¨Ubungsblatt 1 zur Quantenmechanik Prof. K. Hornberger, M. Bola

Übungsblatt 1 zur Quantenmechanik
Prof. K. Hornberger, M. Bolaños, F. Kiałka, B. Schrinski, B. Stickler
Abgabe bis Donnerstag 4.5.2017 10:00 Uhr in den Briefkasten der
Abgabe AG Hornberger (Eingangsbereich MG 480-490)
Geben Sie die Aufgaben auf getrennten Blättern ab
und beschriften Sie jedes Blatt mit Gruppe und Namen!
Aufgabe 1 — Wie schnell ist das Elektron?
(6 Punkte)
(a) Drücken Sie die Erwartungswerte hpi und hp2 i des Zustandes Ψ(x, t) = exp(ip0 x/~)Ψ0 (x, t)
durch die entsprechenden Erwartungswerte der Wellenfunktion Ψ0 (x, t) aus. [Hinweis: p =
−i~∂/∂x, p2 = −~2 ∂ 2 /∂x2 ]
(b) Verifizieren Sie Ihr Ergebnis durch explizite Berechnung mit Ψ0 (x, t) = A exp [i (kx − ωt) − λx2 /2],
mit λ > 0, k ∈ R und ω > 0. Wie lautet die Normierungskonstante A?
Aufgabe 2 — Wo befindet es sich?
(10 Punkte)
(a) Der Zustand eines Elektrons sei durch die Wellenfunktion ψ(x) = A exp(−κ|x|) beschrieben.
Bestimmen Sie die Normierungskonstante A und berechnen Sie die Erwartungswerte hxi und
hx2 i.
(b) Nun werde das Elektron in einer der beiden Superpositionen ψ± (x) = B± [ψ(x + a) ± ψ(x − a)]
präpariert mit a > 0. Wie lauten die Konstanten B± und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
P± (x > 0), das Teilchen rechts des Ursprungs zu finden?
(c) Wir betrachten nun die zeitabhängige Superposition
1 Ψ(x, t) = √ e−iω+ t ψ+ (x) + e−iω− t ψ− (x) ,
2
mit den Frequenzen ω± > 0. Wie groß ist nun die (zeitabhängige) Wahrscheinlichkeit Pt (x > 0),
das Teilchen rechts vom Ursprung zu finden? Was erhalten Sie im Grenzfall κa 1?
Aufgabe 3 — Und was macht es da?
(8 Punkte)
Im Folgenden beweisen wir ein paar Eigenschaften der Lösungen Ψ(x, t) der eindimensionalen zeitabhängigen Schrödingergleichung mit Potential V (x).
(a) Verifizieren Sie zunächst, dass eine Lösung in der Form Ψ(x, t) = e−iEt/~ ψ(x) geschrieben werden kann, wenn die (normierte) Wellenfunktion ψ(x) die stationäre Schrödingergleichung
−
~2 ∂ 2
ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x),
2m ∂x2
(1)
erfüllt.
(b) Argumentieren Sie, dass die Energie E reell sein muss, wenn Ψ(x, t) für alle Zeiten t > 0 normiert bleiben soll.
(c) Um zu zeigen, dass die Energie immer größer als das Minimum des Potentials ist, E ≥ min[V (x)],
betrachten Sie den Erwartungswert hp2 i und überzeugen Sie sich davon, dass die Annahme
E < min[V (x)] auf einen Widerspruch führt.
(d) Zwei Lösungen ψ1,2 (x) der stationären Schrödingergleichung (1) mit der gleichen Energie E
unterscheiden sich höchstens um eine konstante Phase, ψ1 (x) = eiϕ ψ2 (x), ϕ ∈ R. Zeigen Sie
dies, indem Sie zunächst aus der stationären Schrödingergleichung die Relation
ψ1 (x)
herleiten.
∂
∂
ψ2 (x) − ψ2 (x) ψ1 (x) = 0
∂x
∂x