zweckmäßig die sogenannte Eigenableitung zu verwenden. Diese logarithmische Ableitung ist stetig:
( Eigenableitung = logarithmische Ableitung):
d
ln ϕ( x)
dx
Für ein
x0
=
ϕ´( x)
ϕ( x)
δ - förmiges Potenzial gilt: V ( x) = δ ( x − x 0 ) :
ϕ(x ) ist stetig
ϕ´(x) hat endlichen Sprung bei x0
46
Charakterisierung des Energiespektrums
Gegeben sei ein stückweise stetiges, nach unten beschränktes Potenzial mit
Für den Bereich
E < V ( x) ( klassische verboten), gilt:
V+ ≤ V− ≤ ∞
ϕ´´( x) 2m
= 2 (V ( x) − E ) > 0
ϕ( x )
h
Also für den Fall ϕ( x ), ϕ´´(x ) > 0 ist die Krümmung konvex und für ϕ( x), ϕ´´( x) < 0 (zweite mögliche
Alternative) ist die Krümmung konkav.
Jedenfalls ist die Wellenfunktion von der x- Achse "weggekrümmt", also allgemein gesprochen "divergent":
Dies ist deutlicher zu erkennen, wenn man Potenziale einzeichnet, die hier größer sind als die Energie: Es gibt
immer exponentielle Dämpfung in derartigen Fällen:
47
Im Bereich
E > V ( x) gilt:
ϕ´´(x )
=< 0 . Dieser Bereich ist auch klassisch erlaubt. Hier ist die Krümmung
ϕ( x )
stets zur x- Achse hin, also im Wesentlichen oszillierend:
Damit können wir unsere Eigenfunktionen klassifizieren:
1) E < Vmin ( x) : Die Energie liegt überall unterhalb des Potenzials ->
existiert !
2)
-
ϕ(x ) divergiert nach ∞ . Keine Lösung
Vmin ( x) < E < V+ ( x ) : Es existieren gebundene Zustände;
bei symmetrischem ( vollkommen rotationssymmetrisch) Potenzial V existiert mindestens ein gebundener
Zustand ϕ0 ( x ) -> eindimensionale Potenzialtöpfe sind immer vollkommen rotationssymmetrisch ! -> es
existiert immer ein gebundener Zustand.
48
Dies ist anders bei 2- / 3- dimensionalen Potenzialtöpfen ! Wenn diese nicht vollständig rotationssymmetrisch
sind, kann es sein, dass kein Zustand existiert, wenn die Töpfe flach genug sind !
Das Energiespektrum ist diskret und nicht entartet: E0 < E1 < ...
entartet heißt: zu einem Eigenwert gehören mehrere, linear unabhängige Eigenfunktionen !
-
Knotensatz: Die zum n-ten Eigenwert
E n gehörende Eigenfunktion ϕn ( x) hat n Knoten ( Nullstellen im
Inneren des Definitionsbereichs).
Beweis des Knotensatzes
Zu JEDEM E existiert genau eine Lösung ϕE (x ) der Gleichung
ϕ´´ E ( x ) =
2m
h2
[V ( x ) − E]ϕE ( x ) mit
lim
ϕE ( x) = 0 ( Bilde z.B. Linearkombination von 2 linear unabhängigen Lösungen).
x → −∞
Dies gilt natürlich nur im nicht entarteten Fall ! Wie er unter 2) für Vmin ( x) < E < V+ ( x ) der Fall ist !
lim
Nun ist dann aber im Allgemeinen
ϕE ( x) ≠ 0 . Verschiebt man nun E so, dass auch
x → +∞
lim
ϕE ( x) = 0 -> dann erhalten wir die Energien, die die speziellen diskreten Eigenwerte E
x → +∞
repräsentieren.
Die Behauptung ist: zwischen 2 Eigenwerten muss immer ein weiterer Knoten vom Inneren an den Rand
wandern:
Beweis:
x 0 ( E ) eine Nullstelle von ϕE (x ) . Nun bilde man die Wronski- Determinante von ϕE (x ) und von
∂ϕE ( x)
z ( x) :=
∂E
Sei
Es gilt:
(ϕE ´ z − ϕE z´)
x0
−∞
=
x0
∫ (ϕE ´´z − ϕE z´´)dx
−∞
49
Dabei:
(ϕE ´ z − ϕE z´)
x0
−∞
= ϕE ´( x 0 ) z ( x0 ) − ϕE ( x0 ) z´( x0 ) − ϕE ´(−∞) z ( −∞) + ϕE ( −∞) z´(−∞)
ϕE ( x0 ) = ϕE ´(−∞) = 0
⇒ (ϕE ´z − ϕE z´)
x0
−∞
= ϕE ´( x0 ) z ( x 0 )
Außerdem:
(ϕE ´´z − ϕE z´´) = ϕE ´´z + ϕE ´z´−ϕE ´ z´−ϕE z´´
ϕ´´E ( x) =
Aus der Schrödingergleichung
2m
h2
[V ( x) − E ]ϕE ( x) folgt durch Differenziation nach der
Energie:
z´´=
2m
[
V
(
x
)
−
E
]
z
−
ϕ (x )
2
2 E
2m
h
h
Kombiniert man dies mit
ϕ´´ E ( x ) =
2m
h2
[V ( x ) − E]ϕE ( x )
und
(ϕE ´z − ϕE z´)
x0
−∞
=
x0
∫ (ϕE ´´z − ϕE z´´)dx
−∞
so folgt:
ϕE ´( x0 ) z ( x0 ) =
Mit
0=
2m
h
2
x0
∫ ϕE
2
dx > 0
−∞
∂ϕE ( x0 )
∂x
d
ϕE ( x0 ) =
+ ϕE ´( x0 ) 0
dE
∂E
∂E
∂ϕE
=z
∂E
folgt schließlich:
 x0

dx
z(x 0 )
0= 0 =−
= − z ( x 0 ) 2  ∫ ϕE 2 dx 
dE
ϕE ´( x 0 )
 −∞

−1
<0
Also wandern die Nullstellen mit abnehmender Energie nach rechts. Bei jedem Eigenwert verschwindet eine
Nullstelle bei ∞ .
Für E = Vmin hat ϕE (x ) KEINE endliche Nullstelle mehr:
Sonst wäre für
− ∞ < x 0 ( E ) < +∞ :
x0
x0
−∞
−∞
x0
∫ (ϕE ´ϕE )dx = − ∫ (ϕE ´ϕE ´)dx = h 2 (V − E ) ∫ ϕE
2m
2
dx > 0
−∞
Also ein Widerspruch !
50
Illustration des Knotensatzes für spezielle Potenziale:
Die zu E1 oder E1´ gehörigen Funktionen besitzen einen Knoten. Nur die Funktion zu E1 ist jedoch eine
Eigenfunktion. Die Funktion zu E1´´ weist bereits 2 Knoten auf.
Bei E0 existieren keine Knoten bei E0, E0´und E0 ´´. Allerdings ist nur die zu E0 gehörige Funktion eine
Eigenfunktion. Die Funktion zu E0´´´ hat bereits einen Knoten, jedoch ist diese keine Eigenfunktion.
V ( x) → ∞ für x → a , b . Also KEIN Parabelpotenzial !
Die Randbedingungen seien ϕ( a ) = ϕ(b) = 0 .
Die Forderung ϕ( a ) = 0 kann zu jedem E erfüllt werden. Und zwar durch Linearkombination zweier linear
Das zugehörige Potenzial
unabhängiger Lösungen.
Im Allgemeinen ist dann jedoch
ϕ( b) ≠ 0 . Verschiebt man E so, dass auch ϕ( b)
= 0 , so trifft man die speziellen, diskreten Eigenwerte.
zwischen 2 Eigenwerten muss immer ein weiterer Knoten vom Rand ins Innere wandern.
51
Speziell: Symmetrische Potenziale:
Bei symmetrischen Potenzialen:
V ( x) = V ( − x ) sind die Eigenfunktionen abwechselnd von gerader Parität,
ϕ( x) = −ϕ(− x ) .
also symmetrisch: ϕ( x ) = ϕ( − x) und antisymmetrisch ( von ungerader Parität):
Dies kann für Entartung und Nichtentartung gezeigt werden.
3)
V+ < E < V− In diesem Fall existiert ein Kontinuum von Streuzuständen ( nicht entartet). Die Welle läuft
von rechts ein:
Beispiel mit Potenzialstufe:
Linke Seite:
Die asymptotische Lösung lautet
Aber:
ϕ( x ) ~ e ± Mx
M 2 = V− − E
ϕ( x ) ~ e + Mx divergiert und ist somit unphysikalisch:
ϕ( x ) ~ e − Mx
Rechte Seite:
Die asymptotische Lösung lautet
ϕ( x) ~ e ±ikx
k 2 = E − V+
Die Lösung oszilliert also asymptotisch.
52
E > V− : Ergibt ein Kontinuum von Streuzuständen ( 2- fach entartet). Die Welle läuft in diesem Fall von
4)
links oder von rechts ein, da die Energie auf beiden Seiten höher als das Potenzial ist. Alle Lösungen
oszillieren !
Zeige
Nicht entartete Eigenfunktionen sind ( bis auf einen trivialen Faktor) reell !
2. Formalismus der Quantenmechanik
2.1 Zustandsvektoren im Hilbertraum
Ψ (r )
sei ein Vektor im Hilbertraum als Wellenfunktion.
Dabei wird zunächst noch keine Aussage über stationäre oder zeitabhängige Vektoren gemacht. Noch ist t
einfach als Argument unterdrückt. ( Zeitlosigkeit)
Fourier- Trafo der Impulsdarstellung liefert
Ψ (r ) =
1
(2π ) ∫
3
2
R3
Ψ (r ) :
d 3 kΦ (k )e i k r in Ortsdarstellung
Laßt Euch hier nicht verwirren. Die Verwendung von x und k als kanonisch konjugierte Variablen ist völlig
analog zu x- p als Variablen, denn wegen
p = kh
p als kanonisch konjugierte Variable alleine der Mitnahme des Vorfaktors
entspricht die Verwendung von
1
f
2
h
i
1
Ψ (r ) =
 p  h pr
d
p
Φ
 e
∫R3
h
3
(2πh )
3
2
Die Umkehrung ist nach dem Fourier- Theorem möglich:
d 3 kΦ ( k ) ∫ d 3 rei (k −k ´)r
1
∫
d 3 xΨ (r )e −i k ´ r =
∫
d 3 re i (k −k ´)r = (2π )3 δ ( k − k ´)
R3
R3
⇒
1
(2π )
3
2
R3
3
3
i ( k − k ´) r
=
∫ 3 d kΦ(k )∫ d re
R
⇒ Φ( k ) =
Mit Hilfe:
(2π ) ∫
3
2
1
(2π ) ∫
3
2
R3
1
(2π )
3
3
∫ 3 d kΦ (k )(2π ) δ (k − k ´) = (2π) 2 Φ (k ´)
3
3
2
R
d 3 xΨ ( r )e −i k r
p = hk
~
−3
Ψ ( p) = h 2 Φ ( k )
Ergibt sich die gängige Darstellung
Ψ (r ) =
~
Ψ ( p) =
i
1
(2πh )
pr
~
h
d
p
Ψ
(
p
)
e
∫3
3
3
2
−
1
(2πh )
R
3
2
3
∫ 3 d r Ψ( r ) e
i
pr
h
R
53
Dies ist die umkehrbare und Eindeutige Darstellung der Wellenfunktion in Orts- und Impulsdarstellung
(Eindeutigkeit nach dem Sampling- Theorem).
Da die Natur der Dinge diese Transformation beinhaltet sind keine Informationen unter einem gewissen Produkt
aus Ort und Impuls in der Wellenfunktion enthalten. ( Sampling- Theorem) Da die Wellenfunktion aber per
Definition das System vollständig beschreiben soll, kann in dem System keine Information enthalten sein, die
eine größere Genauigkeit als diese der Unschärferelation aufweist.
Also ist die Heisenbergsche Unschärferelation der Ausdruck einer inhärenten Unschärfe, die in der Natur der
Dinge liegt, wenn denn der Formalismus der Quantenmechanik und ihre Axiome richtig sind.
Wiederholung
Angesichts eines informationstheoretischen Zugangs zur Quantenmechanik ist dies eine wichtige Aussage:
Wir haben also als Transformationsvorschrift zwischen kanonisch konjugierten Variablen die
Fouriertransformation:
Ψ (r ) =
~
Ψ ( p) =
i
1
(2πh )
3
2
R
−
1
(2πh )
pr
3 ~
h
d
p
Ψ
(
p
)
e
3
∫
3
2
3
∫ 3 d r Ψ( r ) e
i
pr
h
R
Als minimale Einheit der Wirkung ( gemäß Hamiltonschem Prinzip) gewinnen wir:
∆x∆p =
1
h ( im eindimensionalen Fall)
2
also für unser Informationsminimum:
∆x∆k =
1
2
Dies folgt unmittelbar aus der Fouriertransformation als Trafo- Vorschrift ! ( Sampling- Theorem)
Die Wellenfunktion kann unter dieser Quantisierung keine Information beinhalten !
Aber: Die Wellenfunktion beschriebt das System vollständig ( Axiom der Quantenmechanik !)
Somit existiert in der Natur keine Information unter
∆x∆p <
1
h
2
Geometrische Analogie der Transformation zwischen Orts- und Impulsdarstellung:
Sei
V = R n ein n- dimensionaler Vektorraum, das heißt, die Metrik sei durch ein euklidisches Skalarprodukt
n
a b = ∑ ai bi erklärt.
i =1
Seien
{e1 , e2 ,..., en } , {e1´, e2´,..., en´} und {~e1 , ~e2 ,..., ~en }drei beliebige Basen des R n .
Ein Vektor kann natürlich bezüglich der einen oder der anderen Basis dargestellt werden:
n
n
n
~
a = ∑ a j e j = ∑ a j ´e j ´= ∑ ~
a jej
j =1
j =1
j =1
54
Die Basen sollen die folgenden Eigenschaften haben:
ei e j = ei ´ e j ´ = δij
Orthonormalität:
Die Projektion auf die Basisvektoren erfolgt durch die Bildung des Skalarproduktes:
ei a = ai = ∑ a j ei e j = ∑ a j δij
j
j
ei ´ a = ai ´= ∑ a j ´ ei ´ e j ´ = ∑ a j ´δij
j
j
Natürlich kann jeder Vektor in einer beliebigen Basis formal entwickelt werden. Die Entwicklungskoeffizienten
sind die Projektionen auf die jeweiligen Basisvektoren und natürlich von der Wahl der Basis abhängig :
a = ∑ a j e j = ∑ ej a e j = ∑ e j e j a
j
j
a = ∑ a j´ e j ´ =
j
j
∑e´a
e j ´ = ∑ e j´ e j ´ a
j
j
j
Im Sinne von:
b a = ∑ bj a j = ∑ b e j e j a = ∑ b ej ´ e j ´ a
j
j
j
Formal gilt damit:
n
∑
j =1
n
e j e j =∑ e j´ e j ´
j =1
Dies ist die VOLLSTÄNDIGKEITSRELATION: Die Basis- Vektoren spannen den n- dimensionalen
R n auf.
Übertragung auf Orts- und Impulsdarstellung quantentheoretischer Zustände:
Der Zustandsvektor im Hilbertraum benötigt zur vollständigen Beschreibung einen 2n- dimensionalen
Hilbertraum bei n Freiheitsgraden. In Orts- und Impulsdarstellung wird jedoch nur die jeweilige Komponente,
ergo die Projektion der gesamten Wellenfunktion auf den Ortsanteil oder die Projektion der gesamten
Wellenfunktion auf den Impulsanteil dargestellt.
Dies ist vergleichbar mit einem System aus orthogonalen Achsen, wobei man die Projektion einer Funktion in
diesem Raum auf eine bestimmte Anzahl von Achsen, beispielsweise auf die Anzahl Achsen, die die
Bezeichnung ri tragen, betrachtet ( Ortsdarstellung).
Die Anteile sind jedoch natürlich nicht voneinander unabhängig, sondern sie gehen durch die Fouriertrafo
ineinander über !
Es macht ebenso Sinn,
~
Ψ (r ) und Ψ ( p) als Projektionen eines abstrakten Zustandsvektors im Hilbertraum H
r bzw. p - Basis = Darstellung zu betrachten:
Ψ ( r ) := r Ψ
mit Ψ ∈ H als Zustandsvektor.
Ψ ( p) := p Ψ
auf die
Axiome des Hilbertraums H:
1)
H ist ein komplexer Vektorraum:
Ψ1 + ( Ψ2 + Ψ3 ) = ( Ψ1 + Ψ2 ) + Ψ3
-
Assoziativität:
-
Nullelement:
-
Inverses:
-
Kommutativität:
∃0 ∈H : 0 + Ψ = Ψ = Ψ + 0 ∀ Ψ ∈H
∀ Ψ ∃ −Ψ : Ψ + −Ψ = 0
Ψ1 + Ψ2 = Ψ2 + Ψ1
Dadurch werden die Elemente aus H zu einer kommutativen Gruppe
55
Weiter gilt: Distributivgesetz:
α( Ψ1 + Ψ2 ) = α Ψ1 + α Ψ2 ∀ α∈ C
(α + β ) Ψ
=αΨ + βΨ
Das Assoziativgesetz und weitere Rechenregel bei Multiplikation mit 1 und Null aus den komplexen Zahlen:
(α)(β Ψ ) = (αβ) Ψ
1⋅ Ψ = Ψ
0⋅ Ψ = 0
2) H hat ein Skalarprodukt:
: H × H → C mit:
Ψ Ψ ≥0: Ψ Ψ = 0→ Ψ = 0
Ψ Ψ1 + Ψ2 = Ψ Ψ1 + Ψ Ψ2
Ψ1 αΨ2 = α Ψ1 Ψ2
Ψ1 Ψ2 = Ψ2 Ψ1 *
Damit bereits kann gezeigt werden:
αΨ1 Ψ2 = α * Ψ1 Ψ2
Das Skalarprdukt induziert eine Norm:
:H →R
Ψ ≥0: Ψ = 0→ Ψ = 0
αΨ = α Ψ
Ψ1 + Ψ2 ≤ Ψ1 + Ψ2
Dabei ist letzteres, die Dreiecksungleichung, bedingt durch die Definition:
Ψ =
Ψ Ψ
H ist vollständig. Das heißt: Jede konvergente Folge {Ψn }n∈N konvergiert gegen ein Ψ ∈ H
lim
Also: konvergente Folge von Eigenzuständen: Cauchy- Kriterium:
Ψn+1 − Ψn = 0
n→∞
3)
Bemerkungen
1) Die Norm verallgemeinert den Abstandsbegriff auf abstrakte Räume. Das Skalarprodukt verallgemeinert den
Winkelbegriff auf abstrakte Räume:
Ψ1 Ψ2 , Ψ1 > 0 Ψ2 > 0 ⇒ Die beiden Zustände Ψ2 und Ψ1 sind orthogonal.
2) Für
Ψ1 , Ψ2 ∈ H gilt: Ψ1 Ψ2 ≤ Ψ1 ⋅ Ψ2 ( Schwarzsche Ungleichung)
3) Äquivalent sind
Ψ1 Ψ2 und (Ψ1 , Ψ2 )
4) Zu unterscheiden sind:
Ψ = Ket- Vektor ( nach Dirac ->Dirac- Schreibweise)
Ψ =Bra- Vektor
Zusammen ( Skalarprodukt): Bra-c-ket
56
Dabei bilden die
{ Ψ }den zu { Ψ }dualen Hilbertraum H * :
Ψ = λ1 Ψ1 + λ2 Ψ2 , Ψ = λ1 , λ2 ∈ C
impliziert mit beliebigem
Φ :
Φ Ψ = λ1 Φ Ψ1 + λ2 Φ Ψ2
⇒ Φ Ψ * = λ1 * Φ Ψ1 * + λ2 * Φ Ψ2 *
⇒ Ψ Φ = λ1 * Ψ1 Φ + λ2 * Ψ2 Φ
⇒ Ψ = λ1 * Ψ1 + λ2 * Ψ2
Aber: H ist der zu H * duale Vektorraum, H * ist isomorph zu H
H heißt separabel, falls er eine überall dichte, abzählbare Teilmenge D besitzt
Das heißt: ∀ Ψ ∈ H ∃{Ψn }n ⊂ D
5)
Dies ist äquivalent dazu, dass ein Hilbertraum H separabel heißt, wenn er eine abzählbare Hilbert- Basis besitzt,
es also ein abzählbares, vollständig orthonormiertes System in H gibt. Eine Isometrie Φ zwischen
Hilberträumen H und K ist eine stetige, bijektive, lineare Abbildung
alle
Φ : H → K so dass Φ ( x)
x∈H .
K
= x
H
für
Anwendung auf die Ortsdarstellung
i
1
Ψ (r ) = r Ψ =
(2πh ) ∫R
~
Ψ ( p) = p Ψ =
1
i
eh
3
2
pr
~
h
d
p
Ψ
(
p
)
e
=
3
(2πh ) ∫R
3
2
3
3
d
3
i
− pr
h
rΨ (r )e
1
(2πh ) ∫R
=
3
2
3
1
(2πh )
3
2
∫R
d
3
i
pr
h
pe
3
d
3
i
− pr
h
re
p Ψ
r Ψ
pr
ist in der Ortsdarstellung eine Eigenfunktion ( Wohlgemerkt, eine Funktion!) zum Impuls, also die
Ortsdarstellung des Impulszustandes Impuls- Eigenzustandes
p ). Der Zustand, der den Impuls repräsentiert
und durch Anwendung des Impulsoperators den Impuls liefert.
Denn:
i
i
pr
pr
h
∇e h = pe h
i
In Algebraischer Schreibweise bedeutet dies ( inklusive Normierung):
i
pr
1
h
= r p
3 e
(2πh )2
Impulseigenfunktion in Ortsdarstellung
p r ~
i
− pr
h
e
Ortseigenfunktion in Impulsdarstellung
( Diese beiden gehen durch komplexe Konjugation ineinander über !)
57
Damit folgt:
1
Ψ (r ) = r Ψ =
(2πh ) ∫R
~
Ψ ( p) = p Ψ =
1
3
2
3
∫
(2πh ) R
3
2
d
3
3
d
i
pr
pe h
3
p Ψ = ∫ 3d3p r p p Ψ
R
i
− pr
h
re
r Ψ =
∫R d
r r p *r Ψ =
3
3
∫R d
3
r p r r Ψ
3
r und p vollständige Darstellungen sind, folgt:
Da
Ψ =
∫R d 3 p p
3
pΨ =
∫R d 3r r
r Ψ
3
analog zur Entwicklung des Vektors
a ∈ R n nach Basisvektoren ( in seinen Koordinaten, mit seinen
Koordinaten als Entwicklungskoeffizienten).
a = ∑ a j e j = ∑ e j e j a = ∑ a j ´ e j ´ = ∑ e j´ e j ´ a
j
j
j
j
Somit folgt jedoch:
∫R d 3 p p
3
p = ∫ 3 d 3 r r r = 1 als Vollständigkeits- Relation. Nebenbemerkung: Der Hilbertraum der
R
Zustände hat unendliche Dimension.
Als Grenzwert definiert man den Dirac- Vektor, als Grenzwert einer diskreten Basis:
p ∉H
p :=
lim
p, ∆p
∆p → 0
Eigenschaften der Funktionen, die H aufspannen:
Dual:
Ψ =
∫R d 3 p Ψ
3
p p =
∫R d 3r Ψ
3
r r
Man spricht auch vom " Einschieben einer 1 !".
i
Ψ r =∫ 3d p Ψ p p r =
3
R
∫R
− pr
3
~
d pΨ( p ) * (2πh )− 2 e h = r Ψ * = Ψ ( r ) *
3
3
Skalarprodukt:
Ψ1 Ψ2 =
∫R d 3r Ψ1 r
3
r Ψ2 =
∫R d 3r Ψ1 ( r ) * Ψ2 ( r ) = ∫R
3
3
~
~
d 3 pΨ1 ( p) * Ψ2 ( p )
Norm:
1
1
2
Ψ =  ∫ 3 d 3 r Ψ r r Ψ  2 =  ∫ 3 d 3r Ψ (r )  2
R
R




Alle Funktionen im Hilbertraum müssen also insbesondere quadratintegrabel sein.
Somit folgt:
H = L ²(R 3 ) = Ψ : R 3 → C  ∫ 3 d 3r Ψ (r ) 2 < ∞  
 R
 

Nebenbemerkung:
Die Linearität des Vektorraumes garantiert das Superpositionsprinzip für Wellenfunktionen !
58
2.2 Operatoren im Hilbertraum
Übergang zur Quantentheorie in der Ortsdarstellung
In der Wellenmechanik nach Schrödinger haben wir statt dem Impuls ( klassisch) den Impulsoperator zur
Beschreibung der Observable:
p→
h
∇
i
Die Eigenwertgleichung in der Ortsdarstellung des Impulszustandes lautet:
i

pr
h  1
h
∇
e
3
i 
 (2πh ) 2
Multiplikation mit r
∫

 h
= i∇ r p = p r p


und Aufintegration liefert:
h
d 3 r r  ∇  r p = p ∫ d 3 r r r p = p p
i 
Also:
pˆ p = p p
mit dem ABSTRAKTEN ( Darstellungsfreien) Impulsoperator:
h
pˆ := ∫ d 3 r r  ∇  r
i 
Dabei gilt: einen darstellungsfreien Operator bekommt man immer, indem man einen Operator in bestimmter
Darstellung wählt und zwischen den Projektor auf diese Darstellung packt ( einen vollständigen Projektor !)
-> Bei Anwendung wir die entsprechende Wellenfunktion, egal in welcher Darstellung erst mal auf die
entsprechende Darstellung projiziert, in der dann der Operator wirken kann. Man braucht sich keine Sorgen mehr
machen. Der Operator
h
pˆ := ∫ d 3 r r  ∇  r ist in dieser Weise darstellungsfrei !
i 
Verallgemeinerung
Sei F ( r , p) eine klassische Observable, beispielsweise der Impuls, die Energie, der Drehimpuls, ...),
so ergibt sich F als Operator in der Ortsdarstellung:
F ( r , p ) → Fˆ ( rˆ , hi ∇ )
Der abstrakte ( darstellungsfreie Operator) folgt durch Aufintegration der Projektionen ( Einschub des
Vollständigen Satzes von Eigenfunktionen, auf die projiziert wird, Einschub einer Eins):
Fˆ =
∫
d 3r r Fˆ (rˆ , hi ∇ ) r
Umgekehrt, falls die Observable in abstrakter Operatordarstellung gegeben ist:
Φ := F̂ Ψ
So folgt für die Ortsdarstellung dieses Zustandes
r Φ = r Fˆ Ψ = ∫ d 3 r´ r ´ r Fˆ Ψ r ´ =∫ d 3 r´ r Fˆ r ´ r ´ Ψ
Auch hier wurde wieder eine 1, also ein vollständiger Satz von Basisfunktionen eingeschoben.
Somit aber:
Φ(r ) =
∫d
3
r´ r Fˆ r ´ Ψ( r ´)
59
Im Allgemeinen werden die Operatoren in speziellen Darstellungen, wie der obigen Ortsdarstellung zu
LINEAREN INTEGRALOPERATOREN ( nichtlokal!)
Für die Ortsdarstellung für ein Teilchen im Potenzial F gilt speziell
h
r Fˆ r´ = δ ( r − r ´) Fˆ ( r , ∇) ( lokaler Differenzialoperator, Lokalisation an r´)
i
Übungsweise soll der nichtlokale Hamiltonoperator bestimmt werden.
Ortsoperator:
rˆ Ψ( r ) = r Ψ( r )
rˆ r Ψ = r r Ψ
r̂ der Operator, r Ψ die Eigenfunktion und r der Eigenwert.
Dabei ist
r rˆ Ψ = ∫ d 3r´ r rˆ r´ r ´ Ψ = r r Ψ
⇒ r rˆ r ´ = r δ ( r − r ´)
In der Impulsdarstellung:
Φ := rˆ Ψ
Φ ( p) ≡ p Φ = p rˆ Ψ
Φ ( p) = ∫ d 3 r p r r rˆ Ψ
pr =
1
(2πh )
e
3
2
−i
pr
h
r rˆ Ψ = r r Ψ
⇒ Φ( p ) =
∫
d r p r r rˆ Ψ = ∫ d 3 r
3
 −i pr 
h
re
= − ∇ p  e h 
i


 ∂
∂
∂
∇ p := 
,
,
 ∂p x
∂p y
∂p z

−i
1
(2πh )
3
2
e
−i
pr
h rΨ (r )
=
1
(2πh ) ∫
3
2
3
d rr e
−i
pr
h Ψ( r )
pr
h
⇒ Φ( p ) =
1
(2πh )
3
2
e
−i
1
(2πh ) ∫
3
2
pr
h
3
d rr e




−i
pr
h Ψ( r )
pr


−i
h
1
3
h Ψ( r ) 

=− ∇p ∫ d r
3 e
i


(2πh ) 2


= pr
h
h
~
⇒ Φ( p ) = − ∇ p  ∫ d 3r p r r Ψ  = − ∇ p Ψ( p)
i


i
Also: Für die Impulsdarstellung des Ortsoperators gilt:
h
rˆ → − ∇ p
i
60
Energiedarstellung
Sei in der Ortsdarstellung
h2 d 2
Hˆ = −
+ V ( x) der eindimensionale Hamiltonoperator
2m dx 2
Dazu die Eigenfunktionen:
Hˆ ϕn ( x ) = Enϕn ( x ) , n=0,1,2,...
Mit
ϕn ( x ) := x n
h d 
Hˆ  x,
 x n = En x n
 i dx 
Ergibt sich:

∞
h d 
 x n = En n
dx 
∫−∞dx x Hˆ  x, i
Mit dem darstellungsfreien Hamiltonoperator

∞
h d 
∫−∞dx x Hˆ  x, i dx  x
Die Orthonormierung verlangt:
∞
∞
∫−∞dxϕ *m ( x)ϕn ( x) = ∫−∞dx m
x x n = m n = δmn
Bei diskreten Eigenfunktionen.
Dies ist aber analog zur kontinuierlichen Darstellung:
r r ´ = δ (r ´−r )
p´ p = δ ( p − p´)
Häufig ( aber nicht immer !!) ist die Energiedarstellung VOLLSTÄNDIG ( sie ist beispielsweise beim
eindimensionalen harmonischen Oszi vollständig):
∞
∑
x Ψ = Ψ( x ) =
c nϕn ( x ) =
n =0
⇒
∞
∑
∞
∑
n Ψ x n
n =0
n n =1
n= 0
Vollständigkeitsrelation !
Dann gilt auch die Spekteraldarstellung des Hamiltonoperators. Jedoch nur, wenn die Darstellung der
zugehörigen Observable vollständig ist:
)
H =
∞
)
∑H n n =
n= 0
∞
∑ En n
n
n =0
Der Operator kann durch die Summe aller Koordinaten in den entsprechenden Eigenzuständen angegeben
werden, wenn das System der Zustände eine vollständige Basis repräsentiert. ( Und die Zustände Eigenzustände
des Operators sind)
n n ist dabei der Projektionsoperator auf den n. Eigenzustand.
Allgemein gilt:
Aus einer Quantenmechanischen Observable wird ein linearer Operator im Hilbertraum:
Fˆ : H → H .
61
Bei reellen Observablen , besser: reellen Erwartungswerten der Observablen muss der zugehörige Operator nicht
nur linear, sondern auch hermitesch sein
Fˆ ( λ1 ψ1 + λ2 ψ2
) = λ1Fˆ ψ1
+ λ2 Fˆ ψ2
λ1 , λ2 ∈ C
Definition:
Fˆ : H → H adjungierte Operator F̂ + ist definiert durch:
Fˆ Ψ = Φ ⇔ Ψ Fˆ + = Φ
Der zu
Adjungierte Operatoren wirken also nach links
In Klammer - und Integraldarstellung schaut dies folgendermaßen aus:
(Ψ1 , FˆΨ2 ) = (Fˆ + Ψ1 , Ψ2 )
∀ Ψ1 , Ψ2 ∈ H
Integraldarstellung in Ortsdarstellung:
∫
(
(
)
)
d 3 rΨ1 * ( r ) Fˆ Ψ2 ( r ) = ∫ d 3 r Fˆ + Ψ1 * ( r ) (Ψ2 ( r ) )
F̂ heißt selbstadjungiert (HERMITESCH), falls: Fˆ = Fˆ +
Ψ1 , Fˆ Ψ2 = Fˆ Ψ1 , Ψ2 ∀ Ψ1 , Ψ2 ∈ H
Def.: ein linearer Operator
(
) (
)
3
∫ d rΨ1 * (r )(FˆΨ2 (r )) = ∫
(
)
d 3 r Fˆ Ψ1 ( r ) * (Ψ2 ( r ) )
Die linearen Operatoren bilden eine Algebra. Dabei ist die Multiplikation definiert durch:
(Fˆ ⋅ Gˆ ) Ψ
(
= Fˆ ⋅ Gˆ Ψ
)
Mit dem Einheitsoperator 1:
1 ⋅ Fˆ = Fˆ ⋅1 = Fˆ
Nulloperator 0:
0 ⋅ Fˆ = Fˆ ⋅ 0 = 0
[Fˆ , Gˆ ] := Fˆ ⋅ Gˆ − Gˆ ⋅ Fˆ
und dem Kommutator:
Es gilt, was als Übung bewiesen werden kann:
1)
2)
3)
(Fˆ ⋅ Gˆ )+ = Gˆ + ⋅ Fˆ +
Fˆ ++ = Fˆ
Für zusammengesetzte Zustände:
Ψ = λ1 Ψ1 + λ2 Ψ2
⇒ Fˆ (λ1 Ψ1 + λ2 Ψ2
) = λ1Fˆ Ψ1
+ λ2 Fˆ Ψ2
Linearität
und
Ψ = λ1 Ψ1 + λ2 Ψ2
⇒ Ψ Fˆ + = λ1 * Ψ1 Fˆ + + λ2 * Ψ2 Fˆ +
Antilinearität
Das Skalarprodukt ist linear im 2. Faktor und antilinear im 1. Faktor !
Weitere Relationen:
[Fˆ , Gˆ ]
+
[
= Gˆ + ⋅ Fˆ + − Fˆ + ⋅ Gˆ + = Gˆ + , Fˆ +
]
62
Falls
[[Fˆ , Gˆ ], Fˆ ] = [[Fˆ , Gˆ ], Gˆ ] = 0 gilt, so folgt:
e F e G = e G e F e [F ,G ]
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
e G +F = eG e F e − 2 [G, F ]
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
1
ˆ ˆ
[FˆGˆ , Hˆ ] = Fˆ [Gˆ , Hˆ ] + [Fˆ , Hˆ ]Gˆ
Außerdem:
Sowie die Baker- Hausdorff- Identität:
[ ] [ [ ]]
ˆ
ˆ
1
e F Gˆ e −F = Gˆ + Fˆ , Gˆ + Fˆ , Fˆ , Gˆ + ....
2!
Mit
e
Fˆ
n
(
Fˆ )
≡∑
∞
n= 0
n!
Matrixelemente
Ψ1 Fˆ Ψ2 heißt Matrixelement von F̂ mit dem Bra Ψ1 und dem Ket Ψ2
Mit
Fˆ Ψ2 := Φ ⇔ Ψ2 Fˆ + = Φ
⇒ Ψ1 Φ = Φ Ψ1 * = Ψ2 Fˆ + Ψ1 *
Also:
Ψ1 Fˆ Ψ2 = Ψ2 Fˆ + Ψ1 *
Für hermitesche Operatoren gilt:
Ψ1 Fˆ Ψ2 = Ψ2 Fˆ Ψ1 *
Erwartungswerte
h
Fˆ = ∫ d 3r Ψ * ( r ) Fˆ (r , ∇) Ψ (r ) in Ortsdartellung
i
h
h
Fˆ = ∫ d 3r Ψ r Fˆ (r , ∇ ) r Ψ = Ψ Fˆ ( r , ∇ ) Ψ
i
i
Für hermitesche Operatoren sind die Erwartungswerte immer reell:
h
h
Ψ Fˆ (r , ∇ ) Ψ = Ψ Fˆ ( r , ∇ ) Ψ *
i
i
Umgekehrt gilt:Operatoren mit reellen Eigenwerten sind hermitesch ! ( im Allgemeinen).
Physikalische Observablen sind also immer durch hermitesche Operatoren darzustellen
2.3 Eigenwerte und Eigenzustände von hermiteschen Operatoren
Annahme: Eine physikalische Observable F habe in einem normierten Zustand
(∆Fˆ )2 = ∫ d 3rΨ * (r )(∆Fˆ )2 Ψ (r ) = (Fˆ −
( )
Fˆ
)
2
= Fˆ 2 − Fˆ
Ψ einen scharfen Wert:
2
2
2
3

3

∫ d rΨ * (r ) Fˆ Ψ(r ) −  ∫ d rΨ * (r )FˆΨ(r )  = 0
2
⇔ Ψ Fˆ 2 Ψ = Ψ Fˆ Ψ
=
63
Für hermitesches F als physikalische Observable mit
Sei Fˆ
Ψ Fˆ Ψ = Ψ Fˆ Ψ *
Ψ := Φ ⇔ Ψ Fˆ = Φ
So folgt aus
2
Ψ Fˆ 2 Ψ = Ψ Fˆ Ψ , dass
Φ Φ = Ψ Fˆ 2 Ψ = Ψ Fˆ Ψ
2
= ΦΨ
2
= Φ Ψ
2
Die schwarzsche Ungleichung sagt jedoch :
2
Φ Ψ
Ψ
2
≤ Φ
2
Ψ
2
=1
⇒ Φ
Φ Ψ
2
Ψ
2
2
= Φ
2
= ΦΦ
≤ ΦΦ
Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn die Zustände parallel sind, also folgt:
Φ = α Ψ α∈ C
⇔ Fˆ Ψ = α Ψ
Das heißt, für den normierten Zustand
Ψ folgt alleine aus der Schwarzschen Ungleichung, dass
Ψ Eigenzustand zu F̂ ist.
Theorem 1: Eigenwerte hermitescher Operatoren sind reell
Beweis:
Ψ Fˆ Ψ = α Ψ Ψ = α = Ψ Fˆ + Ψ = Ψ Fˆ Ψ * = α *
⇒ α∈ R
Vergleiche Energie- Eigenwert
Eigenwerte hermitescher Operatoren können DISKRET oder KONTINUIERLICH sein !
Theorem 2: Eigenzustände hermitescher Operatoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal:
Beweis:
Fˆ Ψ1 = F1 Ψ1
Fˆ Ψ2 = F2 Ψ2
⇒ Ψ2 Fˆ = F2 Ψ2
Ψ1 Fˆ Ψ2 = F2 Ψ1 Ψ2
Ψ2 Fˆ Ψ1 = F1 Ψ2 Ψ1 = Ψ1 Fˆ Ψ2 * = F2 Ψ1 Ψ2
falls Fˆ = Fˆ + , F2 = F2 *
Ψ2 Fˆ Ψ1 = Fˆ + Ψ2 Ψ1 = F2 Ψ2 Ψ1
Ψ2 Fˆ Ψ1 − Ψ2 Fˆ Ψ1 = ( F2 − F1 ) Ψ2 Ψ1
Da die Eigenwerte nach Voraussetzung verschieden sein sollen, gilt für die zugehörigen Eigenzustände:
Ψ2 Ψ1 = 0
64
Wegen der Normierung gilt:
Ψn Ψm = δnm
Kontinuierlicher Fall:
F F´ = δ ( F − F´)
r r ´ = δ( r − r ´)
Die Zustände sind im kontinuierlichen Fall nicht normierbar, also nicht Element des Hilbertraumes. Sind aber als
Limes einer diskreten Basis aufzufassen:
p ∉H
p :=
( vergleiche Fick, S. 114)
lim
p, ∆p
∆p → 0
-> sogenannte Dirac- Zustände !
Entartung ( Unter Entartung versteht man, dass zum selben Eigenwert verschiedene Eigenzustände existieren)
Dadurch können beispielsweise verschiedene Elektronen den gleichen Energiewert annehmen oder verschiedene
Teilchen mit der exakt identisch gleichen Energie auftreten !
Fˆ n,α = Fn n,α n=0,1,2,3,... α = 1, 2,3,.., = αn , der sogenannte Entartungsindex. Man spricht von
αn - facher Entartung
Aus
Fˆ n,α = Fn n,α folgt bereits: ( Fn − Fm ) m,α n, α´ = 0 ⇒ m,α n, α´ = δmn
Somit also müssen nur die HAUPTQUANTENZAHLEN, wie man sagt, der Zustände gleich sein.
Möglich wäre
n,α n, α´ ≠ 0 für α ≠ α´ .
Also müssen miteinander entartete Zustände eines bestimmten Hauptniveaus nicht orthogonal sein.
Jedoch kann man im Unterraum der Entarteten Zustände Transformationen durchführen. Dies ist der Eigenraum
zum Eigenwert Fn.
In diesem Eigenraum kann man die entarteten Zustände durch eine lineare Transformation in orthonormierte
Eigenzustände
n, β =
n, β überführen:
αn
∑ n, α cαβ
α =1
Eine geeignete Trafo wäre beispielsweise das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren:
Also gilt dann:
n, β m, β´ = δ mnδββ´
65
Theorem 3:
Zwei hermitesche Operatoren
Eigenvektoren besitzen:
F̂ und Ĝ kommutieren genau dann, wenn sie ein gemeinsames System von
Beweis:
[Fˆ , Gˆ ] = 0 und Fˆ n = Fn n
⇒ [Fˆ , Gˆ ] n = Fˆ Gˆ n − Gˆ Fˆ n = Fˆ Gˆ n
Sei
− Fn Gˆ n = 0
⇒ Fˆ Gˆ n = Fn Gˆ n
Also ist Ĝ
n Eigenzustand zum Operator F̂ mit Eigenwert Fn
Ist
Fn nicht entartet, so folgt Gˆ n ~ n , also ist n auch Eigenzustand zu Ĝ
Ist
Fn entartet, so kann , explizit berechenbar durch Schmidtsche Orthogonalisierung, der Eigenraum E von
F̂ zum Eigenwert Fn durch orthonormierte n, β
Dann kann der Eigenvektor
β = 1,..., s aufgespannt werden.
Gˆ n, β entwickelt werden, gemäß Gˆ n, β = ∑ n, β c β ´β
β´
Die Matrix
c β ´β
:= nβ´ Gˆ n, β = c *ββ ´ ist hermitesch, kann also durch eine unitäre Transformation U
diagonalisiert werden:
n, γ = ∑U γβ n, β
β
Mit
∑ U γβU βγ ´ = δγγ ´ ( " Drehung der Basis")
β
Somit
c β ´β = n, β´ Gˆ n, β = Gnβ δβ ´β
Gˆ n, β = ∑ n, β´ c β´β = Gnβ n, β
β´
Also ist
n, β auch Eigenvektor zu Ĝ
Nebenbemerkung: Im Allgemeinen wird dadurch die Entartung aufgehoben !
Leicht: Umkehrung:
Sei
{ n } ein vollständiges System von Eigenvektoren zu Fˆ , Gˆ
[ ]
Fˆ Gˆ n = FnGn n = Gn Fn n = Gˆ Fˆ n ⇒ Fˆ , Gˆ = 0
Definition
U : H → H heißt UNITÄR, falls U +U = UU + = 1
+
−1
Daraus folgt: U = U
Ψ´ := U Ψ
Ein Operator
Mit
Φ´ := Φ U +
folgt für beliebige Ψ, Φ
Φ´ Ψ´ := Φ U +U Ψ = Φ Ψ
66
Das heißt, das Skalarprodukt ist bei unitären Transformationen invariant. Umgekehrt: Will man nur Trafos
zulassen, für die das Skalarprodukt invariant bleibt ( Erhaltung der Wahrscheinlichkeit), so sind dies die unitären
!
è Unitäre Operatoren transformieren das quantenmechanische System ganz grundsätzlich von einer Basis in
eine andere.
è dabei dürfen sich natürlich Aufenthalts- und Übergangswahrscheinlichkeiten ( die Skalarprodukte) nicht
ändern
è Nur unitäre Transformationen sind erlaubt !
Insbesondere:
Transformationen in die Eigenbasis eines Operators
)
)
Φ´ F ´ Ψ´ := Φ U + F´U Ψ
)
)
F = Diagonalisierung von F
Ψ = U + Ψ´
)
)
U + F ´U = F
)
)
Φ´ F ´ Ψ´ = Φ F Ψ = FΨδ ΨΦ
Wobei letzte Relation natürlich nur gilt, falls
)
)
U + F ´U = F diagonal !
Ψ , Φ ∈ Eigenbasis mit FΨ als Eigenwert
2.4 Die Quantisierung
Physikalische Observablen -à hermitesche Operatoren im Hilbertraum
z.B. Ort:
x → xˆ
Geschwindigkeit:
pˆ
pˆ − eA
x& → x&ˆ := kin =
hat nichts mehr mit der Zeitableitung von x zu tun !
m
m
Dabei existieren in der Quantenmechanik auch nichtklassische Observablen:
1. Parität:
P̂ als der Spiegeloperator.
Pˆ Ψ( r ) = Ψ( −r )
Der Spiegeloperator ist in der Ortsdarstellung definiert durch
Pˆ r = − r
Dies kann jedoch bedeuten:
P̂ Ψ = ± Ψ mit dem Pluszeichen für symmetrische und dem Minus für
antisymmetrische Zustände.
Pˆ 2 = 1
Die Eigenwerte des Paritätsoperator sind ± 1 . Es gilt:
Pˆ −1 = Pˆ + = Pˆ
2. Der Projektionsoperator. Er löst die Frage: Ist das System im Zustand
Ψ ?
Der Projektionsoperator lautet:
P̂Ψ := Ψ Ψ
Die grundsätzliche Definition eines Projektionsoperators ist lediglich
PˆΨ ⋅ PˆΨ = PˆΨ
Die Wirkung:
P̂Ψ Ψ = Ψ Ψ Ψ = Ψ 1 = Ψ Eigenwert +1
PˆΨ Φ = Ψ Ψ Φ = 0 Eigenwert 0, falls Φ ⊥ Ψ
67
Befindet sich ein Zustand
Φ teilweise im Zustand Ψ , so gilt:
P̂Ψ Φ = Ψ Ψ Φ = c Ψ
Dabei ist c eine Wahrscheinlichkeitsamplitude für das Antreffen des Zustands
Ψ in Φ , also die Wurzel des
Φ in Ψ
Anteils von
Vertauschungsrelationen
Das Operatorkalkül ermöglicht die Beschreibung mit nicht vertauschbaren Observablen:
[Fˆ , Gˆ ] = 0 ⇔ F̂ und Ĝ besitzen ein gemeinsames System von Eigenzuständen
[Fˆ , Gˆ ] = 0 ⇔ Observablen F und G sind gleichzeitig scharf meßbar
[Fˆ , Gˆ ] ≠ 0 ⇔ Observablen F und G sind NICHT gleichzeitig scharf meßbar.
Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen
Es gelten die kanonischen Vertauschungsrelationen:
[ pˆ i , xˆ k ] = h δik 1
i=1,2,3
i
[ pˆ i , pˆ k ] = [xˆ i , xˆ k ] = 0
kartesische Koordinaten
Übungsweise kann man zeigen:
[ pˆ , T ] = ?
∂F
i ∂p k
[F , pˆ k ] = h ∂F
i ∂x k
[F , xˆ k ] = h
Berechnung in der Ortsdarstellung:
[ pˆ i , xˆ k ]Ψ (r ) = h ∂ i ( x k Ψ) − x k
i
h
h
∂ i Ψ = δik Ψ
i
i
Nebenbemerkung: Hieraus können alle weiteren Kommutatoren berechnet werden.
Der Meßprozeß:
Φ − 1.MessungvonF → Φ´ − 2.MessungvonF → Φ´´
Dabei ändert sich der Zustand durch die Wechselwirkung mit dem Messapparat.
Die Messwerte sind F´ in
Φ´ und F´´in Φ´´ .
Forderung: F´ = F ´´
-> F´= F´´= Fn (Eigenwert)
Φ´ = Φ´´ = n Eigenzustand zu F̂
Also:
Φ → n
Der beliebige Zustand wird durch die Messung auf einen Eigenzustand projiziert.
Man spricht von einer Reduktion des Zustandsvektors durch die Messung.
68
Beispiel: Stern- Gerlach - Apparatur:
Von links kommt ein Ensemble von Teilchen mit dem magnetischen Moment mz.
Dabei kennzeichnet rechts
− 1 den Eigenzustand zu mz = -1
Erwartungswert = Mittelwert über viele Messungen mit identisch präparierten Ausgangszuständen
Ψ :
Ψ Fˆ Ψ = ∑ Ψ n n Fˆ n´ n´ Ψ
n,n´
n Fˆ n´ = Fn δnn´
⇒ Ψ Fˆ Ψ = ∑ Fn n Ψ
2
n
Mit der Wahrscheinlichkeit, im Zustand
p ( Fn ) = n Ψ
Ψ ( vor der Messung) den Messwert Fn zu messen:
2
Vergleiche dazu: Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Ortsdarstellung:
p (r ) = Ψ ( r) 2 = r Ψ
2
Wie wir bereits kennengelernt haben, läßt sich mit dem Projektionsoperator schreiben:
nΨ
2
= Ψ n n Ψ = Ψ Pˆn Ψ = Pˆn
Maximalmessung:
Es können nicht ALLE Observablen gleichzeitig scharf gemessen werden. Gleichzeitige Messung eines
vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen heißt MAXIMALMESSUNG.
Vollständig heißt: Der Satz kann durch keine weiteren unabhängigen Observablen ergänzt werden. Das heißt:
Die gemeinsamen Eigenzustände sind auch nicht entartet !
Bei Entartung: weitere vertauschbare Operatoren hinzufügen, bis die gemeinsamen Eigenräume eindimensional
sind
è der Zustand
n,α,... ist durch Maximalmessung vollständig bestimmt.
69
Spezialfall:
Falls Energie- Eigenwerte nicht entartet sind ( z.B. gebundene eindimensionale Zustände), so ist der
HAMILTON- OPERATOR
Ĥ eine vollständige Observable
Bei Entartung: Weitere, mit
Ĥ vertauschbare Observable hinzufügen (z.B. Drehimpuls, vergl. Kapitel 3)
Der Hilbertraum H eines physikalischen Systems wird durch die gemeinsamen Eigenvektoren (Basis) eines
vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen aufgespannt.
Nichtvertauschbarkeit und Unschärfe
F̂ und Ĝ hermitesche Operatoren und Ψ ein beliebiger Zustand.
∆Fˆ := Fˆ − Fˆ
Seien
∆Gˆ := Gˆ − Gˆ
Bilde:
sind ebenfalls hermitesche Operatoren
(
)(
f (λ) := ∆Fˆ + i λ∆Gˆ ∆Fˆ − iλ∆Gˆ
( )2
= ∆Fˆ
(∆Fˆ )2
[
]
)
( )2
− i λ ∆Fˆ , ∆Gˆ + λ2 ∆Gˆ
:= α ≥ 0
[∆Fˆ , ∆Gˆ ] := β
(∆Gˆ ) := γ ≥ 0
2
Dies ist eine quadratische Funktion von
λ mit f (λ) → ∞ für λ → ∞
Lemma:
Für hermitesche Operatoren
F̂ und Ĝ gilt:
Aˆ Aˆ ≥ 0
iAˆ
+
= − iAˆ
Aˆ Bˆ * = Bˆ Aˆ
Qˆ := ∆Fˆ − i λ∆Gˆ ⇒ Qˆ + := ∆Fˆ + i λ∆Gˆ :
f (λ) = Ψ Qˆ + Qˆ Ψ
Mit
Ψ Qˆ + = Φ
Qˆ Ψ = Φ
⇒ f ( λ) = Φ Φ ≥ 0 ∀λ
70
Suche nach dem Minimum:
f ´(λ) = −iβ + 2λγ = 0
i β
⇒ λ0 =
2γ
(∆Fˆ )2
:= α ≥ 0
[∆Fˆ , ∆Gˆ ] := β
(∆Gˆ ) := γ ≥ 0
2
f (λ0 ) = α +
[
β 2 β2
β2
−
= α+
≥0
2γ 4γ
4γ
[ ] = − [Gˆ , Fˆ ] [Fˆ , Gˆ ] = − [Fˆ , Gˆ ] * [Fˆ , Gˆ ] = − [Fˆ , Gˆ ]
(∆Fˆ ) (∆Gˆ ) ≥ 14 [Fˆ , Gˆ ]
β 2 = ∆Fˆ , ∆Gˆ
⇒
]
2
2
= Fˆ , Gˆ
2
2
2
2
Somit jedoch ergibt sich die quantenmechanische Unschärfe gemäß
(∆Fˆ )2 (∆Gˆ )2
≥
[ ]
1 ˆ ˆ
F, G
2
(Unschärferelation)
Speziell:
[ pˆ , xˆ ] = h 1
i
(∆pˆ )
2
(∆xˆ )
2
1
≥
2
[ pˆ , xˆ ] = h
2
Heisenbergsche Unschärferelation für die Orts- und Impulsunschärfe
71
Zusammenfassung
1)
Der Zustand des Systems wird im Zustandsvektor
Ψ ausgedrückt
F̂ .
3) Die Mittelwerte von Observablen ergeben sich als Erwartungswert Ψ F̂ Ψ
2)
Die Observable F wird dargestellt durch den hermiteschen Operator
4)
Die Messung von F liefert einen Messwert, welcher immer Eigenwert der Observablen ist, also Fn. Der
Zustand wird dabei auf einen Eigenzustand reduziert:
4)
ih
Ψ → n
Die Zeitentwicklung der Zustände wird durch die Schrödingergleichung beschrieben:
∂
Ψ = Hˆ Ψ
∂t
Nebenbemerkung: Die Quantenmechanik ist keine Wellen- oder Teilchenmechanik sondern eine
Zustandsmechanik. Der Dualismus zwischen Welle und Teilchen wird in einem einheitlichen Formalismus
aufgelöst.
72
2.5 Dynamik im Schrödinger- Heisenberg- und Wechselwirkungsbild
Betrachte die zeitabhängigen Zustände
ih
∂
Ψ
∂t
t
= Hˆ Ψ
Ψ
t
t
Die zeitabhängige Schrödingergleichung kann formal gelöst werden:
Ψ
t
=
i
− Hˆ t
h
e
Ψ
= U (t ,0) Ψ
0
0
Definition des Operators U geschieht über eine Potenzreihe:
U (t ,0) =
i
− Hˆt
h
e
=
∞
∑
n =0
n
1 i ˆ 
 − Ht  Zeitentwicklungsoperator
n!  h 
Setzt man dies in die Schrödingergelichung ein, so folgt:
∂ ∞ 1  i  ˆn
ih ∑
− t  H Ψ
∂t n=0 n!  h 
n
∞
1 i  ˆn
= Hˆ ∑
− t  H Ψ
n = 0 n!  h 
∞
n
0
0
= Hˆ ∑
n =1
1  i 
− t 
n − 1!  h 
n−1
Hˆ n−1 Ψ
0
Da H hermitesch ist, muss U(t,0) ein unitärer Operator sein !
H+ =H
Klar:
⇒U
+
∞
=
∑
n =0
n
1  i  ˆn
 t  H ⇒ U +U = 1
n!  h 
Die adjungierte Schrödingergleichung lautet:
∂
Ψ t Hˆ = −i h
Ψ
∂t
t
Mit der formalen Lösung:
Ψt = Ψ0
i ˆ
Ht
eh
= Ψ 0 U + (t ,0)
Der Erwartungswert eines Operators, der auch explizit zeitabhängig sein kann, z.B. über
(
)
A(t ) ergibt sich für
Fˆ = Fˆ rˆ , pˆ , t :
Fˆ = Ψ t Fˆ Ψ
t
d ˆ
d
F =
Ψ t Fˆ Ψ
dt
dt
t
= Ψ
t
∂Fˆ
Ψ
∂t
t
∂
d
+
Ψ t  Fˆ Ψ
 ∂t
 dt
t
∂

