Kompendium 4. Semester - AGeS - Die Skript
Werbung
Quantentheorie I (Kompendium) Herausgegeben von Jeffrey Kelling Felix Lemke Stefan Majewsky Stand: 23. Oktober 2008 1 Inhaltsverzeichnis Grundlagen der Quantentheorie Kommutatorrelationen Statistische Aussagen Darstellung in den Eigenräumen der Fundamentaloperatoren Fundamentalbeispiel: Eindimensionaler harmonischer Oszillator 3 3 3 3 3 Bewegungsgleichungen der Quantenmechanik Grundlegende Zeitabhängigkeiten Schrödingerbild Heisenbergbild Diracbild (Wechselwirkungsbild) Wahrscheinlichkeitsamplitude 4 4 4 4 4 4 Störungstheorie Dirac-Theorie Schrödinger-Theorie Ritzsches Variationsverfahren 5 5 5 5 Symmetrien und Erhaltungsgrößen, Drehimpulse Transformationen Darstellung von Transformationen Grundlagen des Drehimpulses Wichtige Beispiele für Drehimpulse 6 6 6 6 6 AGeS-Kompendium Grundlagen der Quantentheorie Seite 3 Kommutatorrelationen • Orts- und Impulsoperator: [x̂i , x̂j ] = [p̂i , p̂j ] = 0 und [p̂i , x̂j ] = ~/i · δij · 1 ˆ, ~pˆ): [F, x̂k ] = ~/i · ∂F/∂ p̂k und [F, p̂k ] = −~/i · ∂F/∂ x̂k • beliebiger Operator F(~x ˆ ˆ ˆ • Bahndrehimpulsoperator ~l = ~x × ~p: ˆ ˆ ˆ ~ Bahndrehimpulsoperator l = ~x × ~p: [ˆli , x̂k ] = ~/i · εijk · x̂j und [ˆli , p̂j ] = ~/i · εijk · p̂k ˆ [ˆli , ˆlj ] = −~/i · εijk · ˆlk und [~l2 , ˆli ] = 0 Statistische Aussagen Sei F der (hermitesche) Operator zur Observablen F . • Erwartungswert: F = hFi = hϕ|Fϕi = Sp(P|ϕi F) = Sp(FP|ϕi ) mit hϕ|ϕi = 1 R 2 • Eigendarstellung des Erwartungswertes: hFi = λ λ · |ϕ(λ)| dλ Durch Messung der Observablen F geht das System in einen Eigenzustand von F über. Kommutierende Observablen haben dieselben Eigenvektoren, können also gleichzeitig interferenzfrei gemessen werden. 2 • Messwahrscheinlichkeit des Eigenwertes λ: wλ = |huλ |ϕi| = Sp(P|ϕi P|Uλ i ) D E ­ ® 2 2 • Streuung: Str F = F 2 − hF i = [F − hFi] – verschwindet, wenn |ϕi Eigenvektor von F ist √ • Unschärfe: ∆F = Str F • Unschärferelation: ∆F · ∆G ≥ 1 2 · |h[F, G]i| ¯d ¯ • Energie-Zeit-Unschärfe: ∆E · ∆tF ≥ ~/2 mit ∆tF = ∆F/ ¯ dt hFi¯ (Zeit, in der sich die Observable F um ihre Unschärfe ändert) Darstellung in den Eigenräumen der Fundamentaloperatoren i • Orts-Translationsoperator: T (ξ) = e− ~ ·ξ·p̂ mit T (ξ)|ux i = |ux+ξ i • Ortsdarstellung der Fundamentaloperatoren: x̂ϕ(x) = x · ϕ(x) und p̂ϕ(x) = ~/i · ϕ0 (x) i • Impuls-Translationsoperator: S(ξ) = e ~ ·ξ·x̂ mit S(ξ)|up i = |up+ξ i • Impulsdarstellung der Fundamentaloperatoren: x̂ϕ(p) = −~/i · ϕ0 (p) und p̂ϕ(p) = p · ϕ(p) R∞ i • Zusammenhang beider Darstellungen: ϕ(p) = (2π~)−1/2 · −∞ e− ~ ·px · ϕ(x) dx R∞ i Zusammenhang beider Darstellungen: ϕ(x) = (2π~)−1/2 · −∞ e ~ ·px · ϕ(p) dp Fundamentalbeispiel: Eindimensionaler harmonischer Oszillator 1 1 1 2 + • Hamilton-Operator: H = 2m · p̂2 + mω 2 · x̂ = ~ω · (b̂ · b̂ + 2 · 1) ≡ ~ω · (n̂ + 2 · 1) (Eigenvektoren von H und n̂ stimmen überein) h√ i h√ i • Hebungs- und Senkungsoperator: b̂ = √12~ · mω · x̂ + √mω · p̂ und b̂+ = √12~ · mω · x̂ − √i mω i · p̂ • Kommutatoren der neuen Operatoren: [b̂, b̂+ ] = 1 und [b̂q , n̂] = q · b̂q und [(b̂+ )q , n̂] = −q · (b̂+ )q √ √ • Zusammenhang zwischen den Eigenvektoren: b̂|un i = n · |un−1 i und b̂+ |un i = n + 1 · |un+1 i • Generierung aller Eigenvektoren aus dem Grundzustand: |un i = (n!)