Theoretische Physik II - Quantenmechanik (SS 2017)

Theoretische Physik II - Quantenmechanik
(SS 2017)
Übung 2
19.04.2017
Das Übungsblatt wird am 26. April (Mittwochsgruppen) bzw. am 3. Mai (Montagsgruppen)
abgegeben.
Aufgabe 5
(Quantenmechanik und klassische Physik)
(6 + 5 = 11 Punkte)
(a) Beweisen Sie das Ehrenfest Theorem:
d
hpi =
dt
*
∂V
∂x
+
und diskutieren Sie seine Bedeutung
(b) Ψ(x, t) sei eine Lösung der Schrödinger-Gleichung für ein gegebenes Potential V (x). Aus
der klassischen Physik wissen wir, dass die Potentialfunktion nur bis auf eine (räumliche
und zeitliche) Konstante bestimmt ist, d.h. klassische Observablen (Messgrößen) ändern
sich nicht, wenn wir zu V (x) eine Konstante V0 addieren.
Wie sieht dies in der Quantenmechanik aus? Zeigen Sie, dass sich die Wellenfunktion
Ψ(x, t) unter der Änderung des Potentials um einen Phasenfaktor exp(−iV0 t/h̄) ändert.
Welche Auswirkungen hat dies auf den Erwartungswert einer dynamischen Observablen
O(x, p)?
Aufgabe 6
(Instabile Teilchen)
(5 + 5 = 10 Punkte)
Sie wollen ein instabiles Teilchen beschreiben, das nach einer bestimmten Lebensdauer“ τ
”
spontan zerfällt. In diesem Fall sollte die Gesamtwahrscheinlichkeit, das Teilchen irgendwo zu
finden, nicht konstant sein, sondern sollte (beispielsweise exponentiell) abfallen:
P (t) =
Z ∞
−∞
|Ψ(x t)|2 dx = e−t/τ .
’
Dieses Ergebnis erhält man auf folgendem ziemlich plumpen Weg: In der Schrödinger-Gleichung
hatten wir stillschweigend angenommen, dass die potentielle Energie V reell ist. Das ist natürlich
eine vernünftige Annahme, führt aber zu der zeitlichen Erhaltung der Wahrscheinlichkeit“.
”
Was würde denn passieren, wenn wir an V noch einen imaginären Teil anhängen:
V = V0 − iΓ
’
wo V0 die wahre potentielle Energie und Γ eine positive reelle Konstante ist?
(a) Zeigen Sie, dass wir in diesem Fall für die zeitlichen Änderung der Gesamtwahrscheinlichkeit den folgenden Ausdruck erhalten:
dP
2Γ
= − P.
dt
h̄
(b) Lösen Sie die Differentialgleichung für P (t) und geben Sie die Lebensdauer des Teilchens
mithilfe von Γ an.
Aufgabe 7
(Stationären Lösungen der Schrödinger-Gleichung) (4 + 4 + 3 + 6
= 17 Punkte)
Beweisen Sie die folgenden drei Sätze:
(a) Für normierbare Lösungen muss die Separationskonstante E der Schrödinger Gleichung
reell sein.
Hinweis: Nehmen Sie an, dass E = E0 + iΓ mit reellem E0 und Γ. Zeigen Sie dann, dass
Γ gleich Null sein muss, wenn ΨE (x, t) für alle Zeiten normiert sein soll.
(b) In Abwesenheit eines Magnetfeldes kann die zeitunabhängige Wellenfunktion ϕ(x) immer
als reell angenommen werden (anders als ψ(x t), die notwendigerweise komplex ist). Das
’
heißt nicht, dass jede Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung tatsächlich reell ist; wenn man aber eine Lösung hat, die nicht reell ist, dann lässt sie sich immer als
Linearkombination von Lösungen mit derselben Energie ausdrücken, die es sind. Damit
können Sie genauso gut annehmen, dass die Lösungen ϕ reell sind. Dass dies bei Anwesenheit eines Magnetfeldes nicht mehr gilt, werden Sie erst später einsehen.
Hinweis: Zeigen Sie, wenn ϕ(x) die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung erfüllt, dann
auch das konjugiert Komplexe und damit die reellen Linearkombinationen (ϕ + ϕ∗ ) und
i(ϕ − ϕ∗ ).
(c) Wenn V (x) eine gerade Funktion ist (d.h., wenn V (−x) = V (x) gilt), dann kann man
ϕ(x) immer entweder als gerade oder als ungerade annehmen.
Hinweis: Wenn ϕ(x) für ein gegebenes E die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
erfüllt, dann auch ϕ(−x) und damit die geraden und ungeraden Linearkombinationen
ϕ(x) ± ϕ(−x).
(d) Zeigen Sie, dass E für jede normierbare Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung
den Mindestwert von V (x) übersteigen muss. Welches klassische Analogon zu dieser Aussage kennen Sie?
Hinweis: Formulieren Sie die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung um zu
2m
d2
ϕ = 2 [V (x) − E]ϕ.
2
dx
h̄
Für E < Vmin haben ϕ und die zweite Ableitung immer dasselbe Vorzeichen – weisen Sie
nach, dass eine solche Funktion nicht normiert werden kann.
Aufgabe 8
(Erhaltung der Normierung)
(3 + 4 + 5 = 12 Punkte)
Die Erhaltung der Normierung der Wellenfunktion lässt sich in der Form einer Kontinuitätsgleichung formulieren. Ist ρ(~r, t) = |Ψ(~r, t)|2 die Wahrscheinlichkeitsdichte und
~ − Ψ∇Ψ
~ ∗ ) der Wahrscheinlichkeitsstrom, so gilt
~j(~r, t) = −ih̄ (Ψ∗ ∇Ψ
2m
∂
ρ + div ~j = 0.
∂t
(a) Beweisen Sie die Behauptung zunächst für den eindimensionalen Fall.
R
(b) Beweisen Sie nun die Kontinuitätsgleichung im 3 .
~ ) · ~v + f div ~v .
Hinweis: Benutzen Sie die Identität für die Divergenz: div (f~v ) = (∇f
(c) Benutzen Sie die Kontinuitätsgleichung für die Wahrscheinlichkeit, um die Erhaltung der
Normierung im 3 zu beweisen.
R