+ Ψ t Fˆ  Ψ t 
 ∂t

1
∂

Ψ t=−
Ψ t Hˆ

∂
t
i
h


∂
1
Ψ t = Hˆ Ψ t
∂t
ih
Also:
73
d ˆ
d
F =
Ψ t Fˆ Ψ
dt
dt
t
= Ψ
t
[
]
∂Fˆ i ˆ ˆ
+ H, F Ψ
∂t h
t
Ein nicht explizit zeitabhängiger Operator ist grundsätzlich zeitlich konstant, wenn er mit dem Hamiltonoperator
vertauscht.
Für einen nicht explizit zeitabhängigen Operator gilt folglich:
[Hˆ , Fˆ ] = 0 ⇒ dtd
Fˆ = 0
Klassisches Analogon: Poisson- Klammern
-
in der klassischen Mechanik finden wir analog die Poissonklammern:
Sei
F ( q , p , t ) eine klassische Observable und H (q , p ) die klassische Hamiltonfunktion, so gilt:
3 
d
∂
∂F ( q , p, t )
∂F ( q , p , t ) 
F (q , p, t ) = F ( q , p, t ) + ∑ 
q& i +
p& i 
dt
∂t
∂qi
∂p i

i =1 
3 
d
∂
∂F ( q , p, t ) ∂H ∂F ( q , p , t ) ∂H  ∂
 = F ( q , p , t ) + {H , F }
F (q , p, t ) = F ( q , p, t ) + ∑ 
−
dt
∂t
∂qi
∂pi
∂pi
∂q i  ∂t
i =1 
Also gilt in der Quantenmechanik die anschauliche Relation:
{H , F } → i [Hˆ , Fˆ ]
h
Definiere:
Observable " zeitliche Veränderung von
[
∂Fˆ i ˆ ˆ
Fˆ ° =
+ H, F
∂t h
F ( q , p , t ) " als Operator:
]
Fundamentalbeziehung der Dynamik der Quantentheorie, aber keine Differenzialgleichung für
Allgemeinen:
F̂ , da im
dFˆ
Fˆ ° ≠
dt
Der Operator der zeitlichen Veränderung ist lediglich über seinen Erwartungswert definiert:
d ˆ
Fˆ ° =
F
dt
Speziell gilt, analog zu den klassischen Hamiltonschen Gleichungen:
[ ]
[ ]
i
rˆ ° = Hˆ , rˆ
h
i
pˆ ° = Hˆ , pˆ
h
Merke dazu ( Ehrenfest- Theorem):
∂ t rˆ = 0
∂ t pˆ = 0
-> die partiellen Zeitableitungen verschwinden. Die Operatoren für Ort und Impuls sind nicht explizit
zeitabhängig !
Mit der Allgemeinen Hamiltonfunktion für ein Potenzial, nämlich
74
pˆ 2
Hˆ =
+ V ( rˆ )
2m
folgt:
[Hˆ , xˆ ] = hi ∂∂pHˆˆ
k
k
[Hˆ , pˆ ] = − hi ∂∂xHˆˆ
k
k
Also:
pˆ
rˆ ° =
m
ˆp ° = −∇V rˆ
()
Denn:
[Hˆ , xˆk ] = hi ∂∂pHˆ
h o
∂Hˆ
pˆ
xˆ k ⇒ xˆ o =
=
i
∂pˆ
m
k
h ∂Hˆ
∂Hˆ
=−
⇒ pˆ o = −
= −∇V (xˆ )
i ∂xˆ k
∂xˆ
ˆ
[Hˆ , pˆ k ]
=
Merke:
d
dt
d
dt
rˆ = rˆ °
pˆ = pˆ °
Woraus das Ehrenfestsche Theorem folgt:
d ˆ
1 ˆ
r =
p
dt
m
d ˆ
p = − ∇V rˆ
dt
∂ t rˆ = 0
da ja:
∂ t pˆ = 0
()
das heißt, die Erwartungswerte quantenmechanischer Observablen gehorchen den klassischen
Bewegungsgleichungen
Bilder:
Da die Erwartungswerte invariant bei unitären Transformationen U sind, sind Operatoren und Zustände nur bis
auf UNITÄR- ÄQUIVALENZ festgelegt:
Ψ → Ψ´ = U Ψ
Fˆ → Fˆ ´= UFˆ U +
Für verschiedene, zeitabhängige U erhält man sogenannte verschiedene "Bilder":
Im Folgenden gelte
∂Fˆ
= 0 , also keine explizite Zeitabhängigkeit !
∂t
Merke: Hat man ein Bild gefunden, so kann man die Zustände und Operatoren durch eine beliebige unitäre Trafo
"verdrehen" und man hat ein neues Bild !
75
Schrödingerbild:
Operatoren
FˆS (rˆ , pˆ ) zeitunabhängig
Eigenvektoren
n zeitunabhängig
Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren:
Ψ zeitabhängig ( Die Zeitabhängigkeit wird dabei durch die
Schrödingergleichung beschrieben):
ih
∂
Ψ
∂t
t
= Hˆ Ψ
t
Veranschaulichung im
R2 :
Unitäre Transformationen, wie die Zeitentwicklung, sind IMMER Drehungen im Hilbertraum!
Im Schrödingerbild werden somit die Zustände im Hilbertraum durch unitäre Transformationen gedreht !
R 2 entspricht F̂S einer 2x2- Matrix, definiert eine symmetrische, quadratische Form. ( Übungsaufgabe !)
Im
Die Eigenvektoren des Systems sind Hauptachsen und die Zeitentwicklung des Zustandes folgt:
Ψ
t
= U (t ,0) Ψ
0
Das Heisenbergbild
FˆS = Ψ t Fˆ S Ψ
t
= Ψ 0 U + (t ,0) Fˆ SU (t ,0) Ψ
0
+
U (t ,0) FˆS U ( t ,0) = FˆH (t )
In diesem Bild sind die
Operatoren
FˆH (t ) zeitabhängig
und damit Eigenvektoren
n zeitabhängig
Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren:
Veranschaulichung im
Ψ = Ψ
0
zeitunabhängig:
R2 :
Im Heisenbergbild werden folglich die Operatoren und ihre Eigenvektoren ( zwangsläufig) unter unitären
Transformationen im Hilbertraum verdreht ( als Zeitentwicklung).
76
Aus
FˆH (t ) =
i ˆ
i
Ht
− Hˆ t
e h FˆS e h
folgt:
i
i
i
i
Hˆ t
− Hˆ t
Hˆ t
− Hˆ t
d ˆ
i
i
FH (t ) = Hˆ e h FˆS e h + e h FˆS  − Hˆ e h
dt
h
 h 
Also:
[
]
d ˆ
i
FH (t ) = Hˆ , FˆH ( Operatoren im Heisenbergbild gehorchen der Von- Neumanndt
h
Bewegungsgleichung)
Somit folgt für das Heisenbergbild:
[
d
i
Fˆ ° H = FˆH (t ) = Hˆ , FˆH
dt
h
]
Insbesondere gilt:
d ˆ
HH = 0
dt
also die bildunabhängige Darstellung
Hˆ H = Hˆ S = Hˆ
Merke: Der Hamiltonian ist grundsätzlich bildunabhängig.
Wechselwirkungsbild
Sei
Hˆ = Hˆ 0 + Hˆ 1
0
1
mit dem ungestörten Hamiltonoperator Ĥ und der Störung Ĥ .
Es gilt die Zeitentwicklung des Operators F für das Wechselwirkungsbild:
FˆW (t ) =
i ˆ0
i
H t
− Hˆ 0t
e h FˆS e h
Somit gilt wieder die Relation
[
d ˆ
i
FW (t ) = Hˆ 0 , FˆW
dt
h
]
Also:
d ˆ0
H =0
dt
77
Somit ist auch hier der ungestörte Hamiltonian
Aber:
[
] [
Hˆ 0 = Hˆ S = Hˆ H bildunabhängig.
]
d ˆ
i
i
HW ( t ) = Hˆ 0 , Hˆ W = Hˆ 0 , Hˆ 1 ≠ 0 im Allgemeinen
dt
h
h
FˆS = Ψ t Fˆ S Ψ
Ψ
t
i
− Hˆ 0t
h
e
i
+ Hˆ 0t
h
e
Fˆ
i
+ Hˆ 0t
h
e
= Ψ
i
− Hˆ 0 t
h
e
S
Ψ
0
FˆS = Ψ
= Ψ
t
S
i
i
− Hˆ 0 t + Hˆ 0t
h
h
e
e
Ψ
t
W
= FˆW (t )
= Ψ
W
t
i
i
− Hˆ 0t + Hˆ 0 t
h
h
e
e
Fˆ
W
FˆW ( t ) Ψ
W
Bemerkung: Die Erwartungswertbildung formal gilt natürlich für alle Bilder.
d
⇒
Ψ
dt
i
W
i ˆ 0 + h Hˆ
= H e
h
0
t
Ψ
t
i
+ Hˆ 0 t
+e h
i
∂
Ψ
∂t
t
− Hˆ t
∂
1
1
Ψ t = Hˆ S Ψ t = Hˆ S e h
ΨW
∂t
ih
ih
d
1
⇒
ΨW =
− Hˆ 0 Ψ W + Hˆ W Ψ W
dt
ih
wegen
(
i
+ Hˆ 0t
e h Hˆ
i
+ Hˆ 0t
e h
i
− Hˆ 0 t
e h
S
Ψ
t
= Ψ
0
)
= Hˆ W
W
Aber:
Hˆ W = Hˆ 0 + Hˆ 1
d
1
⇒
Ψ W = Hˆ 1 Ψ W
dt
ih
d
1
⇒
Ψ W = Hˆ W 1 Ψ W
dt
ih
d ˆ
i ˆ0 ˆ
FW (t ) = H , FW
dt
h
[
]
Merke: Die Zeitentwicklung der Zustände erfolgt hier über den Störoperator im Hamiltonian:
Ψ
W
(t ) =
i ˆ1
Ht
h
e
Ψ
W
(0)
Zur Verdeutlichung des Wechselwirkungsbildes soll auch der Hamiltonoperator einen Index erhalten.
Dies bedeutet: Operatoren, Eigenvektoren und allgemeine Zustände sind zeitabhängig.
Operatoren
FˆW (t ) zeitabhängig, Abhängigkeit gegeben durch ungestörten Hamiltonoperator Ĥ 0
und damit Eigenvektoren
n zeitabhängig, ebenso durch den ungestörten Hamiltonian
78
Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren:
Störoperator
Ψ
W
zeitabhängig mit gegebener Zeitentwicklung durch den
Hˆ W 1 .
2.6 Der harmonische Oszillator
Anwendungsbeispiel der abstrakten Darstellung im Hilbertraum: der eindimensionale harmonische Oszillator
pˆ 2 mω2 2
Hˆ =
+
xˆ Als Hamiltonoperator
2m
2
Es gilt die Vertauschungsrelation
[ pˆ , xˆ ] = h
i
Besser:
[ pˆ l , xˆ k ] = h δkl
i
Definition eines Operators, des Leiteroperators ( nicht hermitesch !!)
a :=
1
)
mω
p−i
xˆ
2h
2mhω
1
mω
)
p+i
xˆ
2h
2mhω
1 ) 2 mω 2
i )
⇒ aa + =
p +
xˆ +
( pxˆ − xˆ p) ) = 1 p) 2 + mω xˆ 2 + i [ p) , xˆ ]
2mhω
2h
2h
2 mhω
2h
2h
[ p) , xˆ ] = h
i
1 ) 2 mω 2 1
1 ˆ 1
⇒ aa + =
p +
xˆ + =
H+
2mhω
2h
2 hω
2
a + :=
Merke:
Ausgangspunkt unserer ganzen Überlegungen ist eine Definition, nämlich die Definitiond er Leiteroperatoren:
a :=
1
mω
)
p −i
xˆ
2h
2 mhω
a + :=
1
)
mω
p+i
xˆ
2h
2mhω
Ebenso:
1 ) 2 mω 2
i )
p +
xˆ −
( pxˆ − xˆ p) ) = 1 p) 2 + mω xˆ 2 − i [ p), xˆ ]
2mhω
2h
2h
2 mhω
2h
2h
[ p), xˆ ] = h
i
1 ) 2 mω 2 1
1 ˆ 1
⇒ a +a =
p +
xˆ − =
H−
2 mhω
2h
2 hω
2
a +a =
[
]
⇒ a, a + = 1
aa + + a + a =
2 ˆ
H
hω
Somit:
79
(
)
(
)
1
1
Hˆ = hω aa + + a + a = hω a + a + 1 + a + a = hω a + a +
2
2

1

2
Merke dazu:
aa + =
1 ) 2 mω 2
i )
p +
xˆ +
( pxˆ − xˆp) ) = 1 p) 2 + mω xˆ 2 + i [ )p, xˆ ]
2 mhω
2h
2h
2mhω
2h
2h
Somit:
i )
[ p, xˆ ] als verantwortlicher Term für die Grundzustandsenergie:
2h
1
E0 = hω
2
Also: Die Grundzustandsenergie folgt direkt aus der Unschärfe !
Weitere Vertauschungsrelationen:
(aa )a = h1ω Hˆ a + 12 a
1 ˆ 1
= a (a a ) =
aH − a
hω
2
⇒ [a, Hˆ ] = aHˆ − Hˆ a = hωa
+
+
Ebenso die adjungierteVersion:
[
] ( ) ( )
− a + , Hˆ = aHˆ ´* − Hˆ a * = hωa +
Verallgemeinerung
( )
( )
a, a + n  = n a +


n −1
=
∂
∂a +
(a )
+ n
Beweis: Vollständige Induktion:
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )[ ]
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
a, a + 1  = 1


∂

+ n
+ n −1
+ n
Sei a, a
=
n
a
=
a
für n ≥ 1


∂a +
a, a + n+1  = a a + n+1 − a + n+1 a = a a + n+1 − a + n aa + + a +


n+1  
n
n
⇒  a, a +
= a , a +  a + + a + a, a +


 

a, a + n  = n a + n −1


n+1 
+ n −1 +
+ n
+ n
⇒  a, a +
=
n
a
a
+
a
=
(
n
+
1
)
a


n=1
Adjungierte Version:
[a
+
]
, a n = −n(a ) n−1 = −
( ) aa − (a )
n
+
+ n+1
a
∂
(a ) n
∂a
80
Somit gilt für beliebige, in Potenzreihen von Auf- oder Absteiger entwickelbare Funktionen f:
[a , f (a )] = ∂a∂ f (a )
[a , f (a )] = − ∂∂a f (a )
+
+
+
+
Eigenwerte von H
Sei
E ein normierter Eigenvektor von Ĥ mit Hˆ E = E E
So gilt:
hω
hω
hω
hω E a + a E = E Hˆ −
E = EE−
E =E−
2
2
2
E a +a E = Ψ Ψ ≥ 0
Das bedeutet:
hω
2
Das Energiespektrum ist also nach unten beschränkt und gleichzeitig vernichtet der
hω
E≥
⇔aE =0
2
E≥
Absteigeoperator den Zustand mit der niedrigsten Energie
Behauptung
a E ist Eigenzustand zu Ĥ mit dem Eigenwert E − hω :
ˆ a E = ( E − hω)a E
Also: H
Beweis:
(
)
Dabei gilt
(
)
(
)
Hˆ a E = aHˆ − hω a E = a Hˆ − hω E = a( E − hω) E = ( E − hω)a E
Hˆ a E = aHˆ − hω a E
wegen
[a, Hˆ ] = hωa
Durch wiederholte Anwendung könnte man Eigenzustände
E ≠ 0 mit beliebig tiefer Energie erzeugen, wenn
hω
gelten würde.
2
m
m−1
Daher existiert ein m ∈ N so dass a E = 0 aber a
E ≠0
nicht
E≥
Also definiere man einen Grundzustand:
0 := a m−1 E
Vorsicht ! Dieser ist gerade nicht ein NULL- KET,
sondern: Der Zustand zur Quantenzahl n=0
1
1
Hˆ 0 = hω a + a +  0 = hω 0
2
2

wegen
a 0 = am E = 0
Also:
E0 =
hω
2
a 0 = am E = 0
81
Weiter:
(
)
(
)
hω
3hω +
Hˆ a + 0 = a + H + hωa + 0 = a + Hˆ + hω 0 = a + 
+ hω 0 =
a 0
2
 2

[a , Hˆ ] = −hωa
Der erste Schritt gilt wieder wegen der Vertauschungsrelation
+
+
Das heißt nun aber, dass a
+
Vollständige Induktion
( )
Hˆ a +
Dann:
n
( )
1
0 = hω n +  a +
2

( )
Hˆ a +
0 der Eigenzustand von Ĥ zum Eigenwert
(
n+1
0
)( )
0 = a + Hˆ + hωa + a +
(Hˆ + hω)(a + )n 0
( )
n
( )
)( )n 0
0 = a + Hˆ + hω a +
Normierung der Eigenzustände
(a )
+ n
)( )n 0
(
0 = a + Hˆ + hω a +
 
1

=  hω n +  + hω a +
2
 

(
n +1
⇒ Hˆ a +
n
3hω
ist.
2
n
0
( )
1

= hω n + 1 +  a +
2

n+1
0
0 :
Der Grundzustand sei normiert:
0 0 =1
Dann folgt für den n-ten angeregten Zustand:
( )
n
n = αn a +
0 mit Normierungsfaktor αn :
1 =! = n n = αn
( )
0 an a+
n
0 = 0 a n−1
wegen
( )
( ) 0



 (a ) a + a, (a )   0



0 an a+
2
n
+ n
+ n
( )
a, a + n  = n a +


n−1
Somit:
( ) 0 = 0 a  (a ) a + a , (a )   0 = 0 a (a ) a 0 + n 0 a (a )
0 a (a ) a 0 = 0
(a ) a 0 ⇒ ... ⇒
⇒ n 0 a (a ) a 0 = n(n − 1) 0 a
0 an a+
n −1
n
n−1
+ n
+ n
n−1
+ n
n−1
+ n−1
0
+ n
+ n −1
n −1
n −2
+ n− 2
Dieser Algorithmus wird n- mal angewendet:
( )
n
⇒ 0 a n a + a 0 = n! 0 0 = n!
Somit folgt bis auf einen willkürlichen Phasenfaktor:
n =
( )
1
a+
n!
n
0 für NORMIERTE EIGENZUSTÄNDE des harmonischen Oszillators
82
und diese gehören zu den Energiewerten

En = hω n +

Hˆ n = E n n
1

2
Quantensprechweise:
1
1
En − E n−1 = hω n +  − hω n − 1 +  = hω ist die Energie eines "Schwingungsquants". Man sagt
2
2


auch, es IST ein Schwingungsquant !
n ist ein Zustand mit n Schwingungsquanten ( Phononen) der Frequenz ω
a ist der Vernichtungsoperator für Schwingungsquanten
a + der Erzeugungsoperator für Schwingungsquanten
n
n
1
1  + n
1
an =
a a+ 0 =
a +  a, a +   0 =
n a+
a


n!
n! 
n!
n+1
1
a+ n =
a+
0 = n +1 n +1
n!
( )
( )
( )
( )
n −1
0 = n n −1
( )
Teilchenzahloperator
N := a + a
N n = a+ a n = a+ n n −1 = n n n = n n
In Übereinstimmung mit
1
1
Hˆ n = hω a + a +  n = hω n +  n
2
2


Veranschaulichung
Die folgende Grafik demonstriert die äquidistanten Energieniveaus im Oszillatorpotenzial. Dabei werden die
stationären Zustände
2
ϕ(x ) dargestellt, also als Aufenthaltswahrscheinlichkeit
83
Die Bewegung eines Wellenpaketes im Harmonischen Oszillator, also im x²- Potenzial für
σ=
0,5σ0
, also
2
σ0
σ
, wobei 0 das σ des Grundzustands darstellt, sieht folgendermaßen aus:
2
2
σ
Es ist das σ = 0 für die kohärenten / Glauber - Zustände
2
mit einem
σ<
Das heißt: Die Standardabweichung des quantenmechanischen Oszillators ist kleiner als bei Berechnung über
Glauberzustände ( kohärente Zustände)
Zusammenhang mit der Ortsdarstellung
Bisher haben wir vollständig darstellungsfrei gerechnet ! Nun soll die darstellungsfreie Rechnung durch
Operatoren in expliziten Darstellungen ersetzt werden !
Mit
1
mω
)
p −i
xˆ gilt:
2h
2mhω
1
mω 
)
p−i
xˆ ϕn ( x)
2h 
2mhω
ϕn ( x ) = x n und a :=

h d 
a  x ,
ϕn ( x ) = 
 i dx 

ξˆ :=
mω
xˆ
2h
mω
x
2h
1 ˆ d 
 h d 
⇒ a x,
ξ +
ϕn (ξ)
ϕn ( x) =
dξ 
 i dx 
i 2 
mω
ξˆ :=
xˆ
2h
ξ :=
Dabei gilt:
ξ :=
mω
x
2h
sind dimensionslose Größen, die sogenannten Normalkoordinaten !
84
In
1 ˆ d 
 h d 
⇒ a x,
ξ +
ϕn (ξ) wird über
ϕn ( x) =
dξ 
 i dx 
i 2 
ˆ d 
 ξ +
 der Impulsanteil durch die
dξ 

Ortsdarstellung des Impulsoperators ersetzt.
Den Grundzustand gewinnt man leicht aus dem Ansatz
Wegen
a ϕ0 = 0 mit ϕ0 := 0
a 0 = 0 folgt für n=0:

d 
0 = ξˆ +
ϕ0 (ξ)
dξ 

dϕ0
⇒
= −ξdξ
ϕ0
Somit ergibt sich:
ϕ0 (ξ) = A0
 ξ2 
 − 
e 2 
1
 mω  4
A0 = 

 hπ 
Wobei sich A0 aus der Normierung ergibt. Der Grundzustand im Oszillator ist also ein Gaußzustand, eine
normierte Gaußglocke mit einer Halbwertsbreite, die in ξ enthalten ist.
Für die angeregten Zustände gilt:
ϕ1 (ξ) = a +ϕ0 (ξ) =
1
⇒ ϕ1 (ξ) = −
i 2
1 
d 
1
 ξ −
ϕ0 (ξ) = −
dξ 
i 2
i 2
 ξ2 
 
e 2 
(
2
d
A0e (−ξ )
dξ
ξ 2 
 
e 2 
  −ξ 2 


d   2 
ϕ0 (ξ) 
e
dξ 



)
1
 mω  4
A0 = 

 hπ 
Die angeregten Zustände werden also einfach durch Anwendung des Aufsteigeoperators aus dem Grundzustand
erzeugt !
Für den n-ten angeregten Zustand ( Induktion !) damit:
ϕn (ξ) =
A0
n
(a )
+ n
n!
ϕ0 (ξ) =
n

d 
1
ξ −
 ϕ0 (ξ) = n
dξ 
i
2 n n! 
1
in
A0
2 n n!
(− 1)
ξ 2 
 
n  2 
e
dn
( dξ )
n
e −ξ
2
:= An
2 n!
1
 mω  4
A0 = 

 hπ 
(− 1)
 ξ2 
 
n  2 
e
dn
(dξ )n
e
−ξ 2
:= H n (ξ)e
−
ξ2
2
85
Dabei kann
und
1
in
als Phasenfaktor ( für die Wahrscheinlichkeit irrelevant) weggelassen werden
H n bezeichnet die sogenannten Hermiteschen Polynome vom Grad n.
Die Eigenzustände des harmonischen Oszillators beinhalten also die Hermité- Polynome
ϕn (ξ) =
1
A0
in
2 n n!
(− 1)
ξ 2 
 
n  2 
e
dn
( dξ ) n
e −ξ
2
1
⇒ ϕn (ξ) =
 mω  4


 hπ 
(− 2 )
n
H n (ξ) e
−
ξ2
2
n!
Explizit lauten diese Hermiteschen Polynome ( wie aus obiger Relation berechnet werden kann):
H 0 (ξ) = 1
H1 (ξ) = 2ξ
H 2 (ξ) = 4ξ 2 − 2
H 3 (ξ) = 2ξ 3 − 12ξ
Letztendlich bezeichnet
(− 1)n die Parität von ϕn
Die Wellenfunktionen im Oszillatorpotenzial ( die Wurzeln der Wahrscheinlichkeiten) werden folgendermaßen
schematisch dargestellt:
Für das Wasserstoffatom ergeben sich als Wellenfunktion die Kugelflächenfunktionen
Yl m (ϑ, ϕ) .
Bei Polardiagrammen gibt dabei der Betrag des Radiusvektors, der das Diagramm zeichnet
2
r = Yl m (ϑ,ϕ) das Betragsquadrat der Kugelflächenfunktion an.
Also die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons im Kraftfeld des Protons.
Dabei gibt es für verschiedene Drehimpulsquantenzahlen L verschiedene Wellenfunktionen zum gleichen
Energieeigenwert. Die Niveaus sind ( ohne den Spin) L+1 - fach entartet ! die Charakterisierung erfolgt durch
die magnetische Quantenzahl m
86
Einwurf:
Kohärente (quasiklassische) Zustände
Abstract
Untersucht man die stationären Zustände
ϕn
des harmonischen Oszillators, so sind die Erwartungswerte von
Ort und Impuls in einem solchen Zustand Null. Statt dessen ergeben sich von Null verschiedene
Erwartungswerte
X̂ 2 und P̂ 2 , sogenanntes Quantenrauschen, welches für die Heisenbergsche
Unschärferelation verantwortlich ist.
Aus der klassischen Mechanik ist jedoch bekannt, dass Ort und Impuls eines Oszillators sich periodisch ändern.
Sie können nur dann konstant gleich null sein, wenn das auch für die Energie der Fall ist.
87
Für die Energie gilt jedoch:
1
Hˆ = (n + ) hϖ . Bekanntlich gelangt die Quantenmechanik für große
2
Quantenzahlen hinsichtlich ihrer Ergebnisse zu den gleichen Resultaten wie die klassische Mechanik.
Es drängt sich also die Frage auf: Kann man Quantenzustände konstruieren, für die die physikalischen
Voraussagen der Quantenmechanik zumindest bei einem makroskopischen Oszillator mit den Aussagen der
klassischen Mechanik identisch sind ?
Derartige Zustände existieren. Es sind kohärente Überlagerungen aller stationären Zustände
ϕn . Man nennt
sie deshalb auch quasiklassische oder kohärente Zustände.
Bei der elektromagnetischen Strahlung kann man den Fall beobachten, dass klassische Lösungen übergehen in
Effekte, die deutlichen Quantencharakter zeigen. Die Interferenz von Photonen am Doppelspalt bei äußerst
geringen Intensitäten ist nur ein Beispiel. Die kohärenten Zustände spielen deshalb auch in der Quantenoptik
eine große Rolle. Sie wurden von Glauber eingeführt und heißen demnach auch
Glauberzustände.
Bekanntlich vertauschen die Operatoren für Ort und Impuls nicht. Ein Zustand, aus dem exakt die klassischen
Ergebnisse resultieren kann demnach gar nicht existieren.
Wir begnügen uns mit der Suche nach einem Zustand, für den zu einer beliebigen Zeit t die Erwartungswerte von
Ort , Impuls und Energie möglichst nahe an den entsprechenden klassischen Werten liegen.
Das Ergebnis wird ein Kompromiss sein, bei dem keine der drei Observablen vollständig bestimmt ist, jedoch
wird sich herausstellen, dass man im makroskopischen Grenzfall die Standardabweichungen der Größen
gänzlich vernachlässigen darf. Am Beispiel eines makroskopischen Oszillators wird gezeigt, dass beispielsweise
die Ortsunschärfe weit unter einem Kerndurchmesser liegt und damit die Ergebnisse der klassischen Mechanik
weit genauer sind als dass man in makroskopischen Grenzfällen ihre Abweichungen mit physikalischen
Methoden heute messen könnte.
Der klassische Oszillator
Wir erinnern uns an die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen des Oszillators mit Masse m und Kreisfrequenz
ω:
d
1
x (t ) = p (t )
dt
m
d
p(t ) = −mω2 x (t )
dt
Ansatz sind immer die HAMILTONSCHEN GLEICHUNGEN !
Für den Übergang in die Quantenmechanik werden die Hamiltonschen Gleichungen mit dem Absteiger/
Aufsteiger- Formalismus formuliert !
Der Einfachheit halber werden dimensionslose Größen eingeführt:
xˆ (t ) = βx (t )
1
pˆ (t ) =
p( t )
hβ
β=
mω
h
Damit haben wir hier:
xˆ (t ), pˆ (t ) als Normalkoordinaten. Ich bitte, den wechselhaften Formalismus zu
entschuldigen ! Hier beschreibt nun ausnahmsweise das "Dach" die Normalkoordinaten !
88
Die Bewegungsgleichungen lauten:
d
xˆ (t ) = ω pˆ (t )
dt
d
pˆ (t ) = −ω xˆ (t )
dt
Klassisch ist ein solcher Oszillator bestimmt, wenn für alle Zeiten Ort und Impuls bekannt sind. Das Problem
des Oszillators eines Freiheitsgrades ist also zweidimensional, man fasst die beiden Größen x und p zu einer
komplexen Größe
α(t ) =
1
[xˆ (t) + ipˆ (t) ] zusammen.
2
Das Gleichungssystem ist dann äquivalent zu einer Gleichung
d
α(t ) = −i ωα( t )
dt
Die Lösung lautet
α(t ) = α( 0) exp( −i ωt ) mit α(0) = α0 =
1
[xˆ (0) + ipˆ ( 0)]
2
1
[xˆ (t) + ipˆ (t) ] einen Vektor, der mit der
2
xˆ (t )
Winkelgeschwindigkeit − ω um den Ursprung rotiert. Dabei gibt die Abszisse
an, auf der Ordinate findet
2
pˆ ( t )
sich
. Die Darstellung ist also sehr einfach und eine Bewegung mit bestimmten Anfangsbedingungen ist
2
durch den Punkt α0 bereits vollständig charakterisiert.
1
Aus α(t ) = α( 0) exp( −i ωt ) ergibt sich mit α(t ) =
[xˆ (t) + ipˆ (t) ] nun:
2
1
xˆ (t ) =
[α(0) exp( −iωt) + α( 0) * exp(iωt )]
2
−i
pˆ (t ) =
[α(0) exp(−iωt) − α( 0) * exp(iωt )]
2
In der komplexen Ebene beschreibt α(t )
=
Die klassische Energie des Systems ist zeitlich konstant:
1
[ p (0) ]2 + 1 mω2 [x( 0) ]2
2m
2
hω
E=
[ p (0) ]2 + [ x( 0)]2 = hωα0
2
E=
{
}
2
Für einen makroskopischen Oszillator ist die Energie viel größer als
hω . Also gilt α0 >> 1
89
Definition der quasiklassischen Zustände
Ziel: Die Erwartungswerte
Xˆ , Pˆ , Hˆ sollen zu allen Zeiten praktisch gleich den Werten xˆ, pˆ , Hˆ der
klassischen Bewegung sein.
Einfach ist die Berechnung der Erwartungswerte in algebraischer Schreibweise. Ort, Impuls und Energie werden
dabei durch Auf- und Absteiger ausgedrückt:
1
Xˆ = βX =
(a + a + )
2
1
i
Pˆ =
P=−
(a − a + )
hβ
2
1
Hˆ = hω( a + a + )
2
a + = a * ist zunächst a wieder als "komplexer, nicht hermitescher Operator" zu sehen, dessen
wegen
Realteil dem Ort und dessen Imaginärteil dem Impuls entspricht.
Umgekehrt: Wir betrachten Ort- und Impuls als Real- und Imaginärteil eines noch unbestimmten und zu
bestimmenden Operators, des "Aufsteigers". Dieser ist dann nicht- hermitesch !
Die zeitliche Entwicklung eines Matrixelements erfolgt durch die Differentialgleichung
d
a ( t ) = [a, H ] ( t )
dt
[a, H ] = hω a , a + a = hω a
ih
[
]
wegen:
d
i
a (t ) = [H , a ] (t )
dt
h
Also folgt eine Differentialgleichung für den Absteiger
a (t ) = a ( 0)e ( −iω t )
mit
[a , H ] = hω[a
+
+
]
, a + a = −hω a + folgt:
a + (t ) = a + ( 0)e ( iωt ) = a * ( 0)e ( iωt )
Also:
ih
[
]
d +
a = a + , H = −hω a +
dt
Diese Bewegungsgleichungen für Auf- und Absteiger entsprechen der klassischen Gleichung
α(t ) = α( 0) exp( −i ωt )
90
Werden die Lösungen für die zeitliche Entwicklung dieser Operatoren in unsere Definition von Energie,Ort und
Impuls eingesetzt, so ergibt sich:
Xˆ ( t ) =
[
1
1
(a + a + ) =
a ( 0)e −iω t + a * ( 0)e i ωt
2
2
[
]
i
i
(a − a + ) = −
a ( 0)e −iω t − a * ( 0)e i ωt
2
2
1
hω
Hˆ (t ) = Hˆ ( 0) = hω ( a + a + ) = hω a + a (0) +
2
2
Pˆ ( t ) = −
]
Vergleicht man dies mit der Lösung für den klassischen Fall ( Remember: Ort und Impuls wurden als komplexe
Zahl
α(t ) =
1
[xˆ (t) + ipˆ (t) ] zusammengefasst, deren Bewegungsgleichung d α(t ) = −iωα( t) beide
dt
2
Hamiltonsche Gleichungen erfüllt), die denn lauteten:
1
[α(0) exp( −iωt) + α( 0) * exp(iωt )]
2
−i
pˆ (t ) =
[α(0) exp(−iωt) − α( 0) * exp(iωt )]
2
xˆ (t ) =
So ist notwendig und hinreichend für unsere Bedingung
Xˆ ( t ) = xˆ (t )
Pˆ ( t ) = pˆ (t )
dass
a (0) = α0
Fazit:
Nach Aufstellen der Quantisierungsbedingungen ( Kommutatoren) und der Bewegungsgleichungen
H mit dem klassischen
(Ausgangspunkt) werden die eigentlichen Glauberzustände konstruiert, indem
Ergebnis verglichen wird.
Unser Ziel war es nun also, durch den Vergleich mit dem komplexen Parameter zur Charakterisierung der
klassischen Bewegung Zustände zu suchen, in denen die klassische Bewegung quantenmechanisch möglichst gut
approximiert wird. Diese Zustandsvektoren müssen normierbar sein und wir erhalten als erstes die Bedingung
a (0) = Ψ( 0) a Ψ( 0) = α0
( Normierbarkeitsbedingung)
Eine weitere Bedingung wurde uns durch die Energie geschenkt, für die gilt:
1
hω
Hˆ (t ) = Hˆ (0) = hω ( a + a + ) = hω a + a ( 0) +
= hωα0
2
2
2
( Energiebedingung, gerade angesprochen)
Näherung:
Da für einen klassischen Operator
Bedingung an den Zustandsvektor
α0 >> 1 können wir den Term
a + a (0) = α0
hω
vernachlässigen und es gilt als zweite
2
2
91
Diese beiden Bedingungen genügen jedoch zur Bestimmung des normierten Vektors
Ψ ( 0) bis auf einen
Phasenfaktor.
Merke: nach obiger Definition gilt:
2
α =
p2
1
ω
+ q 2m
2mωh 2
h
Grundsätzliches Vorgehen beim Problem , etwas quantisieren zu müssen:
Ausgangspunkt ist immer die Schrödingergleichung bzw. die Von- Neumann- Bewegungsgleichung und die
Vertauschungsrelation. Man muss also Vertauschungsrelationen aufstellen. Das ist die eigentliche Quantisierung.
Hier haben wir entsprechend dieser Aussage
d
a ( t ) = [a, H ] ( t )
dt
[a, H ] = hω a , a + a = hω a
ih
[
]
verwendet ! ( Im Heisenbergbild !)
Wirkung des Vernichtungsoperators auf quasiklassische Zustände
Mit dem Operator
b = a − α0
Kann die Norm des Kets
b(α0 ) Ψ0 berechnet werden:
Ψ0 b + (α0 )b(α0 ) Ψ0 = Ψ0 a + a Ψ0 − α0 Ψ0 a + Ψ0 − α0 * Ψ0 a Ψ0 + α0 * α0
Mit
a (0) = Ψ( 0) a Ψ( 0) = α0 und a + a (0) = α0
2
folgt dann:
Ψ0 b + (α0 )b(α0 ) Ψ0 = α0 * α0 − α0α0 * −α0α0 * +α0 * α0 = 0
Jedoch ist nur der Nullvektor vom Betrag Null, woraus folgt:
b(α0 ) Ψ0 = 0
also:
a Ψ0 = α0 Ψ0
Somit folgt aus unseren Bedingungen, dass
Ψ0 Eigenzustand zum Vernichtungsoperator mit dem Eigenwert
α0 sein muss, damit der Zustandsvektor Ψ0 den Bedingungen einer klassischen Bewegung mit dem
Parameter
α0 genügt. Im Folgenden heiße Ψ0 := α0 . Der Eigenvektor von a zum Eigenwert α ist α :
a α =αα
Aus dieser Eigenwertgleichung lassen sich die Lösungen
α bestimmen, indem α in den
quantenmechanischen Eigenzuständen des harmonischen Oszillators entwickelt wird. ( Diese ergeben sich durch
Lösung der Schrödingergleichung):
α = ∑ c n (α) ϕn
n
Die Wirkung des Absteigers auf die qm- Eigenzustände ist jedoch bekannt:
a α = a∑ c n (α) ϕn = ∑ c n (α) n ϕn −1 = α α = α∑ cn (α) ϕn
n
n
n
92
∑ c n (α)
n ϕn−1 = α∑ cn (α) ϕn
n
n
→ cn +1 (α) =
(Verschiebung des Summationsindex)
α
c n (α)
n +1
Man hat also eine Rekursionsformel für die Entwicklungskoeffizienten gefunden:
αn
c 0 (α)
n!
Es bleibt nun also, c 0 (α) zu bestimmen. Allerdings kennen wir weitere Bedingungen an die c n (α) . So sollten
c n (α) =
nämlich alle Zustände
α normierbar sein. Dies bedeutet jedoch, da die quantenmechanischn Eigenzustände
selbst normiert sind:
∑
n
cn (α) = 1 = ∑
2
n
2
| α |2n
| c0 (α) | 2 =| c0 (α) | 2 e|α|
n!
Vereinbaren wir noch, dass c 0 (α) reell und positiv sein soll, so ergibt sich:
c 0 (α) =
− |α | 2
e 2
→ α =e
−
|α |2
2
αn
∑ n! ϕn
n
Die kohärenten Zustände sind damit vollständig bestimmt.
Die
ϕn sind die bekannten, oben bestimmten Zustände des rein quantenmechanischen Oszillators.
Erwartungswerte und Streuungen von Energie, Ort und Impuls
Nun kann man die Energie eines Oszillators im kohärenten Zustand
α =e
−
|α |2
2
αn
∑ n! ϕn berechnen und
n
mit dem klassischen Ergebnis vergleichen:
1
En = (n + )hω mit der
2
2n
2 |α |
= e −|α|
. Dies ist eine Poisson- Verteilung.
n!
Eine Energiemessung liefert den Wert
Wahrscheinlichkeit
Pn (α) = c n
2
Man sieht, dass auch die Wahrscheinlichkeiten einer Rekursion genügen:
Pn (α) =
| α |2
Pn−1 (α)
n
Aus dieser Beziehung läßt sich ableiten, dass
Pn (α) für n = ganzzahliger Teil von | α | 2 maximal wird ( unter
der Bedingung, dass n ganzzahlig ist).
Mit
Hˆ
α a + a α = α* α sieht man:
α
1
1
1
= hω α  a + a +  α = hωα *α +  = hω| α | 2 + 
2
2
2



93
| α |>> 1 ,sieht man also, dass die im kohärenten
Zustand zu erwartende Energie nur wenig von der Energie E n abweicht, die bei Messung in ϕn mit
Für unserer Bedingung an makroskopische Oszillatoren:
maximaler Wahrscheinlichkeit
Pn (α) zu erwarten ist.
Ebenso einfach kann man mit Hilfe von
[a , a ] = 1 den Erwartungswert
+
2
Hˆ 2
1
1


= h ω α a + a +  α = h ²ω² | α | 4 +2 | α | 2 +  berechnen
2
4


2
α
2
und man erhält dann eine Standardabweichung
∆Hˆ α = hω | α |
Die relative Standardabweichung
∆Hˆ α
1
≈
<< 1 für große | α |
|α |
Hˆ
α
Damit ist die Energie im kohärenten Zustand relativ gut bestimmt
Remember:
1
Xˆ = βX =
(a + a + )
2
1
i
Pˆ =
P=−
(a − a + )
hβ
2
Somit, wie jeder leicht nachrechnen kann, ergibt sich:
2h
Re(α)
mω
X
α
=
P
α
= 2mhω Im(α)
X2
P2
[
[
]
]
h
(α + α *) 2 + 1
α
2 mω
mωh
=
1 − (α − α *)2
α
2
=
Also kann man direkt die Standardabweichungen angeben:
∆X α =
h
2mω
∆Pα =
mhω
2
Beide hängen nun nicht mehr von
erlaubten Wert:
∆X α ⋅ ∆Pα =
α ab und Ihr Produkt liefert den nach der Unschärferelation minimalen
h
2
94
Erzeugung quasiklassischer Zustände aus dem qm.- Grundzustand
Wir definieren den Operator
D(α) = e (αa
+
−α *a)
D + (α) = e (α *a
Mit Hilfe von
e
A +B
−α a + )
[αa
=e e
A B
+
] = α* α =| α |
,α * a
−[ A, B ]
e 2 falls [[ A, B],
2
und
A] = [[ A, B], B] = 0
folgt:
D(α) = e
−
|α |2
+
2 eα a e −α *a
Wenn wir diesen Operator nun auf den Grundzustand der quantenmechanischen Zustände
ϕ0 wirken lassen,
so ergibt sich wegen


(α*) 2 a 2
e −α *a ϕ0 = 1 − α* a +
+ .... ϕ0 = ϕ0
2!