−1/2 · (b̂+ )n |u0 i mit n = 0, 1, 2, 3, . . . ¡ ¢ • Energieeigenwerte: En = n + 12 · ~ω Die Verwendung dieses Kompendiums für Klausuren und andere Prüfungen ist nicht gestattet. AGeS-Kompendium Bewegungsgleichungen der Quantenmechanik Seite 4 Grundlegende Zeitabhängigkeiten ∂ • zeitliche Änderung einer Observable: F̊ = ~i · [H, F] + ∂t F £ ¤ ∂ • Axiom: P̊|ϕi = 0, also ∂t P|ϕi = − ~i · H, P|ϕi ¡ ¢ ¡ ¢ • unitäre Transformation: F B x̂(t), p̂(t), t = A(t, t0 ) · F x̂(t0 ), p̂(t0 ), t · A−1 (t, t0 ) • Eigenschaften der Transformation: A(t0 , t0 ) = 1 und A(t, t0 ) = A(t, t1 ) · A(t1 , t0 ) und A+ (t, t0 ) = A(t0 , t) D E d hFi (t) = F̊ (t) (Erhaltungsgrößen: F̊ = 0) • Ehrenfest-Theorem: dt Schrödingerbild • definierende Transformation: AS (t, t0 ) = 1 ¡ ∂ ¢S d F S (t) = ∂t F • Observable: dt ¡∂ ¢S d S S • Projektionsoperator: dt P|ϕi (t) = ∂t P|ϕi = − ~i · [HS , P|ϕi ] • Zustandsvektor: d S dt |ϕ (t)i = − ~i · HS (t)|ϕS (t)i • formale Lösung der Bewegungsgleichung: |ϕS (t)i = U S (t, t0 )|ϕS (t0 )i d S Hierbei ist U S unitär, dt U (t, t0 ) = − ~i · HS (t) · U S (t, t0 ) und U S (t0 , t0 ) = 1. → Die Zeitabhängigkeit liegt ausschließlich beim Zustandsvektor, die Observablen bleiben zeitunabhängig. Heisenbergbild d AH (t, t0 ) = ~i · HH (t) · AH (t, t0 ) • definierende Transformation: dt £ ¤ ¡ ∂ ¢H d • Observable: dt F H = ~i · HH (t), F H (t) + ∂t F (t), also F H (t) = F(x̂H (t), p̂H (t), t) • Projektionsoperator: d H dt P|ϕi =0 • Zustandsvektor: |ϕH (t)i = |ϕH (t0 )i → Die Zeitabhängigkeit liegt ausschließlich bei den Observablen, der Zustandsvektor ist zeitunabhängig. Diracbild (Wechselwirkungsbild) Betrachte einen Hamilton-Operator H(t) = H0 (t) + H1 (t) (mit einem Störungsanteil H1 (t)). d • definierende Transformation: dt AW (t, t0 ) = ~i · H0W (t) · AW (t, t0 ) £ ¤ ¡ ∂ ¢W d (t) • Observable: dt F W = ~i · H0W (t), F W (t) + ∂t F h i d W W • Projektionsoperator: dt P|ϕi = − ~i · H1W (t), P|ϕi (t) • Zustandsvektor: d W dt |ϕ (t)i = − ~i · H1W (t)|ϕW (t)i (formale Lösung wie beim Schrödingerbild möglich) • formale Lösung der Bewegungsgleichung: |ϕW (t)i = U(t, t0 )|ϕW (t0 )i d W Hierbei ist U W unitär, dt U (t, t0 ) = − ~i · H1W (t) · U W (t, t0 ) und U W (t0 , t0 ) = 1. → Die Dynamik der Observablen wird durch H0 , die des Zustandsvektors durch H1 bestimmt. Wahrscheinlichkeitsamplitude Betrachte einen nicht explizit zeitabhängigen Operator F mit den Eigenwerten λ und Eigenvektoren |uλ i. • Die Wahrscheinlichkeitsamplitude ist als Skalarprodukt (d.h. als ϕ(λ, t) = huλ |ϕ(t)i) bildunabhängig. • Zeitabhängige