¨Ubungsblatt 10 zur Quantenmechanik Prof. K. Hornberger, M. Bola

Übungsblatt 10 zur Quantenmechanik
Prof. K. Hornberger, M. Bolaños, F. Kiałka, B. Schrinski, B. Stickler
Abgabe bis Donnerstag 13.7.2017 10:10 Uhr in den Briefkasten der
Abgabe AG Hornberger (Eingangsbereich MG 480-490)
Geben Sie die Aufgaben auf getrennten Blättern ab
und beschriften Sie jedes Blatt mit Gruppe und Namen!
Aufgabe 28 — Schrauben
(8 Punkte)
Der Hamiltonoperator eines Teilchens der Ladung q im stationären Magnetfeld B(r) = ∇ × A(r)
lautet H = [p − qA(r)]2 /2m.
(a) Bestimmen Sie die Eigenzustände von H für den Spezialfall A(r) = Bxey und zeigen Sie, dass
die Energien die Form
~2 kz2
1
+
,
n ∈ N0 , kz ∈ R
En,ky ,kz = ~ωc n +
2
2m
annehmen (ωc = qB/m). Verwenden Sie hierzu, dass [H, py ] = 0 = [H, pz ]. [5 Punkte]
(b) Angenommen Ψ(r, t) sei eine Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung mit beliebigem
Vektorpotential A(r). Zeigen Sie, dass dann die Wellenfunktion exp[iqχ(r)/~]Ψ(r, t), mit dem
Skalarpotential χ(r), die zeitabhängige Schrödingergleichung mit Vektorpotential A(r) + ∇χ(r)
löst. [3 Punkte]
Aufgabe 29 — Drehen
(9 Punkte)
In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit dem Rotationsoperator exp(−iφn · L/~) einer Drehung
mit dem Winkel φ um die Achse n.
(a) a sei ein beliebiger Vektor-Operator. Berechnen Sie eiφL·n/~ ae−iφL·n/~ für infinitesimale Rotationswinkel, d.h. in führender Ordnung von φ. [3 Punkte]
(b) Berechnen Sie B = eiφLz /~ Lx e−iφLz /~ für allgemeines φ, indem Sie Aufgabe 17(b) verwenden und
die Kommutatoren explizit ausrechnen. [3 Punkte]
(c) Verifizieren Sie Ihr Ergebnis von (b), indem Sie die Matrixelemente in der Drehimpulsbasis
h`0 m0 | B | `mi auswerten. [3 Punkte]
Aufgabe 30 — Bonus: Schwingen
(9 Bonuspunkte)
Wir betrachten ein Spin-1/2 Teilchen im homogenen, harmonisch schwingenden Magnetfeld B(t) =
B0 cos(ωt)ez , mit Hamiltonoperator H = −γS · B(t) und γ = ge0 /2m.
(a) Lösen√Sie die zeitabhängige Schrödingergleichung für den Anfangszustand |ψ(0)i = (|↑i −
|↓i)/ 2. [4 Bonuspunkte]
(b) Bestimmen Sie die Eigenzustände und -werte von Sx und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten, sie zur Zeit t zu messen. [4 Bonuspunkte]
(c) Diskutieren Sie die Dynamik im Grenzfall ω → 0. [1 Bonuspunkt]