D(α) ϕ0 = e
−
|α |2
+
2 eαa
Die Wirkung von D (α) =
ϕ0 = e
e
−
−
|α |2
2
−
(αa + ) n
∑ n! ϕ0 = e
n
|α | 2
2
αn
∑ n! ϕn = α
n
|α |2
+
2 eα a e −α *a ist folglich die unitäre Transformation, die aus dem Grundzustand
ϕ0 den quasiklassischen Zustand α erzeugt.
Dies ist die einfachste Variante. Merke:
D(α) = e (αa −α *a )
1
α(t ) =
[x(t ) + ip (t )]
2
+
a=
1
pˆ −
2hmω
mω
xˆ
2h
Kohärente Wellenfunktionen in Ortsdarstellung
Bleibt noch, die Wellenfunktion
Ψα ( x ) = x α = x D(α) ϕ0 zu berechnen ( α in Ortsdarstellung)
Dazu kann man den Operator
αa + − α * a durch X und P ausdrücken:
mω  α − α * 
i  α + α *
αa + − α * a =

X −

P
h 
2 
mhω 
2 
95
Daraus folgt:
D(α) = e (αa
+
−α *a )
mω  α −α * 
i  α +α *  α *2 −α 2

X −

P
h  2 
e mhω  2  e 4
=e
Dies kann nun zur Berechnung der Ortsdarstellung des kohärenten Zustands herangezogen werden:
Ψα ( x ) = x e
mω  α −α * 
i  α +α *  α *2 −α 2

X −

P
h  2 
e mhω  2  e 4
ϕ0
mω  α −α * 
i  α +α * 

X −

P
h  2 
e mhω  2 
ϕ0
Ψα ( x ) =
α *2 −α 2
e 4
Ψα ( x ) =
mω  α −α * 
α *2 −α 2

x
4
e
e h  2 
xe
i  α +α * 

P
mhω  2 
−
xe
iλ P
e h ist jedoch gerade der Translationsoperator um
−
xe
i  α +α * 

P
mhω  2 
Ψα ( x) =
ϕ0
λ längs der x- Achse. Darum gilt:
h
(α + α*)
2mω
|= x −
mω  α −α * 
α *2 −α 2

 x

e 4 e h  2  ϕ0  x

−

h
(α + α*) 
2mω

Wegen
2h
Re(α) =
mω
h
(α + α*)
2mω
X
α
=
P
α
= 2mhω Im( α) =
mhω
(α − α*)
2
kann man schließlich schreiben:
Ψα ( x ) =
α *2 − α 2 i P α x
e 4 e h ϕ0
(x −
X
α
) ( in Ortsdarstellung !)
Fazit: Multipliziert man die Wellenfunktion ϕ0 ( x ) des Grundzustands des eindimensionalen Oszillators mit
i P αx
dem oszillierenden Faktor
e
h
X
und verschiebt man sie dann um
die Ortswellenfunktion für den Zustand
α
α
längs der x- Achse, so erhält man
α * −α
. Der Phasenfaktor e 4
kann man vernachlässigen, da er
2
2
physikalisch keine Rolle spielt.
Für uns bedeutet dies: Die Gaußzustände werden gewonnen, indem man die quantenmechanischen Zustände in
klassischer Weise um
X
α
verschiebt.
Aus der Quantenmechanik ist bekannt:
1
 mω x 2 

2h 

 mω  4  −
ϕ0 ( x) = 
e

 πh 
∆X α =
h
2mω
96
ϕn (ξ) =
1
A0
in
2 n n!
(− 1)
ξ 2 
 
n  2 
e
dn
( dξ ) n
e −ξ
2
1
 mω  4
ξ2


−
hπ 

⇒ ϕn (ξ) =
H n (ξ) e 2
n
(− 2 ) n!
Also: mit
h
:
2mω
∆X α =
1
mω  4

ϕ0 ( x) = 

 πh 

x2 
 −

4 (∆X α )2 

e
Somit gilt:
(
ϕ0 x − X
α

1  − 1  x − X
 mω  4  4  ∆X α
e
) =  πh 

α




2





und man kann explizit angeben:
Ψα ( x ) =
  x− X
i P α x  − 1
 4  ∆X α
e h e 
1
α *2 −α 2
m
ω


4
e 4 

 πh 
α




2




Dies ist im Moment noch völlig zeitunabhängig. Zeitabhängigkeit kann man jedoch leicht einbauen. Man muss
lediglich
X
α
durch
X
α
(t ) ersetzen !
Die Wahrscheinlichkeitsdichte des kohärenten Zustands im Ortsraum ergibt sich demnach zu
2
 mω 
Ψα ( x) = 

 πh 
Man erhält also für jeden
 1  x − X 2 
− 
α  
 2 ∆ X  
α
 
e 
α - Zustand ein Gauß-Paket.
Es läßt sich zeigen, dass die kohärenten Zustände ( die ja, wie gezeigt, normierbar sind), die
Orthogonalitätsbedingungen und die Vollständigkeitsrelation erfüllen.
97
Zeitliche Entwicklung eines quasiklassischen Zustands
Der harmonische Oszi sei zum Anfangszustand in einem bestimmten
α - Zustand:
ψ(0) = α0
Wir wissen:
α =e
−
|α |2
2
∑
αn
ϕn
n!
n
. Die Zeitentwicklung der quantenmechanischen Eigenzustände ist jedoch
aus der zeitabhängigen Schrödingergleichung bekannt:
ψn ( x, t ) = e
−
iE n t
h ψ ( x)
n
Wir haben oben den Ortsschieber kennengelernt ! Hier sehen wir wieder hinsichtlich der konjugierten Variablen
Zeit und Energie: Unser Zeitentwicklungsoperator ist ein " Zeitschieber":
e
−
iE n t
h als Zeitschieber !
Somit kann angegeben werden:
ψ(t ) = e
−
|α 0 | 2
2
∑
α0 n
n
n!
e
−
iE nt
h
ϕn = e
−
|α 0 | 2 − iωt
2 e 2
∑
α0 n
n
n!
e −inω t ϕn
Nun ist aber:
e
−
|α 0 | 2 − i ωt
2 e 2
∑
n
α0 n
n!
e
− inωt
−i ωt
=e 2
ϕn
α = α0 e −iωt
Und es ergibt sich der zeitentwickelte Zustand explizit:
ψ(t ) =
− iω t
e 2
α = α0e − iωt
Es genügt also, α0 durch
α0 e
−i ωt
− i ωt
zu ersetzen und den so erhaltenen Ket- Vektor mit e 2 zu multiplizieren ,
− i ωt
um vom Anfangszustand zum zeitentwickelten Zustand zu gelangen. e 2 ist dabei ohnehin ein globaler
Phasenfaktor ohne physikalische Konsequenzen. Somit bleibt der kohärente Zustand stets ein Eigenvektor zum
Vernichtungsoperator mit dem Eigenwert
α0 e −i ωt Dies ist jedoch nichts anderes als der Parameter
1
[xˆ (t) + ipˆ (t) ] , der den Zustand des klassischen Oszillators vollständig charakterisiert.
2
α(t ) =
Zeitliche Entwicklung der physikalischen Eigenschaften
Wir verwenden nun α = α0e
− iωt
und erhalten sofort
2h
Re(α0e −i ωt )
mω
X
α
=
P
α
= 2mhω Im(α0 e −iωt )
98
Dies entspricht nun genau den klassischen Beziehungen
1
[α(0) exp( −iωt) + α( 0) * exp(iωt )]
2
−i
pˆ (t ) =
[α(0) exp(−iωt) − α( 0) * exp(iωt )]
2
xˆ (t ) =
Wir erhalten
1

= hω| α0 | 2 + 
2

∆Hα = hω | α0 |
H
α
∆X α =
h
2 mω
∆Pα =
mhω
2
Somit sind Energie und alle Schwankungen in Energie, Ort und Impuls zeitunabhängig. Das Wellenpaket bleibt
zu jedem Zeitpunkt minimal. Es zerfließt also nicht.
Ψα ( x ) =
1
α *2 −α 2
m
ω


4
e 4 

 πh 
  x− X
i P α x  − 1
 4  ∆X α
e h e 




2



 wird

1 − iω t i P x  − 1  x − X
α * −α
α
 4  ∆X α
 mω  4 2
e 4 
e h e 
 e
2
Ψα ( x , t ) = x Ψ(t ) =
α
2
 πh 
α




2




Das Gaußsche Wellenpaket erhält also als Zeitentwicklungsfaktor lediglich eine oszillierende Phase. Die Form
des Pakets bleibt vollständig erhalten.
Zu allen Zeiten bleibt
2
2
 mω 
Ψα ( x) = ϕ0 [x − X (t )] = 

 πh 
 1  x − X 2 
− 
α  
 2  ∆X  
α
 
e 
Die Bewegung des Wellenpaketes ist also eine harmonische Schwingung entlang der x- Achse mit der Periode
T=
2π
ω
Während das freie Gaußpaket zerfließt, passiert dies in einem parabelförmigen Potenzial nicht mehr. Man kann
sich dies so vorstellen, dass das Potenzial das Paket aus Bereichen mit großem Potenzial wieder zurückdrängt
und so der Verbreiterung entgegenwirkt.
Für sehr große | α | ändern sich die Standardabweichungen für Ort und Impuls nicht. Statt dessen werden die
Amplituden
X (t ) und P (t ) sehr groß im Vergleich zu ∆X und ∆P . Mit wachsendem | α | kann man also
eine quantenmechanische Bewegung erhalten, für die Ort und Impuls des Oszillators beliebig genau bestimmt
sind (relativ beliebig genau). Für große | α | beschreibt also der kohärente Zustand die Bewegung des
makroskopischen Oszillators gut. Die Ergebnisse sind gleichwertig der Betrachtung von Ort, Impuls und Energie
als klassische Größen
99
Bewegung des Gaußpaketes
Beispiel eines makroskopischen Oszillators:
Seien: m= 1kg, g~10 m/ s², l = 0,1 m
l
g
Es folgt: T ~ 0,63s und ω = 10rad / s
Der Oszillator werde um die Amplitude x m = 1cm ausgelenkt
Es gilt:
T = 2π
Wegen
X
α
=
2h
Re(α0 e −iω t )
mω
gilt:
| α |=
mω
x
2h m
Dies ergibt bei uns einen Zahlenwert:
| α |≈ 2,2 ⋅1015 >> 1
100
Die zeitunabhängigen Standardabweichungen in Energie, Ort und Impuls ergeben sich zu
∆H α
1
≈
≈ 0,4 ⋅10 −15 << 1
H α |α |
∆X α =
∆Pα =
h
≈ 2, 2 ⋅ 10 −18 m << xm
2mω
mhω
≈ 2,2 ⋅ 10 −17 kgm / s
2
→ ∆v ≈ 2,2 ⋅10 −17 m / s << 0,1m / s
Man sieht: Die Ortsunschärfe ist kleiner als ein Kernduchmesser, die Geschwindigkeitsunschärfe um ähnliche
Verhältnisse kleiner als die maximale Geschwindigkeit von 0,1 m/s und auch die relative Genauigkeit der
Oszillatorenergie ist ausgezeichnet.
Für die Beschreibung eines makroskopischen Oszillators reichen also die Gesetze der klassischen Mechanik in
weitem Maße aus.
101
3. Drehimpuls
3.1 Drehimpuls- Eigenzustände
Drehimpulsoperator:
Lˆ = rˆ × pˆ
In Komponenten:
Lˆ j = ε jkl rˆk pˆ l
Lˆ = rˆ × pˆ ist hermitesch:
Lˆ j + = ε jkl (rˆk pˆ l )+ = ε jkl pˆ l + rˆk + = ε jkl pˆ l rˆk = ε jkl rˆk pˆ l
Vertauschungs- Relationen:
[Lˆ1 , Lˆ2 ] = [(rˆ2 pˆ 3 − rˆ3 pˆ 2 ), (rˆ3 pˆ1 − rˆ1 pˆ 3 )] = rˆ2 pˆ 3 rˆ3 pˆ1 − rˆ2 pˆ 3 rˆ1 pˆ 3 − rˆ3 pˆ 2 rˆ3 pˆ1 + rˆ3 pˆ 2 rˆ1 pˆ 3
− rˆ3 pˆ 1rˆ2 pˆ 3 + rˆ3 pˆ 1 rˆ3 pˆ 2 + rˆ1 pˆ 3 rˆ2 pˆ 3 − rˆ1 pˆ 3 rˆ3 pˆ 2
= rˆ2 pˆ 3 rˆ3 pˆ 1 − rˆ1 pˆ 3 rˆ3 pˆ 2 + rˆ3 pˆ 2 rˆ1 pˆ 3 − rˆ3 pˆ 1rˆ2 pˆ 3 = rˆ2 pˆ 3 rˆ3 pˆ 1 − rˆ2 rˆ3 pˆ 3 pˆ 1 + rˆ1rˆ3 pˆ 3 pˆ 2 − rˆ1 pˆ 3 rˆ3 pˆ 2
h
h
= rˆ2 [ pˆ 3 , rˆ3 ] pˆ 1 + rˆ1 [rˆ3 , pˆ 3 ] pˆ 2 = rˆ2 pˆ 1 − rˆ1 pˆ 2 = i hLˆ 3
i
i
ˆ
ˆ
ˆ
Allgemein: L j , Lk = ihLl mit (jkl) zyklisch
[
]
Lˆ1Lˆ 2 − Lˆ 2 Lˆ1 = i hLˆ3
Lˆ 2 Lˆ 3 − Lˆ 3 Lˆ 2 = i hLˆ1
Lˆ 3 Lˆ1 − Lˆ1 Lˆ3 = ihLˆ 2
→ Lˆ × Lˆ = ihLˆ
Schreibt man dies mit dem Epsilon- Tensor, so gilt einfacher:
[Lˆ j , Lˆk ] = ihLˆl mit (jkl) zyklisch
⇒ ε jkl Lˆ j Lˆ k = ihLˆ l
(
)
⇒ Lˆ × Lˆ l = i hLˆl ⇒ Lˆ × Lˆ = ihLˆ
Wegen
[Lˆ j , Lˆk ] = ihLˆl also kann es keine gemeinsamen Eigenvektoren zu je zwei Drehimpulskomponenten
geben.
Aber:
[Lˆ , Lˆ ] = 0 für k = 1,2,3
2
k
Beweis: Übung
Merke:
[Lˆ , Lˆ ] = [Lˆ + Lˆ + Lˆ , Lˆ ]
[Lˆ , Lˆ ] = Lˆ [Lˆ , Lˆ ]+ [Lˆ , Lˆ ]Lˆ
2
2
k
2
1
2
2
3
k
2
1
k
1
1
k
1
k
1
Es gibt also gemeinsame Eigenvektoren zu EINEM Lk, konventionshalber
L̂3 und L̂2 .
Definition von Leiteroperatoren (vergl. harmonischer Oszi):
Lˆ + := Lˆ1 + i Lˆ 2
nicht hermitesch
Lˆ − := Lˆ1 − i Lˆ 2
102
Es gilt vielmehr:
(Lˆ+ )+ = Lˆ −
(Lˆ− )+ = Lˆ+
Vertauschungsrelationen
[Lˆ
[Lˆ
[Lˆ
] [ ] [
, Lˆ ] = −hLˆ
, Lˆ ] = hLˆ
]
(
ˆ = Lˆ1 , Lˆ3 + i Lˆ 2 , Lˆ 3 = −ihLˆ 2 − hLˆ1 = −h Lˆ1 + iLˆ 2
+ , L3
+
−
)
+
3
−
3
L+- Form und adjungierte Form.
Auch dies kann verallgemeinert werden:
( )
( )
 Lˆ n , Lˆ  = −nh Lˆ n
3
+
 +

 Lˆ n , Lˆ  = nh Lˆ n
3
−
 −

( )
( )
Beweis: Durch vollständige Induktion:
Für n = 1 gezeigt. Sei es nun richtig für ein n größer/gleich 1
Dann:
( )n +1 , Lˆ3  = (Lˆ+ )n [(Lˆ+ ), Lˆ3 ]+ (Lˆ+ )n , Lˆ3 (Lˆ + ) = (Lˆ+ )n (− h(Lˆ+ )) − nh(Lˆ+ )n Lˆ+ = −(n + 1)h(Lˆ+ )n+1
 Lˆ
 +
Weiter gilt:
(
)(
)
[
]
Lˆ + Lˆ − = Lˆ1 + i Lˆ 2 Lˆ1 − i Lˆ 2 = Lˆ12 + Lˆ 2 2 − i Lˆ1 , Lˆ 2 = Lˆ2 − Lˆ3 2 + hLˆ 3
Lˆ − Lˆ + = Lˆ1 2 + Lˆ 2 2 + i Lˆ1 , Lˆ 2 = Lˆ 2 − Lˆ 3 2 − hLˆ3
→ Lˆ + , Lˆ − = 2hLˆ3
[
]
[
]
[Lˆ , Lˆ ] = 0
[Lˆ , Lˆ ] = 0
2
+
2
−
Mittels
Lˆ + , Lˆ − gelingt die Zerlegung von L̂2 in mit L̂2 vertauschbare Operatoren Lˆ 3 , Lˆ + , Lˆ − :
Lˆ2 = Lˆ12 + Lˆ 2 2 + Lˆ3 2 = Lˆ 32 + Lˆ + Lˆ − − hLˆ 3
Warum ?
Nun:
Wir suchen einen vollständigen Satz von vertauschbaren. Observablen ( nötig für Quantisierung ->
Quantisierungsbedingung entspricht Kommutatoren, wir brauchen aber möglichst viele Größen, deren
Kommutator verschwindet.). Ziel: Maximalmessung ermöglichen !
Aber:
Lˆ1 , Lˆ 2 scheiden aus. Mittels Lˆ + , Lˆ − bekommt man dagegen dann einen Ersatz für Lˆ1 , Lˆ 2 , der mit L̂2
vertauscht. Man hat also wieder einen vollständigen Satz von Observablen)( hinsichtlich des
Drehimpulsproblems) ( 3 Stück, entsprechend der drei nötigen Angaben für die drei Komponenten des
Drehimpulsvektors ! im Dreidimensionalen. Diesmal vertauscht jedoch alles !
Allerdings sind
Lˆ + , Lˆ − keine Observablen, sondern die Erzeugenden für höhere Drehimpulszustände.
103
Die möglichen Observablen sind
L̂2 und L̂3 , wobei die Komponente selbst willkürlich ist. Hier wählen wir die
dritte aus.
Wir können das System also über zwei Quantenzahlen charakterisieren !
Eigenwerte und Eigenzustände
Die gemeinsamen normierten Eigenvektoren
a, b von L̂2 und L̂3 gehorchen den Eigenwertgleichungen
Lˆ2 a, b = a a, b
Lˆ3 a , b = b a, b
Prinzipiell: Für alle Observablen müssen wir Quantenzahlen einführen. Zum formalen Vorgehen schreibt man
diese Quantenzahlen einfach in einen Zustandsvektor. Diese Quantenzahlen sind Eigenwerte der Observablen,
also mögliche Messwerte. Unser formaler Zustand aus Quantenzahlen ist per Definition ein Eigenvektor zu
diesen Quantenzahlen.
Dann muss man nur noch Bedingungen finden, die aus der Eigenwertgleichung Information liefern, die
herangezogen werden kann, um die Quantenzahlen einzuschränken bzw. zu bestimmen.
Bei uns gilt:
Da
L̂ hermitesch ist, gilt:
3
a = a , b Lˆ2 a, b = ∑ a, b Lˆi + Lˆ i a, b
i =1
a, b Lˆ i + Lˆi a , b := Φ Φ ≥ 0
3
a = a , b Lˆ2 a, b = ∑ a, b Lˆi + Lˆ i a, b ≥ a , b Lˆ 32 a, b ≥ 0
i =1
2
a, b Lˆ 3 a , b = b
2
→ a ≥ b2 ≥ 0
Weiter gilt:
Lˆ ± a , b sind auch Eigenzustände zu L̂2 und L̂3 :
Vorsicht:
a, b sind keine Eigenzustände zu L̂± aber Lˆ ± a , b sind Eigenzustände zu L̂2 und L̂3 :
Beweis:
Lˆ2 Lˆ ± a, b = Lˆ ± Lˆ 2 a, b = aLˆ ± a, b
[
(
])
Lˆ3 Lˆ ± a, b = Lˆ ± Lˆ 3 − Lˆ ± , Lˆ 3 a, b
[Lˆ
]
ˆ = mhLˆ ±
→ Lˆ ± Lˆ3 − Lˆ ± , Lˆ3 a , b = Lˆ ± Lˆ3 ± h a, b = Lˆ ± (b ± h ) a , b
± , L3
(
[
])
(
)
Also:
Lˆ 3 Lˆ ± a, b = (b ± h )Lˆ ± a , b
Das bedeutet:
L̂± erhöhen/ erniedrigen den Eigenwert von L̂3 um h .
-> wir bekommen hier Informationen, indem wir Produkte aus Operatoren auf unsere formalen Eigenzustände
wirken lassen. Dieses Vorgehen ist sehr typisch, kann man sich mal merken !
104
Die n- bzw. m- malige Anwendung bei festem
( )n a , b0
m
Lˆ 3 (Lˆ − ) a, b0
Lˆ 3 Lˆ +
( )n a , b0
m
= (b0 − mh )(Lˆ − ) a , b0
b0 liefert:
= (b0 + nh ) Lˆ +
Das Spektrum von
L̂3 ist nach oben und nach unten beschränkt:
3
a = a , b Lˆ2 a, b = ∑ a, b Lˆ i + Lˆ i a, b
i =1
+
a, b Lˆ i Lˆi a, b := Φ Φ ≥ 0
3
a = a , b Lˆ2 a, b = ∑ a, b Lˆ i + Lˆ i a, b ≥ a , b Lˆ 3 2 a, b ≥ 0
i =1
a, b Lˆ 3 2 a , b = b 2
→ a≥b≥− a
Also existiert ein größter Eigenwert
bmax = b0 + n maxh und ein kleinster Eigenwert bmin = b0 − mmaxh
mit
Lˆ + a, bmax = Lˆ − a, bmin = 0
Daraus folgt:
(
= (Lˆ
)
+ hLˆ ) a, b
(
= (a − b
)
0 = Lˆ − Lˆ + a , bmax = Lˆ2 − Lˆ3 2 − hLˆ 3 a, bmax = a − bmax2 − hbmax a, bmax
0 = Lˆ + Lˆ − a , bmin
2
− Lˆ3 2
3
min
min
2
)
+ hbmin a, bmin
Also:
a = bmax2 + hbmax = bmin 2 − hbmin
Andererseits existiert ein
Also:
( )n a, bmin
n ∈ N 0 mit a , bmax = Lˆ +
bmax = bmin + nh
Setzt man dies in
a = bmax2 + hbmax = bmin 2 − hbmin ein, so folgt:
bmin 2 + 2nhbmin + n 2 h 2 + h (bmin + nh ) = bmin 2 − hbmin
2 nhbmin + n 2 h 2 + h (2bmin + nh ) = 0
⇒ bmin = −
n( n + 1) h 2
n
= − h =: −l h
2(n + 1)h
2
mit
l :=
n
2
Somit:
a = bmin (bmin − h ) = (− l )(− l − 1)h 2
a = l (l + 1) h 2
bmax = bmin + 2lh = l h
105
Mögliche Eigenwerte von
L̂2 : a = l (l + 1)h 2
n∈N
1 3
⇒ l = 0, ,1, ,...
2 2
Mögliche Eigenwerte von
b = mh
L̂3 für festes l:
mit
m = −l ,−l + 1,−l + 2,..., l − 2, l − 1, l
m=-l -> gehört zu bmin
m=+l -> gehört zu b max
Es können keine weiteren Eigenwerte von
L̂3 zwischen diesen Werten liegen, weil man sonst durch wiederholte
L̂+ bzw. L̂− die Schranken m ≤ l verletzen könnte.
Zu jedem l gibt es 2l + 1 Werte von m:
2
Dies entspricht der energetisch gleichen 2l + 1 - fachen Richtungsentartung von L̂
Anwendung von
welche von außen, z.B. durch Magnetfelder, aufgehoben werden kann.
L̂+ bzw. L̂− den Drehimpulseigenzustand jeweils exakt um h erhöhen bzw. erniedrigen, ist
also eine Konsequenz aus dem Kommutator Lˆ , Lˆ = ihLˆ , besser, wegen dem zyklischen Anspruch an j,k,l:
Die Tatsache, dass
[
j
k
]
l
[Lˆ j , Lˆ k ] = ihε jkl Lˆl . Der wurde nämlich oben mit eingesetzt um die Eigenwertprobleme zu bestimmen. ( siehe
oben).
Also bedingt der Kommutator
[Lˆ j , Lˆ k ] = ihε jkl Lˆl die Drehimpulsquantisierung.
Tabelle:
Quantenzahlen
Eigenwert von
Richtungsquantenzahl m
l
L̂
h l (l + 1)
m
0
0
0
3
4
h 2
15
h
4
−
1
2
1
3
2
h
1 1
,+
2 2
− 1,0,1
3 1 1 3
− ,− , ,
2 2 2 2
Lˆ2 l , m = h 2l (l + 1) l , m
Lˆ3 l , m = hm l , m
106
Diracsches Vektormodell:
Darstellung der Richtungsquantisierung:
m=1/2 -> Der Drehimpuls steht parallel zur x3- Achse
m=-1/2 -> der Drehimpuls steht antiparallel zur x3- Achse
Zur Übung ist zu zeigen:
l , m Lˆi l , m = 0 für i=1,2
(
l , m Lˆi − Lˆi
)
2
l , m = 0 soll berechnet werden
Nebenbemerkung: Die Drehimpulsquantisierung ist eine Folge der Nichtvertauschbarkeit der einzelnen
Komponenten des Drehimpulses !
107
Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses
h
r pˆ l , m = ∇Ψlm (r )
i
r r l , m = r Ψlm ( r )
Lˆ = rˆ × pˆ
ergibt:
h
r Lˆ3 l , m = ( xˆ1∂ 2 − xˆ 2 ∂1 )Ψlm ( r ) = hmΨlm ( r )
i
In Kugelkoordinaten:
x1 = r sin ϑcos ϕ
x 2 = r sin ϑsin ϕ
x3 = r cos ϑ
x1∂ 2 − x 2 ∂1 =
Aber:
x1∂ 2 − x 2∂ 1 =
∂
∂ϕ
∂
i
= Lˆ z
∂ϕ h
h ∂
⇒ Lˆ z =
i ∂ϕ
in Kugelkoordinaten !
⇒
h ∂
Ψlm (r , ϑ, ϕ) = hmΨlm ( r ,ϑ, ϕ) Eigenwertgleichung für L̂3 .
i ∂ϕ
Lösung
Ψlm ( r ,ϑ, ϕ) = e im ϕ f lm (r , ϑ)
m = −l ,..., l
Eindeutigkeit:
e im ϕ = e im (ϕ +2π )
⇒ m∈Z
⇒ Für Bahndrehimpulse sind nur GANZZAHLIGE l-WERTE zulässig.
Prosaisch: Die Wellenfunktion muss eindeutig sein. Durch Drehung um 360 ° muss sie also in sich selbst
übergehen. Damit fällt jedoch wegen
h ∂
Lˆ z =
die Möglichkeit weg, dass magnetische
i ∂ϕ
Drehimpulsquantenzahlen halbzahlig sind, sonst wuerde die Wellenfunktion bei Drehung um 360 ° ihr
1
i ϕ
Vorzeichen wechseln wegen e 2
=
1
i (ϕ + 2π )
−e 2
=
1
ϕ
iπ 2
e e Widerspruch zur Eindeutigkeit !!!
e im ϕ = e im (ϕ +2π )
⇒ m∈Z
108
Leiteroperatoren:
 ∂
h
∂ 
r Lˆ ± l , m = (xˆ 2 ∂ 3 − xˆ 3 ∂ 2 ± i xˆ 3∂ 1 m ixˆ1∂ 3 )Ψlm ( r ) = he ±iϕ  ±
+ i cot ϑ  Ψlm ( r ,ϑ, ϕ)
i
∂ϕ 
 ∂ϑ
 ∂
∂ 
 ∂

he ±i ϕ  ±
+ i cot ϑ Ψlm ( r ,ϑ, ϕ) = hei ( m±1)ϕ  ±
− m cot ϑ f lm ( r ,ϑ)
∂ϕ 
 ∂ϑ

 ∂ϑ
Für m=l ( Maximalwert) ist
Lˆ + l ,l = 0
 ∂

⇒ he i (l +1)ϕ 
− l cot ϑ f ll ( r ,ϑ) = 0
 ∂ϑ

Lösung:
df ll (r , ϑ)
= l ∫ cot ϑdϑ
f
∫
f ll (r , ϑ) = (− 1)l
(2l + 1)!
1
2
l
2 l!
(sin ϑ)l Rll ( r )
Mit dem Normierungsfaktor
(2l + 1)!
1
2
2 l l!
Erzeugung der anderen f lm ( r ,ϑ) :
[
]
∂
∂
Ψl ,l −1 ( r ) ∝ r Lˆ − ll = he i (l −1)ϕ  −
− l cot ϑ f ll ( r , ϑ) = he i (l −1)ϕ (sin ϑ)1−l
(sin ϑ)l fll ( r ,ϑ
∂ cos ϑ
 ∂ϑ

Normierung:
Ψl ,m (r ,ϑ ,ϕ ) = R lm ( r )Yl m (ϑ , ϕ )
Mit den Kugelflächenfunktionen
(− 1) m (2l + 1)(l − m )! 1
d l −m
(sin ϑ )2l
l
m
l
−
m
2(l + m )! (sin ϑ ) d (cos ϑ )
2π
2 l!
eim ϕ
(2l + 1)(l − m)! P m (cos ϑ)
Yl m (ϑ , ϕ ) =
⋅ (− 1)m
l
2 (l + m )!
2π
Yl m (ϑ , ϕ ) =
eim ϕ
Wobei
Pl ( x) :=
1
2 l l! (dx)l
(
Pl ( x) := 1 −
m
dl
)
⋅
(x
m
2 2
x
2
)
l
− 1 Legendre- Polynom l- ten Grades
dm
(dx)m
Pl ( x) zugeordnetes Legendre- Polynom
Dabei variiert die Definition in der Literatur je nach Wahl der Phase
Die Kugelflächenfunktionen sind orthonormiert
109
2π
π
∫
[
]
[
]
*
dϕ∫ dϑsin ϑ Yl m (ϑ, ϕ) Yl ´m´ (ϑ, ϕ) = δll ´δmm´
0
0
Dies bedeutet:
2π
π
∫
*
dϕ∫ dϑsin ϑYl m (ϑ, ϕ) Yl m (ϑ,ϕ) = 1
0
0
oder in einer diskreten Basis:
∑
(Y ) Y
m *
l
m
l
= 1 -> was an bekannte Vollständigkeitsbedingungen erinnert !
l ,m
Die Kugelflächenfunktionen sind also ein vollständiges Orthonormalsystem, nach dem sich alle Funktionen auf
der Einheitskugel entwickeln lassen:
∞
F (ϑ,ϕ) = ∑
l
∑
l =0 m=−l
cl mYl m (ϑ, ϕ)
Eine weitere Eigenschaft der Kugelflächenfunktionen:
Yl m (ϑ, ϕ) = (− 1) m Yl −m
*
Die Inversion am Ursprung liefert: ( also:
r → −r ), also (ϑ, ϕ) → (π − ϑ, ϕ + π ) :
Yl (π − ϑ, ϕ + π) = (− 1) Yl (ϑ, ϕ)
m
l
m
Fazit: Die Bahndrehimpuls Eigenzustände
l, m haben die Parität (− 1)l ( steckt ebenfalls in den
Eigenschaften der Kugelfunktionen, Legendre Polynome, wie auch immer, die sich eben als Eigenvektoren
unseres Drehimpulsproblems ergeben haben !)
110
Eigenfunktion
Knotenlinien von l
{ }
m
Bemerkungen/ Parität
Re Yl m
0
1
0
4π
3
Y0 =
Y1 =
±1
Y1
4π
=m
cosϑ
3
8π
sin ϑe ± iϕ
0
0
0
gerade (s-Orbitale)
1
1
0
ungerade (p-Orbitale)
1
1
±1
ungerade ( ebenfalls p-Orb.)
ΨPx =
ΨPy =
(
)
5
3 cos2 ϑ− 1
16π
15
±1
Y2 = m
sin ϑcosϑe ± iϕ
8π
15
±2
Y2 =
sin 2 ϑe± 2i ϕ
32π
0
Y2 =
3
4π
3
4π
sin ϑcosϕ
sin ϑsin ϕ
2
2
0
gerade (d-Orbitale)
2
2
±1
gerade (d-Orbitale)
2
2
±2
gerade (d-Orbitale)
Keine Knotenlinie
1
4π
Y0 0 =
n=1 à m=0, l=0
Eine Knotenlinie
Y10 =
3
cosϑ
4π
n=2, l=1, m=0
Merke: Wir haben prinzipiell immer den gleichen Gesamtdrehimpuls in diesen Zuständen ! Nur einmal ist eben
die z- Komponente Null ( wie hier) und einmal nicht ( dafür wäre z.B. die x- Komponente des Drehimpuls im
±1
folgenden Beispiel Y1
Y1±1 = m
3
sin ϑe ±iϕ
8π
Zwei Knotenlinien
Y2 0 =
=m
(
3
sin ϑe ±iϕ NULL !)
8π
n=2, l=1, m= ± 1
)
5
3 cos 2 ϑ − 1
16π
n=3, l=2, m=0
111
Y2 ±1 = m
Y2 ±2 =
15
sin ϑcos ϑe±i ϕ
8π
15
sin 2 ϑe ±2iϕ
32π
n=3, l=2, m= ± 1
n=3, l=2, m= ± 2
112
3.3 Kugelsymmetrische Potenziale
[Lˆ3 , rˆ1 ] = [(rˆ1 pˆ 2 − rˆ2 pˆ1 ), rˆ1 ] = − rˆ2 [ pˆ1 , rˆ1 ] = ihrˆ2
[Lˆ3 , rˆ2 ] = [(rˆ1 pˆ 2 − rˆ2 pˆ1 ), rˆ2 ] = rˆ1 [ pˆ 2 , rˆ2 ] = −ihrˆ1
[Lˆ3 , rˆ3 ] = [(rˆ1 pˆ 2 − rˆ2 pˆ1 ), rˆ3 ] = 0
[Lˆ , rˆ ] = ihrˆ
[Lˆ , rˆ ] = ihε
Allgemein:
j
j
k
l
mit j,k,l zyklisch
k
jkl rˆl
Analog:
[Lˆ j , pˆ k ] = ihε jkl pˆ l
[Lˆ , rˆ ] = [Lˆ , rˆ ]rˆ + rˆ [Lˆ , rˆ ] = ihrˆ rˆ + rˆ ihrˆ = 2ihrˆ rˆ
[Lˆ , rˆ ] = [Lˆ , rˆ ]rˆ + rˆ [Lˆ , rˆ ] = −ihrˆ rˆ − rˆ ihrˆ = −2ihrˆ rˆ
[Lˆ , rˆ ] = [Lˆ , rˆ ]rˆ + rˆ [Lˆ , rˆ ] = 0
2
3 1
3
1 1
1
3 1
3
2 2
2
3
3
3 3
3
3
2 1
1
2
2 1
2
3
2
2
1 2
2
1
2
2
3
3
3
Damit folgt jedoch für die gesamten Vektoren:
[Lˆ , rˆ ] = [Lˆ , pˆ ] = 0
2
2
j
j
j=1,2,3
[Lˆ j , H ] = 0 , falls H = Hˆ (rˆ 2 , pˆ 2 )
Also
pˆ 2
Hˆ =
+ V ( r ) mit Zentralpotenzial V(r )
2m
Theorem
Für alle rotationssymmetrischen Hamiltonoperatoren gilt:
[Lˆ j , H ] = 0
[Lˆ , H ]= 0
2
Und der Drehimpuls ist eine Erhaltungsgröße, also
L& = 0
Analogie in der KLASSISCHEN Mechanik:
Im Zentralpotenzial ist der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße
Tieferer Grund:
Wegen
L ist die Erzeugende infinitesimaler Drehungen
[Lˆ , H ] = Lˆ[Lˆ, H ]+ [Lˆ , H ]Lˆ ⇒ [Lˆ , H ] = 0 ⇒ [Lˆ , H ] = 0
2
2
j
Sei V(r ) im Folgenden kugelsymmetrisch.
Dann gibt es gemeinsame Eigenzustände von
H und L̂ j für jedes j aber nicht zu H und L .
( H läßt sich als L² darstellen ( siehe im Folgenden !) und mit L² vertauscht immer nur eine Komponente, die
anderen nicht, da ja die Komponenten des Drehimpulses untereinander nicht vertauschen !)
113
Wegen
[Lˆ , H ] = 0
[L , H ]= 0
[Lˆ , Lˆ ] = 0
3
2
ˆ
2
3
können wir gemeinsame Eigenzustände zu
H , L̂2 und L̂3 finden.
p2
Zusammenhang zwischen L̂ und H =
+V
2m
Lˆ2 = ε jklε jmn x k p l xm p n
2
ε jklε jmn = δ kmδln − δknδlm
Lˆ2 = ε jklε jmn x k p l xm p n = (δkmδln − δknδlm )x k pl x m p n
Summationskonvention !!
Es folgt:
Lˆ2 = ε jklε jmn x k p l xm p n = (δkm δln − δ knδlm )x k pl xm p n =
= x m pn xm p n − x n p m x m p n
p n x m = xm p n − ihδmn
x n p m = p m x n + i hδmn
⇒ Lˆ 2 = xm x m pn pn − pm x n x m pn − 2i hx m pm
p m xn xm p n = p m xm x n p n
p m xm = x m p m − i hδmm
δ mm = 3
⇒ Lˆ 2 = xm x m pn pn − pm x n x m pn − 2i hx m pm = x m 2 pn 2 − xm p m x n p n + 3ihx n p n − 2i hxm p m
⇒ Lˆ 2 = xm 2 pn 2 − (x m p m )( x n p n ) + i hx m pm
Lˆ2 = r 2 p 2 − (r ⋅ p ) 2 + ih(r ⋅ p )
Somit:
[(
)
( )
2
pˆ 2
1
=
rˆ ⋅ pˆ − ih rˆ ⋅ pˆ + Lˆ2
2
2m 2mr
]
Klassisch:
[
p2
1
=
(r ⋅ p )2 + L2
2
2m 2mr
mit (r ⋅ p ) = rp r
]
114
Ortsdarstellung in Kugelkoordinaten
x1 = r sin ϑcos ϕ
x 2 = r sin ϑsin ϕ
x3 = r cos ϑ
Die Differenziale transformieren sich dabei folgendermaßen:
xj
∂ ∂x j
=
∂j =
∂ j Wobei der letzte Zusammenhang natürlich nur für die obigen Vektorkomponenten gilt
∂r
∂r
r
!
Somit:
xj
h
h ∂
∂
x j∂ j = r
wegen
=
∂j
i
i ∂r
∂r
r
pˆ = −ih∇
∂
pˆ r − i h
∂r
h ∂
rˆ pˆ = rˆpˆ r = r
i ∂r
i ∂
Lˆ z =
h ∂ϕ
r⋅p=
Operator der kinetischen Energie:
∂  ∂

 r + 1 Ψ( r ,ϑ, ϕ)
i
∂r  ∂r 

2
 ∂2Ψ 
∂Ψ 
2  ∂  ∂Ψ  ∂Ψ 
2 
2 ∂


= −h r   r
+
 = −h r  r 2  + 2 ∂r  = −h r 2 (rΨ )
 ∂r  ∂r  ∂r 
∂r
 ∂r 

(r ⋅ p )(r ⋅ p ) + h  Ψ( r , ϑ,ϕ) = −h 2 r
Alternativ:
(r ⋅ p )(r ⋅ p ) + h  Ψ( r ,ϑ, ϕ) == −h 2
∂  2 ∂Ψ 
r

∂r 
∂r 
Also: ( Im quantenmechanischen Fall sei
r = rˆ , p = pˆ

i
p2
− h2 1 ∂2
L2
Ψ (r , ϑ, ϕ) =
(rΨ ) +
Ψ
2m
2m r ∂r 2
2mr 2
einen einfachen Ausdruck hätte man auch erhalten, indem man einfach Laplace, also
p2 − h 2
=
∆ in
2m
2m
Kugelkoordinaten schreibt
Es gilt für den Operator der kinetischen Energie
pˆ 2 − h 2
Tˆ =
=
∆
2m
2m
115
Laplaceoperator in Kugelkoordinaten:
1 ∂  2 ∂ 
1
∂ 
∂
1
∂2

∆Ψ = 2
Ψ +
Ψ+
Ψ
r
 sin ϑ
∂ϑ  r 2 sin 2 ϑ ∂ 2ϕ
r ∂r  ∂r  r 2 sin ϑ ∂ϑ 
Schrödingergleichung für
HΨ ( r ,ϑ, ϕ) =
Ψ ( r ,ϑ, ϕ) :
 L2

p2
− h2 1 ∂ 2
Ψ ( r ,ϑ, ϕ) + V (r )Ψ ( r ,ϑ, ϕ) =
(
r
Ψ
)
+
+
V
(
r
)

 Ψ = EΨ( r , ϑ,ϕ)
2m
2m r ∂r 2
 2mr 2

In Analogie zur klassischen Hamiltonfunktion identifiziert man
pˆ r =
h  ∂ 1
 +  als Radialimpuls- Operator
i  ∂r r 
mit der Vertauschungsrelation:
[ pˆ r , rˆ ] = h
i
Es gilt:
p 2
p2
L2
Nachrechnen !
= r +
2 m 2 m 2 mr 2
Ortsdarstellung von L²:
 1 ∂ 
∂Ψ ( r, ϑ , ϕ ) 
1 ∂ 2 Ψ (r ,ϑ , ϕ ) 
L2 Ψ (r ,ϑ , ϕ ) = − h 2 
sin
ϑ
+