Schrödingergleichung: d dt ϕ(λ, t) = − ~i · Hϕ(λ, t) Die Verwendung dieses Kompendiums für Klausuren und andere Prüfungen ist nicht gestattet. AGeS-Kompendium Störungstheorie Seite 5 Dirac-Theorie Der Hamiltonoperator enthalte einen Störungsterm: H(t) = H0 +H1 (t) – Es sollen im Wechselwirkungsbild Aussagen über die Veränderung des Zustandsvektors getroffen werden. Rt W W W • iterative Lösung der Bew.gleichung: U(n) (t, t0 ) = 1 − ~i · t0 H1W (t1 ) · U(n−1) (t1 , t0 ) dt1 mit U(0) (t, t0 ) = 1 Zum Zeitpunkt t0 befinde sich das System im Zustand |ϕW (t0 )i = |ua i (Eigenzustand von H0 ). ¯ ¯2 • Übergangswahrscheinlichkeit durch Störung: wa→b (t) = ¯hub |ϕW (t)i¯ ¯R ¯2 £ ¤ ¯ t ¯ • Lösung in erster Ordnung: wa→b (t) = ~12 · ¯ t0 exp ~i · (Eb0 − Ea0 ) · (t1 − t0 ) · hub |H1 (t1 )ua i dt1 ¯ Sei der Störungsterm nicht explizit zeitabhängig. Für hinreichend große Zeiten t gilt asymptotisch: • Goldene Regel der Quantentheorie: wa→b (t) = |hub |H1 ua i|2 ~2 · 2πt · δ(ωba ) mit ωba = (Eb0 − Ea0 )/~ Schrödinger-Theorie Der Hamiltonoperator enthalte eine kleine Störung H = H0 + λ · H1 – Wie verändern sich die Energieei(0) genwerte |un i durch die Störung? (0) (0) (2) (1) (2) (1) • Ansatz: En = En + λ · En + λ2 · En + . . . und |un i = |un i + λ · |un i + λ2 · |un i + . . . Das Eigenwertproblem liefert nach Koeffizientenvergleich für Potenzen von λ das Gleichungssystem: (0) H0 |un i = (0) (1) H0 |un i + H1 |un i = (1) (2) H0 |un i + H1 |un i = .. . (0) (0) En · |un i (0) (1) (1) (0) En · |un i + En · |un i (0) (2) (1) (1) (2) (0) En · |un i + En · |un i + En · |un i Die Orthonormierungsbedingung liefert auf ähnliche Weise: (0) (0) δmn = hum |un i (1) (0) (0) (1) 0 = hum |un i + hum |un i (2) (0) (1) (1) (0) (2) 0 = hum |un i + hum |un i + hum |un i .. . (m) (m−1) (m−1) i |H1 un P (0) (0) • Energieeigenvektor in erster Ordnung: |un i = |un i + m6=n |um i · • iterative Lösung der Energieeigenwerte: En = hun (1) (0) (0) hu(0) m |H1 un i (0) (0) En −Em (0) (2) • Energiekorrekturen in erster und zweiter Ordnung: En = hun |H1 un i und En = P |hu0n |H1 u0m i|2 (0) m6=n (0) En −Em Bei entarteten Energien muss diese Summe alle Eigenvektoren zu anderen Eigenwerten enthalten. Ritzsches Variationsverfahren Gesucht ist die Energie E0 des Grundzustandes |u0 i für ein System mit dem Hamiltonoperator H. • Rayleigh-Ritz-Prinzip: E0 ≤ hHi = hϕ|Hϕi hϕ|ϕi für alle Zustandsvektoren |ϕi • Ritzsches Variationsverfahren: Man wählt |ϕi als Funktion eines Parameters und sucht das Minimum der Energie E(µ) = hϕ(µ)|Hϕ(µ)i hϕ(µ)|ϕ(µ)i . Die Verwendung dieses Kompendiums für Klausuren und andere Prüfungen ist nicht gestattet. AGeS-Kompendium Symmetrien und Erhaltungsgrößen, Drehimpulse Seite 6 Transformationen • Transformation: g (Struktur a priori unbekannt) mit zugehörigem unitären Operator D(g) • Anwendung auf eine Observable: F 0 = D(g) · F · D−1 (g) • Die Menge der Transformationen bildet