∂ϑ
 sin ϑ ∂ ϑ 
 sin 2 ϑ

∂ϕ 2
Nebenbemerkung:
H erhält man auch direkt durch die Transformation von
− h2
∆Ψ + VΨ = EΨ ´ auf Kugelkoordinaten ( Laplace- Operator in Kugelkoordinaten ausdrücken !)
2m
Lösung der Schrödingergleichung durch Separationsansatz:
Ψ ( r, ϑ , ϕ ) = R ( r )Y (ϑ , ϕ )
mit
L2Y (ϑ, ϕ) = h 2l (l + 1)Y (ϑ, ϕ)
Also:
−
( )
h2 Y d 2
(rR ) + R 2 L2Y + Y (V (r ) − E )R = 0
2
2 m r dr
2 mr
L2Y = h 2 l (l + 1)Y
(
)
h2 Y d 2
(rR ) + R 2 h 2l (l + 1)Y + Y (V ( r ) − E )R = 0
2
2 m r dr
2 mr
 h 2l (l + 1)

h2 d 2

⇒−
(
rR
)
+
+ V ( r ) − E (rR ) = 0
2
2
 2 mr

2 m dr


⇒−
( Laguerre Differenzialgleichung !)
116
Dabei wird
h 2l (l + 1)
2 mr 2
analog zur klassischen Mechanik als Zentrifugalpotenzial bezeichnet
Im Endeffekt können wir von einer radialen Schrödingergelichung mit einem effektiven Potenzial sprechen:
Veff . =
h 2l (l + 1)
2 mr 2
+ V (r )
Merke als Kurzform für Differenziale:
d 2 (rR) = d (R + rdR) = 2dR + rd 2 R
für ein Differenzial entlang der Radiusvariable !
Bindungszustände im anziehenden Zentralpotenzial:
Sei
lim
r→0
V (r) ≤
M
rα
mit α < 2
Also: dominiere das Zentrifugalpotenzial gegenüber V für r-> 0,
so gilt:
Es existieren für ein anziehendes Potenzial V (r ) , also negatives Potenzial wie im 1dimensionalen Fall
grundsätzlich endlich oder unendlich viele gebundene Zustände. Dabei sind es unendlich viele für α < 2 ,
ansonsten nur endlich viele ( Potenzialtopf !). Bei Kugelsymmetrie des Potenzialtopfs existiert immer
mindestens EIN gebundener Zustand !
Dabei existiert eine Serie E nl n=0,1,2,3,... usw... zu jedem l < n
Jeder Zustand ist dabei bezüglich m (m=-l,...,+l ) 2l+1 fach entartet.
Also: es existieren endlich oder unendlich viele E nl zu jedem l mit jeweils 2 l + 1 facher Entartung.
Voraussetzung: Am Ursprung muss die Zentrifugalbarriere dominieren !
Zusammenfassung Kugelsymmetrsiche Potenziale:
Jeweils vertauschbar sind:
L2 mit L j , H
und
2
H mit L , L j .
Also existieren gemeinsame Eigenzustände zu
H , L2 , L 3 . Es ist möglich, einen Operator, z.B. den
Hamiltonian durch diese Größen auszudrücken
ALSO: Schreibe die vertauschenden Operatoren auf !
Wir haben jedoch gesehen, dass
[Lˆ j , Lˆ k ] = ihε jkl Lˆl ⇔ Lˆ × Lˆ = ihLˆ
ALSO: Schreibe die Quantisierungsbedingungen ( Kommutatoren ) auf !
Wir haben als Leiteroperatoren:
Lˆ + := Lˆ1 + i Lˆ 2
nicht hermitesch
Lˆ − := Lˆ1 − i Lˆ 2
117
mit
Lˆ ± l , m ~ l , m ± 1 nicht hermitesch. Es handelt sich also um Leiteroperatoren für die magnetische
Quantenzahl.
⇒ Lˆ 2 l , m = h 2 l ( l + 1) l , m
Lˆ l , m = hm l , m
3
1
⇒ l = 0, ,1,...
2
m = −l ,−l + 1,...., l
ALSO: Suche einen vollständigen Satz vertauschbarer Operatoren !
Durch die Untersuchung der Wirkung von Produkten von Operatoren kann dann das Eigenwertproblem
eingegrenzt oder sogar gelöst werden.
Der Bahndrehimpulsoperator kann zusammengesetzt werden:
Lˆ = rˆ × pˆ
Das Spektrum ist einzuschränken:
⇒ l = 0,1,2...
m = −l ,−l + 1,...., l
Schließlich kann eine Wellenfunktion in der Ortsdarstellung angegeben werden:
rˆ nlm = Ψnlm = Ψ(r , ϑ, ϕ) = Rnl ( r )Yl m (ϑ, ϕ)
als Separationsansatz.
Direkt aus der Existenz gemeinsamer Eigenzustände zu
H , L2 , L 3
kann man den Hamiltonian zusammenstellen:

h


 (r ⋅ p )(r ⋅ p ) + 

2
p

L
i



HΨ = 
+ V ( r ) Ψ =
+
+ V ( r ) Ψ
2
2
 2m



2 mr
2 mr







1  h 2 ∂2
L2
= HΨ =
−
(
r
Ψ
)
+
Ψ + V (r)Ψ


2m  r ∂r 2
 2mr 2
2
−
h2 ∂ 2
(rΨ ) = p r 2
2
r ∂r
Dabei:
pr 2 ≠
(r ⋅ p ) 2
r2
( klassisch)
Es ergibt sich die Schrödingergleichung:
−
 h 2 l (l + 1)

h2 d 2
(
rR ) + 
+ V (r ) − E (rR ) = 0
 2 mr 2

2 m dr 2


als radiale Schrödingergleichung mit dem Zentrifugalpotenzial
h 2l (l + 1)
2 mr 2
118
und dem effektiven Potenzial Veff . (r ) = V (r ) +
h 2 l (l + 1)
2 mr 2
Der Separationsansatz liefert den Zustand als Produkt:
u (r ) m
rˆ nlm = Ψnlm (r ) = Ψ( r ,ϑ , ϕ ) = R nl (r ) Yl m (ϑ , ϕ ) = nl
Yl (ϑ ,ϕ )
r
u (r )
Rnl ( r ) = nl
r
Aus der Normierbarkeit
∫
=
∫
u nl ( r ) ≤
a
3
d r Ψnlm
2
m
d Ω Yl (ϑ ,ϕ )
2 ∞ 2
r
0
∫
u nl ( r )
r
2
= ∫ dΩ Yl (ϑ , ϕ )
m
2 ∞
∫0
u nl (r )
2
<∞
folgt:
lim
r →∞
mit ε >
rε
1
2
Asymptotisches Verhalten für r → ∞ :
−
h2 d 2
u = Eu
2 m dr 2
⇒ u ~ e −kr
k :=
1
2 m (− E )
h
Verhalten für r → 0 :
 h2 d 2
h 2 l (l + 1) 
+
−
u = 0
2
2 mr 2 
 2 m dr
Ansatz:
u( r ) ~ r s :
− s (s − 1) + l (l + 1) = 0
⇒ s1 = l + 1; s2 = −l
Jedoch ist s2
= −l nicht zulässig, da R(r ) ~ r −l −1 singulär an der Stelle r=0
Es ist notwendig, dass
lim
r− > 0
u( r ) = 0
Nebenbemerkung:
Für l=0 ist die radiale Schrödingergleichung
−
h2 d2
u + (V ( r ) − E )u = 0 mit u ( 0) = 0 äquivalent zur eindimensionalen Schrödingergleichung mit
2 m dr 2
119
V1 ( x) = V ( x) für x > 0
V1 ( x) = ∞ x ≤ 0
Vergleiche: Harmonischer Oszi !
Symmetrische Fortsetzung des Potenzials V s :
Nur die antisymmetrischen Eigenzustände von V s sind auch Eigenzustände von V1
Fazit: Der Grundzustand von V1 entspricht dem ersten angeregten Zustand von V s ( radialsymmetrisches
Potenzial der Schrödingergleichung).
Es gilt: Das eindimensionale symmetrische Potenzial besitzt mindestens einen Bindungszustand !
Dreidimensionale Potenziale besitzen dagegen nicht immer Bindungszustände.
Einwurf : Symmetrien/ Invarianzen und Erhaltungssätze
( KEIN STOFF DER QUANTENMECHANIK !! auf den folgenden 17 Seiten !)
Bereits a priori erscheint es einleuchtend, dass eine Vertauschbarkeit verschiedener Variablen eine Symmetrie
bedeutet. In gewisser Hinsicht ist es unerheblich, ob man erst die Energie und dann den Drehimpuls misst, da
beide miteinander vertauschen.
Umgekehrt wissen wir aus der von- Neumann- Bewegungsgleichung ( Heisenberg- Bewegungsgleichung), dass
ein verschwindender Kommutator immer einen Erhaltungssatz bedingt. Somit kann eine Analogie gefunden
werden zwischen der Von Neumann- Bewegungsgleichung und dem Noether- Theorem.
Erinnern wir uns an die klassische Mechanik:
Die kanonischen Gleichungen lauten:
∂H
P&k = −
≡ 0 ⇒ Pk = αk = const
∂Q k
∂H
Q& k =
≡ 0 ⇒ Qk = βk = const
∂Pk
Für ein hamiltonsches System. Man redet bei verschwindender Ableitung von zyklischen Koordinaten. Mittels
der Hamilton- Jacobi- Theorie ist es möglich, eine Transformation zu finden derart, dass alle Koordinaten
zyklisch werden. Dies entspricht dann einer Transformation auf paarweise vertauschende Operatoren. Es
entspricht dem Auffinden eines vollständigen Satzes vertauschbarer Operatoren.
120
Auf die Hamilton- Jacobi Theorie soll nun jedoch nicht näher eingegangen werden. Erinnern wir uns statt dessen
an das Noether- Theorem:
Kontinuierliche Symmetrien und Erhaltungssätze
Betrachte kontinuierliche Transformationen, unter denen das physikalische System invariant ist.
In diesem Fall gibt es zu jeder kontinuierlichen Invarianz gegen infinitesimale Transformationen eine
Erhaltungsgröße I ( Integral der Bewegung oder auch Konstante der Bewegung), das heißt, in diesem Fall gilt:
dI
= 0 entlang der Bahn der angenommenen Bewegung ( längs der Bahn).
dt
Dies ist die allgemeine Aussage des Theorems von Emmy Noether
Das Noether- Theorem ist im Lagrangeformalismus formuliert. Zu diesem müssen wir zurück. Durch die
Legendre- Transformation kann man jedoch leicht zum Hamiltonformalismus wechseln.
Das Noether Theorem
Voraussetzung: Autonomes, das heißt, nicht explizit zeitabhängiges System mit f Freiheitsgraden und einer
Lagrangefunktion
L( q1 ,..., q&1 ,..., t )
Theorem ( E.Noether, 1882-1935)
Die Lagrangefunktion
L( q1 ,..., q&1 ,..., t ) eines autonomen Systems sei unter der Transformation
q → h s (q ) invariant. Dabei ist s ein eindimensionaler Parameter und h s=0 ( q ) = q die Identität.
Dann gibt es ein Integral der Bewegung
f
∂L  d s

 h ( qi ) 
&
 s=0
i =1 ∂q i  ds
I ( q , q& ) = ∑
Beweis:
q = q (t ) eine Lösung der Lagrangegleichung. Dann ist auch q ( s, t ) := h s ( q , t ) Lösung, das heißt:
d ∂L (q ( s , t ), q& ( s, t )) ∂L( q ( s, t ), q& ( s , t ))
=
dt
∂q& i
∂qi
Sei
Invarianz der Lagrangefunktion für beliebige s:
f 
d
∂L  dq i  ∂L  dq& i  
L (q ( s, t ), q& ( s , t )) = ∑ 

+

 =0

&
ds
∂
q
ds
∂
q
ds



 
i
i
i =1 
f
d
d  ∂L  d s
  f  d ∂L  dq i  ∂L d  dqi  
⇒ I ( q , q& ) = ∑ 
h
(
q
)

i 
 =∑  dt ∂q&  ds  + ∂q& dt  ds  
&
dt
dt
∂
q
ds


 i
s =0  i =1 
i
i
i =1

Mit
d ∂L
∂L
=
dt ∂q& i ∂qi
d  dq i   dq& i 

=

dt  ds   ds 
121
und mit Hilfe von
f 
d
∂L  dq i  ∂L  dq& i  
L (q ( s , t ), q& ( s , t )) = ∑ 

+

 =0

&
ds
∂
q
ds
∂
q
ds



 
i
i
i =1 
folgt dann:
d
d
I ( q , q& ) =
L=0
dt
ds
Räumliche Translationsinvarianz
Seien die Kräfte konservativ und seien keine Randbedingungen:
L=
1 N
mi r&i 2 − V ( r1 ,..., rN )
∑
2 i =1
Eine Translation in Richtung x ist damit eine Translation der Form:
h s : ri → ri + s e x
i = 1,.., N
Der Parameter s ist dabei beliebig.
Die Translationsinvarianz entlang der x- Achse bewirkt nun:
1 N
L( h s (ri ), r&i ) = ∑ mi r&i 2 − V ( r1 + se x ,..., rN + se x ) = L( ri , r&i ) Forderung!
2 i =1
N
N
dL
∂
= −∑ (∇ ri ⋅ e x )V = −∑ V = 0
ds
i =1
i =1 ∂x i
Forderung!
Das bedeutet aber: es darf keine äußere Kraft in x- Richtung geben !
Für die Transformation gilt:
h s ( ri ) = ri + se x
i = 1,.., N
h s=0 ( ri ) = ri (Identität)
d s
h ( ri ) = e x
ds
Für unser Integral der Bewegung gilt jedoch:
N
I = ∑ ∇ r&i L
i =1
dh s
= ∑ mi r&i ⋅ e x = ∑ mi x& i = Px
ds
i
i
Fazit: die Translationsinvarianz in x- Richtung bestimmt die Erhaltung der x-Komponente des Gesamtimpulses.
Dieser Zusammenhang ist leicht für die anderen Komponenten zu zeigen.
Dies kann auch umgekehrt betrachtet werden:
Wähle q1=s als verallgemeinerte Koordinate:
Nun gilt die Transformation:
ri = ri ( q1 ,..., q f , t ) = q1e x + ∆ri (q1 ,..., q f , t )
mit
q1e x als Schwerpunktskoordinate und
∆ri ( q1 ,..., q f , t ) als Relativpositionen.
122
Es folgt:
∂
ri = ex
∂q1
∂ &
∂
∂
∂
ri =
ri = e x wegen r&i = ∑
ri q& k + ri
∂q k
∂t
∂q&1
∂q1
k
Invarianz
Erhaltungssatz
∂L
d ∂L
∂L
=0⇔
= 0 äquivalent zum Erhaltungssatz
= const
∂q1
dt ∂q&1
∂q&1
Allgemein heißt
Falls gilt dass
∂L
= p j der zur Koordinate qj konjugierte verallgemeinerte Impuls.
∂q& j
∂L
d ∂L
=0⇔
= 0 , wenn also die Lagrangefunktion invariant gegen q1- Änderungen
∂q1
dt ∂q&1
ist, dann nennt man q1 eine zyklische Koordinate. der zu q1 konjugierte Impuls ist in diesem Fall eine
Erhaltungsgröße .
Hier:
p1 =
∂L
∂
∂T
∂  1 & 2 
&i ∂ r&i
=
(T − V ) =
=
m
r
=
m
r
∑
i
i
∑
i

∂q&1 ∂q&1
∂q&1 ∂q&1  i 2
∂q&1
 i
∂ &
ri = e x
∂q&1
p1 = ∑ mi r&i e x = Px
mit
i
Verallgemeinerung auf Nichtkonservative Kräfte
d ∂T ∂T
∂
−
= Q1 = ∑ X i
ri = e x ∑ X i
dt ∂q&1 ∂q1
∂
q
1
i
i
Xi kennzeichnet dabei die Kraft. Nun steht rechts also die resultierende Kraft in x- Richtung. Existiert keine
resultierende Kraft in x- Richtung ( Translationsinvarianz in x- Richtung), so gilt:
d ∂T ∂T
∂
−
= Q1 = ∑ X i
r = ex ∑ X i = 0
dt ∂q&1 ∂q1
∂q1 i
i
i
Invarianz sagt
∂T
d ∂T
∂T
= Q1 = 0 ⇒
= 0 ⇔ Px =
= const
∂q1
dt ∂q&1
∂q&1
Nebenbedingung für das fehlen konservativer Kräfte ( Falls Q1 konservative Kraft ist)
Q1 = 0 ⇒
∂
∂
(q e ) = e x ∑ ∇ riV = −e x ∑ X i = 0
V ( r1 + q1e x ,..., rN + q1e x ) = ∑ ∇ riV
∂q1
∂q1 1 x
i
i
i
123
Beispiel: ein Teilchen im Potenzial V=V(y,z)
Das Potenzial hänge nicht von x ab:
Daraus folgt:
∂L
∂ x&
∂L
=0
∂x
= m x& = P x = const
In diesem Fall existiert ein Integral der Bewegung:
∂L dh s
I ( r , r& ) =
⋅
∂r& ds
=
∂L
= Px = const
∂x&
wegen
∂L
= ∇ r& L
∂r&
dh s
ds
= ex
Beispiel: 2 Teilchen mit innerer Paarwechselwirkung
V ( r1 , r2 ) = V ( r1 − r2 ) Das Potenzial kann auch anisotrop sein.
Es sollen keine äußeren Kräfte wirken, so dass das Potenzial unabhängig von den Schwerpunktskoordinaten
wird.
Gleichzeitig soll Translationsinvarianz entlang x-, - und z- Richtung vorliegen:
m
m
L( r1 , r2 , r&1 , r&2 ) = 1 r&12 + 2 r&2 2 − V (r1 − r2 )
2
2
m
m
L( h s (r1 ), h s (r2 ), r&1 , r&2 ) = 1 r&12 + 2 r&2 2 − V ( (r1 − sei ) − (r2 − sei )) = L (r1 , r2 , r&1 , r&2 )
2
2
für alle i = x,y,z
Somit existieren gleich drei Integrale der Bewegung:
∂L
∂L
∂L ∂L
ex +
ex =
+
= m1 x&1 + m2 x& 2 = Px = const
∂r&1
∂r&2
∂x&1 ∂x& 2
∂L
∂L
∂L
∂L
Iy =
ey +
ey =
+
= m1 y&1 + m2 y& 2 = Py = const
&
&
∂r1
∂r2
∂y&1 ∂y& 2
∂L
∂L
∂L ∂L
Iz =
ez +
ez =
+
= m1 z&1 + m2 z& 2 = Pz = const
&
&
∂r1
∂r2
∂z&1 ∂z& 2
Ix =
Dies ist, aufgrund des Fehlens äußerer Kräfte, gerade der Schwerpunkts- Erhaltungssatz:
MR& = P = const
Mit den Schwerpunktskoordinaten
R :=
1
M
2
∑ mi ri
i =1
Und der Gesamtmasse
2
M := ∑ mi
i =1
124
Räumliche Isotropie
Nebenbedingung: konservative Kräfte, keine Zwangsbedingungen
Es erfolgt eine Drehung des Bezugssystems um den Winkel ϕ = s um die z- Achse.
An einer Skizze kann man sich schnell verdeutlichen:
h s : ri = ( xi , y i , z i ) → ri ´= ( x´i , y´ i , z´i )
Dabei gilt:
xi ´= xi cos s + y i sin s
yi ´= y i cos s − xi sin s
z i ´= z i
Rotationsinvarianz für die Drehung um die z- Achse:
Betrachten wir infinitesimale Transformationen ( Drehungen um die z- Achse mit kleinen Winkeln
δϕ = δs
 xi ´   cos s sin s 0  xi   1 0 0   0 s 0   xi 
  
  
 
  
 y i ´ =  − sin s cos s 0  yi  ≈  0 1 0  +  − s 0 0   yi 
 z ´  0
0
1  z i   0 0 1   0 0 0   z i 
 i  
Dabei gilt die rechtsseitige Taylorentwicklung für kleine Winkel. Wir schreiben
 0 s 0


 − s 0 0  = −s J z
 0 0 0


Mit J z als Erzeugende für infinitesimale Drehungen um die z- Achse.
Somit folgt:
 xi ´   x i   yi   xi 
    
  
 y i ´ =  yi  + s  − x i  =  y i  + s(ri × e z )
 z ´  z   0   z 
 i   i 
  i
Formal schreibt man:
d

+ s  h s ( ri )  + O( s 2 )
 ds
 s=0
d s

mit 
h ( ri ) 
= ri × e z
 ds
 s =0
ri ´= h s (ri )
s=0
Rotationsinvarianz der Lagrange-Funktion
T=
1
∑ m r& 2 ist rotationsinvariant, da nur von r&i abhängig und die Drehmatrix ändert die Abstände nicht.
2 i i i
( Drehungen sind orthogonale Transformationen).
L( ri ´= h s (ri ), r&i ) = L( ri , r&i )
N
N
 dr ´ 
 ∂L 
 ∂V 
= −
= −∑ (∇ ri´V ) i 
= ∑ Fi ( ri × e z )
 

 ∂s  s = 0
 ∂s  s =0
 ds  s=0 i =1
i =1
125
wegen:
(∇ri´V ) = − Fi
 dh s 
 dri ´ 

= 



ds
ds

 s =0 
 s =0
Als zyklische Permutation gilt dann jedoch:
 ∂L 
 ∂V 
= −
= e z ⋅ ∑ (Fi × ri ) = −e z ⋅ ∑ (ri × Fi )
 

 ∂s  s = 0
 ∂s  s =0
i
i
Mit ∑ (ri × Fi ) als gesamtes Drehmoment und der Tatsache, dass die z-Komponente des äußeren resultierenden
i
Drehmomentes verschwindet:
 ∂L 
 ∂V 
− e z ⋅ ∑ (ri × Fi ) =  
= −
=0

∂
s
∂
s




s
=
0
s
=
0
i
Interpretation nach dem Noetherschen Theorem
N
I ( r , r& ) = ∑
i =1
∂L
∂r&i
 dh s
⋅ 
 ds


= ∑ mi r&i ⋅ (ri × e z ) = −e z ∑ (ri × mi r&i ) = −e z l = −l z

 s =0
i
i
Also: Rotationsinvarianz entspricht Drehimpulserhaltung
Andere Betrachtungsweise
q1 = ϕ = s als verallgemeinerte Koordinate
Trafo: ri = ri (ϕ, q 2 ,..., q f , t )
Wähle
mit
∂
d

ri =  h s (ri ) 
= ri × e z
∂q1
 ds
 s=0
Für infinitesimale Drehung um z-Achse.
Invarianz
Erhaltungssätze
∂L
d ∂L
∂L
=0⇔
= 0 äquivalent zum Erhaltungssatz p1 =
= const
∂q1
dt ∂q&1
∂q&1
Der Winkel ist also eine zyklische Variable.
Berechnet man den verallgemeinerten konjugierten Impuls zu
p1 =
q1 = ϕ = s , so ergibt sich:
∂L
∂L 1
∂ &2
∂ &
=
= ∑ mi
ri =∑ mi r&i
ri = ∑ mi r&i (ri × e z ) = −e z ∑ (ri × mi r&i ) = −l z
&
∂q&1 ∂q&1 2 i
∂q&1
∂
q
1
i
i
i
wegen
∂r
∂r
∂ &
∂
ri =
ri da r&i = ∑ i q& k + i
∂q&1
∂q1
∂t
k ∂q k
Es ergibt sich also wieder die z-Komponente des Drehimpulses als verallgemeinerter Impuls.
Nebenbedingung:
Wir betrachteten hier eine passive Drehung des Korodinatensystems. Die Aktive Drehung des
Koordinatensystems ist jedoch äquivalent. Das bedeutet, wir drehen aktiv alle Massenpunkte mit
Dazu gehören dann die konjugierten Impulse +lz
~ = −ϕ .
ϕ
126
Beispiel:
N Teilchen mit einer inneren Paarwechselwirkung, die nur vom Abstand abhängt:
V ( r1 ,..., rN ) = V ( r12 ,..., rij ,...) mit rij = ri − r j
Rotationsinvarianz gegen Drehung um alle Achsen:
∂V ( r12 ,..., rij ,...)
∂ϕ
=∑
i, j
[(
∂V ∂
⋅
rij = 0 für beliebige Achsen, da
∂rij ∂ϕ
)(
∂
∂
rij =
ri − r j ri − r j
∂ϕ
∂ϕ
)]1/ 2 = r1 (ri − rj ) ∂∂ϕ (ri − rj ) = ri r− rj  ∂∂ϕ ri − ∂∂ϕ r j 
ij
ij


∂
r = ri × ek
∂ϕ i
ri − r j  ∂
∂
 ri − r j
1
⇒

ri −
r j  =
ri − r j × e k = e k ri − r j × ri − r j = 0
rij  ∂ϕ
∂ϕ 
rij
rij
[(
Also ist der resultierende Drehimpuls
]
)
[(
) (
)]
l eine Erhaltungsgröße
Erzeugende der infinitesimalen Drehung um z-Achse
Die infinitesimale Drehung läßt sich schreiben als:
ri ´= h s (ri ) = ( 1 − sJ z )ri
 0 −1 0


Mit der Erzeugenden J z =  1
0 0
 0 0 0


Bei einer Drehung um den endlichen Winkel
ϕ gilt:
 cos ϕ sin ϕ 0 


ri ´= R z (ϕ) ri =  − sin ϕ cos ϕ 0 ri
 0
0
1 

Es gilt:
(
)
Rz (ϕ) = exp − J z ϕ
mit Definition
(
)
(
) 12 (− J ϕ)
exp − J z ϕ := 1 + − J zϕ +
z
2
+ ... +
(
)
k
1
− J zϕ
k!
Beweis:
Für
 0 − 1
M = 
 ⇒ M 2 = − 1 , M 3 = − M , M 4 = 1
1 0 
M 2 n = (− 1) n 1
M ( 2n +1) = (− 1) n M
127
Mit Hilfe der Taylorreihen für Sinus und Cosinus folgt dann:
∞ (− 1)n
∞ (− 1) n
 cos ϕ sin ϕ 

 = 1 ∑
ϕ2 n − M ∑
ϕ 2n +1
 − sin ϕ cos ϕ 
n =0 (2n )!
n =0 (2 n + 1)!
∞
∞
1
1
2n 2n
=∑
M ϕ −M ∑
M 2 n+1ϕ 2n +1
n= 0 (2n )!
n= 0 (2n + 1)!
(
)
= exp − Mϕ
Analog behandelbar ist die Drehung um die x-Achse
Erzeugende:
0 0 0 


J x =  0 0 − 1
0 1 0 


Hier gewinnen wir die Drehmatrix:
(
)
Rx (ϕ) = exp − J xϕ
Bei der y- Achse gilt:
Erzeugende:
 0 0 1


J y =  0 0 0
 −1 0 0 


Hier gewinnen wir die Drehmatrix:
(
)
R y (ϕ) = exp − J yϕ
Beliebige Drehungen um den Winkel
ϕ mit der Drehachse n :
3


R (ϕ ) = exp  − ϕ∑ ni J i 
i =1


mit ϕ := ϕn
Die Drehmatrizen
(
)
3


R (ϕ ) = exp  − ϕ∑ ni J i  bilden nun eine 3- parametrige (ϕ1 ,ϕ2 ,ϕ3 ) , stetige,
i =1


diffbare inϕ und orthogonale Gruppe.
Eine solche Gruppe heißt Lie- Gruppe oder kontinuierliche Gruppe in drei reellen Dimensionen
SO(3)
{
}
SO(3) = R : R 3 → R 3linear R t R = 1 det R = 1
Mit
R t R = 1 als Orthogonalitätsbedingung, so dass | r ´|=| r | und det R = 1 zum Ausschluß von
Raumspiegelungen.
Die Erzeugenden
[J , J ]= J J
i
k
i k
J i der Drehgruppe bilden eine Lie- Algebra mit dem Lieschen Produkt (=Kommutator):
− J k Ji
i,k=x,y,z
128
Dabei vertauschen 2 Drehungen um unterschiedliche Achsen nicht. Das bedeutet, das Ergebnis hängt von der
Reihenfolge ab !:
[J
[J
[J
]= J
, J ]= J
, J ]= J
x, J y
z
z
x
y -> zyklische Permutation des Lieschen Produktes
z
x
y
Zeitliche Translationsinvarianz
Die Zeit spielt in der klassischen Mechanik im Ggstz zur relativistischen Mechanik gegenüber dem Ort eine
Sonderrolle.
Deshalb ist eine direkte Anwendung des Noether- Theorems nicht moeglich.
Zeitliche Translationsinvarianz ist erfüllt, falls:
1.
die Zwangsbedingungen die Zeit t nicht explizit enthalten:
ri = ri ( q1 ,..., q f )
∂
∂
ri = 0 ⇒ r&i = ∑
ri q& j
∂t
∂
q
j
j
Dabei ist
∂
L =0
∂t
2.
3.
∂
ri Funktion von q1...qf
∂q j
Nebenbedingung: Aus der Existenz eines Potenzials der eingeprägten Kräfte folgt NICHT automatisch die
Erhaltung der Energie, da die Zwangsbedingungen die Zeit enthalten könnten.
Wenn die Zwangsbedingungen die Zeit enthalten, so ist die Energie nicht enthalten.
ri = ri ( q1 ,..., q f , t )
Kinetische Energie:
T=
1
1
mi r&i 2 = ∑ T jk q& j q& k
∑
2 i
2 j ,k
Mit
 ∂r
T jk = ∑ mi  i
 ∂q j
i =1

N
 ∂ri

 ∂qk


 ist abhängig von den q1...qf im Gegensatz zum Fall der kleinen Schwingungen,

der eingangs behandelt wurde.
T ist eine homogene quadratische Funktion der
(
)
(
)
q&1...q& f
T λq& 1 ,..., λq& f = λ2T q&1 ,..., q& f
Nach λ wird partiell abgeleitet, dann wird λ = 1 gesetzt.
N 
N 
∂T  ∂(λq& k ) 
∂T 


=
2
λ
T
⇔


∑  ∂ (λq& )  ∂λ  λ =1
λ =1
∑  ∂(q& ) q& k = 2T
k 
k 
k =1
k =1 
 ∂(λq& k ) 

 = q& k
 ∂λ 
Also
129
Obere Äquivalenz ist der sogenannte Eulersche Satz
Da V unabhängig von q&1...q& f gilt auch:
N
 ∂L 
∑  ∂ (q& )  q&k
k 
k =1
= 2T
Zur totalen Zeitableitung von L:
 ∂L
 ∂L
dL
∂L
= ∑ 
q&&k +
q& k  +
dt
∂qk
 ∂t
k  ∂q& k
∂L
d ∂L
∂L
=
und
= 0 wegen 2.( oben)
∂q k dt ∂q& k
∂t
Somit:
 ∂L
 d
dL
d ∂L
∂L
dT
= ∑ 
q&&k +
q& k  = ∑
q& k = 2
wegen
&
dt
dt ∂q& k
dt
 dt k ∂q& k
k  ∂qk
 ∂L

k = 1  ∂ ( q& k
N
∑

 q& = 2 T
)  k
Somit:
0=
d
d
( 2T − L) = (T + V ) ⇒ T + V = konst
dt
dt
Zeitranslationsinvarianz bedingt also Energieerhaltung !
Oder: Skleronome Zwangsbedingungen:
∂L
= 0 bedingen: E=T+V=constant
∂t
Nebenbemerkung
Die Aussage folgt auch aus dem Noether-Theorem, wenn man noch den folgenden Trick anwendet: (Scheck,
Aufgabe 2.17)
Mache t zu einer q-artigen Variablen durch eine parametrisierte Darstellung:
q k = qk (τ), t = t (τ)
Als Lagrangefunktion muss man sich definieren:

dq dt 
 :=
L  q k , t , k ,

d
τ
d
τ



1 dqk
dt 
L qk ,
, t,
dt

dτ
dτ 
dτ


(
)
soll invariant unter Zeittranslationen sein:
h s ( q , t ) = (q , t + s )
Dann gilt:
1.
Hamiltonsches Prinzip auf
τ2
t2
τ1
t1
0 = δ ∫ L dτ = δ ∫ Ldt ⇔
L angewandt:
d ∂L
∂L
−
=0
dt ∂q& k ∂qk
130
2. Noethersches Theorem für L :
Integral der Bewegung I:
I=
f +1
∂L  d s
∂L

=
 h ( q1 ,..., q f +1 ) 
 s=0 ∂q& f +1
i  ds
∑ ∂q&
i =1
d

mit  h s (q1 ,..., q f +1 )  = (0,...,0,1)
 ds

I=
∂L
∂q& f +1
f Nullen ,1 an Stelle f + 1 mit q f +1 = t


f
∂L
∂L 
1
=
= L+ ∑
−

2
 dt 
k =1 ∂q& k   dt 
∂ 


 dτ
 dτ 
  


 dqk dt

 dτ dτ


f 
∂L 
q& = T − V − 2T = −(T − V )
= L − ∑ 
&  k
k =1  ∂ (qk ) 
Also Erhaltung der Energie durch zeitliche Translationsinvarianz
Physikalische Bedeutung der Ham- Funktion
-
wegen L= T-V bei holonomen Zwangsbed. und konservativen Kräften
und wegen p(d/dt q)= 2T folgt: H = T+V
Dies gilt bei zeitlicher Translationsinvarianz ( skleronome Zwangsbed. ):
∂
∂
ri ( q1 ,..., q f ) = 0und L = 0
∂t
∂t
mit
Dann nämlich ist
f
∑
k =1
∂T
q& = 2T ( nach dem Eulerschen Satz: T ist quadratische , homogene Funktion der q& k .
∂q& k k
Somit:
f
∑
k =1
f
∂L
∂T
q& k − L = ∑
q& − L = 2T − T + V = T + V
& k
∂q& k
k =1 ∂q k
beschreibt die Gesamtenergie des Systems: Nur bei skleronomen Zwangsbedingungen und konservativen
Kräften !
Nach dem Noether- Theorem, speziell unter dem Kapitel ZEITLICHE Translationsinvarianz
folgt dann Gesamtenergieerhaltung.
Dies läßt sich leicht nachweisen:
 f
dH d  f ∂L
= ∑
q& − L  = ∑
dt
dt  k =1 ∂q& k k
 k =1
∂L
wegen
=0
∂t
f
 ∂H
 ∂H
∂H

q& k +
p&  +
=
∂p k k  ∂t k∑
 ∂q k
=1
 ∂H ∂H ∂H ∂H

−
 ∂q k ∂p k ∂p k ∂qk
 ∂L
 −
=0
 ∂t
Dies gilt also nur für skleronome Zwangsbedingungen. Bei rheonomen Zwangsbed. ist im Allgemeinen H nicht
T+V !!
131
Beispiel: Perle an starrem rotierendem Draht:
Eine Perle der Masse m sei auf einem starren Draht, der in der -y- Ebene rotiert ( Reibung durch Erdpotenzial zu
vernachlässigen): Generalisierte Koordinaten q ist der Abstand der Perle vom Mittelpunkt:
x = q cos ωt , x& = q& cos ωt − qωsin ωt
y = q sin ωt , y& = q& sin ωt + qω cos ω
m 2
m 2
L=T =
x& + y& 2 =
q& + q 2ω2
2
2
∂L
m 2
H =
q& − L =
q& − q 2ω2 ≠ T
∂q&
2
(
)
(
(
)
)
Man kann sich H=T+V denken. Dabei gilt das effektive Potenzial mit
Aus
V = −mq 2ω2 .
∂L
= 0 folgt dann ohnehin wieder ein Erhaltungssatz: H=const.
∂t
Zurück zur Quantenmechanik
Betrachten wir die Von- Neumann- Bewegungsgleichung ( Heisenbergsche Bewegungsgleichung):
für einen beliebigen Operator
[
d ˆ
i
FH (t ) = Hˆ , FˆH
dt
h
]
FˆH (t ) :
Betrachte Ort und Impuls:
∂F
i ∂p k
[F , xˆ k ] = h
∂F
i ∂x k
[F , pˆ k ] = h
Somit gilt insbesondere:
∂H
i ∂pk
[H , xˆ k ] = h
[H , pˆ k ] = h ∂H
i ∂x k
Nun haben wir angesichts dieses Zusammenhangs erneut:
∂H
= 0 ⇒ p& k = 0
∂x k
weil
[H , pˆ k ] = 0
Eine Symmetrie des Hamiltonoperators im Ort x bedingt also eine Erhaltung der Impulskomponente p in dieser
Richtung !
Nun:
Wir können Impuls und Energie gleichzeitig scharf messen.
Vertauschungsrelationen. Warum ?
Die Impulsmessung verschiebt das Teilchen in x- Richtung wegen
Das
ist
neu
als
Aussage
der
[ pˆ i , xˆ k ] = h δik 1
i
ˆ
ˆ
[ p i , p k ] = [xˆ i , xˆ k ] = 0
132
Aber: Nach Voraussetzung ist die Energie unabhängig vom Ort, also bleibt der Impuls erhalten !
Somit haben wir eine Äquivalenz zwischen Unschärfe und Nöthertheorem und der Heisenbergschen
Bewegungsgleichung.
Drehimpuls:
Es gilt:
[Lˆ j , Lˆ k ] = ihε jkl Lˆl
Außerdem aber :
Für alle rotationssymmetrischen Hamiltonoperatoren gilt ( Theorem !):
[Lˆ j , H ] = 0
[Lˆ , H ]= 0
2
Und der Drehimpuls ist eine Erhaltungsgröße, also
L& = 0
Analogie in der KLASSISCHEN Mechanik:
Im Zentralpotenzial ist der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße
Tieferer Grund:
L ist die Erzeugende infinitesimaler Drehungen
Also:
Wir nehmen an, die Energie ist isotrop, also winkelunabhängig !
Die Messung einer Drehimpulskomponente stört die Energie nicht wegen:
[Lˆ j , H ] = 0 und [Lˆ2 , H ] = 0
&
sofort ist klar ( Heisenbergsche Bewegungsgleichung), dass L = 0 .
Wir können nun jedoch gleich zwei neue Forderungen aufstellen, da wir den Zusammenhang zwischen diesen
Bewegungsgleichungen und dem Noethertheorem kennen:
1)
2)
Ein Winkeloperator vertauscht im rotationssymmetrischen Potenzial mit dem Hamiltonian, da die Energie
symmetrisch im Winkel ist und eine Drehimpulsmessung die Energie nicht stört:
Der Drehimpuls kann nur eine " Unschärfe" im Winkel besitzen, wegen dreier Raumwinkel ist damit sofort
die Unschärfe mit den anderen Drehinmpulskomponenten eine eigentliche Winkelunschärfe im
rotationssysmmetrischen Potenzial ( Alle Aussagen gelten hier, wie gesagt, nur für rotationssymmetrische
Potenziale):
Also könnte man Forderungen an einen Winkeloperator stellen, derart, dass:
[ϕˆ , H ] = 0
[L , ϕ] ≠ 0
( Definition des rotationssymetrischen Potenzials)
ˆ2
[Lˆ j , ϕ j ] ≠ 0
Wobei letzteres als Eulerwinkelcharakterisierung gedacht ist, also als der Drehwinkel in der Ebene, die auf die
bezeichnete Drehimpulskomponente senkrecht steht:
Also:
ortsinvariante Hamiltonians erhalten den Impuls. Die Impulsunschärfe spürt keine energetische Variation,
weshalb der Impuls zeitlich erhalten bleibt !
winkelinvariante Hamiltonians erhalten den Drehimpuls. Die Drehimpulsunschärfe spürt keine energetische
Variation und bleibt deshalb zeitlich erhalten.
133
Grafisch:
Dagegen ist in diesem Modell der Hamiltonian sicherlich nicht ortsunabhängig. Demnach wird der Impuls hier
nicht mit dem Hamiltonian vertauschen !
Dies würde er in einer solchen Situation, in der dann natürlich keine Drehimpulserhaltung mehr gilt:
Etwas weniger hochgestochen könnte man auch formulieren: Da die Heisenbergsche Bewegungsgleichung
[
]
d ˆ
i
FH (t ) = Hˆ , FˆH gilt, kann man in Analogie zum klassischen Noether- Theorem sofort behaupten,
dt
h
dass:
∂F
i ∂p k
[F , xˆ k ] = h
∂F
i ∂x k
[F , pˆ k ] = h
Somit gilt insbesondere:
134
∂H
i ∂pk
[H , xˆ k ] = h
[H , pˆ k ] = h ∂H
i ∂x k
Dies könnte hilfreich sein beim Auffinden eines Zeitoperators:
Im zeitunabhängigen Potenzial gilt trivialerweise::
[Hˆ , Hˆ ] = 0
aber wegen der Energie- Zeit- Unschärfe:
[H , Tˆ ] ≠ 0
Somit kann auch im zeitunabhängigen Potenzial der Zeitoperator keine Erhaltungsgröße sein:
&
Tˆ ≠ 0
Seine Eigenwerte müssten die Zeit ausgeben !
135
3.4 Das Wasserstoffatom
Hier wechselwirken ein Elektron
e = −e 0 , m1 , r1 und Proton e = e0 , m2 >> m1 , r2
über das Coulomb- Potenzial:
V ( r1 − r2 ) = −
e2
4πε0 r
Reduktion des Zwei- Teilchen- Problems:
 h 2
h2
~ 
−
∆
−
∆ 2 + V ( r1 − r2 ) − E Ψ(r1 , r2 ) = 0

1
2m2
 2m1

Dies ist die Schrödingergleichung für eine Zwei- Teilchen - Wellenfunktion:
Ψ (r1 , r2 ) = r1, r2 Ψ
1
(m1 r1 + m2 r2 )
Schwerpunkt- Koordinate:
M
M := m1 + m2
Relativ- Koordinate: r := r1 − r2
R :=
Damit können alle Differenziationen in Schwerpunkts- und Relativableitung zerlegt werden:
m1
∇R + ∇r
M
m
∇2 = 2 ∇ R − ∇r
M
∇1 =
Damit folgt:
−

h2
h2
h 2  m1
2
1
m
2
1
∆1 −
∆2 = −
∆ r + 22 ∆ R −
∇ R∇ r +
∆r 
 2 ∆ R + ∇ R∇ r +
2m1
2m2
2 M
M
m1
M
m2
M

−
h2
h2
h2
h2
∆1 −
∆2 = −
∆R −
∆r
2m1
2m2
2M
2m
Wobei die reduzierte Masse m eingeführt wurde:
1
1
1
=
+
m m1 m2
Zur Lösung des Problems wählen wir den Separationsansatz
Ψ (r1 , r2 ) = e iQ ⋅R Ψ (r )
Dies entspricht einer Abspaltung der zeitunabhängigen Schwerpunktskoordinaten mit der Wellenzahl Q des Systems
(Gesamtmasse) , also einer Schwerpunktswellenlänge. Dagegen steckt in den Relativkoordinaten dann eine
Relativwellenlänge.
Das Q, welches hier eingeführt wird kann dann Korrekturen an die Energie bringen, die jedoch klein sein sollten
(siehe unten).
136
Somit folgt die Schrödingergleichung
 h 2

∆ r + V ( r ) − E Ψ ( r ) = 0
−
 2m

~
h2Q 2
mit E = E +
, also der Energie E , die noch um die freie Schwerpunktsbewegung, die kinetische Energie
2M
h 2Q 2
~
des freien Schwerpunktes
zu E korrigiert wird.
2M
Somit haben wir nun ein reduziertes effektives 1- Teilchen- Problem mit einem kugelsymmetrischen Potenzial.
Separation in Kugelkoordinaten:
u (r) m
m
rˆ nlm = Ψnlm ( r ) = Ψ ( r, ϑ , ϕ ) = Rnl (r ) Yl (ϑ , ϕ ) = nl Yl (ϑ , ϕ )
r
u nl ( r )
Rnl ( r) =
r
Ansatz der effektiven radialen Schrödingergleichung:
−
 h 2 l (l + 1)

h2 d 2
(
rR ) + 
+ V ( r ) − E (rR ) = 0
2

2

2 m dr
 2 mr

Dies entepricht
 p 2 rad

+ V (r ) eff
 2m


Ψ = 0


p 2 rad
h2 d 2
=−
2m
2 m dr 2
Wobei die obige Gleichung leicht aus dem Laplaceoperator in Kugelkoordinaten einzusehen ist. Durch den
 p 2 rad
+ V ( r ) eff
 2m

Separationsansatz erhält man schnell die einfachere Form 

(rR ) = 0 , die nur noch von der


Radiuslänge in der Wellenfunktion abhängt.
Also:
−
 h 2 l (l + 1)

h2 d 2
u nl (r ) + 
+ V (r ) − E u nl ( r) = 0
 2mr 2

2 m dr 2


V (r ) =
e2
4πε 0 r
 l (l + 1) 2 m e 2
2 m 
⇒ u´´ nl ( r ) −  2 − 2
+ 2 E  u nl ( r) = 0
 r

h 4πε 0 r h
Bei Beschränkung auf gebundene Zustände gilt: E < 0:
137
Abspaltung des asymptotischen Verhaltens:
Als Lösungsansatz wählen wir:
u nl ( r ) = r l +1 e − kr w(r )
k :=
1
2m E
h
ρ := 2kr
Mit
λ :=
2m e 2 1
1
~
2 4πε 2 k
h
E
0
Ergibt sich:
 l (l + 1) λ 1 
u´´ nl ( ρ ) − 
− + u nl ( ρ ) = 0
ρ 4 
 ρ 2
Sowie
 2(l + 1) 
λ − l −1
w´´( ρ ) + 
− 1 w´( ρ ) +
w( ρ ) = 0
ρ
 ρ

Lguerre- Differentialgleichung
Über einen Potenzreihenansatz:
∞
w( ρ ) =
∑
an ρ n
n =0
∞
w´( ρ ) = ∑ a n n ρ n −1
n =1
w´´( ρ ) =
∞
∑
n= 2
a n n (n − 1) ρ n −2
Erhält man eine Rekursionsformel für die Entwicklungskoeffizienten durch Koeffizientenvergleich:
a n +1 = a n
n + l +1− λ
( n + 1)( n + 2 l + 2)
Wenn die Reihe nicht abbricht folgt für n → ∞
a n +1
1
1
also a n+1 ~ a 0
→
an
n
n!
Demnach folgt für ρ → ∞ :
w→ ∑
n
⇒ u ~ we
1 n +1
ρ
= ρe ρ
n!
−
ρ
2
Damit ist jedoch u nicht normierbar !
Die Reihe muss also abbrechen bei n = n´∈ N 0 :
138
Also:
λ = n´+l + 1 ≡ n ∈ N Wobei dieses n vom obigen Laufindex verschieden ist !!! Es handelt sich in der Summe
natürlich auch um in n aus den ganzen Zahlen.
Für
E=−
h2 2
me 4
1
=
−
k
2
2
2m
2 h (4πε 0 ) λ 2
me 4
2h 2 ( 4πε 0 ) 2
:= R H = 13 ,6eV
Folgen nun die Energie- Eigenwerte:
En = −RH
1
n2
n = 1,2 ,3,...
n heißt auch Hauptquantenzahl !
Entartungsgrad
Zu festem n ist l = 0,1,2,3,...,n-1 die Drehimpulsquantenzahl und m = -l,...,+l ( insgesamt 2l+1 Werte) möglich:
n −1
Das bedeutet: Jedes feste n ist
∑ (2l + 1) = 2
l=0
n (n − 1)
+ n = n 2 - fach entartet.
2
Es liegt n² fache Entartung für jedes n vor. Das bedeutet: Es gibt zu jedem n n² Wellenfunktionen mit der
zugehörigen Energie.
Nebenbemerkung:
Die Energieentartung bzgl. l ist eine Besonderheit des 1/r - Potenzials. Alle anderen kugelsymmetrischen Potenziale
haben allgemein Energie- Eigenwerte, die von n und l abhängen, also Energie- Eigenwerte E nl .
Tieferer Grund: Der Lenzsche Vektor
N=
2
1
( p × L − L × p ) − e r ist im 1 - Potenzial eine Erhaltungsgröße:
2m
4πε 0 r
r
[N , H ] = 0
Klassisch bedeutet dies: Es gibt keine Periheldrehung im
1
- Potenzial.
r
( Die beobachtete Periheldrehung des Merkur ist Folge der Allgemeinen Relativitätstheorie).
Die Erhaltung des Lenz- Runge Vektors ist äquivalent der Aussage, dass die energieabhängige
Flächengeschwindigkeit des Fahrstrahls von Objekten im 1/r- Potenzial zeitlich konstant ist, also das zweite
Keplersche Gesetz wird hier wieder gefunden.
139
n
1
2
l
0
0
1
0
1
2
0
1
2
3
3
4
m
0
0
0,+1,-1
0
0,+1,-1
0,+1,-1,+2,-2
0
0,+1,-1
0,+1,-1,+2,-2
0,+1,-1,+2,-2,+3,-3
(s)
(s)
(p)
(s)
(p)
(d)
(s)
(p)
(d)
(f)
Energie- Entartung
1
4
Schalenbezeichnung
K
L
9
M
16
N
Eigenfunktionen:
Die w(ρ ) hängen mit den Laguerre´schen Polynomen zusammen.
Die erzeugende Funktion der Laguerre- Polynome Lq (x ) :
F ( x, s) :=
1
s  ∞
sq

exp − x
 = ∑ Lq ( x )
1− s
q!
 1 − s  q =0
Mit
(
 ∂q

d q −x q
Lq ( x) := 
F ( x , s) 
=ex
e x
 (∂s )q

dx q

 s =0
)
Dabei müsste das rechte Gleichheitszeichen erst noch bewiesen werden !
Lq (x) ist also ein Polynom vom Grad q !
Die zugeordneten Laguerre- Polynome ergeben sich gemäß
Lq p ( x) :=
d
p
dx p
L q ( x)
Sind also Polynome vom Grad q-p mit q-p verschiedenen positiven Nullstellen.
Die zugeordneten Laguerre- Polynome erfüllen ihrerseits die Gleichung
p
p
p
xLq ´´+ ( p + 1 − x )L q ´+ ( q − p ) L q = 0
(q − p ) = n − l − 1
p + 1 = 2 (l + 1)
Also:
wnl ( ρ ) = AL (n + l ) 2 l +1 ( ρ )
Normierte Eigenfunktionen:
1
 (n − l − 1)! (2 k )3  2
l − kr
2 l +1
Ψnlm (r ) = 
(2 kr)Yl n (ϑ, ϕ )
 (2 kr) e L (n + l )
3
 2 n((n + l )!) 
mit den Lagurre- Polynomen L( n +l )
2 l +1
und den zugeordneten Legendre-Polynomen Yl
n
(ϑ, ϕ ) :
140
Dabei spürt die Funktion
1
2
 (n − l − 1)! (2 k )
=

Yl (ϑ , ϕ )  2 n ((n + l )!)3 
Ψnlm ( r )
3
n
(2kr)l e − kr L (n+ l ) 2l +1 (2kr)
insgesamt n − l − 1 radiale Knoten
l=0:
Kugelsymmetrische Eigenfunktionen mit n-1 Knotenflächen
Grundzustand:
1
r
 1  2 −a
Ψ100 ( r ) = 
 e
3
 (πa 0 ) 
0
Mit dem Bohrschen Radius
a 0 :=
4πε 0 h 2
= 0,529 A°
me 2
Es gilt der interessante Zusammenhang:
a0
e2
=
m 4πε 0 h 2
 2m | E | 
1
=
h

 a 0 n
Es gilt: k = 
Ψn 00 ( r ) ~ e
−
r
a0 n 1
L n ( 2kr)
Für l = n − 1 : Zustände mit maximalem Bahndrehimpuls ( entspricht einer klassischen Kreisbahn)
Ψn , n −1,m (r ) ~ r
lim
r− > 0
n −1
−
e
r
a 0n
Ψn ,n −1,m = 0 , l ≠ 0
Berechnung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit auf einer Kugelschale mit Radius r und Breite dr:
∫
2
2
dΩ r 2 Ψnlm dr = u nl dr
Yl m
normiert
141
z.B.:
Magnetisches Moment und Zeeman- Effekt
Hamilton- Operator mit äußerem Magnetfeld:
H=
(
1
p − eA
2 m0
)2 + V ( r )
mit kugelsymmetrischem Potenzial
(
)
Durch den kinetischen Impulsoperator: p − eA ist der Einfluss von äußeren Feldern auf den Bahndrehimpuls
schon in der Gleichungen enthalten. Es folgt bereits der Zeemann Effekt aus dem gemachten Ansatz. Würde man
dagegen auf Effekte hoffen, die erst angesichts des Spins von Elektronen auftreten, so wäre dies vergebens. Effekte
des Spins sind in die Gleichung noch nicht eingebaut !
H=
(
)
1
p 2 − 2 eA p + e 2 A 2 + V (r )
2 m0
Verwende: Coulombeichung: ∇ ⋅ A = 0 -> A p = p A für Operatoren
e 2 A 2 sei für Atome vernachlässigbar, falls L3 ≠ 0 , falls B < 10 5 G vergl. Schwabl S. 128
Homogenes Magnetfeld: A =
(
)
Da ja (∇ ⋅ r ) = 3, B ⋅ ∇ r = B
1
(B × r ) wegen B = ∇ × A = 1 (B (∇ ⋅ r )) − 1 (B ⋅ ∇)r = 1 (∇ × (B × r )) = B
2
2
2
2
Somit:
(
)
h
h
h
1
A ⋅ ∇Ψ = (B × r )∇Ψ = B (r × ∇ )Ψ = (B ⋅ L )Ψ
i
2i
2i
2
Sei
B = (0,0, B ) ⇒ B ⋅ L = BL 3
Schrödinger- Gleichung:


h2
e
∆Ψ +  V − E −
BL3 Ψ = 0
2 m0
2 m0


L3 Ψ = h mΨ
−
Wobei
L3 Ψ = hmΨ für Drehimpuls- Eigenzustände
142
⇒−


h2
e
∆Ψ + V ( r) − E −
hmB Ψ = 0
2 m0
2 m0


mit
e
hm := µ3 ( magnetisches Moment)
2m 0
Klassisch:
µ=−
∂H
e
=
L
∂ B 2 m0
Der Term im Hamiltonian der magnetischen Wechselwirkung.
H mag. = µ B B =
µB =
eB ⋅ L eBL3
=
2 m0
2 m0
he
2m 0
Normaler Zeeman- Effekt:
Atom im homogenen Magnetfeld:
(H 0 − E − µ3 B )Ψ = 0
H0: Hamiltonoperator ohne B- Feld
e
hm := µ3
2m 0
eh
:= µ B Bohrsches Magneton: e<0
2m 0
H 0 Ψnlm = E nl Ψnlm
⇒ E = E nl −
heB
m -> Die m- Entartung wird vollständig aufgehoben
2 m0
Das heißt: für jedes m ergibt sich eine eigene Energie !
m = − l ,...,+ l
-> Aufspaltung in 2 l + 1 - Niveaus ( Multipletts) mit m = magnetische Quantenzahl
Achtung ! Die l- Entartung wird keineswegs aufgehoben. Allerdings ist natürlich m abhängig von l
Nebenbemerkung: Anomaler Zeeman- Effekt -> Effekt des Spins (vergl. nächstes Kapitel)
H- Atom: l- Entartung
Atome mit ungerader Kernladungszahl: Spin- Bahn - Zustände !
143
4. Spin und Systeme identischer Teilchen
4.1 Spin- Operatoren und Zustände
Stern- Gerlach Experiment: 1922:
Für das inhomogene Magnetfeld gilt: ∇B3 ⊥Strahl
Die Kraft auf das magnetische Moment ergibt sich gemäß
F = ∇(µ 3 B3 ) = µ 3 ∇B3
Somit: Ablenkung parallel zu µ3 !!
Bahndrehimpuls l ergäbe 2 l + 1 - fache Strahlaufspaltung ( also in jedem Fall ungeradzahlige Strahlaufspaltung)
beobachtet wurde zweifache Aufspaltung !!
⇒ µ ~ S Eigendrehimpuls ( Spin) des Elektrons !
S3 = m S h
1
mS = ±
2
1
l≡s =
2
Klassische Vorstellung: Rotation eines geladenen Körpers um seine eigene Achse:
⇒µ =
+e
S
2 m0
⇒ µ3 =
e<0
+e
+ eh
S3 = ±
2 m0
4m 0
Dies ist jedoch falsch ! Vielmehr wurde experimentell der folgende Wert ermittelt:
µ3 = + g
+e
S 3 mit g=2,0023 , g sogenannter Lande´- Faktor ( gyromagnetischer Faktor)
2 m0
Mit relativistischen Korrekturen kommt man zu der Abweichung von der genauen 2 !!!
144
Spin als Freiheitsgrad des Elektrons
Spin- Eigenzustände: m s ∈ H S Spin- Hilbertraum ( zweidimensional !)
Notation:
1
= ↑ Spin up !
2
1
−
= ↓ Spin down !
2
+
2
σˆ := Sˆ
h
Dimensionsloser Spinoperator
h
ˆ
S := σˆ
2
Mit Eigenwerten und Spinzuständen als Eigenzustände:
h
Sˆ3 ↑ = ↑ ⇒ σˆ ↑ = ↑
2
h
ˆ
S 3 ↓ = − ↓ ⇒ σˆ ↓ = − ↓
2
Ŝ 3 ist hermitesch
Eigenwerte: ± 1
Orthonormierung:
↑ ↑ = ↓ ↓ =1
↑ ↓ =0
Vollständigkeit: ↑ ↑ + ↓ ↓ = 1
Das heißt, jeder beliebige, auch zeitabhängige Spinzustand kann entwickelt werden als
a (t ) = ↑ ↑ a (t ) + ↓ ↓ a (t )
↑ a (t ) := a 1 (t )
↓ a (t ) := a 2 (t )
Aus:
Sˆ × Sˆ = ihSˆ ( ganz allgemeine Drehimpuls- Vertausch- Relation)
( Operatoren, die dieser Relation genügen sind als Drehimpulse definiert !)
folgt:
σˆ × σˆ = 2 iσˆ
σˆ j , σˆ k = 2iε jkl σˆ l
[
]
1
Sˆ 2 ↑ = h 2 s ( s + 1) ↑ ⇒ s = ⇒ σˆ 2 ↑ = 3 ↑
2
1
Sˆ 2 ↓ = h 2 s ( s + 1) ↓ ⇒ s = ⇒ σˆ 2 ↓ = 3 ↓
2
145
Spin- leiteroperatoren:;
σˆ ± := σˆ 1 ± i σˆ 2
σˆ + ↑ = σˆ − ↓ = 0
Somit folgt:
⇒ σˆ 1 ↑ = −i σˆ 2 ↑
σˆ 1 ↓ = i σˆ 2 ↓
Andererseits gilt:
σˆ + ↓ = α ↑
σˆ − ↑ = β ↓
Beliebige Koeffizienten als Ansatz setzen !
α, β :
α * α = ↓ σˆ + σˆ + ↓ = ↓ σˆ 1 − iσˆ 2 σˆ 1 + iσˆ 2 ↓
Berechnung der Koeffizienten
+
[
]
(
)(
)
2
2
= ↓ σˆ 1 + σˆ 2 + i σˆ 1 , σˆ 2 ↓
[σˆ , σˆ ] = 2iσˆ
1
2
3
2
σˆ 1 + σˆ 2 = σˆ 2 − σˆ 3
⇒ α * α = ↓ σˆ 2 − σˆ 3 2 − 2σˆ 3 ↓ = ↓ 3 − 1 + 2 ↓ = 4
2
2
⇒α=2
Weiter:
↑ σˆ + ↓ = α ↑ ↑ = α
Aber gleichzeitig, wenn man den Operator gekreuzt nach links wirken läßt:
+
↑ σˆ + ↓ = ↑ σˆ − ↓ = β * ↓ ↓ = β *
→α = β*
O.B. d. A.: wähle
α=β=2
Auch hier gewinnt man wieder Bestimmungsgleichungen für die Eigenwerte bzw. die Koeffizienten, wir haben ja
keine Eigenwerte hier, indem man die gesuchten Operatoren durch bekannte ausdrückt !
So folgt:
(σˆ
(σˆ
1
1
) (
− i σˆ ) ↑ = (σˆ
)
+ σˆ ) ↑
+ i σˆ 2 ↓ = σˆ 1 + σˆ 1 ↓ = 2 ↑
2
1
1
= 2↓
⇒ σˆ 1 ↓ = ↑
σˆ 1 ↑ = ↓
146
Außerdem:
(σˆ
(σˆ
1
1
) (
− i σˆ ) ↑ = − (i σˆ
)
+ iσˆ 2 ↓ = i σˆ 2 + iσˆ 2 ↓ = 2 ↑
2
2
)
+ iσˆ 2 ↑ = 2 ↓
⇒ σˆ 2 ↓ = −i ↑
σˆ 2 ↑ = i ↓
Zusammenfassung:
↑
↓
σ̂1
↓
↑
σ̂2
i↓
σ̂ 3
↑
−i ↑
↓
Die Spin- Operatoren lassen sich in diesem Sinne durch 2x2 Matrizen darstellen:
( Im zweidimensionalen Spin- Eigenraum):

(σˆ i )αβ =  ↑↓ σσˆ i ↑↑

α, β = 1,2
i = 1,2,3
ˆ
i
↑ σˆ i ↓ 
↓ σˆ i ↓ 
Die Matrizen lassen sich ausschreiben : Paulische Spinmatrizen:
(σˆ1 )αβ =  01
(σˆ 2 )αβ
(σˆ 3 )αβ
1

0 

0 − i 

= 
i 0 
1 0 
= 

 0 − 1
147
 
h 
 0
 
2 
 
 h 0 
 
  2


h 
 0 − i  
2 
Sˆ =  
 h
0  
  2

 h


0 
 2

 0 − h 


2  

Was den bekannten Relationen genügt:
 0 1  0
σˆ 1σˆ 2 = 

 1 0  i
 0 − i  0

σˆ 2σˆ 1 = 
 i 0  1
⇒ σˆ 1,σˆ 2 = 2i σˆ 3
[
]
− i   − i 0
 =
 = iσˆ 3
0   0 i 
1
 = −i σˆ 3
0 
erfüllt, .... usw...
S3- Darstellung der Zustände:
 α ↑ = δα1 


 α ↓ = δα 2 


 1
↑ =  
 0
 0
↓ =  
 1
Dabei kennzeichnen
↑ = (1,0 )
↓ = (0,1)
 1
0 
↑ =  , ↓ =   die Basis- Spinoren ( Spaltenvektoren)
 0
1 
Zeilenvektoren ( transponiert)
148
 0 1  1   0 

  =   was äquivalent ist zu
 1 0  0   1 
σ̂1 ↑ = ↓
4.2 Dynamik des 2- Zustands- Systems
Die potenzielle Energie des magnetischen Moments des Elektronen- Spins µ im äußeren Magnetfeld
B = Be3 beträgt:
V = − µ̂ ⋅ B
ˆ = + g e Sˆ = + eh σˆ
µ
2m0
2m0
mit
mit g~ 2 und e<0
Somit:
eh ˆ
ehB ˆ
Vˆ = −
σ⋅B = −
σ3 = hωl σˆ 3
2m0
2 m0
Mit der Larmor- Frequenz
| e| B
2m0
ωl :=
Wenn der Spin an keine weitere Variable ankoppelt, so ist
Hilbertraum).
Hˆ = Vˆ der Hamiltonoperator der Spinvariable ( im Spin-
Die Dynamik eines Spins im Magnetfeld ergibt sich über den Zeitableitungsoperator:
[
]
[
i
σˆ o = Hˆ , σˆ = iωl σˆ 3 , σˆ
h
]
[σˆ j ,σˆ k ] = 2iε jklσˆ l :
[σˆ 3 , σˆ1 ] = −2ωl σˆ 2
Berechnung der Erwartungswerte mit
[
d
dt
d
dt
d
dt
d
dt
]
i
σˆ 1 =
H ,σˆ 1 = i ωl
h
σˆ 1 = −2ωl σˆ 2
σˆ 2 = 2ωl σˆ 1
σˆ 3 = 0
Dies läßt sich reduzieren:
d2
dt
2
σˆ 1 + (2ωl )2 σˆ 1 = 0 Die Dynamik der Spins bildet also einen Oszillator in der x-y- Ebene.
Die zeitliche Unabhängigkeit der Spin3- Komponente liegt dabei alleine an der Wahl des Koordinatensystems, bzw.
der Basis ! Wir haben diese gerade so gewählt, dass die 3- Komponente zeitlich unabhängig wird.
149
Die Lösung der Diffgleichung liefert:
σˆ 1
t
= σˆ 2
0
sin (2ωl t ) + σˆ 1
σˆ 2
t
= σˆ 2
0
cos (2ωl t ) − σˆ 1
σˆ 3
t
= σˆ 3
0
0
cos (2ωl t )
0
sin (2ωl t )
Die Anfangsbedingungen können ebenfalls durch Wahl des Koordinatensystems ( feste x-y- Ebene) beeinflusst
werden.
Wähle:
o.B. d.A.:
σˆ 2
0
=0
Wir können uns den Betrag des Erwartungswertes des gesamten Spinvektors ansehen und es zeigt sich :
σˆ
2
t
= σˆ 1
2
t
+ σˆ 2
2
t
+ σˆ 3
2
t
= σˆ 1
2
0
[cos
2
(2ωl t ) + sin 2 (2ωl t )]+
σˆ 3
2
0
= σˆ 1
2
0
+ σˆ 3
2
0
Mit anderen Worten:
σˆ
2
t
= σˆ
2
0
= const , der Betrag des Spins ändert sich zeitlich nicht !
Der Erwartungswert des Spins präzediert also mit der Frequenz 2ω l um das Magnetfeld.
Schrödingergleichung für die Spinzustände ( Pauli- Gleichungen)
∂
hωl σˆ 3 a (t ) = i h
a( t ) Achtung ! Nur Spin- Hamiltonian !
∂t
Dabei muss der Zustand a (t ) in der Spinbasis entwickelbar sein:
a (t ) = a1 (t ) ↑ + a2 (t ) ↓
150
Matrix- Darstellung:
− iωl a1 = a&1
 1 0  a1 (t ) 
∂  a (t) 

 = i h  1  ⇔
hωl 
∂t  a2 ( t ) 
iωl a2 = a& 2
 0 − 1 a 2 (t ) 
Die Lösung lautet:
a1 (t ) = a10 e −iω l t
a 2 ( t ) = a20 e i ωl t
a (t ) = a10 e −iω l t ↑ + a 20 e iω lt ↓
Nebenbemerkung: Hieraus gewinnt man
σ̂ j
t
, also die Spinpräzession wie oben !
4.3 Zustände mit Bahn- und Spinvariablen
nlmms ein Zustand, der Bahn- und Spinfreiheitsgrade beschreibt:
Sei nun
nlmms = nlm ms ∈ H B × H S
nlm ∈ H B
ms ∈ H S
Der Bahnzustand ist Element des Bahn- Hilbertraumes und der Spinzustand Element des Spin- Hilbertraumes. Der
Gesamtzustand erfordert einen Raum, der sich als DIREKTES PRODUKT der beiden Hilberträume zeigt.
Allgemein gilt für separable oder Produktzustände
n1n2 = n1 n2 ( äquivalente Sprechweise):
m1 m2 n1n 2 = m1 m2 n1 m1m2 n2 = m1 n1 m2 n2
Ein beliebiger Zustand kann nach Spin- Basis Zuständen
Ψ
t
= Ψ1
t
↑ + Ψ2
t
↑ , ↓ zerlegt werden:
↓
mit
Ψα
= ∫ d 3r r r Ψα
t
t
In der Ortsraum- Basis mit dem Bahn- Zustand
α = 1,2
In der Matrix- Darstellung des Spinraumes ergibt dies:
Ψ
t
 Ψ
= 1
 Ψ2


 = ∫ d 3r r

t
t
 r Ψ1

 r Ψ2




t
t
Mit
 Ψ1

 Ψ2


 entsprechend 2 Spinkomponenten, also entsprechend ↑ , ↓

t
t
Die Vollständigkeit der Zustände
r↑ = r ↑,r↓ = r ↓
151
folgt aus:
∫d
3
{
}
r r ↑ r ↑ + r ↓ r ↓ = 1 ∈HB × HS
Weiter:
r↑ Ψ
r↓ Ψ
t
= r Ψ1
t
t
= r Ψ2
t
Also die Komponenten von
einmal die Komponente mit Spin
r↑ Ψ
r↓ Ψ
Spin
2
t
2
t
= r Ψ1
= r Ψ2
Ψ t am Ort r , einmal die Komponente mit Spin ↑ und
↓ . Dabei gilt:
2
t
2
entspricht der Wahrscheinlichkeit, das Elektron zur Zeit t bei
r mit Spin ↑ bzw.
t
↓ zu finden.
Schrödingergleichung im Spin- Bahn- Raum
Hamilton- Operator für Bahn:
(
1
Hˆ B =
p − eA
2 m0
)2 + V (r )
Wirkt alleine im Hilbertraum
Elektron mit Ladung e<0
HB
Hamilton- Operator für Spin:
Hˆ S = −hωl σˆ 3
ωl =
eB
2m0
Ĥ S wirkt dabei nur im Hilbertraum H S
Ohne Berücksichtigung von
Hˆ B Ψα
t
= ih
α = 1, 2
∂
Ψα
∂t
Ĥ S :
t
Also haben wir je nach Spinzustand schon 2 Schrödingergleichungen in
Es gilt (äquivalente Darstellung):
Hˆ B Ψα
α = 1, 2
t
= ih
∂
Ψα
∂t
t
(
)
⇔ Hˆ B × 1 Ψ
t
= ih
∂
Ψ
∂t
HB:
t
Dabei
1 = Einsoperator im Spinraum -> Spin bleibt unberücksichtigt. Einheitsmatrix für beliebigen Vorgang im
Spinraum:
1 0
1 = 

0 1
152
Ĥ S :
∂
= ih
Ψ
∂t
MIT Berücksichtigung von
(Hˆ B × 1 + Hˆ S ) Ψ t
t
In Matrix- Darstellung:
 Hˆ ´B + hωl


0

(
Hˆ ´B
)
⇔ Hˆ ´B + hωl Ψ1
 Ψ1
0

− hωl  Ψ2
t
= ih

 Ψ
 = ih ∂  1

∂t  Ψ2
t
t
∂
Ψ1
∂t



t
t
PAULI- GLEICHUNG
t
(Hˆ ´B − hωl ) Ψ2 t = ih ∂∂t Ψ2 t
Anwendung
- einfacher Zeeman- Effekt mit Spin. 1 Elektron im kugelsymmetrischen Potenzial ( Kern (H)oder Atomrumpf(Na))
und homogenen Magnetfeld
B = Be3
e hB
 1

2
Hˆ = Hˆ B × 1 + H S = 
p − eA + V (r )  × 1 −
σˆ 3
2
m
2
m
0
0


ˆ
Dabei wird durch H B × 1 der Bahndrehimpuls Hamiltonian durch den Spinraum erweitert.
e hB
 1

2
Hˆ = Hˆ B × 1 + H S = 
p − eA + V (r )  × 1 −
σˆ 3
2
m
2
m
 0

0
(
)
(
)
 p2

eB
Hˆ ≅ 
+ V ( r ) × 1 −
Lˆ 3 × 1 + h σˆ 3
2
m
2
m
0
 0

(
)
p2
+ V (r) = H 0
2m 0
H 0 nlm = E nl nlm
Wie man sieht bekommt man durch den Korrekturterm
eB
2m 0
(Lˆ3 × 1 + hσˆ 3 )eine Korrektur an die Energie.
Für B=0 -> Eigenzustände mit Spin
(H 0 ×1) nlmm s
= E nl nlmm s
153
Insgesamt
2(2l + 1) fach entartet. Beim H- Atom: zusätzliche l- Entartung
B≠0
{(
)
(
eB ˆ
Hˆ nlmm s = H 0 nlm ms −
L3 nlm m s + h σˆ 3 m s
2 m0
Lˆ nlm = hm nlm
) nlm }
3
σˆ 3 m s = 2 m S m s
H 0 nlm m s −
eB
2 m0
{(Lˆ 3 nlm ) m s
(
+ h σˆ 3 m s
) nlm }=  E nl − 2emhB (m + 2m s ) nlmm s

0

Das bedeutet:
teilweise Aufhebung der 2 (2 l + 1) - fachen Entartung
( sogenannter Anomaler Zeemann- Effekt !)
E = E nl − µ B B (m + 2m s )
Dies gilt für PARAMAGNETISCHE Atome mit magnetischem Moment
µ 3 = µ B (m + 2 m s )
Dabei entspricht
2 vor ms dem gyromagnetischen Verhältnis, kommt also wegen dem Landé- Faktor g=2, auch wenn dieser leicht
von 2 verschieden ist ! ( Siehe oben).
Für dieses Beispiel wird die Energieverschiebung linear zu B am besten in Einheiten von µB angegeben. s und p Orbital lassen sich folgendermaßen in einem sogenannten Termschema skizzieren ( für den anomalen ZeemannEffekt ):
Das heißt: die m- Entartung, die ohne Spin vollständig aufgehoben wurde, ist jetzt nur noch teilweise aufgehoben !
Da die Aufhebung der Spin- Entartung die Energiezustände wieder so " weiterrückt", dass vorher getrennte wieder
zusammenfallen !
154
Tabelle: Landé- Faktoren
Teilchen
Elektron
Proton
Neutron
Neutrino
Photon
s
1/2
1/2
1/2
1/2
1
g
2
5,59
-3,83
0
0
Q
-e
e
0
0
0
4.3.a) Addition von Drehimpulsen( Vergl. Schwabl)
Der Gesamtdrehimpuls kann folgendermaßen dargestellt werden:
Jˆ = Lˆ + Sˆ
Die Vertauschungsrelationen:
[Lˆ , Sˆ ] = 0 Beide Operatoren wirken in verschiedenen Räumen. Wäre der Operator nicht Null, so wären die
zugehörigen Eigenzustände nicht separabel.
⇒ [Jˆ , Jˆ ] = [Lˆ , Lˆ ] + [Sˆ , Sˆ ]
[Lˆ , Lˆ ] = ihε Lˆ
[Sˆ , Sˆ ] = ihε Sˆ
⇒ [Jˆ , Jˆ ] = ihε Jˆ
j
k
j
k
j
k
j
k
jkl l
j
k
jkl l
j
k
j
k
jkl l
Drehimpuls Vertauschungsrelationen !
[Jˆ , Lˆ ]= [Lˆ
Ebenso:
[Jˆ , Sˆ ] ≠ 0
2
2
3
]
[
]
(
)
+ Sˆ 2 + 2 Lˆ ⋅ Sˆ , Lˆ3 = 2 Sˆ j Lˆ j , Lˆ 3 = 2i h Sˆ 2 Lˆ1 − Sˆ1Lˆ 2 ≠ 0
2
3
Also:
Die 2 (2 l + 1) Produktzustände lmm S = lm ms
[Jˆ
2
]
[
]
sind Eigenzustände zu
Lˆ2 , Lˆ 3 , Sˆ 2 , Sˆ 3 aber nicht zu Ĵ 2 , da
, Lˆ 3 ≠ 0 bzw. Jˆ 2 , Sˆ3 ≠ 0
Ziel: Suche gemeinsame Eigenzustände zu
Ĵ 2 , Ĵ 3 , Lˆ2 , Sˆ 2 .
Dies muss möglich sein, da
155
[Jˆ
]
, Lˆ 2 =  Lˆ2 + Sˆ 2 + 2 Lˆ ⋅ Sˆ , Lˆ 2  = 0


 Jˆ 2 , Sˆ 2  =  Lˆ 2 + Sˆ 2 + 2 Lˆ ⋅ Sˆ , Sˆ 2  = 0

 

Jˆ 3 , Lˆ 2 =  Lˆ 3 + Sˆ 3 , Lˆ 2  = 0


 Jˆ , Sˆ 2  =  Lˆ + Sˆ , Sˆ 2  = 0
3
 3
  3

2
[
]
Die Eigenwertgleichungen lauten:
Jˆ 2 jm j ls = h 2 ( j ( j + 1)) jm j ls
Jˆ 3 jm j ls = hm j jm j ls
Lˆ2 jm j ls = h 2 ( l (l + 1) jm j ls
Sˆ 2 jm j ls = h 2 ( s ( s + 1) jm j ls
Durch Einschub eines Vollständigen Satzes orthonormierter Eigenfunktionen, durch Einschub eines Projektors auf
diesen vollständigen atz, also durch Einschub einer "1" kann der neue Eigenzustand
Zustandes
jm j ls =
jm j ls bezüglich des alten
lmsm s entwickelt werden:
∑
lmsm s lmsm s jm j ls
m
mS = m j − m
Zu beachten ist: Es wird ausschließlich über die Komponenten der alten Basis summiert, die sich von der neuen
Basis unterscheiden ( das heißt: Nur dieser Teil der Basis wird transformiert) !
Dabei heißen die Entwicklungskoeffizienten der neuen Basis bezüglich der alten Basisvektoren, also die Koordinaten
der neuen Basis in der alten Basis
Clebsch- Gordan- Koeffizienten !
lmsm s jm j ls
Dabei gilt:
s=
1
2
ms =
j =l+
1
2
j =l−
1
2
1
2
ms = −
1
1
2
1
1 2

l + mj + 
2

 2l + 1 




1 2

l−mj + 
2

 2l + 1 




1
1 2

l−mj + 
2
−
 2l + 1 




1
1 2

l + mj + 
2

 2l + 1 




156
Wobei:
1
2
m j = m + mS
j =l ±
m = −l ,...,+l
1 1
mS = − ,+
2 2
4.4: Identische Teilchen: Spin und Statistik
Betrachte: Systeme identischer Teilchen
Beispiel: N Elektronen im äußeren Potenzial V mit Coulomb- Wechselwirkung
(
(
W ri − r j
)
)
N  p
 1
ˆi2
ˆ

Hamiltonoperator: H = ∑
+ V ( rˆi )  + ∑ W rˆi − rˆ j

 2
i =1  2m
i≠ j

1
Dabei beschreibt ∑ W rˆi − rˆ j die Wechselwirkungsnenergie der Elektronen !
2 i≠ j
(
N- Elektronen - Zustand:
mit
)
a1 , a2 , a 3 ,..., a N ∈ H × H × H × ... × H := H ×N
a i = Satz von Quantenzahlen, z.B. j i m j i l i s i , ni ,l i , mi , ms i oder auch ri , ms i
Die Nummer des Teilchen bestimmt dabei die Stellung in
a1 , a2 , a 3 ,..., a N ∈ H × H × H × ... × H := H ×N
Schrödingergleichung:
∂
Hˆ a1 , a 2 , a3 ,..., a N = i h
a1 , a2 , a3 ,..., a N
∂t
Ortsdarstellung
∂
Hˆ q1 , q 2 , q3 ,..., q N ; t = i h
q1 , q 2 , q3 ,..., q N ; t
∂t
q i ≡ (ri , m3i )
In den verallgemeinerten Koordinaten werden also Ort UND Spin der Teilchen zusammengefasst.
Dabei ist q i ≡ ri , m3i ein verallgemeinerter Ausdruck für einen vollständigen Satz Quantenzahlen!
(
)
Mikroskopische Teilchen mit gleichen Quantenzahlen sind ununterscheidbar.
Oder: Zwei durch jeweils eine einzige Wellenfunktion beschriebene Mehrteilchensysteme, in denen die
mikroskopischen Teilchen i und j gegeneinander ausgetauscht sind, sind ununterscheidbar.
p̂ (ij ) , der i-tes und j-tes Teilchen tauscht:
∂
pˆ (ij ) a1 , a 2 , a3 ,...a i ,..., a j , a N = i h
a1 , a 2 , a3 ,..a j ,..., ai ..., a N
∂t
p̂ (ij ) ist unitär und hermitsch.
Definiere: Permutationsoperator:
Dabei werden streng genommen die ZUSTÄNDE der Teilchen Nr. i und j vertauscht.
Man könnte sich vorstellen, dass die beiden Zustände jeweils auf das entsprechende andere Teilchen "teleportiert"
werden.
157
Wegen der Ununterscheidbarkeit müssen ALLE Observablen mit
p̂ (ij ) vertauschen:
( Schließlich darf sich eine Wahrscheinlichkeit von Messwerten durch die Vertauschung nicht ändern. Es darf keine
Unschärfe geben. Das bedeutet: Die Vertauschung ist nicht festzustellen !
[Fˆ , pˆ (ij ) ] = 0
Insbesondere
[Hˆ , pˆ (ij ) ] = 0
p̂ (ij ) ist also eine Erhaltungsgröße und es existieren gemeinsame Eigenzustände zu JEDEM Operator und dem
p̂ (ij )
Permutationsoperator
Wie beim Paritätsoperator gilt:
[ pˆ (ij ) ]2 = 1
pˆ (ij ) Ψ = λij Ψ
λij 2 = 1
[pˆ (ij ) ]2 = 1 folgt aus der Ununterscheidbarkeit der Teilchen, aus [pˆ (ij ) ]2 = 1 folgt jedoch
Die Forderung
2
2
pˆ (ij )Ψ (q1 , q2 ..., q N , t ) = Ψ( q1 , q 2 ..., q N , t ) = 1 = λij Ψ (q1 , q2 ..., q N , t )
⇒ λij
2
2
=1
⇒ λij = ±1
Dieser Eigenwert ist ein "ewiges" Charakteristikum des Zustandes !
Speziell: 2- Teilchensystem
Sei
a,b = a
1
a
2
∈H ×H .
ein Zweiteilchenzustand
(
)
1
1 + Pˆ(12) a , b
S
2
Eigenzustand von P̂(12) zum Eigenwert +1
Dann ist
:=
a,b
Dieser Zustand ist symmetrisch, denn:
(
)
(
)
1 ˆ
1
P(12) + Pˆ(12) 2 a , b = Pˆ(12) + 1 a, b = a, b S
2
2
1
ˆ(12) a, b Eigenzustand von P̂(12) zum Eigenwert -1 und ist antisymmetrisch,
Außerdem ist a , b := 1 − P
a
2
Pˆ(12) a, b
S
=
(
denn:
Pˆ(12) a, b
a
=
(
)
)
1 ˆ
P(12) − 1 a, b = − a, b
2
a
158
N- Teilchensystem:
Pˆ(ij ) kommutieren mit H, im Allgemeinen jedoch NICHT untereinander !
Pˆ(12) Pˆ(23) a, b, c = Pˆ(12) a, c, b = c, a, b
Alle
Pˆ(23) Pˆ(12) a, b, c = Pˆ(23) b, a, c = b, c , a
Daher sind komplizierte Symmetrieeigenschaften denkbar. Nicht nur symmetrisch und/ oder antisymmetrisch !
Dennoch sind in der Natur jedoch nur Zustände realisiert, die bei Vertauschung zweier BELIEBIGER
ununterscheidbarer Teilchen symmetrisch λ( ij ) = +1 oder antisymmetrisch λ( ij ) = −1 sind.
Dies ist zu verstehen als die REDUKTION des Hilbertraumes
symmetrischen
H × H × H × ...H ( Nmal) auf einen
H N + und einen antisymmetrischen H N − Teilraum ERLAUBTER Zustände.
Symmetrie oder Antisymmetrie ist ein Charakteristikum der Teilchensorte und bleibt zeitlich erhalten wegen
[Hˆ , Pˆ(ij ) ] = 0 :
Bosonen
sind Teilchen mit symmetrischem Zustand, alle Teilchen mit ganzzahligem Spin ( s=0,1,2,...)
z.B. π − oder K- Meson, Photon, Phonon, α - Teilchen, Wasserstoffmolekül,...
è Bose- Einstein- Statistik
Fermionen
sind Teilchen mit antisymmetrischem Zustand. Dies sind alle Teilchen mit HALBZAHLIGEM Spin
s=
1 3 5
, ,
2 2 2
z.B. Elektron, Proton, Neutron, Neutrino, Myon,...
è Fermi- Dirac- Statistik
An sich eine Erfahrungstatsache. der Beweis folgte jedoch aus der relativistischen Quantenfeldtheorie: Pauli, 1940
Pauli- Prinzip für Fermionen:
Die Wellenfunktionen sind total antisymmetrisch.
è 2 identische Fermionen können sich nicht in gleichen Einteilchenzuständen a befinden (Pauli- Verbot):
Denn:
a, a
a
=
(
)
1
1
1 − Pˆ(12) a, a = ( a, a − a, a ) = 0
2
2
Beispiel:
a = n, l , m, ms
Anwendung auf die Ortsdarstellung
Die Wahrscheinlichkeit, 2 identische Fermionen am gleichen Ort
r mit gleichem Spin m s zu finden, ist identisch
NULL. Das Pauli- Prinzip ist Grundlage für den Aufbau des Periodensystems der Elemente. Gilt natürlich NICHT
für Bosonen !
159
Antisymmetrisierungs- Operator
(
)
1
Aˆ := 1 − Pˆ(12 )
2
N!
ˆ := 1 ∑ (− 1) p Pˆ
Im N- Teilchen- Raum A
(r )
N! r =1
ˆ die r-te Permutation von (1,2,3,4...,N) her.
Dabei stellt P
Im 2- Teilchen Raum:
(r )
Es gibt insgesamt N! Permutationen ( inklusive r=1 -> Identität).
P, also der Exponent an -1 ist die Zahl der Vertauschung von je 2 Teilchen, also:
(− 1)p
= ±1 für gerade bzw. ungerade Permutation.
Mit Hilfe von
1 N!
(− 1) p Pˆ(r ) lassen sich quantenmechanische Zustände antisymmetrisieren. Dabei gilt:
Aˆ :=
∑
N! r =1
a1 , a2 ,..., a N
a
:= Aˆ a1 , a 2 ,..., a N
Beispiel für N=3:
a , b, c
a
=
1
{ abc + bca + cab − bac − cba − acb
6
}
Dieser Zustand ist antisymmetrisch bei der Vertauschung von jeweils 2 Teilchen !
Symmetrisierungsoperator
1 N! ˆ
Sˆ :=
∑P
N! r=1 ( r)
a1 , a2 ,..., a N
S
:= Pˆ a1 , a 2 ,..., a N
Der Operator erzeugt einen Zustand der symmetrisch ist bei der Vertauschung von je 2 Teilchen.
 und Ŝ sind hermitesch und idempotent: Aˆ = Aˆ 2 ; Sˆ 2 = Sˆ . Das bedeutet: Sie sind Projektoren. Sie projizieren
einen Zustand auf den SYMMETRISCHEN oder den ANTISYMMETRISCHEN Anteil.
N=2:
Sˆ + Aˆ = 1 . Dies entspricht einer Vollständigkeitsrelation.
Nun können wir deutlich sehen, was eine solche VOLLSTÄNDIGKEIT eigentlich bedeutet. Hier: der Operator
symmetrisiert oder antisymmetrisiert. Dies ist genau dann vollständig, wenn JEDE 2- Teilchen- Funktion entweder
symmetrisch oder antisymmetrisch ist.
Ŝ projiziert auf den symmetrischen Unterraum des Hilbertraumes
antisymmetrischen Unterraum des Hilbertraumes H × H .
H × H . Â dagegen projiziert auf den
Für N>2 ( Siehe oben, kompliziertere Symmetrien denkbar) projizieren
Hilbertraumes H × H .
N!
N!
r=1
r=1
∑ (− 1) p Pˆ( r) oder ∑
Sˆ + Aˆ auf einen echten Teilraum des
Pˆ(r ) würden insgesamt, als Gesamtzustand gesehen, einen nichtnormierten Zustand
erzeugen , der nämlich aus N! normierten Zuständen besteht . Durch den Vorfaktor
1
wird die Normierung
N!
garantiert !
160
Wechselwirkungsfreie, identische Teilchen
N
Hˆ = ∑ Hˆ i
i =1
pˆ i 2
ˆ
Hi =
+ V ( ri )
2m
Hˆ a1 ,..., a N = E a1 ,..., a N läßt sich separieren ( keine Wechselwirkung, für jedes
Schrödingergleichung:
neue Teilchen wird der Hilbertraum einfach erweitert):
a1 ,..., a N = a1
aj
1
a2
2
... a N
N
ist dabei der j. Satz Quantenzahlen, der dem k. Teilchen zugeordnet wird. Natürlich nummeriert man die
k
Quantenzahlensätze nach den Teilchen, auf denen sie Sitzen. Um aber den Effekt vom Tauschen von Quantenzahlen
zu analysieren macht man hypothetisch den Schritt, dass ein Satz Quantenzahlen , der dem 3. Teilchen gehört, nun
auf dem 4. Teilchen sitzt. Also würde man schreiben
a3
4
Dabei bezeichnet der innere Index den Quantenzahlensatz und der äußere Index die Teilchen- Nummer.
Jedes Element der Schrödingergleichung wirkt dann separat auf den ihm zugeordneten Zustand:
Hˆ i ai
i
= Ei ai
E = ∑ Ei
i
i
Fermionen : Antisymmetrisierung
a1 ,..., a N
a
(
= Aˆ a1
1
a2
2
... a N
N
)
a1 1
1 a2 1
=
N ! ...
aN 1
a1 2
a2 2
...
aN 2
...
...
...
...
a1 N
a2 N
...
aN N
Der Antisymmetrisierte Zustand ergibt sich als normierte Determinante einer Matrix, der die Teilchen Spaltenweise
und ihre Quantenzahlen als separierte Einzelzustände zeilenweise aufgedröselt sind.
Diese Determinante heißt auch Slater- Determinante.
Auf der Diagonalen sitzen die Teilchen mit denen ihnen natürlicherweise zugeordneten Quantenzahlensätzen.
Außerhalb der Diagonale treten die systematisiert abgeklapperten hypothetischen Vertauschungen von
Quantenzahlen auf.
Die Determinante verschwindet, wenn 2 Zeilen gleich sind, also 2 Teilchen den gleichen Satz Quantenzahlen haben !
Nur dann können zwei Zeilen gleich werden. Oder aber, wenn 2 Spalten gleich sind, was man so verstehen könnte,
dass man sich zwei Teilchen, denen man die Nummern 1 und 2 geben sollte, als gleich definiert und ihnen beiden die
Nummer 1 zuordnet ! , also alle Quantenzahlen für 2 beliebige Teilchen gleich sind. Ein solcher Zustand existiert
einfach nicht -> Pauli- Prinzip !!
161
Bosonen: Symmetrisierung
a1 ,..., a N
(
= Sˆ a1
S
a2
1
2
... a N
N
)
Normierung
für orthonogonale und normierte 1- Teilchen- Zustände:
f n 2 a a1 ,..., a N a1 ,..., a N
(
= f n 2 ( 1 a1 ... N a N )Aˆ Aˆ a1 1... a N
a
(
= f n 2 (1 a1 ... N a N ) Aˆ a1 1... a N
a1 a1
a1 a 2
...
a1 a N
1
1
N!
= fn2
1
1
1
a1 a1
1
1
ai a j
1
2
1
2
...
...
...
...
2
2
2
N
N
N
a N a1
a N a2
...
aN aN
aN
a1 1
) 1 a...2 1
N!
aN 1
a1 2
a2 2
...
aN 2
...
...
...
...
a1 N
a2 N
...
aN N
0
1
...
0
0
0
1
= fn2
≡ 1!
...
N!
1
N
N
N
=0 i≠ j
1
N!
1
1
⇒ fn =
1
) = f n 2 (1 a1 ... N
)
=1
1
⇒ f n2
2
a 2 a1
a2 a2
...
a2 a N
1
N
N
a1 a1
a1 a2
...
a1 a N
1
2
1
2
1
2
a2 a1
...
2
a2 a2
...
a2 a N
2
2
...
...
...
N
N
N
a N a1
aN a2
...
aN aN
N
N
= f n2
N
1
1 0
N! ...
0
...
...
...
...
N!
Normierte Antisymmetrische Zustände
a1 ,..., a N
−
a
(
= N! Aˆ a1 1 ... a N
N
)
a1 1
1 a2 1
=
N ! ...
aN 1
a1 2
a2 2
...
aN 2
...
...
...
...
a1 N
a2 N
...
aN N
162
Ortsdarstellung
r1...rˆN a1 ,..., a N
−
a
Ψa1 (r1 ) Ψa1 (r2 )
1 Ψa2 (r1 ) Ψa2 (r2 )
= Ψ − (r1 ,..., rN ) =
...
N! ...
ΨaN (r1 ) ΨaN (r2 )
... Ψa1 (rN )
... Ψa2 (rN )
...
...
... ΨaN (rN )
Unterschiede zur klassischen Statistik unterscheidbarer Teilchen (N=2)
Ψab (r1 , r2 ) = r1 r2 ab
2
2
2
=
1 r1
a
12
r2 b
2
= Ψa (r1 ) Ψb (r2 )
2
2
Klassisch.
Dies stimmt jedoch in der Quantenmechanik nicht mehr. Vollständig wird die Relation, wenn man den resultierenden
Mehrteilchenzustand und seine Wahrscheinlichkeitsverteilung
r1r2 ab
2
symmetrisiert, bzw. antisymmetrisiert:
2
r1r2 ab
s ,a
Es folgt:
Ψab (r1 , r2 ) = r1r2 ab s , a
2
2
=
1
2
1
r1 a
12
r2 b
2
±1 r1 a
12
r2 b
2
2
1
2
Ψa (r1 )Ψb (r2 ) ± Ψb (r1 )Ψa (r2 )
2
Mit dem Austauschterm Ψb (r1 )Ψa (r2 ) -> Grundlagen der quantenmechanischen Korrelation, Entanglement.
Spezialfall: r1 = r2 = r
=
Damit ergibt sich für Bosonen:
Ψab (r , r ) = r r ab s
2
=
2
=
1
2
1
r a
12
r b
2
+1
1
a
12
r b
2
2
1
2
2
2
Ψa (r )Ψb (r ) + Ψb (r )Ψa (r ) = 2 Ψa (r ) Ψb (r )
2
Dieser Zustand ist der Zustand der Bose- Einstein Kondensation ( superfluides Helium beispielsweise).
Für Fermionen:
Ψab (r , r ) = r r ab
2
2
=
a
=
1
2
1
r a
12
r b
2
−1
1
a
12
r b
2
2
1
2
Ψa (r )Ψb (r ) − Ψb (r )Ψa (r ) = 0
2
Für Fermionen beträgt die Wahrscheinlichekitsamplitude für identische Teilchen am gleichen Ort also Null.
163
Beispiel: ebene Wellen:
Ψa (r ) = e ikx
Ψb (r ) = e −ikx
Klassisch folgt:
Ψab (r1 , r2 ) = 1
2
Also: beide Teilchen befinden sich irgendwo, aber diese Wahrscheinlichkeit ist konstant, ortsunabhängig !
In der Quantenmechanik dagegen ergeben sich je nach räumlichem Abstand der Ereignisse oszillierende
Wahrscheinlichkeitsamplituden:
Bose:
Ψab (r1 , r2 ) = e ik ( x1 − x2 ) + e −ik ( x1 − x2 )
2
2
= 2 cos 2 k ( x1 − x2 )
Das bedeutet, Bosonen haben einen räumlichen Abstand derart, dass die Phasen bevorzugt 0 oder 180 ° verschoben
sind. An diesen Abständen interferieren sie konstruktiv und erscheinen uns als phänomenologische Teilchen.
Fermi:
Ψab (r1 , r2 ) = e ik ( x1 − x2 ) − e −ik ( x1 − x2 )
2
2
= 2 sin 2 k ( x1 − x 2 )
Fermionen interferieren gerade an den Stellen konstruktiv und treten dementsprechend dort in Erscheinung, wo die
Wellenfunktionen um Vielfache von 90° phasenverschoben sind und somit den Sinus maximieren !
164
5. Näherungsmethoden
5.1 Zeitabhängige Störungsrechnung (Dirac)
Es soll die zeitliche Entwicklung eines Zustandes
Hˆ Ψ
t
= ih
∂
Ψ
∂t
Ψ t aus der Schrödingergleichung
t
berechnet werden, wobei
Hˆ = Hˆ 0 + Hˆ 1 ( t )
durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.
Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen
Parameters ε
linear entwickelt werden kann:
Hˆ 1 ( t ) = εVˆ ( dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein !)
Die Eigenzustände und Eigenwerte von Ho seien bekannt:
Hˆ 0 n = En n
( ungestörte Problem)
Dabei gilt natürlich weiterhin die Orthonormierung und Vollständigkeit des Basissystems:
n´ n = δn´n
∑
n n = 1 Annahme: diskretes Spektrum
n
Ψ
Die Entwicklung von
∑
n n Ψ
n
t
t
nach den Eigenzuständen des ungestörten Systems liefert:
= ∑ c n (t) n
n
n Ψ
t
:= c n ( t )
Die Anfangsbedingung sei ein noch ungestörter Zustand
Ψ
t =0
n0
= n0
Damit:
n n0 := c n ( 0) = δnn0
∑
n n Ψ
Die Zeitentwicklung unter dem Einfluß der Störung lautet ( Einsetzen von n
n Ψ
t
= ∑ c n (t) n
n
t
in die
:= c n ( t )
Schrödingergleichung: :
165
Hˆ Ψ
= ih
t
∂
Ψ
∂t
t
(
)
(
)
d
⇒ ∑ c n (t ) Hˆ n = i h∑
cn (t ) n = ∑ c n (t ) Hˆ 0 + Hˆ 1 (t ) n = ∑ c n ( t ) E n + Hˆ 1 (t ) n
dt
n
n
n
n
Charakteristisch für diese entwickelten Probleme ist das Auftreten der Summe, wie hier zu sehen. Diese kann man
beseitigen, indem von links mit einem zweiten Zustand "herausprojiziert" wird):
ih ∑
n
(
)
(t ) n ) = ∑ c (t ) E δ
(
)
d
c n ( t ) m n = ∑ c n (t ) m Hˆ 0 + Hˆ 1 (t ) n = ∑ cn (t ) m En + Hˆ 1 (t ) n
dt
n
n
(
= ∑ c n ( t ) m En n + m Hˆ 1
n
n
n
n mn
+ ∑ c n ( t ) m Hˆ 1 ( t ) n
n
d
d
c n (t ) m n = c m (t ) Em + ∑ cn (t ) m Hˆ 1 (t ) n = i h c m (t )
dt
dt
n
⇒ ih ∑
n
Hilfreich ist die Definition eines
c n (t ) :=
 E t
− i n 
e  h g
n (t )
mit Hilfe der Eigenwerte des Zeitentwicklungsoperators für die ungestörten Zustände:
e
 E t 
−i n 
 h 
Man schreibt also eine Zeitentwicklung für die Entwicklungskoeffizienten auf !
Somit kann die Differenzialgleichung für die Entwicklungskoeffizienten umgeschrieben werden:
ih
d
c m (t ) = cm (t ) E m + ∑ c n (t ) m Hˆ 1 (t ) n
dt
n
mit
 E mt 

h 
ih
−i
d
ih c m ( t ) = c m ( t ) Em + e 
dt
d
g (t )
dt m
Setzt man dies ein, so folgt:
c m (t ) Em
 E t
− i m 
+ e  h  ih
d
g m (t ) = cm ( t ) E m + ∑ c n (t ) m Hˆ 1 (t ) n
dt
n
 Emt 

h 
i
d
⇒ i h g m (t ) = e 
dt
∑
cn (t ) m Hˆ 1 (t ) n
n
und wegen
c n (t ) :=
also:
 E t
− i n 
e  h g
n (t )
 ( Em − En )t 

h

i
d
ih g m ( t ) = ∑ e 
dt
n
m Hˆ 1 (t ) n g n (t )
166
Die eigentliche Störungsrechnung kommt erst jetzt:
Wir machen eine Sörungsentwicklung für kleines ε :
Hˆ 1 ( t ) = εVˆ ( dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein !)
Man motiviert dass bei kleinen Potenzialstörungen höhere Ordnungen von
m Hˆ 1 (t ) n polynomial in ε fallen,
was für die Entwicklungskoeffizienten bedeutet:
g n (t ) = g n (0) (t ) + εg n (1) (t ) + ε 2 g n ( 2) ( t ) + ...
Merke: Der entscheidende Schritt der zeitabhängigen Störungsrechnung ist hier: die Taylorentwicklung der
Entwicklungskoeffizienten, in denen der Zustand entwickelt wurde.
Dabei gilt:
∑
n n Ψ
n
t
= ∑ c n (t) n
n
n Ψ
t
c n (t ) :=
:= c n ( t )
 E t
− i n 
e  h g
n (t )
Da aber die Differenzialgleichung für unsere
 ( Em − En )t 

h

i
d
ih g m ( t ) = ∑ e 
dt
n
g m (t )
m Hˆ 1 (t ) n g n (t )
ebenso beidseitig entwickelt werden kann:
(
)
d
g m (0) (t ) + εg m (1) (t ) + ε 2 g m (2) (t ) + ...
dt
 (E m − En )t 
i

h
 m H
ˆ 1 (t ) n g n (0 ) (t ) + εg n (1) ( t ) + ε 2 g n (2 ) (t ) + ...
= ∑ e
ih
(
)
n
und dies für beliebige ε gilt, kann an der Gleichung ein Koeffizientenvergleich in der Ordnung
werden und es folgt: k = 0 :
ih
ε k durchgeführt
d
g m ( 0) (t ) = 0
dt
⇒ g m (0 ) (t ) = const =! = δmn0
Exakte Lösung für
c m (0) (t ) =
ε = 0:
E
−i m t
e h δ
mn0
Für k=1
 ( Em − En )t 

h

i
d
ih g m (1) (t ) = ∑ e 
dt
n
Dabei wurde
m Vˆ n g n (0 )
ε k = ε1 bereits beidseitig gekürzt.
167
Beim Vergleich der Ordnungen von ε muss man aufpassen.
Links ist die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten gleich der Ordnung von ε . Rechts dagegen hat man eine
Ordnung von ε , die noch um eines größer ist als die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten, da ja noch
Hˆ 1 ( t ) = εVˆ . Also hat man formal in erster Ordnung von ε :
 ( Em − En )t 
 (E m − En )t 
i

i

d
d
(1)
(
0
)
(
1
)
h
h


 m Vˆ n g (0 )
ih εg m (t ) = ∑ e
m εVˆ n g n ⇒ i h g m (t ) = ∑ e 
n
dt
dt
n
n
Wir wissen:
g m( 0) ( t ) = const =! = δmn0
Somit:
 (E m − En )t 

h

i
d
ih g m (1) (t ) = ∑ e 
dt
n
also:
 (Em − En 0 )t 

h

i
d
ih g m (1) (t ) = e 
dt
m Vˆ n g n (0 )
m Vˆ n0
g n (1) (0) = 0 kann formal integriert werden:
 (Em − E n 0 )τ 
i