mit der Verkettung (bzw. Operatormultiplikation) eine Gruppe. • Transformationsgruppe des Hamilton-Operators: D(g) mit [D(g), H] = 0 Nicht explizit zeitabhängige D(g) aus der Transformationsgruppe von H sind Erhaltungsgrößen. i • Struktur einer kontinuierlichen Symmetrieoperation: D(g) = e− ~ ·g·F mit Generator F = F + Die D(g) sind genau dann in der Transformationsgruppe von H, wenn F eine Erhaltungsgröße ist. Darstellung von Transformationen Betrachte eine Transformation D(g) aus der Transformationsgruppe des Hamilton-Operators H. Ist |uλ i ein Eigenvektor von H, dann auch D(g)|uλ i (zum selben Eigenwert). 0 0 Pt • Beschreibung der Transformation im Falle der Entartung: D(g)|uµλ i = µλ0 =1 Dλµ µ (g) · |uµλ i Die entstehende Matrix Dλ (g) heißt reduzibel, wenn sie in Untermatrizen in Blockgestalt zerfällt. Die minimalen Untermatrizen entsprechenden irreduziblen Unterdarstellungen. Grundlagen des Drehimpulses • allgemeiner Drehimpulsoperator: J~ generiert eine kontinuierliche Transformationsgruppe (Kommutatoren zwischen den Ji und mit J~ 2 in Analogie zum Bahndrehimpuls) ~ i • Transformationen: R~e (α) = e− ~ ·α·(~e·J ) (Drehung um Achse entlang Einheitsvektor ~e) 2 m m m • Eigenwertproblem: J~ 2 |um j i = j(j + 1) · ~ · |uj i und Jz |uj i = m · ~ · |uj i mit m = −j, . . . , j • Hebungs- und Senkungsoperatoren: J± = Jx ± i · Jy mit J~ 2 = J− · J+ + ~ · Jz + Jz2 • Kommutatorrelationen: [J+ , J− ] = 2~ · Jz und [Jz , J±n ] = ±n~ · J±n p j(j + 1) − m(m ± 1)·~·|um±1 i mit J± |u±j • Zusammenhang zwischen den Eigenvektoren: J± |um j i= j j i=0 q ³ ´j±m J (j∓m)! ∓j ± • Erzeugung aus Extremalzuständen: |um |uj i j i= (2j)!·(j±m)! · ~ • Beschreibung des unitären Raumes benötigt man noch mindestens eine weitere kommutierende Observable Wichtige Beispiele für Drehimpulse ˆ • Beim Bahndrehimpuls ~l ist j (bzw. l) ganzzahlig. Ortsdarstellung der entsprechenden Operatoren: h i ˆl± = ~ · e±iϕ · ± ∂ + i · cot ϑ · ∂ ˆlz = ~ · ∂ ∂ϑ ∂ϕ i ∂ϕ i h ¡ ¢ ˆ 1 ∂2 ~ˆl2 = −~2 · 1 · ∂ sin ϑ · ∂ + 12 · ∂ 22 ∆ψ(~r) = r · ∂r r)] − r21·~2 · ~l2 ψ(~r) 2 [r · ψ(~ sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ sin ϑ ∂ϕ • Der Spin ~sˆ ist nicht im gewöhnlichen Orts-Impuls-Raum beschreibbar. Es sind j → s = 1/2 und m = ±1/2. Im neuen zweidimensionalen Spin-Raum gibt es die folgenden Spinoperatoren (in Matrixdarstellung): µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 0 0 1 0 1 3 ~ m ˆ2 m0 2 m m0 m m0 hu |~s u i = 4 · ~ · hu |ŝ+ u i = ~ · hu |ŝx u i = 2 · 0 ¶1 µ µ0 0¶ µ1 0 ¶ 0 0 0 1 0 0 0 0 −i hum |ŝz um i = ~2 · hum |ŝ− um i = ~ · hum |ŝy um i = ~2 · 1 0 0 −1 i 0 • Pauli-Spinmatrizen: Matrixdarstellungen der Operatoren σ̂i = • Rechenregeln: ŝ2± = 0 und ŝ2i = 1 3 · ~sˆ2 = 1 4 2 ~ · ŝi mit i = x, y, z · ~2 · 1 3 ~ Rechenregeln: ŝx · ŝy = −ŝy · ŝx = − 2i · ŝz und ŝx · ŝy · ŝz = − ~8i · 1 Die Verwendung dieses Kompendiums für Klausuren und andere Prüfungen ist nicht gestattet.