1 t
(1)
h
 m Vˆ n
g m ( t ) = ∫ dτe 
0
ih 0
und mit der Anfangsbedingung
Übergangswahrscheinlichkeit
Per Definition die Wahrscheinlichkeit, zur Zeit t den Zustand
n zu finden, wenn zu t=0 der Zustand n 0 vorliegt.
2
n Ψ
2
t
=
∑
c n´ (t ) n n´
2
= c n (t ) = g n (t )
2
n´
Als Näherung wird nur die niedrigste, nichtverschwindende Ordnung betrachtet:
g n (t ) = g n ( o) = δnn0 = 1 für n=n0
und
g n (t ) = εg n (1) für n ≠ n0 :
168
Zeitunabhängige Störung:
g n (1) (t ) = −
gn
(1)
Ω :=
Vˆ = const . :
 (E n − En 0 )τ 
i

t
h

dτe 
0
i
h∫
2
(t ) = n Vˆ n0
( En − En 0 )
 (En − En 0 )t 
i

h

e
n Vˆ n 0 = − n Vˆ n0
−1
En − En 0
  −i (E n −E n 0 )t    i (En − En 0 )t 

h
h






2
− 1 e
− 1 
e


 := n Vˆ n0
E
−
E
E
−
E
n
n0
n
n0






( e(
2

− iΩt )

)(
)
− 1 e (i Ωt ) − 1 


Ω 2h2
h
2
⇒ g n (1) ( t ) = n Vˆ n0
4 sin 2
Ω2 h
2
2(1 − cos Ωt )
Ω
t
2 := D (E − E )
t
n
n0
2
2
⇒ g n (1) ( t ) = n Vˆ n0
( En − En 0 )
Die Größe Ω :=
h
Ω h
2 2
2
= n Vˆ n 0
2
4 sin 2
Ω
t
2
Ω2 h 2
D t (E n − E n 0 )
heißt Übergangsfrequenz. Und bezieht sich auf den Übergang von
n 0 auf n :
Für die Darstellung der Übergangswahrscheinlichkeit um die optimale Energie gilt ( grafisch):
2
t
Dt (0) =  
h
lim
( D ( 0) ) = ∞
t→∞ t
∞
∞
∫−∞ Dt ( E) = ∫−∞
∞
∫−∞
dξ
⇒∫
∞
−∞
sin 2 ξ
ξ2
 Et 
4 sin 2  
2
 2h  = 2t ∞ dξ sin ξ
dE
h ∫−∞
E2
ξ2
=π
Dt ( E ) =
2π
t
h
169
Also:
2π
tδt ( E)
h
lim
2π
Dt ( E) =
t δ( E )
t→∞
h
Dt ( E) =:
Grafisch
2π
n Hˆ 1 n 0
t
h
Für t → ∞ Energieerhaltung: En − E n = 0
0
⇒ n Ψ
Für
2
2
= g n (t ) =
t < ∞ hat Dt ( E ) =:
2
⋅ t ⋅ δt ( E n − En0 )
2π
4πh
t δt ( E ) die Breite ∆E ≅
h
t
Damit folgt die Energie- Zeit Unschärferelation:
∆Et ≅ 4πh
Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit ( von
Wnn 0 =
d
n Ψ
dt
2
t
=
2π
n Hˆ 1 n0
h
2
n 0 auf n ):
δt ( En − E n0 )
Mit dem Übergangsmatrixelement
n Hˆ 1 n0
und einer quadratischen Sinc- Funktion,
δt ( En − En0 ) ( siehe obige Definitionen) die die
Übergangswahrscheinlichkeit auf absorbierte Quanten mit einer Energie
Abweichung von
Funktion um
En − En0 beschränkt, so lange deren
En − En0 noch der Unschärfe genügt ( Die Wahrscheinliochkeit sinkt dann entlang einer Sinc²-
En − En0 ab, für Quantenenergien, die von En − En0 verschieden sind. Diese "Distribution" wird
für unendlich lange Lebensdauern zur Delta- Funktion !
Dies ist Fermis Goldene Regel, abgeleitet aus der Störungstheorie 1. Ordnung.
Dabei gilt:
δt → δ
für t → ∞
170
Harmonische zeitabhängige Störung
Hˆ 1 (t ) = Fˆ e −iωt + Fˆ + e iωt hermitesch !
Es folgt:
 ( En − E n 0 −hω )τ 

h

i
i t
g n (t ) = − ∫ dτe 
h 0
n Fˆ n 0
 ( En − E n 0 + hω )τ 

h

i
i t
− ∫ dτe 
h 0
  i (E n −E n 0 −hω )t −1 
h
 e 
 

+
⇒ g n ( t ) = − n Fˆ n0 
 − n Fˆ n0
 E n − E n0 − hω 


Somit folgt für die Übergangswahrscheinlichkeit von n 0 auf
n Ψ
2
t
= gn
2
=
2π
n Fˆ n 0
h
2
n Fˆ + n0
  i ( En − En 0 +hω )t −1 
h
 e 
 



 E n − En 0 + hω 


n :
tδ ( E n − E n 0 − h ω )
  −i (E − E − hω)t     i ( E − E + hω)t  
h
h
 e
 − 1
 − 1
2π
  e

+
n Fˆ + n 0 tδ ( E n − E n 0 + hω ) + n Fˆ n0 * n Fˆ + n0 


h
 E n − E n 0 − hω   E n − E n 0 + hω 

 

  −i (E − E + hω)t    i (E − E −h ω)t 

h
h
 e 
 − 1  e 
 − 1


+ n Fˆ + n 0 * n Fˆ n 0 


 E n − E n 0 + h ω  E n − E n 0 − h ω 



(E − E n0 ± hω )
Ω ± := Ω ± ω = n
h
2
2
2π
2
⇒ n Ψ t = gn =
n Fˆ n0 t δ (E n − E n 0 − hω )
h
 e (−iΩ t ) − 1 e (iΩ t ) − 1 
2
2π
+
n Fˆ + n 0 tδ ( E n − E n 0 + hω ) + n Fˆ n0 * n Fˆ + n0 

h

h 2 Ω+ Ω−

 e(−iΩ t ) − 1 e(i Ω t ) − 1 
+ n Fˆ + n 0 * n Fˆ n 0 


h 2Ω + Ω −

n Fˆ n 0 * n Fˆ + n 0 := Ae −iγ
n
n0
n
n0
2
n
n0
n
n0
(
(
+
)(
−
−
)(
+
)
)
n Fˆ + n0 * n Fˆ n 0 := Ae iγ
171
2
⇒ n Ψ
t
= gn
2π
+
n Fˆ + n 0
h
(
2
2
=
2π
n Fˆ n 0
h
2
tδ ( E n − E n 0 − hω )
t δ (E n − E n 0 + hω ) + Ae
)(
)
 e(−iΩ t ) − 1 e (iΩ t ) − 1 
+ Ae 


h 2Ω + Ω−

iγ 
+
−
(
)(
)
 e (−iΩ t ) − 1 e (iΩ t ) − 1 



h 2 Ω+ Ω −

−iγ 
−
+
Weiter gilt
(
)(
)
(
)(
)
 e(−iΩ t ) − 1 e(i Ω t ) − 1 
 (−iΩ t ) − 1 e(i Ω t ) − 1 
4A
iγ  e
Ae 
+
Ae
=
cos(ωt − γ )[cos (ω t ) − cos(Ωt )]




h 2Ω + Ω−


h 2Ω + Ω −
 h 2 Ω + Ω −
Für ω ≠ 0 , Ω ≠ 0 sind diese Terme jedoch rein oszillierend. Für t → ∞ sind diese jedoch vernachlässigbar gegen
− iγ 
−
+
+
−
Terme ~ tδ ( En − En 0 ± hω ) = t δ (hΩ ± )
Somit folgt für t → ∞ :
n Ψ
2
t
= gn
2
=
2π
n Fˆ n 0
h
2
t δ (E n − E n 0 − h ω ) +
2π
n Fˆ + n 0
h
2
tδ ( E n − En 0 + hω )
Für Zeit gegen unendlich kann man dann leicht die Übergangswahrscheinlichkeit zwischen
n 0 und n pro
Zeiteinheit, durch Ableitung nach der Zeit erhalten:
W nn0 =
d
n Ψ
dt
2
t
=
2π
n Fˆ n 0
h
2
δ ( E n − E n 0 − hω ) +
2π
n0 Fˆ n
h
2
δ ( E n − E n 0 + hω )
Die Terme lassen sich identifizieren:
2π
n Fˆ n 0
h
2
δ ( E n − E n 0 − hω ) steht für die Absorption eines Quants der Energie h ω bei gleichzeitiger
Anregung des Übergangs von
n 0 auf n , was einem Energiesprung von E n − E n 0 entspricht.
Das Quant wird also von Niveau
2π
n 0 Fˆ + n
h
2
n 0 auf n gehievt
δ ( E n − E n 0 + hω ) steht für die Emission eines Quants der Energie h ω bei gleichzeitiger
Anregung des Übergangs von
n auf n 0 , was einer Energieabgabe von E n 0 − E n entspricht.
Das Quant fällt dabei vom diesmal höheren Niveau
n 0 auf das Niveau n herunter.
172
Zusammenhang mit dem Wechselwirkungsbild
Für t=0 stimmen Schrödinger- und Wechselwirkungsbild überein ( Siehe oben, S. 63)
Im Wechselwirkungsbild gilt:
1
Hˆ W (t ) =
i ˆ 
 i ˆ 
 H 0t 
 − H 0t 
1
h
H
ˆ S e h 
e
Im Wechselwirkungsbild wird die Zeitentwicklung der Operatoren mit Ĥ 0 gewonnen, während die Zustände
mit
Hˆ W 1 (t ) evolutionieren:
ih
d
Ψ
dt
= Hˆ W 1 (t ) Ψ
W
W
Die formale Integration führt auf eine Integralgleichung:
Ψ
W
(t) = Ψ
Ψ
W
( t = 0) = n 0
Für kleine
W
( t = 0) −
(
i t
dτ Hˆ W 1 (τ) Ψ
∫
h 0
W
(τ)
)
Hˆ W 1 liefert eine Iteration:
Ψ
(t) = Ψ
W
Ψ
W
( t = 0) −
W
(
)
 i t

1
(
τ
)
≈
1 − ∫0 dτHˆ W (τ )  n0
W
 h

i ˆ0
i ˆ0 
 i t
Hτ
1 −h H τ 

h
ˆ
= 1 − ∫ dτe
HS e
 n0
h 0


i t
dτ Hˆ W 1 (τ) Ψ
∫
0
h
i t


( t ) ≈ 1 − ∫ dτHˆ W 1 (τ)  n 0
0
 h

Mit
Ψ
(t ) =
S
i
− Hˆ 0 t
h
e
Ψ
(t) ≈
W
i
− Hˆ 0t 
1−
h
e


i
i
Hˆ τ
− Hˆ τ
i t
h
ˆ S 1e h
d
τ
e
H
h ∫0
0
0

n
 0

und
i
− Hˆ 0t 
1−
h
e


i
h
t
∫0
i ˆ0
Hτ
h
dτe
Hˆ S 1e
i
− Hˆ 0τ
h

 := U (t ,0) Zeitentwicklungsoperator im Schrödingerbild


173
Übergangsamplitude im Schrödinger- Bild:
c n (t ) = n Ψ = n U (t ,0) n0 = n
i
− En t 
δ
h
e
⇒ cn (t ) =


i
nn0
i
− Hˆ 0t 
1−
h
e
Enτ
i t
− ∫ dτe h
h 0
i ˆ0
i ˆ0 
Hτ
i t
1 −h H τ 
h
ˆ
HS e
 h ∫0 dτe
 n0


i
− E n 0τ 
1

ˆ
h
n H S n0 e


δ nn0 = g n (0)
i
i
Enτ
− En 0τ
i t
− ∫ dτe h
n Hˆ S 1 n0 e h
= εg n (1)
0
h
i
i
i
i
− E nt 
Enτ
− En 0τ 
− E nt
i t
1


h
h
ˆ
h
h
c n (t ) = e
n H S n0 e
g n (t)
 δ nn0 − h ∫0 dτe
 =e


In Übereinstimmung mit unserem Ergebnis von Seite 113 !
5.2 Induzierte Emission und Absorption von Lichtquanten in Atomen
Ein Elektron im kugelsymmetrischen Coulomb- Potenzial V( r) eines Atomrumpfes hat den ungestörten
Hamiltonian:
pˆ 2
Hˆ 0 =
+ V (r)
2m
Es soll untersucht werden, wie sich dieses Elektron unter dem Einfluss einer elektromagnetischen Welle mit
A (r , t ) = A0 cos( k r − ωt ) verhält.
ω = c k und es gilt Coulomb- Eichung:
∇ ⋅ A (r , t ) = 0
So wird:
E (r, t ) = −
∂
A ( r , t ) = −ωA0 sin( k r − ωt )
∂t
− ωA0 := E 0
B (r , t ) = ∇ × A( r , t ) = −k × A0 sin( k r − ωt )
Analog zu S. 92 haben wir den Hamiltonoperator ( vergl. Magnetisches Moment und Zeeman- Effekt):
e
Hˆ = Hˆ 0 − A ⋅ pˆ = Hˆ 0 + Hˆ 1
m
e
e i k r ˆ −iωt
e −ik r ˆ i ωt
Hˆ 1 := − cos( k r − ωt ) A0 pˆ = −
e A0 p e
−
e
A0 pe
m
2m
2m
e ik r ˆ
−
e A0 p := Fˆ
2m
e −ik r ˆ
−
e
A0 p := Fˆ +
2m
Hˆ 1 = Fˆ e −iω t + Fˆ + e iω t
174
Gemäß S. 116 haben wir die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit ( Differentiation der
Übergangswahrscheinlichkeit):
W nn0 =
2π
n Fˆ n0
h
W nn0 =
2π
h
2
δ (E n − E n 0 − h ω ) +
2
 e  
ik r

  n e A0 pˆ n0
2
m

 
2
2π
n 0 Fˆ + n
h
2
δ ( E n − E n0 + hω )
δ ( E n − E n 0 − h ω ) + n 0 e −ik r A0 pˆ n
2

δ (E n − E n 0 + hω )

Dipolnäherung:
Annahme: Die Wellenlänge ( einige tausend Angström) ist deutlich größer als der Atomdurchmesser ( einige
Angström)
->
k r << 1
e mi kr = 1 + O( kr )
[
]
ˆ , rˆ =
Außerdem: H
0
h pˆ
und erˆ = Operator des elektrischen Dipolmoments
i m
Damit wird das Matrixelement des Störoperators
e
i em
i
n ei kr A0 pˆ n 0 ≅ −
A0 n Hˆ 0 rˆ − rˆHˆ 0 n0 = − ( E n − En 0 ) A0 e n rˆ n0
m
h 2m
2h
E
A0 = − 0
ω
e n rˆ n 0 := d nn 0
−
Mit den elektrischen Dipol- Matrixelementen e n rˆ n0 := d nn 0
Die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit ergibt sich gemäß
W nn0 =
2π ( E n − En 0 ) 2
E0 ⋅ d nn0
h
4 (hω )2
(
)2 {δ ( En − E n0 − hω) + δ ( E n − E n0 + hω)}
Kontinuierliches Einstrahlungsspektrum:
(
∞
E (r , t ) = ∫ dω E 0 (ω ) sin kr − ωt
0
⇒ W nn 0 =
π
2h
)
∞
2
∫ d (hω )(E 0 (ω ) ⋅ d nn0 ) {δ ( E n − E n0 − hω ) + δ (E n − E n0 + hω )}
2 0
Dabei liefert
δ ( E n − E n 0 − hω ) einen Beitrag für E n > E n 0 ( Absorption) und
2
δ ( E n − E n 0 + hω ) einen Beitrag für E n < E n 0 als induzierte Emission. Die Wahrscheinlichkeit ist ~ E 0 (ω )
also proportional zur Energiedichte der elektromagnetischen Welle.
175
Die Ausführung der Integration liefert:
W nn0 =
π
∞
2
∫ d (hω )(E0 (ω ) ⋅ d nn0 ) {δ ( E n − En 0 − hω ) + δ (E n − E n0 + hω )}
2h 2 0
π   ( En − E n 0
⇒ W nn 0 = 2  E 0 
h
2 h  
d nn 0 = e n rˆ n0
) 


⋅
d
nn
0




2
Bemerkungen
1)
2)
Spontane Emission kann in der semiklasischen Theorie ( Atom wird quantenmechanisch beschrieben, das
Strahlfeld jedoch klassisch) nicht beschrieben werden ! Hierzu ist die Quantisierung des Strahlungsfeldes nötig
(Quantenfeldtheorie).
Die Auswahlregeln für erlaubte elektrische Dipolübergänge sind durch das Dipolmatrixelement
d nn 0 = e n rˆ n0 gegeben. Für e n rˆ n0 = 0 können erlaubte Multipolübergänge ( magnetischer Dipol,
elektrischer Quadrupol etc...) durch die Entwicklung von e
±ik r
in höherer Ordnung berechnet werden.
Diskussion der Dipolmatrixelemente:
Wir begeben uns wieder in den Ortsraum der Kugelkoordinatendarstellung:
Die ungestörte Wellenfunktion:
u nl (r ) m
Yl (ϑ , ϕ ) ~ Pl m (cos ϑ )e imϕ
r
n = n´l´m´
Ψnlm ( r ) =
n 0 = nlm
Kugelkoordinaten
u nl ( r ) m
Yl (ϑ ,ϕ ) ~ Pl m (cos ϑ )e imϕ
r
x1 = r sin ϑ cos ϕ
Ψnlm (r ) =
x2 = r sin ϑ sin ϕ
x3 = r cos ϑ
betrachte
ξ = x1 + ix 2 = r sin ϑe iϕ
ξ * = x1 − ix 2 = r sin ϑe −iϕ
176
Einsetzen liefert:
Ψnlm ( r ) =
u nl (r ) m
Yl (ϑ , ϕ ) ~ Pl m (cos ϑ )eimϕ
r
π
2π
n´l´m´ ξˆ nlm ~ ∫ dϑ sin 2 (ϑ )Pl´ m´ (cos ϑ )Pl m (cos ϑ ) ∫ dϕei (m −m´+1 )ϕ
0
2π
∫0
0
dϕei (m− m´+1 )ϕ ~ δ m´,m +1
π
⇒ n´l´m´ ξˆ nlm ~ ∫ dϑ sin 2 (ϑ )Pl ´m +1 (cos ϑ ) Pl m (cos ϑ )
0
π
∫0 dϑ sin (ϑ )Pl ´
2
m +1
(cos ϑ ) Pl m (cos ϑ ) ~ δ l´,l ±1
⇒ n´l´m´ ξˆ nlm ~ δ m´,m+1δ l ´,l ±1
Analog kann man ausrechnen:
ˆ
n´l´m´ ξ * nlm ~ δ m´,m −1δ l ´,l ±1
n´l´m´ xˆ 3 nlm ~ δ m´m δ l´,l ±1
Also gewinnen wir die Auswahlregeln für Dipol- erlaubte Übergänge:
∆l = ±1
∆m = 0,±1
5.3 Zeitunabhängige Störungsrechnung ohne Entartung ( Schrödinger)
Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung:
Ĥ Ψ = E Ψ
muss berechnet werden, wobei
Hˆ = Hˆ 0 + Hˆ 1
durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.
Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen
Parameters ε
linear entwickelt werden kann:
Hˆ 1 = εVˆ ( dabei soll die Störung zeitunabhängig sein !)
Das ungestörte Problem schreibt sich:
Hˆ 0 n = En (0) n
Für kleine
ε sollten sich Eigenwerte und Eigenzustände von Ĥ entwickeln lassen:
Ek = E k ( 0) + εEk (1) + ε 2 Ek ( 2) + ...
Ψk = Ψk (0 ) + ε Ψk (1) + ε 2 Ψk ( 2) + ...
Merke: Die Eigenzustände und die Energieeigenwerte sollten sich entwickeln lassen !
177
Also:
(Hˆ 0 + εVˆ )( Ψk ( 0)
) (
)(
)
+ ε Ψk (1) + ε 2 Ψk (2) + .. = Ek (0) + εE k (1) + ε 2 E k ( 2) + .. Ψk (0 ) + ε Ψk (1) + ..
Die Koeffizienten lassen sich dann in der Ordnung
ε f vergleichen:
f=0
Hˆ 0 Ψk (0) = E k (0) Ψk (0)
ungestörtes Problem
f=1
(Hˆ
)(
) = (E
)
(
(1)
)
0
− Ek ( 0) Ψk (1)
0
− Ek ( 0) Ψk (2) = Ek (1) − Vˆ Ψk (1) + E k (2 ) Ψk (0)
k
− Vˆ Ψk (0 )
1. Näherung
f=2
(Hˆ
)
... -> Rekursionsformeln
Die Bestimmung der Energieeigenwerte und Eigenzustände kann erfolgen....
Aus f=0:
Ψ k (0 ) = k
Aus f=1: Störungsrechnung erster Ordnung möglich:
Wir entwickeln nach der ungestörten Basis
(
)(
Hˆ 0 − Ek ( 0) Ψk (1)
k
(Hˆ
(Hˆ
− Ek ( 0) n = En (0) − Ek ( 0)
n
0
n
)
− Vˆ Ψk (0 ) ein:
∑
0
)
) = (E
(1)
Ψk (1) = ∑ n n Ψk (1) und setzen dies in
(
)n
)
− Ek ( 0) n n Ψk (1) = Ek (1) − Vˆ k
)
(
Skalarprodukt mit
l → l n = δln "projiziert" wieder die Korrektur des l- ten Zustand ( seines Eigenwertes und
seines zugehörigen Zustandes ) heraus:
(E
(0)
l
)
(
)
− Ek (0 ) l Ψk (1) = Ek (1) − Vˆ δlk − l Vˆ k
Somit haben wir für l=k
die erste Korrektur zum Energieeigenwert gefunden:
Ek (1) = k Vˆ k
178
und für l ≠ k ergibt sich die 1. Korrektur zum Eigenvektor:
l Ψk (1) =
k Ψk (1)
l Vˆ k
Ek (0) − El (0)
wird durch Normierung festgelegt:
(
)
1 =! = Ψk Ψk = Ψk (0) Ψk (0) + ε Ψk (0) Ψk (1) + Ψk (1) Ψk ( 0) + ε 2 (....
Ψk (0 ) Ψk (0) = 1
Da die Summe rechts aber für beliebige Epsilon Null werden muss folgt:
(Ψ
( 0)
k
Ψk (1) + Ψk (1) Ψk (0)
)= 0
(.... = 0
usw.. für jede Klammer nach einer bestimmten, festen Ordnung von
ε:
Also für die erste Ordnung:
Ψk ( 0) Ψk (1) = − Ψk (1) Ψk ( 0)
k Ψk (1) = − Ψk (1) k ≡ − k Ψk (1)
*
Fazit:
k Ψk (1) = iγ mit γ ∈ R
Wegen
e iεγ ≈ 1 + i εγ + O(ε2 ) ändert der Term ~ γ die Phase von Ψk relativ zu k
in der Entwicklung
Ψk = k (1 + iεγ ) + ε ∑ n n Ψk (1) + O(ε2 ) .
n≠ k
Die Festlegung erfolgt durch die Forderung :
k Ψk = 1
⇒γ = 0
Im entartungsfreien Fall (keine Entartung) folgt dann:
Ψk (1) =
∑
n
n ≠k
Voraussetzung: E k
n Vˆ k
Ek (0) − En ( 0)
(0)
≠ E n ( 0) (keine Entartung)
179
5.4 Zeitunabhängige Störungsrechnung bei Entartung
Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung:
Ĥ Ψ = E Ψ
soll berechnet werden, wobei
Hˆ = Hˆ 0 + Hˆ 1
durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.
Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen
Parameters ε
linear entwickelt werden kann:
Hˆ 1 = εVˆ ( dabei soll die Störung zeitunabhängig sein !)
Wenn wir nun annehmen, dass zur Energie
En (0 ) mehrere (orthonormal) entartete Zustände gehören, so müssen wir
das Problem anpassen:
Das ungestörte Problem schreibt sich dann:
Hˆ 0 n,α = En (0) n,α α = 1,..., s
Damit bezeichnet α = 1,..., s die Nummerierung der entarteten Zustände beim Entartungsgrad s. Bei diesem
Beispiel wäre der N. Eigenzustand s- fach entartet !
Durch
Hˆ 1 = εVˆ wird die Entartung jedoch im Allgemeinen aufgehoben:
Hˆ Ψk = Ek Ψk
Die Störungsreihe/ Störungsentwicklung
Ψk = Ψk (0 ) + ε Ψk (1) + ε 2 Ψk (2 ) + ...
ist unter diesen Bedingungen nur für ein bestimmtes, geeignetes
Ψk ( 0) = ∑ cα k , α möglich:
α
Wähle nun
Ψk ( 0) im ungestörten Eigenraum so, dass für
lim
Ψk = Ψk ( 0)
ε→ 0
( eindeutig bestimmt).
Das Einsetzen in die Entwicklung der Ordnung ε liefert:
f
f=1
(Hˆ
0
)(
) (
− Ek (0) Ψk (1) = E k (1) − Vˆ
)∑c
α
α
k , α 1. Näherung
180
k , β → k , β k , α = δαβ "projiziert" wieder die Korrektur des jeweils entarteten
Das Skalarprodukt mit
Terms der Nummer
(
k , β (Hˆ
β heraus:
)
)Ψ
(
k , β Hˆ ( 0) − Ek ( 0) Ψk (1) = ∑ cα k , β k ,α Ek (1) − k , β Vˆ k ,α
( 0)
− Ek
( 0)
α
(1)
k
)
=0
k , β k ,α = δβα
k , β Vˆ k ,α := Vˆβα
Somit folgt:
(
)
0 = ∑ Vˆβα − E k (1)δ βα cα
α
Dies ist aber gerade eine Eigenwertgleichung für die sogenannte Störmatrix Vˆβα :
(
)
(
)
0 = ∑ Vˆβα − E k (1)δβα cα = Vˆ − E k (1) 1 c
α
c ∈C s
Vˆ ∈ C s × C s
Die Gleichung heißt auch " Säkulargleichung" zur Berechnung von Eigenwerten und bildet ein homogenes, lineares
Gleichungssystem.
Die Bezeichnung folgt in Anlehnung an die früheren Anwendungen: Berechnung der astronomischen säkularen
Störungen.
(
Nichttriviale Lösungen existieren genau dann, wenn die Determinante det Vˆ − E k
(
Säkulardeterminante, verschwindet, also det Vˆ − E k
Vˆ11 − Ek (1)
Vˆ21
...
Vˆs1
Für den Fall
Vˆ12
Vˆ22 − Ek (1)
...
...
(1)
)
(1)
)
1 , die sogenannte
1 = 0 also:
...
Vˆ1s
...
...
=0
...
...
... Vˆss − Ek (1)
V̂ hermitesch folgt Vˆβα = Vˆαβ *
Dann existieren reelle Eigenwerte E k
(1)
und die Eigenvektoren zu E k
(1)
≠ E l (1) sind orthogonal !
Bemerkung: Die Entartung muss NICHT vollständig aufgehoben werden !
181
Beispiel: 2 entartete Zustände
Säkulardeterminante
Vˆ11 − Ek (1)
Vˆ21
(E ) − (Vˆ
(1) 2
k
Vˆ12Vˆ21 =
Vˆ12
=0
Vˆ22 − E k (1)
11 + V22
2
Vˆ12
⇒ Ek (1) =
ˆ
(
)E k (1) + (Vˆ11Vˆ22 − Vˆ12Vˆ21 ) = 0
) (
1 ˆ
V + Vˆ22 ± Vˆ11 − Vˆ22
2  11
)2 + 4 Vˆ12 2 

Dies als Korrekturterm. Somit folgt für ein Energieniveau der Energie E:
E = E ( 0) + εE k (1) = E (0) +
Dabei gibt
(
) (Vˆ11 − Vˆ22 )2 + 4 Vˆ12 2 
ε ˆ
V + Vˆ22 ±
2  11
(Vˆ11 − Vˆ22 )2 + 4 Vˆ12 2 die Energieaufspaltung an.

E ist , wie angegeben die gesamte Energie in 1. Störungstheoretischer Ordnung. Die Aufspaltung erfolgt linear in ε ,
also linear zur Störung:
182
5.5 Stark Effekt im H- Atom
Anwendung der Störungsrechnung bei Entartung. Das H- Atom befinde sich dabei
in einem homogenen äußeren elektrischen Feld E .
Für den Hamiltonian gilt:
pˆ 2
e2
Hˆ =
−
− eE rˆ
2 m 4πε 0 rˆ
− eE rˆ = Hˆ (1)
pˆ 2
e2
−
= Hˆ (0)
2 m 4πε 0 rˆ
Sei das elektrische Feld parallel zur z- Achse:
− eE xˆ3 = Hˆ (1)
Ĥ ( 0) :
Eigenwerte und - zustände von
(0)
Hˆ (0) n, l , m = E n n , l , m
E n (0) = − R H
1
n2
Die Energie ist im Bahndrehimpuls insgesamt n
2
n −1
= ∑ ( 2l + 1) entartet. ( zu jedem n gibt es n-1 mögliche
l =0
verschiedene Bahndrehimpulszustände, die jeweils 2l+1 mögliche Einstellungen bezüglich der z- Achse einnehmen
können ( magnetische Quantenzahl m). Mit dem Spin ist die Entartung sogar 2 n
2
=
n−1
∑ 2( 2l + 1) - fach. Dies ist
l =0
leicht zu verstehen: Durch den Spin wird der bestehende Hilbertraum um einen zusätzlichen zweidimensionalen
Hilbertraum erweitert. Dadurch können alle vorherigen Zustände noch einen Spinzustand aus dem neuen
Hilbertraum mit beinhalten ohne dass sie ihre Eigenschaft, Eigenzustände zu sein, verlieren können.
Die Zahl der möglichen Eigenzustände zu einem Energieeigenwert verdoppelt sich also !
Beispiel: n=2 (4fache Entartung)
mögliche Zustände:
2,0,0 , 2,1,−1 , 2,1,0 , 2,1,+1
r nlm =
u nl (r ) m
Yl (ϑ, ϕ)
r
Keine Knotenlinie
Y0 0 =
1
4π
183
Eine Knotenlinie
Y10 =
3
cos ϑ
4π
Y1±1 = m
3
sin ϑe ±i ϕ
8π
r
u 20 (r )
=
r
u 21 ( r )
=
r
2
3
(2a0 ) 2

r  − 2 a0
1 −
e
 2a 0 
−
1
3(
re
3
2a0 2 a0
)
a0 =
Mit dem Bohr- Radius
r
2a0
h 2 4πε0
me 2
Matrixelemente des elektrischen Dipolmoments
dˆ = exˆ3 mit n´l´m´ xˆ 3 nlm ~ δl´,l ±1δmm´
Vergleiche Seite 121:
n=n´=2
l´=0, m´=0
l=0, m=0
0
l=1, m=1
0
l=1, m=0
l´=1, m´=1
l´=1, m´=0
0
0
0
l´=1, m´=-1
0
0
*
d13
α
l = 1, m=-1
0
1
0
0
0
0
2
3
0
0
4
d13
Der Störoperator:
Hˆ (1) = − E dˆ
Wir haben also mit
d13 das einzige nichtverschwindende Matrixelement:
d13 = 200 exˆ 3 210
xˆ 3 = r cos ϑ
184
d13 = 200 exˆ 3 210
= e∫
∞
0
r
3
d rr
2
2
3
(2a0 ) 2
r
−

π
r  −2 a0
1
1
3
2a0 2π
1 −
e
r
re
d
ϕ
dϑsin ϑ
cos ϑ
cos ϑ
∫
∫
3
0
0
4π
4π
 2a 0 
3 (2 a0 ) 2 a0
r
u 20 ( r )
=
r

r  − 2a0
 1 −
e
2
a
0


2
3
(2a 0 ) 2
u 21 ( r )
=
r
−
1
3
2 a0 2 a0
3(
)
re
r
2a0
1
= Y0 0
4π
3
cosϑ = Y10
4π
2π
∫0
π
1
3
1
cos ϑ
cosϑ =
4π
4π
3
dϕ∫ dϑsin ϑ
0
⇒ d13
e ∞ 3 2
= 200 exˆ 3 210 =
d rr
3 ∫0
r
2
3
(2a 0 ) 2
r
−

r  − 2a0
1
2 a0
1 −
e
r
re
= −3ea0
3
2
a

0
3 (2a0 ) 2 a 0
Somit existiert ein Erwartungswert des Dipolmomentes
d13 = 200 exˆ 3 210 = −3ea0
Dies entspricht einem PERMANENTEN Dipolmoment des H- Atoms, welches Konsequenz der l- Entartung ist !
Die charakteristische Größenordnung dieses Dipolmoments ist a 0 , also die Ausdehnung der Wellenfunktion !
Störungsrechnung: Aufspaltung des Energieniveaus n=2 im elektrischen Feld
E:
∑ (− E dαβ − Eδαβ )cα
4
Säkulargleichung:
=0
α =1
Säkulardeterminante:
−E
0
− E d 13
0
0
−E
0
0
− E d 13
0
−E
0
0
0
(
= 0 = E 2  E 2 − E d 13

0
)2 
−E
⇒ E = 0 als zweifach entartetes Niveau und E = ± E d 13 = m 3e E a 0
185
Der Stark- Effekt ist also proportional zur eingeschalten Feldstärke. Man spricht deshalb auch vom linearen StarkEffekt.
Daneben gibt es noch den quadratischen Stark- Effekt in allgemeinen kugelsymmetrischen Potenzialen V ≠
1
, also
r
ohne l - Entartung. Also existiert in diesem Fall gar kein permanentes Dipolmoment und Störungsrechnung2.
Ordnung wird nötig.
Ausgehend vom Niveau
E2 ( 0) ( 4- fach entartet) erhalten wir das folgende Bild:
5.6 Homöopolare chemische Bindung des Wasserstoffmoleküls
Hier haben wir eine Anwendung der entarteten Störungsrechnung auf ein Zwei- Teilchen- Problem. Dies wurde 1927
durchgeführt von heitler und London:
Das Potenzial der Atomkerne, wenn diese als fest angenommen werden ist:
Dabei bezeichnen a und b die festen Atomkerne und 1,2 die bewegten Elektronen
Der Kernabstand R ist ein fester Parameter
Ungestörtes System ( ohne Spin):
2 nicht wechselwirkende H- Atome:
Hˆ a1 a
1
= Ea a
1
Hˆ b 2 b
2
= Eb b
2
Elektron 1 am Kern a
Elektron 2 am Kern b
186
mit den Hamilton- Operatoren
pˆ 2
e2
Hˆ a1 = 1 −
2m 4πε0 ra1
pˆ 2
e2
Hˆ b2 = 2 −
2m 4πε0 rb 2
ra1 = r1 − Ra
rb 2 = r2 − Rb
Die Schrödingergleichung, wir erinnern uns, für dieses Problem, ist exakt lösbar. Sie liefert ein Produkt aus Laguerre
und zugeordneten Legendrepolynomen als Lösung für die Eigenfunktionen !
(0)
Eigenzustände von Hˆ α
= Hˆ a1 + Hˆ b 2 bzw. Hˆ β ( 0 ) = Hˆ a 2 + Hˆ b 1 zu E (0 ) = E a + E b :
Ψα = a
1
Ψβ = a
2
b
b
2
1
Es muss diese beiden Zustände als Lösung geben, da die Ansätze aus dem Austausch der Teilchen leben. ( Zweiter
Ansatz ist gleich dem ersten nur mit vertauschten Elektronen. Nach der quantenmechanischen Ununterscheidbarkeit
muss dies jedoch ein erlaubter Schritt sein, ohne dass sich die Physik ändert.
Man spricht in diesem Fall von Austauschentartung der Energie
E (0)
Die Entartung ist in diesem Fall zweifach. Zu beiden Varianten gehört die Energie
E (0) :
Hˆ α ,β Ψα, β = E (0) Ψα, β
Eine Störung dieses Systems sind nun alle denkbaren weiteren Wechselwirkungen:
e2
Hˆ α (1) = −
4πε 0
 1
1
1
1


r + r − r − R
b1
12
 a2

Mit dem Kernabstand R !
Merke: Die Störung sind alle zum exakt lösbaren Problem hinzukommenden zusätzlichen elektromagnetischen
Wechselwirkungen, die auftreten können und demnach auch auftreten !
Genau genommen haben wir dann den Hamiltonian
Hˆ α,β = Hˆ α, β (0 ) + Hˆ α,β (1) kurz : Hˆ = Hˆ ( 0) + Hˆ (1)
187
Die Störungsrechnung 1. Ordnung liefert
E ≈ E (0) + E (1)
Ψ ≈ Ψ( 0) + Ψ (1)
mit
Ψ ( 0) = cα Ψα + c β Ψβ = cα a
1
b
2
+ cβ a
2
b
1
Bemerkung:
Da sich
a und b auf verschiedene Koordinaten beziehen , sind Ψα und Ψ β nicht orthogonal ( Nur für R ->
unendlich !, also Trennung der Kerne).
Ψα Ψβ =1 a b
ab
12
2
= TT * ≠ 0
mit dem Überlapp- Integral
T :=1 a b
1
= ∫ Ψa * ( r1 )Ψb * ( r1 ) d 3 r1
⇒ T = ∫ d 3r1 R *nl (ra1 )Yl m* (ϑa ,ϕa ) Rn´l ´ ( rb1 )Yl´ m´ (ϑb , ϕb )
Daher erhält man aus der Störungsentwicklung
(Hˆ
(0)
α ,β
)(
− E (0) Ψ (1)
) = (E
)(
− Hˆ (1) cα Ψα + c β Ψβ
(1)
dann die Säkulargleichung, wenn man mit
(
(
)
Ψα , β multipliziert:
0 = Hˆ (1)α ,α − E (1) cα + Hˆ (1)α ,β − E (1) T
(
0 = Hˆ (1) βα − E (1) T
2
)c + (Hˆ
(1)
α
ββ
)
2
)
)c
β
− E (1) cβ
Mit
Hˆ (1)α ,α = Ψα Hˆ (1) Ψα =1 a
2
b Hˆ (1) b
2
a
1
⇒ Hˆ (1)α ,α = ∫ d 3 r1 ∫ d 3 r2 Ψa (r1 ) 2 Ψb ( r2 ) 2 Hˆ (1) =Hˆ (1) ββ
Dies sieht man an der Möglichkeit, die Elektronen 1<->2 in
Ĥ (1) zu tauschen.
Hˆ (1)α,α = Hˆ (1) ββ =: D sogenannte "direkt Coulombenergie" ( klassische Energie einer Ladungsverteilung)
Weiter:
Hˆ (1)αβ = Ψα Hˆ (1) Ψβ =1 a
2
b Hˆ (1) a
2
b
1
⇒ Hˆ (1)αβ = ∫ d 3r1 ∫ d 3r2 Ψa (r1 ) * Ψb ( r1 ) Ψb ( r2 ) * Ψa ( r2 ) Hˆ (1) =Hˆ (1) βα =: A
A als sogenannte "Austauschenergie" ( nichtklassisch).
188
Säkulardeterminante:
D − E (1)
A − E (1) | T |2
A − E (1) | T | 2
=0
D − E (1)
(D − E (1) )2 − (A − E (1) | T |2 )2 = 0 = E (1) 2 (1− | T |4 ) − 2 E (1) (D− | T |2 ) + D 2 − A 2
Damit kann die Energieaufspaltung angegeben werden und es erfolgt:
E (1) =
D±A
1± | T | 2
Die Energieaufspaltung hier steht für die Aufhebung der Austauschentartung.
Ein Punkt hierbei ist, dass Zustände von Natur aus möglicherweise sogar unendlich oft entartet sind. (Man kann ja
neue Unterscheidungen finden...) Man kann das Niveau jedoch so weit einschränken ( kein Spin, kein 2. Atom,
etc...), dass es nur einen Eigenzustand im gegebenen, beschränkten Hilbertraum gibt, der Eigenzustand zum
Energieeigenwert ist. Jede zusätzliche Störung von außen aber, die auf die vernachlässigten Parameter wirkt, wie den
Spin, kann dann unterschiedlich auf unterschiedliche Eigenschaften der Elektronen wirken und demnach zu einem
Energieniveau verschiedene Zustände zu lassen, die dann aber mit der äußeren Wechselwirkung auch leicht
verschobene Energieniveaus bilden können. Es wird also eine " Entartung" aufgehoben. Sprich: Auf der einen Stufe
der Energie waren ohne die Störung verschiedene mögliche Zustände vereinheitlicht, weil die energetisch differenten
Merkmale erst durch eine Wechselwirkung hervortraten, diese Wechselwirkung vorher jedoch gar nicht vorhanden
war.
Dadurch bekommt ein bisschen ein Bild davon, wie durch die Aufhebung der Entartung quasi neue Energieniveaus
geschaffen werden.
Für die Gesamtenergie des Niveaus gilt dann:
E± ≈ E (0 ) + E (1) = E a + Eb +
D± A
1± | T | 2
Die zugehörigen Eigenzustände sind zwei der Art, ein zwischen
a b symmetrisierter und entsprechend der
antisymmetrisierte Zustand:
Ψ±( 0) =
a
a
1
2
b
b
(
1
2 1± | T |2
2
= Ψα
1
= Ψβ
Wie man sieht, hängt
Man wähle
)
( a 1 b 2 ± a 2 b 1)
E± parametrisch vom Kernabstand R ab:
a , b als Grundzustand der H- Atome.
Es ergibt sich für
E+ bzw. E− der folgende Verlauf der Energie:
189
Die obige Energie gehört zu einem grundsätzlich antibindenden Orbital ( Zustand), die untere zum bindenden
Orbital. Im ersten Fall wirkt das Elektron immer abstoßend, im zweiten Fall gibt es ein attraktives Minimum !
Das Energieniveau E − (R) wirkt dabei abstßend , während E+ ( R) ein attraktives Minimum besitzt. Es kommt zur
homöopolaren Bindung ( kovalent), einer sogenannten AUSTAUSCHBINDUNG, denn die Grundlage für die
Existenz dieses Niveaus ist die Austauschentartung, die aufgehoben wird. Dadurch kann ein Zustand entstehen, der
niedriger ist als jeder der einzelnen Wasserstoffzustände für sich !
Die Bindung an sich ist nur quantenmechanisch zu verstehen, wie aber ja auch schon der gebundene Zustand eines
Elektrons am Kern.
Berücksichtigung des Spin
Der gesamte 2- Elektronenzustand
Ψ = Ort Spin muss antisymmetrisch sein bei Permutation von Spin und Bahn, da die Elektronen Fermionen
sind.
das heißt, es muss einer der beiden Produktbildenden Zustände
Ort , Spin antisymmetrisch sein und der andere
symmetrisch.
2 Möglichkeiten:
1)
der Spin- Anteil ist symmetrisch und der Bahn Anteil antisymmetrisch:
S = s1 + s 2 =
ms = 0,±1
1 1
+ =1
ein Triplett- Zustand also !
2 2
Merke: Multiplett- Zustände sind multi- fach entartet in dem Sinn, dass die charakterisierenden Eigenschaften der
Wellenfunktion gegeben sind und daraus die bestehende Entartung multi- fach ist.
Das bedeutet. Bei Spin und Bahndrehimpuls ist das n. Energieniveau ein 2n²- plett, wenn keine Wechselwirkung mit
äußeren Feldern stattfindet. ( In Wahrheit sind jedoch auch diese Zustände nicht mehr vollständig entartet, da schon
das magnetische Moment des Elektronenspins mit dem des Bahndrehimpuls wechselwirkt und die Entartung
teilweise aufhebt.
190
Im Fall 1) wäre nun der Bahn- Anteil antisymmetrisch:
Ψ−( 0) , E− . Dieser Potenzialverlauf ist jedoch grundsätzlich abstoßend. Es kann nicht zur Bindung kommen. Das
Orbital ist antibindend.
2)
der Spin- Anteil ist antisymmetrisch und der Bahn- Anteil symmetrisch:
S = s1 + s 2 =
ms = 0
1 1
− =0
Die beiden Spins stehen also antiparallel und der Zustand ist bindend. Es kommt zur
2 2
Bindung.
Denn: Der Bahn- Anteil ist symmetrisch:
Ψ+ (0) , E +
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen zwischen den Kernen ist erhöht.
5.7 Variationsverfahren
Diese Näherungsmethode von W. Ritz ist nützlich, falls der Hamiltonoperator NICHT in einen ungestörten Anteil
und eine KLEINE Störung zerlegbar ist, was den Abbruch der Störungsreihe rechtfertigt.
Die zeitunabhängige Schrödingergleichung:
Hˆ Ψk = Ek Ψk
Ψn Ψk = δnk bilden ein vollständiges Orthonormalsystem
Dies sind die nötigen Vortaussetzungen zur Durchführung des Variationsprinzips:
Weiter seien die Energie- Eigenwert der Größe nach geordnet:
E0 ≤ E1 ≤ E 2 ≤ E3 .....
Dann gilt für einen beliebigen Zustand
Ψ , im Allgemeinen kein Eigenzustand:
Ψ Hˆ Ψ = ∑ Ψ Hˆ Ψn Ψn Ψ = ∑ En Ψ Ψn Ψn Ψ
n
n
En ≥ E0
⇒ ∑ En Ψ Ψn Ψn Ψ ≥ E0 ∑ Ψ Ψn Ψn Ψ = E0 Ψ Ψ
n
n
Wodurch uns die Ungleichung geben ist:
∑
E n Ψ Ψn Ψn Ψ
n
Ψ Ψ
≥ E0
Also:
Ψ Hˆ Ψ
≥ E0 als Extremal- Prinzip
Ψ Ψ
191
Näherung für den Grundzustand:
Ψ mit verschiedenen Parametern, also Ψ ( r ,α, β,...) .
1)
Mache einen geeigneten Ansatz für eine Testfunktion
2)
Dabei sollten Symmetrien und Asymptotik beachtet werden.
3)
Variiere dann die Parameter, bis
Ψ Hˆ Ψ
= E minimal wird:
Ψ Ψ
∂
∂
E=
E = ... =!= 0
∂α
∂β
⇒ α0 , β0 ,...
Damit ist eine Näherung für die Grundzustandsenergie
E0 ≈ E(α0 , β0 ,....) .
Die Parameter in der Testfunktion setzen dann gleichzeitig eine Näherung für den Grundzustands- Eigenzustand
Ψ0 ≈ Ψ( r , α0 , β0 ,...)
Bemerkung
E0 ≈ E(α0 , β0 ,....) ist besser als die Näherung Ψ0 ≈ Ψ( r , α0 , β0 ,...) in folgendem Sinn:
Ψ (r ,α0 , β0 ,...) = Ψ0 + λϕ
Wobei die genäherte Funktion Ψ ( r ,α0 , β0 ,...) die exakte, also Ψ0 um den Term λϕ verfehle:
Die Näherung von
Mit
ϕ Ψ0 = 0 Für kleine λ gilt, da E bei E0 ein Minimum hat:
E (α0 , β0 ,....) = E0 + λ2 A + ...
Der Fehler geht also nur quadratisch ein. Die Energie ist besser genähert.
Näherung für angeregte Zustände:
E0 ≈ E(α0 , β0 ,....) und Ψ0 ≈ Ψ( r , α0 , β0 ,...) sind also näherungsweise bekannt.
Nun wähle man eine Testfunktion
Ψ ( r ,α, β,...) mit Ψ( r , α, β,...) Ψ0 = 0 . Dies muss natürlich für beliebige
Belegung der Parameter gelten !
Also: Man wähle einen neuen, beliebigen Zustand, der nur orthogonal zum bestehenden sein muss ! (und zwar für
beliebige Parameterbelegungen !)
Nun kann man die Parameter erneut variieren, bis
Dann hat man eine Näherung
Ψ Hˆ Ψ
= E minimal wird.
Ψ Ψ
E1 ≈ E und Ψ1 ≈ Ψ( r ,α1 , β1 ,...)
192
Beweis:
Ψ Hˆ Ψ = ∑ Ψ Hˆ Ψn Ψn Ψ =
n
Ψ Ψn = 0, für
∞
∑
n =0
E n Ψ Ψn Ψn Ψ
n=0
∞
⇒ Ψ Hˆ Ψ = ∑ E n Ψ Ψn Ψn Ψ
n=1
⇒ E n ≥ E1
∞
∞
n=1
n =1
⇒ ∑ En Ψ Ψn Ψn Ψ ≥ E1 ∑ Ψ Ψn Ψn Ψ
∞
∞
⇒ ∑ En Ψ Ψn Ψn Ψ ≥ E1 Ψ Ψ ⇒ E1 ≤
n=1
⇒ E1 ≤
∑
n=1
E n Ψ Ψn Ψn Ψ
Ψ Ψ
Ψ Hˆ Ψ
Ψ Ψ
Weitere Näherungsmethoden
-
beispielsweise WKB- Näherung (, Wentzel, Kramer, Brillouin (1926)
sogenannte "quasiklassische Näherung":
Gut, falls die De- Broglie Wellenlänge viel kleiner ist als die Länge, auf der sich das Potenzial wesentlich ändert.
Fließbach, S. 155 ff.
193
6. Streutheorie
6.1 Lippmann- Schwinger- Gleichung
Man betrachte Teilchen, die in Wechselwirkung stehen, jedoch keine gebundenen Zustände miteinander
einnehmen:
Der Hamiltonoperator kann geschrieben werden als:
Hˆ = Hˆ (0 ) + Hˆ (1)
Dabei bezeichne
Ĥ (0 ) die kinetische Energie
und
Ĥ (1) die Wechselwirkungsenergie.
Im Falle stationärer Streuung erhalten wir:
Ĥ Ψ = E Ψ . Ψ beschreibt ein am Anfang einlaufendes Teilchen ( ohne Wechselwirkung), die
anschließende Streuung und schließlich wieder auseinanderlaufende Teilchen:
Stationär bedeutet hier: Das Gleichgewicht hat sich bereits eingeregelt. Der Prozess ist zeitlich stationär, weil
jede Veränderung an einem Teilchenzustand 1 durch ein nachrückendes Teilchen, dessen Zustand sich in den des
ersten ( Zustand 1) begibt, aufgefüllt wird.
Die Schrödingergleichung lautet:
(E − Hˆ 0 ) Ψ
= Hˆ (1) Ψ
Erster Schritt bei derartigen Problemen: Isolation der Störung !
Die formale Lösung kann angegeben werden mittels:
Ψ = Φ +
1
E − Hˆ 0
(
1
Hˆ (1) Ψ
ˆ
E − H0
(
)
−1
:= (E − Hˆ 0 )
)
Die Division zwischen 1 und dem Operator der linken Seite ist dabei als Ausführung der inversen Operation zu
verstehen !
194
Φ ist eine beliebige Lösung der wechselwirkungsfreien Gleichung
(Hˆ 0 − E ) Φ
=0
Beweis:
(E − Hˆ 0 ) Ψ = (E − Hˆ 0 ) Φ + (E − Hˆ 0 ) (E −1Hˆ ) Hˆ (1) Ψ
0
(E − Hˆ 0 ) (E −1Hˆ ) := 1
0
⇒ (E − Hˆ 0 ) Ψ = Hˆ (1) Ψ ⇔ (E − Hˆ 0 ) Φ = 0
Ψ = Φ +
Die Gleichung
1
(
E − Hˆ 0
)
Hˆ (1) Ψ ist dabei eine Integralgleichung, beispielsweise in der
Ortsdarstellung:
r Ψ = r Φ +∫
∫
r
1
(E − Hˆ 0 )
Berechnung des inversen Operators
r´ r ´ Hˆ (1) r ´´ r ´´ Ψ d 3r´´d 3 r´
1
(E − Hˆ 0 ) Hier: Greenscher Operator, sogenannte RESOLVENTE
(auch: Residuum !) der Schrödingergleichung.
Methode: Transformation auf Impulsdarstellung ( Fourier- Transformation) und komplexe Integration.
Aber: die Lösung ist nicht eindeutig, je nach Wahl des Integrationsweges ergeben sich unterschiedliche
Egebnisse ( Integrationsweg in der komplexen Ebene). Dementsprechend ergeben sich verschiedene
Randbedingungen
Die Festlegung erfolgt durch Addition eines kleinen komplexen Terms
ε → 0 gehen lassen.
iε . Am Schluss kann man dann
Damit ergibt sich als LIPPMANN- Schwinger- Gleichung
Ψ (+ ) = Φ +
1
Hˆ (1) Ψ (+)
E − Hˆ 0 + i ε
(
)
Wesentlicher Vorteil zur Schrödingergleichung: Die Lippmann- Schwinger- Gleichung ist die im Vergleich zur
Schrödingergleichung komplexe Erweiterung mit reeller Polstellenfreiheit !
Mit auslaufender Welle
Streuwelle
Ψ (+ )
1
Hˆ (1) Ψ ( +)
ˆ
E − H 0 + iε
(
)
Φ ( Lösung des ungestörten Problems)
und einlaufender Welle
Ψ (+ ) ist die Summe aus einlaufender Welle und Streuwelle !
Die auslaufende Welle
Greensche Funktion des freien Teilchens ( = Ortsdartellung des Greenschen Operators)
G+ (r , r´) :=
h
1
r
r´
2m
E − Hˆ 0 + i ε
(
)
195
Dabei werden zwei " Einsen" eingeschoben und wir gewinnen:
h
1
d 3 q ∫ d 3q´ r q q
q´ q´ r´
∫
ˆ
2m
E − H 0 + iε
G+ ( r , r ´) =
(
)
Also: Das Problem wird nach der auslaufenden Welle aufgelöst . Zur Polstellenfreiheit erweitert man komplex.
Dann isoliert man den Greenschen Operator und führt mit diesem eine Fouriertransormation durch !
Der obige Einschub einer Basis ist noch KEINE Fouriertransformation. Wir befinden uns dann immer noch im
Ortstraum !
Dabei bezeichnen q , q´ die Wellenvektoren mit der entsprechenden Impulsdarstellung hq .
pˆ 2
ˆ
Für ein freies Teilchen, für das der Hamiltonian direkt angegeben werden kann: H 0 =
gilt:
2m
h 2q 2
q Hˆ 0 q´ =
δ(q − q´)
2m
Somit also
q
1
q´ =
ˆ
E − H 0 + iε
δ (q − q ´)
E−
h 2q 2
+ iε
2m
Asymptotisch gelte für das einlaufende Teilchen als Anfangsbedingung sozusagen
h 2k 2
p = hk ⇒ E =
2m
⇒ q
η=
1
2m δ (q − q´)
2m ~
q´ =
=:
G + (q )δ (q − q ´)
E − Hˆ 0 + iε
h 2 k 2 − q 2 + iη
h2
2m
h2
r q =
ε
1
e iq r
3
2π 2
Damit folgt dann als angekündigte Fouriertrafo:
( )
G+ ( r , r ´) =
~
G+ ( q ) =
1
d
(2π ) ∫
3
3
~
qG+ ( q )e iq (r − r´)
1
k − q 2 + iη
2
Also: Wir führen die Fouriertransformation durch und gewinnen als Fouriertransformierte
~
G+ ( q ) =
1
k − q 2 + iη
2
Die Rücktransformation liefert die gesuchte Greensfunktion
bekannten
~
G+ ( q ) =
1
k − q 2 + iη
2
G+ ( r , r ´) , die mittels Residuensatz aus der
durch Fouriertrafo gewonnen werden kann !
G+ ( r , r ´) hängt also nur von (r −r´) ab !
Berechnung von G + ( r
− r ´) := G+ ( R ) in Polarkoordinaten q erfolgt mittels Residuensatz
196
G+ ( R ) =
1
d
(2π ) ∫
3
3
q
1
k − q + iη
2
2
e iq R
Dabei lege man
R = r − r ´ entlang der z- Achse, so dass zwischen R und q gerade der Winkel ϑ liegt:
G+ ( R ) =
1
(2π ) ∫
∞
3 0
1
2π
−1
0
dq ∫ d cos ϑ∫
dϕ
q2
k − q + iη
2
2
e iqRcosϑ
iqR
∞
1
− e −iqR
2 e
G+ ( R ) =
∫ dqq q k 2 − q 2 + iη
4π 2 iqR 0
(
)
Dies kann man leicht weiter zusammenfassen, indem im zweiten Term einfach q durch -q ersetzt wird:
G+ ( R ) =
1
4π 2 iR
∞
∫−∞
dqq
e iqR
k 2 − q 2 + iη
Die Integration erfolgt mittels Residuensatz in der komplexen q- Ebene:
Dazu ist es nötig, die komplexe Zahl q in Polarkoordinaten umzuschreiben:
q = ρ ⋅ e iΦ
0≤ Φ≤π
dq = ρ ⋅ e i Φ idΦ
Skizzenhaft:
Da die Integration im Unendlichen ( Halbkreisbogen) verschwindet kann man das Integral von Minus bis Plus
Unendlich auch gleich als Ringintegral schreiben. Wesentlich ist dann: dass es nur Beiträge aus den Polstellen
der Funktion gibt. demnach müssen diese gesucht werden:
Die Pole des Integranden:
1
k 2 − q 2 + iη
iη 

q1/ 2 = ± k 2 + iη ≈  k +

2k 

Genau genommen muss noch gezeigt werden, dass das Integral über den Kreisbogen für Radius gegen
Unendlich verschwindet:
197
ρ R sin Φ
2 i ρR cosΦ −
lim
∞
lim
π
e iqR
e iqR
e
2iΦ ρ e
dqq 2
= ∫ dqq 2
+
dΦ ie
∫
∫
2
2
2
2
2
ρ→ ∞
k − q + iη −∞
k − q + iη ρ → ∞ 0
k − ρ e iΦ + iη
Aber:
ρR sinΦ
2 i ρR cosΦ −
lim π
e
2iΦ ρ e
d
Φ
ie
=0
∫
2
2
2
0
ρ→ ∞
k − ρ e iΦ + iη
da
lim
ρ R sin Φ
e−
=0
ρ→ ∞
⇒
lim
∞
e iqR
e iqR
dq
q
=
dq
q
∫
ρ→∞∫
k 2 − q 2 + i η −∞
k 2 − q 2 + iη
Mittels Residuensatz ergibt sich dann



qe iqR



dq
q
=
2
π
i
RES
∫−∞ k 2 − q 2 + iη
 k 2 − q 2 + iη  


  q =q1

e iqR
∞
Dies ist der Beitrag vom oberen Integrationsweg, weshalb das Residuum an q=q1 ausgewertet werden muss.
Ebenso hätte man den unteren Integrationsweg nehmen können. Dann wäre das Residuum eben an q=q2
auszuwerten gewesen.
Da wir die Polstellen des Arguments des Residuums gefunden haben können wir umschreiben:
RES
qe iqR
k 2 − q 2 + iη q=q
= RES
1
qe iqR
 k 2 + iη − q  k 2 + iη + q 



q1 ≡ k 2 +i η
k 2 + iη = q1 = −q 2
RES
=−
qe iqR
 k 2 + i η − q  k 2 + iη + q 



=
lim
(q − q1 )qe iqR
q e iq1 R
= 1
q− > q1 (q1 − q)(q − q 2 ) (q1 − q 2 )
q1 ≡ k 2 + i η
k 2+i η R
ei
2
lim
e i k +iη R
ei k R
−
=−
η→ 0
2
2
2
Also hat man ein Ergebnis für
G+ ( R ) =
1
2πiRES
G+ ( R ) =
=
1
4π 2 iR
∞
e iqR
∫−∞ dqq k 2 − q 2 + iη , man erhält
− ei k R
4πR
q1
4π 2 iR
Wesentlich: G + ( R ) = G + ( r − r ´) erfüllt die Differenzialgleichung für die Greensche Funktion:
(∆ + k )G
2
+ (r
− r ´) = δ (r − r ´)
198
Denn:
(
δ ( r − r ´) = r r ´ = G+ ( r , r ´) = r E − Hˆ 0 + i ε
) (E − Hˆ1
0
(
+ iε
) r´
) (
 h 2 k 2 pˆ 2 
1
h2 2
1

≅ r 
−
r
´
=
k +∆ r
r´

2 m  E − Hˆ 0 + i ε
2m
E − Hˆ 0 + iε
 2m
(
)
)
Ortsdarstellung der Lippmann- Schwinger- Gleichung
r Ψ (+ ) = r Φ + ∫ d 3 r´ r
= r Φ +
2m
h2
(
1
r ´ r´ Hˆ 1 Ψ ( +)
ˆ
E − H 0 + iε
)
ik (r − r ´)
2m
1
(+ )
ik r
3 −e
ˆ
d r´G+ (r − r ´) r ´ H Ψ
= e + 2 ∫ d r´
r´ Hˆ 1 Ψ ( +)
4
π
(
r
−
r
´
)
h
∫
3
r Φ = e ikr
Mit der durchlaufenden freien Welle
2m
und der Streuwelle
h2
∫
ik (r − r´ )
2m
1
( +)
3 −e
ˆ
d r´G+ (r − r ´) r ´ H Ψ
= + 2 ∫ d r´
r ´ Hˆ 1 Ψ (+ )
4π (r − r ´)
h
3
Zusammenfassung
Aus der Schrödingergleichung
Die Schrödingergleichung lautet:
(E − Hˆ 0 ) Ψ
= Hˆ (1) Ψ
(E − Ĥ 0 ) Ψ
Mit dem linearen Differentialoperator
und der Inhomogenität
Ĥ (1) Ψ
kann man formal lösen:
Ψ (+ ) = Φ +
) (
1
Hˆ (1) Ψ (+ )
ˆ
E − H 0 + iε
(
1
:= E − Hˆ 0
E − Hˆ 0
(
)
)−1
eine Form der Lippmann- Schwinger- Gleichung mit auslaufender Welle
sogenannte RESOLVENTE)
Ψ (+ ) Greenschen Operator ( auch
1
und durchlaufender Welle ( freie einlaufende Lösung) Φ
E − Hˆ 0 + i ε
(
)
Die Berechnung der Greenschen Funktion des freien Teilchens:
Als Operator:
Gˆ + :=
(
)
1
ˆ 0 Gˆ + = 1
erfüllt E − H
ˆ
E − H 0 + iε
(
)
Übergang in die Impulsdarstellung:
2m ˆ
q Gˆ + q´ =
G+ ( q )δ ( q − q ´)
h
Mit
Gˆ + ( q ) :=
1
k 2 − q 2 + iη
è Mittels Fouriertrafo erfolgt der Übergang in die Ortsdarstellung:
199
h2
e ik |r −r ´|
ˆ
ˆ
G+ ( r − r ´) :=
r G+ ( q ) r ´ = −
2m
4π | r − r ´|
(∆ + k )Gˆ
Dieser erfüllt dann eine Relation des Impulsoperators in Ortsdarstellung ( orts- Differeniationsrelation):
2
+ (r
− r ´) = δ (r − r´)
( dies ist die skalare Helmholtzgleichung !)
Potenzialstreuungen
Ĥ (1) sei ein Potenzial, das die Wechselwirkung mit einem schweren Teilchen als STREUZENTRUM ( Target)
beschreibt. Allgemein: Beschreibung im Schwerpunktsystem
Hier kann man als Schwerpunktsystem näherungsweise den Schwerpunkt des schweren Teilchen annehmen
In Ortsdarstellung schreiben wir:
r ´ Hˆ (1) Ψ ( +) = V ( r ´)Ψ (+ ) ( r ´)
⇒ Ψ ( +) ( r ) = e ik r −
2m
h2
ik r − r ´
∫
d 3 r´
e
V ( r´) Ψ ( +) ( r ´)
4π r − r ´
Dies ist die Lippmann Schwingergleichung für eine Potenzialstreuung.
Diese Gleichung ist völlig äquivalent zur Schrödingergeleichung mit Randbedingungen.
Als Randbedingungen sind in der Streutheorie prinzipiell die asymptotischen Wege für r gegen Plus oder Minus
UNENDLICH zu verstehen .
6.2 Streuamplitude und Streuquerschnitt
Voraussetzung
lim
V ( r ´) = 0 HINREICHEND RASCH !
r´→ ∞
Ansonsten versagen die Näherungsmethoden, die hier gemacht werden.
das Potenzial muss also eine endliche Reichweite haben.
Zum Integral der Lippmann- Schwinger Gleichung trägt dann für r-> unendlich der Integrand nur mit
r´<< r bei.
r´ kennzeichnet das Gebiet des Potenzials. Wenn dieses viel kleiner ist und man sich vor allem für die
Fernfeldlösungen interessiert, so kann der Integrand in diesem Fall geschickt genähert werden, was die Integrale
lösbar macht. !
Wir können also
e ik|r −r´|
Gˆ + ( r − r ´) = −
für r>> r´ entwickeln:
4π | r − r ´|
| r − r ´|=
er =
(r − r ´) 2
=
(r
2
)
2

r r ´  r´  

r r´ 
− 2r r ´+r ´ = r 1 − 2 2 +    ≈ r 1 − 2 2  ≈r − r ´er

r
 r  
r 


r
r
Somit
e
Gˆ + ( r − r ´) ≅ −
ik (r − r´er )
4πr
200
ik (r − r´er )
Dabei bezeichnet e
Streuprozess liefert !
die Streuphase, die uns die Information über die Richtungsverteilung des
1
ist die Streuamplitude, die sich wie eine Kugelwellenamplitude verhält !
4πr
Dabei wird in der Amplitude der Greenschen Funktion stärker genähert als in der Phase. Dies ist gerechtfertigt,
das uns die Streurichtung mehr interessiert als die Streuamplitude !
ikr
e
Gˆ + ( r − r ´) ≅ −
e −ikr ´er
4πr
Dies ist der für große Abstände genäherte Greensche Operator ! ( Da es sich bei dieser Art der " Greenschen
Funktion" eigentlich um einen Operator handelt, ist es besser, von einem Greenschen Operator zu sprechen !
Das Asymptotische Verhalten der Lippmann- Schwinger- Gleichung für r- > unendlich kann also angegeben
werden:
lim
2m e i k r
Ψ (+ ) ( r ) = e ik r − 2
d 3 r´e −ikr´er V ( r ´)Ψ ( +) ( r ´)
∫
r− > ∞
h 4πr
lim
ei k r
Ψ (+ ) ( r ) = e i k r + f ( er )
r− > ∞
r
Dies ist im Limes für r- > unendlich eine exakte Lösung !
e i k r als durchlaufende Welle
ei k r
als auslaufende Kugelwelle
4πr
Dabei besitzt die auslaufende Kugelwelle die Streuamplitude
f (e r ) = −
2m 1
d 3r´e −ikr ´e r V ( r´) Ψ ( +) ( r ´)
2 4π ∫
h
Man sieht, dass die Amplitude dieser Streuwelle, eine Kugelwelle, von der Beobachtungsrichtung
er =
r
abhängt:
r
Die Streuung ist elastisch !
201
Wirkungsquerschnitt
Macht Sinn als Definition entsprechend einer Streuung eines Teilchenstrahls an einem undurchdringlichen
Streuzentrum.
Dabei ist definiert:
Zahl ( gestreut ) / sec .
σ
=
Zahl ( ein − fallend ) / sec . Strahlfläche
Strahlfläche:= Fläche, auf die der Strahl trifft
σ : streuende Fläche
Die Definition läßt sich verallgemeinern auf weiche Streuzentren:
Mn spricht dann vom Wirkungsquerschnitt ( wie vom Streuquerschnitt)
σ :=
Zahl ( gestreut ) / sec .
Zahl (ein − fallend ) / sec . / cm
2
=
σ
Zahl ( gestreut ) / sec .
cm 2
Zahl ( ein − fallend ) / sec .
Man muss aber, um Probleme behandeln zu können, den differenziellen Wirkungsquerschnitt betrachten
dσ Zahl ( gestreut )in dΩ ( er ) / sec . Zahl ( gestreut )in dΩ ( er ) / sec . 2
=
=
cm
dΩ Zahl (ein − fallend ) / sec . / cm 2
Zahl ( ein − fallend ) / sec .
dσ =
( js )r r 2 dΩ
je
dΩ := sin ϑ dϑ dϕ
Zur einlaufenden Welle:
Ψe ( r ) = e i k r gehört, wie bereits abgeleitet wurde, die Stromdichte:
je =
h
(Ψe * ∇Ψe − Ψe ∇Ψe *) = hk Ψe Ψe * = hk Ψ 2
2im
m
m
202
Zur Streuwelle in Richtung e r
also:
ΨS ( r ) = f ( er )
=
r
r
ei k r
r
gehört die Radialkomponente der Stromdichte:
( j s )r =
−i k r
h 
∂
∂
h
∂ ei k r e i k r ∂ e −i k r 

2 e
ΨS * =
f (e r ) 
−
 ΨS * ΨS − ΨS
2im 
∂r
∂r
r ∂r r 
 2im
 r ∂r r
⇒ ( j s )r =
−i k r
h
2 e
 ik 1
f ( er ) 
 − 2
2im
r
r r

 i k r e i k r  ik 1  −i k r  hk
2
=
f (e r )
e −
 − − 2 e

2
r  r r 

 mr
Somit ergibt sich die einfache Form des differenziellen Wirkungsquerschnitts:
dσ
2
= f ( er )
dΩ
Und der totale Wirkungsquerschnitt folgt zu
σtot. = ∫ dΩ f ( er )
2
Mit der Streuamplitude
f (e r ) = −
2m 1
d 3r´e −ikr ´e r V ( r´) Ψ ( +) ( r ´)
2 4π ∫
h
Bornsche Näherung
Die Bornsche Näherung ist eine störungstheoretische Näherung für große Einfallsenergien
h2k 2
>> V ( r )
2m
In diesem Fall kann
H (1) (r ) als kleine Störung betrachtet werden
Für die erste Ordnung Störungsrechnung der Lippmann- Schwinger - Gleichung setzt man an:
Ψ (+ ) = Φ + G+ Ĥ (1) Φ
Das heißt, man nimmt an, dass das Streupotenzial auf die freie einlaufende Lösung wirkt !
Man nennt den Schritt
Ψ (+ ) = Φ + G+ Ĥ (1) Φ auch ERSTE BORNSCHE NÄHERUNG
In Ortsdarstellung schreibt sichs dann:
Ψ ( +) ( r ) = Ψe ( r ) +
2m
h
2
∫
d 3r´G+ (r − r ´)V (r ´)Ψe (r ´)
Ψe (r ) = e
ikr
203
Es folgt für die Streuamplitude in erster Bornscher Näherung
2m 1
d 3 r´V ( r ´)e iK r´
2 4π ∫
h
K := k − k e r
f (e r ) = −
Das heißt, in erster Bornscher Näherung ist die Streuamplitude proportional zur Fouriertransformierten des
Potenzials V (r )
Das Problem kann für Kugelsymmetrische Potenzial wieder gut durch den Übergang in Kueglkoordinaten gelöst
werden: V=V( r)
Dann kann wieder
er durch ϑ, ϕ parametrisiert werden !
K = k − k er = k 2 + k 2 − 2 k 2 cos ϑ = 2k sin ϑ2
Die Integration
∫
d 3r´V (r ´)e i Kr ´ erfolgt in Kugelkoordinaten um die K - Achse:
Kr ´= Kr´cos ϑ
Aus Symmetriegründen hängt
f (e r ) nicht von ϕ ab:
1
2π
2m 1 ∞ 2
r´ dr´V (r ´) ∫ d (cos ϑ´)e iKr´cosϑ´ ∫ dϕ´
2 4π ∫0
−1
0
h
1
1
2 sin Kr´
iKr´cosϑ ´
=
e iKr´ − e −iKr´ =
∫−1 d (cos ϑ´)e
iKr´
Kr´
f (ϑ) = −
(
)
204
Somit:
f (ϑ) = −
2m
2
h
ϑ
K = 2k sin
2
∞
∫0 r´
2
dr´V (r ´)
sin Kr´
2m 1
=− 2
Kr´
h K
∞
∫0
r´dr´V (r ´) sin Kr´
Somit können die Wirkungsquerschnitte angegeben werden:
dσ
2
= f (ϑ)
dΩ
− >σ=
=
∫
2m 1
dΩ 2
h K
2π
∫−1 d (cos ϑ)∫0
1
∞
∫0 r´dr´V (r ´)sin Kr´
2m 1
dϕ 2
h K
∞
2
∫0 r´dr´V (r ´)sin Kr´
2
Anwendungsbeispiel ist die Rutherford- Streuung.
Dies ist die Streuung eines Z1- fach geladenen Teilchens an einem Z2- fach geladenen. Das Potenzial schreibt
sich also gemäß
V (r) = −
Z 1Z 2 e 2
4πε0 r
Mit diesem Potenzial bekommt man allerdings Konvergenz- Schwierigkeiten.
Einzige Lösung ist das
YUKAWA- Potenzial
V (r) =
lim a −κr
e
κ→0r
dσ  Z1 Z 2 e 2
Als
=
dΩ  8πε0 mv 2
2

1


 sin 4  ϑ
2
ergibt sich dann die entsprechende Formel aus der klassischen Mechanik.
Rutherford hatte hier Glück, dass sich durch die klassische Rechnung in diesem Potenzial zwei Fehler gegen die
Quantenmechanik gegenseitig annulieren. Somit erhält man die quantenmechanisch korrekte Lösung schon aus
der ERSTEN BPORNSCHEN NÄHERUNG !!
Nebenbemerkung:
Für
ϑ → 0 divergiert
dσ
wegen der unendlichen Reichweite von V( r)
dΩ
Auch σ divergiert in diesem Fall.
205
Systematische Störungsentwicklung
-
Man kann eine Bornsche Reihe Bilden. Dies ist die Iteration der Lippmann - Schwinger Gleichung:
Ψ (+ ) = Φ + Rˆ Ψ (+)
Rˆ := Gˆ + Hˆ 1
Es ergibt sich:
(
)
Ψ (1) = Φ + Rˆ Φ = 1 + Rˆ Φ
Erste Bornsche Näherung
Rˆ := Gˆ + Hˆ 1
(
)
Ψ (2 ) = Φ + Rˆ Ψ (1) = 1 + Rˆ + Rˆ Rˆ Φ Zweite Bornsche Näherung
... usw.... ...
(
)
Ψ = 1 + Rˆ + Rˆ 2 + Rˆ 3 + ...... Φ Bornsche Reihe
Die Bornsche Reihe konvergiert für kleine V
6.4 Drehimpulsdarstellung und Streuphasen ( Schwabel)
Annahme: Kugelsymmetrisches Streupotenzial V(r )
Erforderlich ist die Umrechung der Impulsdarstellung
k in die Drehimpulsdarstellung lm freier Teilchen.
Ziel:
Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen mit kleinem l als Näherung für KLEINE Energien
E=
h 2k 2
klein
2m
Die auslaufende Welle schreibt sich dann entwickelt:
∞
1
u l ( r ) Pl (cos ϑ) ( Mit den Legendre- Polynomen Pl (cosϑ) )
r
l =0
Es können die Kugelflächenfunktionen genommen werden, die von m, also ϕ unabhängig sind wegen des
Ψ (r ) = ∑
kugelsymmetrischen Potenzials -> es treten nur Drehimpulseigenfunktionen mit m=0 auf !
Einlaufende ebene Welle
∞
Ψe ( r ) = e ik r = e i k rcosϑ = ∑
l =0
1
u (r ) Pl (cos ϑ) die einlaufende Welle ist also ein Legendre- Polynom
r l
vom Grad l
Es gilt die Orthogonalität:
1
2
∫−1 dξPl (ξ) Pl´ (ξ) = 2l + 1 δll´
Dabei taucht der Entartungsgrad 2l + 1 als inverser Normierungsfaktor auf. ( Der Betrag der LegendrePolynome ist also indirekt proportional zum Entartungsgrad !)
206
Aus der Orthogonalitätsrelation erhält man mit Multiplikation mit
Pl´ (cos ϑ) und Integration d ξ dass:
2l´+1 1
1
dξe i k rξ Pl ´ (ξ) = ul ´ ( r )
∫
2 −1
r
e i k rξ := u´
Pl´ (ξ) := v
r → ∞ gewinnt man ( Striche eingespart) durch Wiederholtes Anwenden der
im asymptotischen Verhalten
partiellen Integration:
[
]
[
]
[
]

+1
+1
+1
1
2l + 1  1 i k rξ
1
1
u l (r) =
e Pl (ξ) −1 −
ei k rξ Pl ´(ξ) −1 +
ei k rξ Pl ´´(ξ) −1 + ...

2
3
r
2  ikr

(ikr)
(ikr )
Mit
Pl (1) = 1
Pl ( −1) = (−1) l
π
π

 
− i  k r− l  
lim 1
2l + 1 1 i k r
2l + 1 1 l  i k r−l 2 
l −i k r
2
u l (r) =
e − ( −1) e
=
i e
−e 

r →∞r
2 ikr
2 ikr 


lim 1
il
π

⇒
ul ( r ) = (2l + 1) sin  kr − l 
r →∞ r
kr 
2
{
}
Zusammenhang mit der freien Schrödingergleichung
∞
Ψe ( r ) = ∑
l =0
1
u ( r ) Pl (cos ϑ) ist Lösung der freien Schrödingergleichung
r l
 h

−
∆ − E Ψe = 0
 2m



2 2
h k
Mit E =
2m
2
Separation in Kugelkoordinaten erlaubt:
Lˆ2Ylm =0 = h 2 l (l + 1)Yl m=0
Yl m=0 ~ Pl (cos ϑ)
Es folgt die Bestimmungsgleichung für die radialen Funktionen:

l (l + 1) 
ul ´´(r ) +  k 2 −
u l ( r ) = 0
r2 

mit
Vergl. S. 84, §3.3
ul (0) = 0
Voraussetzung ist die REGULARITÄT:
V <∞
207
Die Lösung nach Schwabel , Seite 278 lautet:
1
2l + 1
ul (r ) =
j l ( kr) Also die sphärischen Besselfunktionen !
r
( −i ) l
è Die radialen Lösungen für das Streuproblem ( Entwicklungsterme für die einfallende Welle) sind die
sphärischen Besselfunktionen
Asymptotische Streuphasen
Wieder entwickeln wir in Kugelflächenfunktionen. Diesmal jedoch die asymptotische Streuwelle:
lim
ei k r
ΨS ( r ) = f (ϑ)
r →∞
r
Es folgt:
∞
f (ϑ) = ∑ f l Pl (cos ϑ)
l =0
Setzen wir dies in den Wirkungsquerschnitt ein, so folgt für den totalen Wirkungsquerschnitt
σtot. = ∫ dΩ f (ϑ)
2
außerdem
2
1
∫−1 dξPl (ξ)Pl´ (ξ) = 2l + 1 δll´
⇒ σtot. =
∫
∞
2
fl
2
l
+
1
l =0
dΩ f (ϑ) = 2π∑
2
2
∞
=:∑ σl
l =0
Man spricht in diesem Fall von einer Entwicklung nach PARTIALWELLEN , l=0,1,2,3...
σl =
Die
4π
fl
2l + 1
2
f l müssen dabei noch bestimmt werden:
lim
ei k r
Ψ (r ) = e i k rcosϑ + f (ϑ)
r →∞
r
lim
ul
P (ξ) = ∑
∑
r →∞ l r l
l

il
π
e i k r 

(2l + 1) sin  kr − l  + f l
Pl (ξ)
kr 
2
r 

Dieser asymptotische Verlauf muss sich jedoch auch in der Form
lim
ul
π


Pl (ξ) = Cl sin  kr − l + δl 
∑
r→∞ l r
2


darstellen lassen. Dabei findet sich in
π
sin  kr − l + δl  die sogenannte asymptotische Phasenverschiebung
2


δl der auslaufenden (freien) Partialwelle gegenüber der einlaufenden freien Partialwelle.
208
Der Koeffizient
Cl
2i
Cl muss durch Koeffizientenvergleich bestimmt werden:
π


 i  k r−l π +δ l 
−i  k r−l + δ l    (2l + 1) i l
 
2
2


= 
−e
e
 

  2i k

π


 i  k r−l π 
−i  k r− l  
2
2
i k r
e 

−e
+ fle 






Der Koeffizientenvergleich erfolgt über den separierten Vergleich der Terme mit
e −i k r : Cl =
(2l + 1) il e i δ
l
k
π
e
ikr
e ±i k r :
π
− il
1
(2l + 1) i l e −il 2 + f
: Cl e 2 e iδ l =
l
2i
2i k
Damit folgt:
π
(
)
(
)
2l + 1 l −il 2 i 2δ l
2l + 1 i 2δ l
fl =
i e
e
−1 =
e
−1
2ik
2ik
2l + 1 iδ l
⇒ fl =
e sin δl
k
Mit der Streuamplitude f l und der Streuphase δl der l-ten Partialwelle
Es folgt:
⇒ σl =
4π
k
2
(2l + 1) sin 2 δl
l = 0 ist die sogenannte s- Welle.
Diese ist isotrop wegen P0 (ξ) = 1 und damit nicht mehr von ϑ abhängig.
Spezialfall für
Ihr Streuquerschnitt lautet
σ0 =
4π
k
2
sin 2 δ0
Im Prinzip wird
δl aus der Schrödingergleichung mit dem Potenzial V(r) bestimmt.
Bemerkung
Bei genügend kleinen Energien
Denn:
in
σ = ∑ σl = ∑
4π
2
E=
h 2k 2
werden nur die niedrigsten Partialwellen ( für kleine l) gestreut.
2m
(2l + 1) sin 2 δl
k
tragen nur die l mit l ≤ ka bei.
l
l
Dabei ist a die Reichweite des Potenzials !
209
Grund ( aus semiklassischer Betrachtung):
Es falle ein Teilchen mit
p = hk ein:
Dabei:
L = r × p = bp = hkb = h l (l + 1)
Dies impliziert jedoch:
Stoßparameter
b=
l ( l + 1)
≤ a ⇒ l ≈ l ( l + 1) ≤ ka
k
Die Beziehungen gelten jedoch nur näherungsweise !
Das folgende Bild zeigt die Streuwelle
ΨS ( r ) = f (ϑ)
ei k r
ikz
für die Streuung einer ebenen Welle e an
r
einem abstoßenden Potenzial.
210
Hier ist der Verlauf der Streuquerschnitte σl der jeweils l-ten Partialwelle zu sehen:
211
7. Relativistische Quantentheorie
Vergl: Messiah, Band II
Bisher:
Schrödingergleichung mit Hamiltonoperator ausgedrückt. Dies ist nach dem Korrespondenzprinzip aus dem
Hamiltonformalismus abgeleitet. Der Hamiltonformalismus hier ist jedoch der der klassischen ,
nichtrelativistischen Mechanik.
Die Gleichungen sind Galilei- Invariant:
r ´= r − v t
t´= t
Dies gilt nat. nur für geringe Geschwindigkeiten
Nicht erfasst sind alle Probleme der Wechselwirkung zwischen Licht und Materie, die im Rahmen der
Quantentheorie natürlich auch streutheoretisch behandelbar sein müssen !
Jetzt: Lorentz- Invariante Quantentheorie
Schwierigkeit: Die Äquivalenz von Energie und Masse
VERLETZEN.
Die Teilchenzahlerhaltung gilt nicht mehr !
E = mc 2 kann die Teilchenzahlerhaltung
è es ist eine relativistische Quantentheorie erforderlich !
è Hier wird jedoch nur die Quantentheorie eines relativistischen Teilchens in einem ansonsten klassischen
elektromagnetischen Feld behandelt.
Dabei gilt:
Haben die relativistischen Teilchen im klassischen Feld den
Spin Null:
So gilt die Klein Gordon - Gleichung
Haben sie
Spin 1/2:
So gilt die Dirac- Gleichung
7.1 Kovariante Schreibweise der Relativitätstheorie
Grundpostulat der speziellen Relativitätstheorie:
kein Inertialsystem ist gegenüber einem anderen ausgezeichnet ( es existiert kein Ruhezustand)
Einstein, 1904
è Eine Bewegung ist vom Ruhezustand nicht zu unterscheiden, so lange sie nicht zu einer anderen Bewegung
in Relation gesetzt wird !
Die Lichtgeschwindigkeit c ist in jedem Inertialsystem gleich !!
Also: r − c t = r ´ −c t ´
Kugelwellen mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit c sind Lorentz- invariant !
2
2 2
2
2 2
212
Formalisierung
Der raumzeitliche Abstand
(ds ) 2 := (cdt )2 − (dr )2 ist in jedem Bezugssystem gleich, bleibt also invariant bei Transformationen
zwischen Inertialsystemen ( Lorentz- Transformationen !)
( )2
Man kann ds als Skalarprodukt von Vierervektoren mit 3 Orts- und einer Zeitkomponente schreiben.
Diese Vektoren leben im Minkowski- Raum V ( Spannen diesen auf).
V ist natürlich nicht euklidisch. Sonst würde ja Pythagoras gelten !
Dann benutze man den Formalismus der LINEAREN ORTHOGONALEN Transformationen, unter denen das
Skalarprodukt invariant ist:
Def.: Als kontravariante Komponenten des 4-Zeit-Orts-Vektors ( Vierervektors) bezeichnet man:
x 0 := ct
x α , α = 1,2,3
Zeitkomponente und kartesische Komponenten des Ortsvektors
r
es schreibt sich
(ds ) 2 = (dx 0 )
2
( ) − (dx ) − (dx )
− dx1
2
2 2
3 2
Def.: als kovariante Komponenten des 4-Zeit-Orts-Vektors ( Vierervektors) bezeichnet man:
x 0 := x 0
xα := − x αα = 1, 2,3
Der kovariante Vektor ist Element des dualen Vektorraums
~
V
~
V ist der Raum der linearen Funktionale l, die V auf R abbilden:
~
V = {lineareFun ktionale l : V − > R}
es schreibt sich
(ds ) 2 = dx 0 dx 0 + dx 1dx1 + dx 2 dx 2 + dx 3 dx3 = dx i dxi
Natürlich mit Summenkonvention über i=0,1,2,3,...
Wenn ein Index oben ( kontravariant) und ein Index unten ( kovariant) steht.
Verallgemeinerung
Für beliebige 4- Vektoren
a i gilt:
a0 = a0
aα = −a α
α = 1,2,3
213
Lorentz- Invariante lassen sich als Skalarprodukt
a i a i schreiben:
Der d´Alemebert-Operator
# := ∆ −
1 ∂2
c ∂t
2
=−
2
∂
∂
∂x ∂x i
i
Mit
∂
1 ∂ ∂ 
=
,

 =: ∂ i kovariant
∂x i  c ∂t ∂xα 
è Die Eigenschaft der Kovarianz wird später aus dem Transformationsverhalten begründet !
∂
1 ∂
∂ 
=
,− α  =: ∂ i kontravariant
∂x i  c ∂t ∂x 
è -> Die Eigenschaft der Kontravarianz wird später aus dem Transformationsverhalten begründet !
Also:
⇒ # = −∂ i ∂ i
Vierergeschwindigkeit
u i :=
dx i
ds
ds =
(
) = (c dt
(
)
1
i
dx dxi 2
ds := 1 − β 2
2
1
2 dt
=
2
− (dr )
)
1
2 2
1
2 2
  1 dr 
= c 1 − 
  dt
  c dt  
c
dt
γ
Dabei gilt:
β :=
γ :=
v 1 dr
=
c c dt
1
1 − β2
Also:
u0 = γ
uα =
γ α 1 dxα
v =
c
c dτ
Mit der Eigenzeit
dτ =
dt
Die Eigenzeit ist als die Zeit im momentanen Ruhesystem zu verstehen !
γ
u ui =
i
dx i dxi
ds 2
= 1 ist nicht vom Bezugssystem abhängig, also invariant !
214
Viererimpuls
p i := m0 cu i
⇒ p i pi = m0 2 c 2 u i u i = m0 2 c 2
m0 c
p0 =
= m(v )c = p0
2
v
 
1−  
c
pα =
m0 vα
v
1−  
c
= m(v )v α = − pα
2
Physikalische Bedeutung von
d i
p folgt die Leistungsbilanz:
dτ
k i :=
Mit der 4-er Kraft:
(
d
k i u i = 
m0 cu i
d
τ

p0 :
)u
i
Mit Hilfe des Energiesatz kann dies umgewandelt werden zu
( )
m0 c d i
u ui = 0
2 dτ
also lorentzinvariant !
i
u ui = 1
k iu i =
Außerdem gilt:
k iu i =
( )
( )
( )
d 0
d
γ
γd

p u 0 + k α uα = γ
p 0 + k α vα = 
cp 0 − k v  = 0
dτ
dτ
c
c  dτ

(cp ) = Energie
0
k v = Leistung
Somit jedoch folgt eine Bestimmungsgleichung an
(p ) = Ec , also E =
m0 c 2
0
(1 − β )
2
als Energie eines
relativistischen Teilchens.
p pi =
i
Das Skalarprodukt des Viererimpulses liefert lorentzinvariant
p=
E2
2
c
m0 v
− p 2 = m0 2 c 2
1− β2
Also folgt an die Energie:
E 2 = m0 2 c 4 + c 2 p 2
Dies ist die relativistsiche Energie- Impuls- Beziehung
215
Mathematischer Formalismus zur Tensorrechnung:
Für Tensoren zweiter Stufe gilt:
Aik
Ai k
Möglich ist:
Ai k
Aik
Es gilt:
A00 = A0 0 = A0 0 = A00
A10 = A10 = − A1 0 = − A10
A11 = − A11 = − A11 = A11
usw...
Die Spur eines Tensors ist dagegen wieder allgemein:
spA = Ai i = Ai i
4- er Einheitstensor
δ k i = δi k wie beim Kronecker- Symbol 1 für i=k und sonst Null, also symmetrisch
δi k a k = a i
δi k a kl = a il
usw..
Der metrische Tensor
g ik := δ ik = δ i k
für k = 0
g ik := δ ik = −δ i k
g ik := δ ik
für k = 1,2,3
1



−1


=
 = g ik
−1


− 1

g ik a k = δ ik ak = ai
g ik a k = δ ik ak = −ai
für i = 0 ⇒ ai = a i
für i = 1, 2,3 ⇒ −a i = a i
Also:
g ik a k = δ ik ak = a i
für i = 0,1,2,3
Man spricht auch vom heben und Senken der Indices durch die Metrik !
216
Lorentz- Trnsformationen ( linear, homogen)
Σ → Σ´
x´ i = U i k x k
U ik
für
− βγ
 γ

− βγ
γ
= 
0
0

0
 0
0
0
1
0
0

0
0

1 
v || x1
Somit:
U ki
γ

 βγ
=
0

 0
Wobei
γ2 =
βγ
γ
0
0
1
0
0
1
0
0

0
0

1 
1 − β2
Damit läßt sich die Invarianz des Skalaprodukts leicht zeigen:
a´i = U i k a k
b´i = U i k b k ⇒ b´ i = U ik b k = U i k bk
a´i b´i = U i k U i l a k bl =! = a k bk
also ⇒:
U i k U i l = δk l
U ist also eine orthogonale Trafo
Umkehr- Transformation:
a i = U k i a´k
a i = U k i a´ k
Denn:
U k iU k l a l = δ i l a l = a i
In Matrizenschreibweise:
U ik
− βγ
 γ

γ
 − βγ
=
0
0

0
 0
U i kU k l
0
0
1
0
 γ 2 − β 2γ 2


0
=
0


0

0

0
0

1 
U kl
γ

 βγ
=
0

 0
0
− β γ +γ2
0
0
2 2
0
0
1
0
βγ 0 0 

γ 0 0
0 1 0

0 0 1 
0   1

0 0
=
0   0

1   0
0
1
0
0
0
0
1
0
0

0
= δi l

0

1 
217
Transformationsverhalten des Vierergradienten
∂
∂x
:= ∂ i =
i
∂ ∂x´k
∂x´
k
∂x
i
=U ki
∂
∂x´
k
= U k i ∂´ k
Mit der Identität
∂x´ k
∂x
i
= U ki
Das heißt jedoch
∂
transformiert sich wie
∂x i
a i , also kovariant
Analog kann gezeigt werden:
∂
∂ ∂x´k
∂
:= ∂ i =
= Uki
∂x i
∂x´ k ∂xi
∂x´ k
∂
i
transformiert sich wie a , also kontravariant. ( PRÜFEN !)
∂x i
7.2 Klein- Gordon- Gleichung
Die nichrelativistische Schrödingergleichung
ih
∂
Ψ = HΨ
∂t
folgt aus der nicht relativistischen Energie- Impuls- Beziehung
H =
( p − eA )2 + V
2m
über die Ersetzung
p→
h
∇ in der Ortsdarstellung
i
Forderungen an eine relativistische Formulierung in der Ortsdarstellung:
1)
Die Beschreibung der Zustände geschieht durch Wellenfunktionen
Ψ (q , t ) wobei q Bahn- und Spinvariable enthält
2
Ψ( q, t ) ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit zur zeit t
3) die Dynamik ist linear: LΨ( q , t ) = 0 wegen des Superpositionsprinzips. Das heißt, wenn Ψ1 , Ψ2 Lösung
der SGL, dann auch a1Ψ1 + a 2 Ψ2 für beliebige komplexe Koeffizienten a1, a2
4) Die Differenzialgleichung ist erster Ordnung, damit Ψ (q , t ) ei9ndeutig aus der Anfangsbedingung
∂
Ψ (q,0) über ih Ψ = HΨ bestimmt ist.
∂t
2)
5)
Die Physikalischen Observablen werden durch hermitesche Operatoren repräsentiert.
6)
Die Messwerte sind die Eigenwerte dieser Operatoren:
Aa = a a
218
7)
Der Erwartungswert repräsentiert den Mittelwert der Messungen:
Ψ AΨ
8) Es gibt vollständige Sätze vertauschbarer Operatoren
Âi mit gemeinsamen Eigenzuständen a1a 2 ,...
Also:
Aˆ i a1a 2 ,... = ai a1a2 ,...
Mit Orthonormierung:
a1´, a2 ´,... a1a 2 ,... = δa1a1´δa 2 a 2´
Mit Vollständigkeit:
∑
a1 a2 ,... a1 , a 2 ,... = 1
a1 ,a2 ,...
Mit Entwickelbarkeit beliebiger Zustände:
Ψ (t ) =
∑ c(a1 a2 ,..., t ) a1a2 ,...
a1 ,a2 ,...
Die Wahrscheinlichkeit, im Zustand
Ψ (t ) die Messwerte a1,a2,... zu messen ergibt sich durch das
Betragsquadrat der Entwicklungskoeffizienten des jeweils zugehörigen Basiszustands:
c (a1a 2 ,..., t ) 2 = a1a 2 ,.. Ψ(t )
2
Die Relativistische Energie- Impuls- Beziehung:
E = m0 2 c 4 + c 2 p 2 liefert mit E → i h
ih
∂
h
und p → ∇
∂t
i
∂
Ψ(t ) = m0 2 c 4 − h 2 c 2 ∆ Ψ(t )
∂t
Das bedeutet:
Heuristisches Vorgehen: Ersetze alle Variablen, die im relativistischen Ausdruck für die Gesamtenergie
vorkommen durch die nötigen Operatoren und behandele diesen Ausdruck als neuen Hamiltonian:
Hˆ =" Eˆ "
Dies ist jedoch nicht akzeptabel, da
m0 2 c 4 − h 2 c 2 ∆ eine nicht analytische Funktion eines Operators ist !
Ausweg:
E 2 = m0 2 c 4 + c 2 p 2
liefert
2
(
)
 ∂
2 4
2 2
 i h  Ψ (t ) = m0 c − h c ∆ Ψ( t )
∂
t


Also:
2
2 

 ∆ − 1 ∂  Ψ( t ) =# Ψ(t ) =  m0 c  Ψ

c 2 ∂t 2 
 h 

219
Klein- Gordon- Gleichung
Ψ ein Lorentz- Skalar ist.
i
Dies liegt einfach daran, dass # = ∂ i ∂ Lorentz- invariant ist ( Skalarprodukt eines Vierervektors)
Ist Lorentz- Invariant, falls
Einwände gegen die Klein- Gordon- Gleichung:
1)
der Spin ( der in dieser Gleichung noch nicht enthalten ist !) kann nicht berücksichtigt werden ! Denn: Der
Zusatz
2)
Klar !
Hˆ → Hˆ − µ̂B ist nicht mehr Lorentz- invariant !
µ̂B läßt sich nicht als Skalarprodukt eines Vierervektors darstellen !
Durch die schwierige Interpretation von
m0 2 c 4 − h 2 c 2 ∆ ist die Klein- Gordon- Gleichung dann
Ψ ( r ,0)
letztendlich eine DGL zweiter Ordnung. Das bedeutet jedoch, Es sind die Anfangsbedingungen
∂
Ψ (r ,0)
∂t
nötig! an muss also schon zu Beginn etwas über die Dynamik der Wellenfunktion kennen !
3)
Am schwersten wiegt jedoch, dass die Klein- Gordon- Gleichung eine Stromdichte als räumliche
Wahrscheinlichkeitsdichte produziert, die nicht mehr als sinnvolle Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert
werden kann, da das Ergebnis nicht mehr strikt positiv ist !:
Die Lorentz- Invariante Form der Kontinuitätsgleichung ( Wahrscheinlicheitsdichteerhaltung) lautet:
∂i J i = 0
Mit der Vierersstromdichte
∂0 =
Mittels
∂α =
∂
∂x 0
∂
=
1 ∂
c ∂t
Ji
schreibt sichs:
∂xα
1 ∂ 0
J + ∂α J α = 0
c ∂t
∂ α J α = divJ
Dadurch ist jedoch
1 ∂ 0
J + ∂α J α = 0 eine Kontinuitätsgleichung. Also hat J 0 die Bedeutung einer
c ∂t
räumlichen Wahrscheinlichkeitsdichte !!
Aus der Klein- Gordon- Gleichung dagegen:
2
m c
∂ ∂ i Ψ = − 0  Ψ
 h 
i
folgt durch c.c.:
2
m c
∂ ∂ i Ψ* = − 0  Ψ *
 h 
i
220
2
2
 m0 c 
m c
Dabei kann man ∂ ∂ i Ψ = −
 Ψ mit Ψ * und ∂ i ∂ i Ψ* = − 0  Ψ * mit Ψ multipliziert
 h 
 h 
i
werden.
Nun subtrahiere man die beiden Gleichungen und man erhält:
2
 m c
Ψ * ∂ ∂ i Ψ − Ψ∂ ∂ i Ψ* = − 0  (Ψ * Ψ − ΨΨ *) = 0
 h 
i
i
Somit kann man folgern:
(
)
∂ i Ψ * ∂ i Ψ − Ψ∂ i Ψ * = 0
Also ist zulässig:
(Ψ * ∂ Ψ − Ψ∂ Ψ *) := J
i
i
i
(
)
→ ∂ i Ψ * ∂ i Ψ − Ψ∂ i Ψ * = ∂ i J i = 0
Also
(Ψ * ∂ Ψ − Ψ∂ Ψ *) = J
0
Aber
0
0
=
1
(Ψ * Ψ& − ΨΨ& *)
c
1
(Ψ * Ψ& − ΨΨ& *) kann nicht als eine räumliche Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden , da
c
J 0 negativ werden kann !
Statt dessen kann man , bzw. muss man
J 0 als eine Ladungsdichte ansehen !
Lösung der Klein- Gordon- Gleichung für freie Teilchen !
Ansatz: ebene Welle:
Ψ = Ψ0 exp i {k r − ωt }
In Viererschreibweise:
ω
k r − ωt = − ct − k r  = −k j x j = −k j x j
c

ω
k 0 = = k0
mit
c
α
k = −kα
Wenn man derart die ebene Welle in die Klein- Gordon- Gleichung einsetzt, so ergibt sich:
{
Ψ = Ψ0 exp i {k r − ωt } = Ψ0 exp − ik j x j
}
eingesetzt in
{
2
}
2
 m c
 m c
− ∂ ∂ i Ψ =  0  Ψ = ik j ∂ i Ψ0 exp − ik j x j = k j k j Ψ =  0  Ψ
 h 
 h 
i
2
 ω
m c
⇒ k kj ≡   −k2 = 0 
c
 h 
2


2
2  m 0c 
⇒ ω = c 
 + k 2
 h 

2
j
Also kann man die Energie ( Eigenwert) angeben zu
( )2 
E = hω = ±c  m0 2 c 2 + hk

221
Der nichtrelativistische Grenzfall kann leicht durch Entwicklung der Wurzel für kleine Impulse angegeben
werden:
( ) 2 
  hk  2 
 1  hk  2 

hk
2
  ≈ ± m0 c 1 + 
  = ± m0 c 2 +
E = ±m0 c 1 + 
2m0
  m0 c  
 2  m0 c  





Gute Näherung für hk << m 0 c
2

Grafisch:
E>0 entspricht einem Teilchen der Ruheenergie
m0 c 2
E<0 dagegen einem Teilchen mit der Ruheenergie
− m0 c 2 . Dies entspricht jedoch einer negativen Masse !
Dies wurde von Dirac derart interpretiert, dass alle Zustände mit E<0 im Grundzustand besetzt sind.
Der Raum, dessen Zustände mit negativer Energie alle besetzt sind, erscheint uns als Vakuum !
Die Einstrahlung einer Energie
E > 2m0 c 2 ermöglicht dann die Teilchen - Antiteilchen- Erzeugung !
Aus dem Vakuum !
Durch diese Einstrahlung erzeugt man einen Lochzustand im unteren Bereich ! Es erscheint ein Teilchen aus
dem Nichts. Denn: es wurde aus dem Zustand negativer Energie angehoben, hat dann positive Energie und
erscheint uns in diesem Moment als positives, reelles Teilchen. Außerdem ist für uns nicht der vollbesetzte
untere Zustand zu erkennen, sondern nur das Loch. Dieses Loch im Vakuum ist nun ein freier Zustand mit
negativer Energie, der uns als Antiteilchen erscheint. Ein Loch im Vakuum. Also: Löcher in den Zuständen
negativer Energie äußern sich als Antimaterie !
Antimaterie ist also das fehlen von Teilchen im vollbesetzten Grundzustand des Vakuums !
Das Loch entspricht dem Fehlen eines Teilchens mit m < 0 und der Ladung q.
Demnach äußert es sich uns als Antiteilchen mit der Masse m > 0 und der Ladung -q:
222
Anregung eines Lochs im Vakuum- Teilchensee
reicht die Energie nicht aus, also
E < 2m0 c 2 , so kommt es gemäß der Energie- Zeit- Unschärfe zu spontanen
Anregungen virtueller Teilchen, die im Rahmen einer Zeit, die die Unschärfe erfüllt, wieder zerfallen.
Dies kann in diesem Fall betrachtet werden als eine " Boltzmannverteilung" der Zustände negativer Energie.
Durch die Fluktuationen bei niedriger Temperatur, die aber zweifelsohne vorhanden sind, kommt es zum
Boltzmann- Springen der Teilchen zwischen negativen, vollbesetzten Zuständen und kurzzeitig besetzten
positiven Energiezuständen. Die positiven Energiezustände zerfallen jedoch gemäß der
Rekombinationsgeschwindigkeit ( Rate der spontanen/ induzierten Emission !) und man bekommt als
Wahrscheinlichkeit der Vakuumpolarisation die Boltzmannverteilung !
7.3 Dirac- Gleichung für Elektronen
Die zeitliche Entwicklung soll durch den Anfangszustand
Man benötigt also eine DGL 1. Ordnung in der zeit:
ih
Ψ (r ,0) eindeutig festgelegt sein.
∂
Ψ = HΨ
∂t
Aufgrund der Lorentz- Invarianz( Auch Lorentz- Kovarianz), der Symmetrie der Raumzeit, muss jedoch die
Gleichung auch 1. Ordnung in
∂
sein, da die Asymmetrische Auszeichnung der Zeit sonst inakzeptabel ist.
∂x
Dies motiviert das Konzept
h
Hˆ = cαp + m0 c 2 β = cα∇ + m0 c 2 β
i
Also folgt als verallgemeinerte Diracgleichung
ih
∂
h
Ψ =  cα ⋅ ∇ + m0 c 2 β  Ψ
∂t
i

mit
α ⋅ ∇ = α1∂1 + α2 ∂ 2 + α3∂ 3 = αµ ∂ µ
h
ih∂ 0 Ψ =  cαµ ∂ µ + m0 c 2 β Ψ
i

Aufgrund der Isotropie des Raumes können α
1
Statt dessen sind α
1
,α2 , α3 keine Zahlen sein. Ansonsten ist H nicht drehinvariant.
,α2 , α3 Matrizen ( Operatoren !) und somit ist auch β eine Matrix
Wegen der Lorentz- Kovarianz können α und β nicht auf die Bahnvariable r einwirken.
Sie müssen auf einen zusätzlichen Freiheitsgrad wirken. Dies motiviert, sie als Spin- Operatoren zu verstehen !
Es gilt:
Ψ ∈ H = H B ⊗ HS
223
Die Wellenfunktionen leben also als Produktzustände im aus Spin- und Bahn- Hilbertraum zusammengesetzten
Hilbertraum !
Die Darstellung des Spin- Freiheitsgrades erfolgt durch einen n-dimensionalen Spaltenvektor.
Dies ist der sogenannte SPINOR !!
 Ψ1 


Ψ =  ... 
Ψ 
 n
α1 ,α2 , α3 und somit auch β sind also nxn Matrizen !
Dabei vertauschen die
[α, p] = 0
α1 ,α2 , α3 mit dem Impuls:
Fazit:
Da die gefundene Gleichung Lorentz- Kovariant sein soll, müssen die sogenannten " Spinoren" eingeführt
 Ψ1 


werden: Ψ =  ... 
Ψ 
 n
Hermitizität
Hˆ , pˆ sind hermitesch
Hˆ + = cp +α + + m0 c 2 β + = cpα + + m0 c 2 β + = cα + p + m0 c 2 β + = H
Somit sind auch α
1
,α2 , α3 und somit auch β hermitesch:
α+ = α
β+ = β
Die Diracgleichung löst durch den genialen Ansatz das Problem des unverständlichen Operators
m0 2 c 4 − h 2 c 2 ∆ . Iteriert man die Dirac- Gleichung nun, so kann man die Eigenschaften von α, β durch
Vergleich mit der Klein-Gordon- Gleichung erkennen:
(
)
∂
Ψ = cαp + m0 c 2 β Ψ
∂t
∂2
− h 2 2 Ψ = cαp + m0 c 2 β cαp + m0 c 2 β Ψ
∂t
ih
(
⇒ −h 2
⇒ −h 2
∂2
∂t
2
)(
)
(
)
Ψ = c 2 (αp )(αp ) + m0 c 3 (αp β + βαp ) + m0 2 c 4 β 2 Ψ
3
 2 3

2 4 2
µ ν µ ν
3
µ
µ
µ
c
Ψ
=
α
α
p
p
+
m
c
α
β
+
βα
p
+
m
c
β
Ψ
0
∑
0
 µ∑

∂t 2
,ν =1
µ =1


∂2
(
)
(
)
224
Außerdem weiß man aus der Klein- Gordon- Gleichung, dass:
− h2
∂2
∂t
2
[
]
Ψ = c 2 p 2 + m0 2 c 4 Ψ
[
]
3
3


⇒  c 2 ∑ αµαν p µ pν + m0 c 3 ∑ αµ β + βαµ p µ + m0 2 c 4 β 2 Ψ = c 2 p 2 + m0 2 c 4 Ψ
 µ ,ν =1

µ =1


(
)
(
)
Diese Gleichung kann aber nur allgemein übereinstimmen, wenn:
3
∑
µ ,ν =1
(α α
µ
( )
⇒ αµ
2
)
ν
p µ pν = p 2
=1
αµ αν + αν αµ = 0 für ν ≠ µ
αµ β + βαµ = 0
β2 = 1
Dabei gilt insbesondere obige Relation
Summation.
αµ β + βαµ = 0 und αµαν + αν αµ = 0 für ν ≠ µ ohne
Aus dem Vergleich der iterierten Dirac- Gleichung mit der Klein- Gordon - Gleichung ersieht man also, dass
man für fermionische Quanten unter Berücksichtigung relativistisch korrekter Beschreibung im
Quantenformalismus Antikommutatoren einführen muss.
Sowohl die verschiedenen Komponenten von
α , also αµ undαν antikommutieren, wie auch αµ undβ :
{α ,α } = 0
{α , β} = 0
µ
ν
µ
Matrizendarstellung von
αµ undβ als nxn- Matrix
Eigenschaften
Die Eigenwerte von α
µ
undβ sind ± 1
v µ = cαµ ist zu interpretieren als "Zitterbewegung" des Elektrons
Beweis: Die Eigenwerte von α
µ
undβ sind ± 1 :
αµ v = λv mit λ ∈ R
(α ) v = λ v
(α ) = 1 ⇒ λ
µ 2
µ 2
⇒ λ = ±1
Weiter gilt:
2
2
=1
( )
tr αµ = tr (β ) = 0
225
( ) ( ) ( )
tr (βα β ) = tr(β(− βα ) ) = −tr (β α ) = tr (β α ) = −tr (α ) = tr (α ) = 0
Beweis:
tr αµ = tr β 2αµ = tr βαµ β wegen zyklischer Vertauschbarkeit.
Durch die Antikommutatorrelationen gilt jedoch auch:
µ
µ
2
µ
2
µ
µ
µ
Weitere Einschränkungen:
( )
n
tr αµ = ∑ λi = 0
i =1
λi = ±1
Dies bedeutet jedoch, dass n gerade ist.
Diskussion: n=2:
Ist nicht möglich, da es nicht , wie erforderlich, 4, sondern leider nur 3 hermitesche, antikommutierende und
spurlose 2x2- Matrizen gibt !
0 1
σ1 = 

1 0 
0 −i 

σ 2 = 
i 0 
1 0 
σ 3 = 

 0 − 1
trσ µ = 0
Dies sind gerade die Pauli- Spinmatrizen ! Zusammen mit der Einheitsmatrix bilden die 4 Matrizen eine Basis im
R2 ⊗ R2
n=4
Ist also die minimal erforderliche Größe der Darstellung. Eine mögliche spezielle Wahl in BlockmatrixDarstellung wäre:
 0 σµ 
 ∈ M (4 x4 )
αµ =  µ

σ
0


1 0 
β = 
 ∈ M (4 x 4)
 0 − 1
Also schreibt sich der Zustand
 Ψ1 
  4
Ψ 
Ψ =  2  = ∑ ΨS (r , t ) es
Ψ
 3  s=1
 Ψ4 
 0
 
 ...
e s :=   ← 1 an s − ter Stelle
1
 
 ...
226
Bemerkung:
In der nichtrelativistischen Quantentheorie genügt ein zweikomponentiger Spinor !
Erst die Lorentz- Invarianz erzwingt einen 4- komponentigen Spinor.
Dadurch dann entstehen weitere Freiheitsgrade, wie die Wahl von Teilchen und Antiteilchen !
Kontinuitätsgleichung
& = −ihcαµ ∂ µ Ψ + m0 c 2 βΨ
ihΨ
(
& + = ihc αµ ∂ Ψ
− ihΨ
µ
( βΨ ) +
= Ψ+ β
(α ∂ Ψ ) = (∂
µ
+
µ
µΨ
+
)
+
)α
+ m0 c 2 ( βΨ ) +
µ
Durch Linksmultiplikation mit
Ψ + bzw. Rechtsmultiplikation mit Ψ gewinnt man :
& = −i hcΨ +αµ ∂ µ Ψ + m0 c 2 Ψ + βΨ
ihΨ + Ψ
(
)
Und durch Subtraktion der Gleichungen:
& +Ψ
& Ψ ) = −ihc (Ψ α (∂ Ψ ) + (∂ Ψ )α Ψ )
ih (Ψ Ψ
(Ψ Ψ& + Ψ& Ψ ) = ∂∂t (Ψ Ψ )
(Ψ α (∂ Ψ ) + (∂ Ψ )α Ψ ) = ∂ (Ψ α Ψ )
∂
⇒ i h (Ψ Ψ ) + c∂ (Ψ α Ψ ) = 0
∂t
⇒ (Ψ Ψ ) = ρ
j
⇒ (Ψ α Ψ ) =
c
& + Ψ = i hc αµ ∂ Ψ + Ψ + m c 2 (βΨ )+ Ψ
− ihΨ
µ
0
+
+
+
+
+
+
µ
µ
µ
µ
+
µ
µ
+
+
µ
+
µ
+
µ
+
µ
µ
µ
+
+
µ
µ
Dies ist eine Kontinuitätsgleichung mit der zu interpretierenden
Wahrscheinlichkeitsdichte ρ =
(Ψ Ψ ) = ∑ Ψ
4
+
s =1
µ
(
*
S
ΨS ≥ 0 ( glücklicherweise positiv definit)
+
µ
und der Wahrscheinlichkeitsstromdichte j = c Ψ α
In Viererschreibweise einfach als Kontinuitätsgleichung
Ψ
)
µ = 1, 2,3
∂ k j k = 0 mit
4
j 0 = cΨ + Ψ = c ∑ ΨS *ΨS = cρ
s=1
(
)
j µ = c Ψ +αµ Ψ = c ∑ ΨS * αSS´ µ ΨS´
µ = 1, 2,3
s, s´
227
7.4. Der nichtrelativistische Grenzfall
a)
ih
Lösung der Diracgleichung im Ruhesystem:
∂
Ψ = m0c 2 βΨ nur Ruheenergie
∂t
1



1

2
2
H = m0 c β = m0 c 

−1


−
1


 Ψ1 
 Ψ1 




 Ψ2 
 Ψ2 
Ψ =
⇒ βΨ = 
Ψ3 
− Ψ3 




Ψ 
− Ψ 
 4

4
Also lassen sich die folgenden Differentialgleichungen ableiten:
∂
Ψ = m0c 2 βΨ
∂t
& 1, 2 = m0 c 2 Ψ1,2
⇒ i hΨ
ih
2
&
⇒ i hΨ
3,4 = −m 0c Ψ3, 4
Die Richtung der Vektoren ist dabei leicht lösbar:
Ψ1,2
i
− m0 c 2t
∝e h
Ψ3, 4 ∝
i
m0c 2 t
h
e
Das heißt, es lassen sich 4 unabhängige Lösungen angeben, die die folgenden Eigenschaften aufweisen:
Ψ1
Ψ2
Ψ3
Ψ4
i
− m0c 2 t
h
=e
e1
i
− m0 c2 t
h
=e
e2
i
m0 c 2t
h
=e
e3
i
m0 c2 t
h
=e
e4
Spin :↑ Ruheenergi e > 0
Spin :↓
Ruheenergi e > 0
Spin :↑ Ruheenergi e < 0
Spin :↓
Ruheenergi e < 0
228
b)
Ankopplung an das elektromagnetische Feld:
A, Φ über die Ladung e
Die Ankopplung erfolgt über die Potenziale
Klassisch wissen wir:
p → p − eA
H → H + eΦ
In der Diracgleichung können wir nun so einfach die bereits angegebene Energie, den Hamiltonoperator
erweitern und angeben:
ih
(
)
∂
Ψ = cα ( p − eA ) + m0 2 c 2 β + eΦ Ψ
∂t
Dabei setzen wir für
p→
h
∇ den kanonischen Impuls
i
und führen den kinetischen Impuls ein gemäß
π = p kin = p − eA
Als Lösungsansatz wählen wir
Ψ 
Ψ =  a 
 Ψb 
Wobei Ψa zwei Komponenten haben sollte und ein Teilchen mit E ≥ 0 bezeichnet.
Auch Ψb besitzt 2 Komponenten für die "Antiteilchen" mit E ≤ 0 :
 0 σ µ  µ  Ψa  3
∑  µ 0 π  Ψb  = ∑
µ =1 σ
   µ =1
 1 0  Ψa   Ψa 
  = 

βΨ = 
 0 − 1 Ψb   − Ψb 
απΨ =
3
 σ µ π µ Ψb 


σ µ π µ Ψ 

a
Damit zerfällt die Dirac- Gleichung in zwei gekoppelte und jeweils zweikomponentige Gleichungen:
(
3
)
& a = c ∑ σ µ π µ Ψb + m0 c 2 + eΦ Ψa
ihΨ
µ =1
(
3
)
& = c ∑ σ µ π µ Ψ + − m c 2 + eΦ Ψ
ihΨ
b
a
0
b
µ =1
Als Ansatz wählen wir
−im 0 c
Ψ 
Ψ =  a  = e
 Ψb 
2
t
h
ϕa 
  für E ≥ 0
 ϕb 
Also Zerlegung in
−im 0 c 2
t
h als schnelle zeitliche Oszillation und
e
 ϕa 
  als langsam zeitabhängige Funktion !
 ϕb 
229
Es folgt:
3
ihϕ& a = c ∑ σ µ π µ ϕb + eΦϕa
µ =1
3
ihϕ& b = c ∑ σ µ π µ ϕa − 2m0 c 2ϕb + eΦϕb
µ =1
Nichtrelativistische Näherung:
&b ≈ 0
E − m0 c 2 << m0 c 2 ⇒ ϕ
eΦ << m0 c 2 ⇒ eΦϕb ≈ 0
ϕ& b ≈ 0
eΦ ϕb ≈ 0
3
⇒ c ∑ σ µ π µ ϕa − 2m0 c 2ϕb ≈ 0
µ =1
ϕb ≈
1
(σπ )ϕa
2m0 c
eingesetzt in
ihϕ& a =
1
(σπ )(σπ )ϕa + eΦ ϕa
2m0
Man kann zeigen:
(σπ )(σπ ) = π 2 + iσ (π × π )
(
)
 1

&a = 
⇒ i hϕ
π 2 + iσ (π × π ) + eΦ ϕa
 2m0

Remember:
(π × π )ϕa = ( p − eA ) × ( p − eA )ϕa
= p × ( pϕa ) − e[ p × (A ϕa ) + A × pϕa ] + e 2 ( A × A )iϕa
p × ( pϕa ) = 0
e 2 (A × A )iϕa = 0
[
]
e p × ( A ϕa ) + A × pϕa =
eh
B ϕa
i
⇒ (σπ )(σπ ) = π 2 + i σ (π × π ) = ( p − eA ) − ehσB
2
Die verwendeten Identitäten sind dabei natürlich zu zeigen ( Übungsaufgabe !)
230
Also folgt die Bewegungsgleichung für
(
ϕa :
)
 1

 1
( p − eA )2 − 1 ehσB + eΦ ϕa
ihϕ& a = 
π 2 + i σ (π × π ) + eΦ ϕa = 
2m0
 2 m0

 2 m0

dies ist die nichtrelativistische Pauli- Gleichung für Spin
±
h
( vergl. S. 102, Kapitel 4.3) mit dem richtigen
2
gyromagnetischen Verhältnis g=2:
1
e h
e
ehσ =
σ =g
S Vergl. S. 94
2m0
m0 2
m0
Interpretation des vierkomponentigen Spinors:
 Ψ (r , t ) 

Ψa =  a↑
 Ψa↓ ( r , t ) 
 Ψb↑ ( r , t ) 

Antiteilchen Freiheitsgrad: Ψb = 
Ψ
(
r
,
t
)
 b↓

Teilchen- Freiheitsgrad:
Spin- Eigenwertproblem in 2x2- Matrixdarstellung
 Ψ ( r , t )   1 0  Ψa↑ (r , t )   Ψa ↑ ( r , t ) 
 = 
 = 


σ3 Ψa = σ3  a↑
 Ψa↓ ( r , t )   0 − 1 Ψa↓ (r , t )   − Ψa ↓ ( r , t ) 
Spin- Operator in 4x4 Block- Matrix- Darstellung
~ =  σ 0 
σ
 0 σ


~Ψ =  σ 0  Ψa  =  σΨa 
σ
 0 σ  Ψ   σΨ 

 b   b 
Ableitung der Spin- Bahn- Kopplung für
A = 0 und symmetrisches V( r):
Bahn- Drehimpuls:
1 0
L = r × p 

0 1
Mit
 1 0
r × p aus dem Bahn- Raum und 
 aus dem Spinor- Raum
 0 1
Gesamt- Drehimpuls
 1 0
h~
J := L + σ = r × p
 +
2
 0 1
1

 1 0
 1
r × p
 = r × p
1
 0 1


h~
σ
2





1 
231
Dabei ist
 1 0 h ~
h~
J := L + σ = r × p
 + σ eine Erhaltungsgröße. Denn es kann gezeigt werden:
2
 0 1 2
[J , H ] = [L , H ] + h2 σ~ , H = 0
[L , H ] = ihcα × p
~
σ , H = −2cα × p
[
[
]
]
è Dies ist leicht zu zeigen !
è Wichtig:
L µ ist keine Konstante der Bewegung
Entwicklung der Dirac- Gleichung für
E ≥ 0 bis zur ersten Ordnung in
ε −V
2m0 c
2
mit
ε := E − m0 c 2
i
− Et  ϕ 
 Ψa 
 = e h  a  :
liefert mit 
 Ψb 
 ϕb 
( Vergl. Schwabl Seite 215 ff.)
 p2

p4
h 2 dV 1 ∂
h
dV 1
ϕa
εϕa = 
+ V (r) −
+
+
σ
⋅
L
3 2
2 2 dr r ∂r
2 2 dr r
 2 m0

8m0 c
4m0 c
4m0 c


Also eine Spin- Bahn- Kopplung von
H SB =
h
dV 1
σ⋅L
4m0 c dr r
2 2
Das Wasserstoffatom
In einem rotationssymmetrischen Potenzial haben wir als Dirac- Hamiltonian:
(
)
H = cαp + m0 c 2 β + V ( r )
1
p r := (r p − i h )
r
1
αr := αr
r
~
hQ := β σL + h
Dabei sind p r ,αr , hQ hermitesche Operatoren
(
)
Man kann den Hamilton- Operator schreiben als:
ic
H =  cαr p r + αr βhQ + m0 c 2 β + V ( r ) 
r


232
Beweis:
(
)
i
i
1
~

αr p r + αr βhQ = αr  (r p − ih ) + β 2 σL + h 
r
r
r

β2 = 1
α
1
~
~
= r r p + iσL = 2 (αr )(r p ) + i (αr ) σL
r
r
~
i (αr ) σL = i (αr )(r p ) − ir 2 (αp )
i
1
~
⇒ αr p r + αr βhQ = 2 (αr )(r p ) + i (αr ) σL = αp
r
r
(
( )
[
)
( )]
[
( )]
Es gilt weiter:
[hQ, H ] = 0 . Somit existieren gemeinsame Eigenzustände zu H und hQ
Eigenwerte von
hQ :
(hQ) 2 = β(σ~L + h )β(σ~L + h ) = β 2 (σ~L + h )2
[ ]
~
 1,σ
~
β, σ = 0 = 

[
]
β2 = 1

~ 
− 1, σ 
( )( )
[ ]
( )
~ ~
~
⇒ (hQ )2 = σL σL + 2h σL + h 2
~ ~
~
σL σL = L2 + iσ (L × L )
( )( )
(L × L ) = ihL
( )( )
~ ~
~
⇒ σL σL = L2 − hσ ( L )
Somit:
(hQ) 2 = L2 + hσ~L + h 2 =  L + h σ~ 

2
2

+
h2
4
2
h ~
h2 ~ 2

~
mit  L + σ  = L2 + hσL +
σ
2 
4

~
σ2 = 3
h ~

L + σ  = J
2 

Schließlich also
(hQ) 2 = J 2 + h
2
4
233
Die Eigenwerte von
(hQ)
J 2 sind jedoch bekannt, nämlich hj ( j + 1) mit j = l ± s =
 2
h2

j =  h j ( j + 1) +
4

2
1 3
, ,...
2 2

 j = h2 ( j + 1) 2 j

2

1
( j + ) 2 := q 2
2
Somit:
(hQ)
j = (hq ) j
q = ±1,±2,...
Es bleibt das radiale Eigenwertproblem für
ic
H =  cαr p r + αr hqβ + m0 c 2 β + V ( r ) 
r


αr :
1
1
1
= 2 (αr )(αr ) = 2 αµαν x µ xν = 2 αµαν + αν αµ x µ xν
r
r
2r
Geeignete Darstellung für
(αr ) 2
(α α
µ ν
1
(
)
)
+ αν αµ = 2δ µν
2x µ x µ =
r2
=1
r2
1
αr β + βαr = (αβ + βα)r
r
(αβ + βα) = 0 ⇒ 1 (αβ + βα)r = 0
r
2r 2
Für
1 0 
0 −i 
β = 
 kann dies durch die Darstellung αr = 
 mit αr = αr + erfüllt werden:
 0 − 1
i 0 
0
αr β = 
i
0
βαr = 
− i
i

0 
− i

0 
Es gilt:
1
(r p − ih )
r
h ∂
rp = r
i ∂r
1 h ∂
∂ 1
p r =  r − i h  = −ih + 
r  i ∂r

 ∂r r 
pr =
234
Also
 0 − 1 ∂ 1  chq  0 1 
1 0 
 1 0
H = hc 
 +  −

 + m0 c 2 
 + V 

r 1 0
 1 0  ∂r r 
 0 − 1
0 1
Ansatz für den Radialanteil
 ϕa 
  ~
 ϕb 
1  F (r) 


r  G( r ) 
Eingesetzt in die Eigenwertgleichung für H:
 F / r
F / r 
H 
 = E 

G / r
G / r 
folgt:
m c2
hc dG chq
V
F
− 2 G+ 0 F+ F =E
r dr
r
r
r
r
m c2
hc dF chq
V
G
− 2 F− 0 G+ G= E
r dr r
r
r
r
−
V =−
e2 1
4πε0 r
Also:
(E − m c
(E + m c
2
0
0
V =−
2
chq
) dG
+
G=0
dr
r
dF chq
− V )G − hc
+
F=0
dr
r
− V F + hc
e2 1
4πε0 r
Skalentransformation:
a1 =
m0 c 2 + E
hc
a2 =
m0 c 2 − E
hc
a = a1a 2 =
m0 2 c 4 − E 2
hc
Führt man des weiteren ein:
ρ := ar
γ :=
e2
1
≈
4πε0 hc 137
Also einen skalierten Radius und die Feinstrukturkonstante,
235
wodurch sich auch das Potenzial vereinfacht zu:
V
γ
=− :
hca
ρ
 d
q
a
γ

+ G −  2 −  F = 0
 dρ ρ 
 a ρ
 d
a
q
γ

−  F −  1 + G = 0
 dρ ρ 
 a ρ
Randbedingung:
F ( ρ), G( ρ) regulär bei
ρ→ 0
F ( ρ), G( ρ) → 0 für ρ → ∞
Betrachte
E < m0 c 2 ⇒ a1 , a 2 > 0
a∈R
also gebundene Zustände
Asymptotisches Verhalten:
ρ→ ∞
a2
a
F F´= 1 G
a
a
⇒ G´´= G, F´´= F
⇒ G´=
⇒ G = e −ρ = F = G = e −ρ
Weil
e + ρ divergiert !
ρ→ 0
q
γ
G+ F =0
ρ
ρ
q
γ
F´− F − G = 0
ρ
ρ
⇒ G´+
Ansatz:
F ( ρ) = f 0 ρλ
G( ρ) = g 0 ρλ
⇒ (λ + q ) g 0 + γf 0 = 0
(λ − q ) f 0 − γg 0 = 0
Es existieren nichttriviale Lösungen
Also
f 0 , g 0 , falls (λ + q )(λ − q ) + γ 2 = λ2 − q 2 + γ 2 = 0
λ = ± q 2 − γ 2 > 0 und regulär bei ρ → 0
236
Ansatz:
F ( ρ) = ρ λ e − ρ f ( ρ)
G( ρ) = ρλ e − ρ g ( ρ)
λ+ q
a
γ
g −  2 −  f = 0
ρ
 a ρ
a
λ− q
γ
f ´− f +
f −  1 +  g = 0
ρ
 a ρ
⇒ g´− g +
Die Lösung erfolgt über einen Potenzreihenansatz:
f ( ρ) =
g ( ρ) =
∞
∑ fk ρ
k =0
∞
k
∞
⇒ f ´( ρ) = ∑ kf k ρ
k −1
k =1
∞
=
∞
∑ (k + 1) fk +1 ρk
k =0
∑ g k ρk ⇒ g´(ρ) = ∑ kgk ρk−1
k =0
∞
k =1
∞
f
f ( ρ)
= ∑ f k ρ k −1 = 0 + ∑ f k +1 ρk
ρ
ρ k =0
k =0
g ( ρ)
usw... wird dies ebenfalls für g´( ρ),
aufgestellt
ρ
Koeffizientenvergleich liefert:
1
O  : (λ + q )g 0 + γf 0 = 0
 ρ
⇒ f 0 , g0
(λ − q ) f 0 − γg 0 = 0
bis auf Normfaktor
( )
O ρk : (λ + q + k + 1)g k +1 − g k + γf k +1 −
(λ − q + k + 1) f k +1 − f k
+ γg k +1 −
a2
f =0
a k
a1
gk = 0
a
k=0,1,2,.... Rekursionsformel !!
a
a




a  (λ + q + k + 1)g k +1 − g k + γf k +1 − 2 f k  − a 2  (λ − q + k + 1) f k +1 − f k + γg k +1 − 1 g k  = 0
a
a




⇒ [a(λ + q + k + 1) + a2γ ]g k +1 = [a 2 (λ − q + k + 1) − aγ ] f k +1
Verhalten für große k:
akg k +1 ≈ a2 kfk +1 ⇒ f k ≈
a
gk
a2
Dies kann man einsetzen in
(λ + q + k + 1)g k +1 − g k
+ γf k +1 −
a2
f =0
a k
237
und es folgt:
(k + 1) g k +1 ≈ 2 g k
⇒
g k +1
2
2 k +1
≈
⇒ g k +1 ≈
g
gk
k +1
(k + 1)! 0
⇒ g ( ρ) ~ e 2 ρ
⇒ f ( ρ) ~ e 2 ρ
Falls die Potenzreihen
∞
∞
F ( ρ) = ρλ e − ρ f ( ρ)
k =0
k =0
G( ρ) = ρλ e −ρ g ( ρ)
∑ f k ρk , g ( ρ) = ∑ g k ρk nicht abbrechen, so divergiert
f ( ρ) =
für
exponentiell
ρ → ∞ ⇒ F ( ρ), G( ρ) ~ e ρ
Dies ist jedoch ein Widerspruch zu den gesetzten Randbedingungen !
Also muss es einen Abbruch bei
f n´+1 = g n´+1 = 0
k = n´∈ N geben:
Setzt man dies in die Rekursionsformel ein, so folgt:
a2
f = 0 ⇒ a2 f n´ = − ag n´
a n´
a
− f n´ − 1 g n´ = 0 ⇒ af n´ = − a1 g n´
a
− g n´ −
Diese beiden Gleichungen stimmen jedoch für alle f,g überein, da
a2
a
=
a
a1
a 2 f n´ = −ag n´ in [a (λ + q + k + 1) + a 2γ ]g k +1 = [a2 (λ − q + k + 1) − aγ ] f k +1 ein, so folgt
mit k + 1 = n´ :
a(λ + q + n´) + a 2γ
[a (λ − q + n´) − aγ ]
=− 2
a
a2
a
a
λ + q + n´+ 2 γ + λ − q + n´+ γ = 0
a
a2
Setzt man
 a2

2E
2 a(λ + n´) = 
− a 2 γ =
γ
hc
 a2

a2
= a1
a2
a 2 (λ + n´)2 =
E2
2 2
h c
γ2
Weiter gilt:
a2 =
(
m0 2 c 4 − E 2
h2c 2
)
⇒ m0 2 c 4 − E 2 (λ + n´)2 = E 2γ 2
238
Löst man dies nach den exakten Energieeigenwerten, die sich damit ergeben, also nach E auf, so erhält man die
Feinstrukturformel:
E=
m0 c 2
γ 
1 + 

 λ + n´ 
2
Mit der Feinstrukturkonstanten
γ≈
1
137
2
1
λ = q 2 − γ 2 =  j +  − γ 2
2

1 3
j = , ,..., n´∈ N 0
2 2
j =l ±s
( ), so folgt:
entwickelt man die Energieeigenwerte nach der Feinstrukturkonstanten bis O γ
( )
 1  γ  2 3  γ 4
6
E = m0 c 1 − 
 + 
 +Oγ
8  λ + n´ 
 2  λ + n´ 
2
4

mit
2
 1 γ 2
γ 
λ(γ ) =| q | 1 −   =| q | 1 −    + O γ 4
 2  q  
q 
( )
2
1
 1 

 =
 λ + n´ 

1  γ2
 n´+ | q | − 
2 q

n = n´+ q




2
( )
+ O γ4
n´= 0,1,2,...
1
q = j + = 1, 2,....
2
2
1  1  γ 2  
 1 
=
1 −



 λ + n´ 
n 2  2  q n  
1
1
q = j + =l ±s+
2
2
−2
( )
+ O γ4 =
1   γ 2  
1  γ 2 
4
1
+
+
O
γ
=
+
+Oγ4


2
2
3




n   q n  
n
 qn 
( )
( )
239
Setzt man dies in die exakten Energieeigenwerte E ein , so folgt:



2   4 


γ   γ  1
3 
2

E = m0 c 1 −  2  −  3 
−
+O γ6
  2n   2 n  j + 1 4 n 

2


n = 1, 2,3
1 3
1
1
j = , ,..., n − , wegen n = n´+ j +
2 2
2
2
j =l ±s





( )
Diskussion
( )
O γ 0 : E = m0 c 2 Ruheenergie
( )
 γ2
O γ 2 : ∆E ( 2) = − m0 c 2  2
 2n

( )
O γ 4 : ∆E ( 4)

 = − RH nicht relativistisches, entartetes Energiespektrum

n2



4 


γ
1
3

= −m0 c 2  3 
−
1
4
n


2
n

 j +


2

Feinstruktur- Aufspaltung. Eine Aufhebung der j-
Entartung durch Spin- Bahn- Kopplung.
Dabei bleibt die Freiheit der Ausrichtung der Achse des magnetischen Moments, also die
2( 2 j + 1) - fache
m j - Entartung+ Parität !
Spektroskopische Beziehung der Feinstrukturterme:
n =1:
j=
1
: 1s 1
2
2
n = 2:
j=
1
: 2s1
2
2p1
3
:
2
2p3
n´=0
2
j=
nl j :
n´= 1
2
n´= 0
2
....
240