Teil II Quantenmechanik im Hilbert-Raum

Teil II
Quantenmechanik im Hilbert-Raum
43
Kapitel 4
Räume
Literatur: z.B. S.Großmann, Funktionalanalysis
Raum: Eine Menge von Elementen, M = {a, b, c...}
a = Element,Vektor, Punkt aus M
4.1
Der lineare Raum
Addition
sei a, b ǫ M , dann gilt
a + b = b + a ǫM
assoziativ: a + (b + c) = (a + b) + c
Nullelement: a + 0 = a
Multiplikation
α, β ǫ K und a, b ǫ M , dann gilt αa ǫ M
Distributivgesetz: α(a + b) = αa + αb
Assoziativgesetz: α(βa) = (αβ)a
Einselement: 1a = a
45
46
KAPITEL 4. RÄUME
4.2
Der metrische Raum
Anschaulich: Metrik = Abstand zwischen zwei Elementen:
d(a, b) = d(b, a) ǫ R,
a, b ǫ M
d=0
d(a, b) ≥ 0,
−→ a = b
Dreiecksungleichung: d(a, b) ≤ d(a, c) + d(b, c)
4.3
Der normierte Raum
– Norm: Abstand zum Nullelement, anschaulich: Länge
kak = d(0, a)
kak ≥ 0,
(positiv semidefinit)
ka + bk ≤ kak + kbk,
kαak = |α|kak,
(aus Dreiecksungleichung)
Homogenität
Beispiele für den Rn (n-dimensionaler Vektorraum):
kak ≡ maxni=1 |ai |,
Pn
kak ≡ (
4.4
i
|ai |p )1/p ,
Maximumnorm
p-Norm (speziell p=2)
Der unitäre Raum
Inneres Produkt, anschaulich Winkel
z = z(a, b) =< a|b >,
z ǫC
Eigenschaften:
< a|b > = < b|a >∗
< a|αb > = α < a|b >,
< αa|b >= α∗ < a|b >
< a|b + c > = < a|b > + < a|c >
47
4.4. DER UNITÄRE RAUM
< a|a > ≥ 0,
ǫR
< a|b > = 0 −→ entweder a = 0, oder b = 0, oder a orthogonal zu b
außerdem:
(< a|a >)1/2 = kak, erfüllt die Normaxiome
Es gilt die Schwarzsche Ungleichung:
| < a|b > | ≤ kakkbk
oder | < a|b > |2 ≤< a|a >< b|b >
Beweis:
|b >= |bp > +|bs >
|bp > sei parallel zu |a >: |bp >=
|bs > sei senkrecht zu |a >:
<a|b>
|a
<a|a>
>
< bp |bs >= 0
< b|b >=< bp |bp > + < bs |bs > + < bp |bs > + < bs |bp >
|
{z
=0
}
|
{z
=0
}
< a|a >< b|b > = < a|a >< bp |bp > + < a|a >< bs |bs >
≥ < a|a >< bp |bp >
| < a|b > |2
< a|a >2
=
< a|a >2
= | < a|b > |2
q.e.d
Es gilt:
Jeder unitäre Raum ist normiert (Inneres Produkt impliziert Norm)
Jeder normierte Raum ist metrisch (Norm impliziert Metrik)
Beispiele:
1. Rn
< a|b >=
Pn
ai b i ,
R c2
dx a∗ (x)b(x)
i
Skalarprodukt
2. Raum der stetigen Funktionen C(c1 , c2 )
< a|b >=
c1
48
kak =
4.5
KAPITEL 4. RÄUME
q
< a|a > =
hR
c2
c1
dx |a(x)|2
i1/2
,
ℓ2 -Norm
Definitionen
Vollständigkeit
an sei Folge von Elementen.
Limes aν → a existiert, also d(aν , a) → 0
Speziell Cauchy-Folge: d(aν , aµ ) < ε
Definitionen:
Banach-Raum : linear, normiert, vollständig
Hilbert-Raum: linear, unitär, vollständig
Dimension
Unter der Dimension eines Raumes versteht man die max. Anzahl der linear unabhängigen Elemente. Die Dimension kann
a) endlich
b) abzählbar unendlich
c) überabzählbar unendlich
sein.
Kapitel 5
Vektoren im Hilbertraum
Vorbemerkungen
Die Begriffe Vektoren, Funktionen, Zustände werden synonym verwendet.
reeller Raum
−→ unitärer Raum
a
−→ |a >, Dirac-Notation
geom. Objekte,
Funktionen, Hilbert-Vektoren
Vektoren
Inneres Produkt:
z.B. R
(a · b)
−→ < a|b > = a∗ b
bra-c-ket
5.1
Orthonormalsysteme
Wenn
n
X
µ=1
αµ |ϕµ >= 0
nur möglich durch αµ = 0, dann existieren n linear unabh. Elemente, der Raum hat
die Dimension n.
Entwicklungssatz:
|b >=
n
X
µ=1
bµ |ϕµ >,
|ϕµ > sei vollständiges Orthonormalsystem (VONS)
< ϕµ |ϕν >= δµν
49
bµ ǫC
50
KAPITEL 5. VEKTOREN IM HILBERTRAUM
dann ist
< ϕν |b >=
n
X
µ=1
bµ < ϕν |ϕµ >= bν
Umkehrrelation:
bν =< ϕν |b >
[Anmerkung: In der QM gibt |bν |2 die Wahrscheinlichkeit an, mit der |ϕν > in |b >
gefunden wird (Überlapp).]
Einsetzen:
|b >=
X
µ
|
|ϕµ >< ϕµ | |b >
{z
}
Operator
liefert die Vollständigkeitsrelation
n
X
µ=1
5.2
|ϕµ >< ϕµ | = 1
Darstellungen
Sprechweise: bν ist die Darstellung von |b > in der Basis |ϕν >
Skalarprodukt:
< a|b >
n
X
“Eins einschieben” X
< a|ϕµ >< ϕµ |b >=
=
a∗µ bµ
µ
µ=1
Basistransformationen
|Φµ >=
X
ν
|ϕν > < ϕν |Φµ > =
|
{z
Uµν
}
X
ν
Uµν |ϕν >
Sind beide Systeme VONS,dann ist U eine orthogonale Matrix (analog zum unitären
Operator), d.h. es gilt
51
5.3. UNEIGENTLICHE HILBERT-VEKTOREN
U + U = 1,
+
∗
Uµν
= Uνµ
Beweis:
(U + U )νλ =
X
+
Uνµ
Uµλ =
µ
X
µ
< Φµ |ϕν >< ϕλ |Φµ >=< ϕλ |ϕν >= δλν
d.h. bei einer Basistransformation handelt es sich um eine unitäre Transformation im
Hilbert-Raum.
5.3
Uneigentliche Hilbert-Vektoren
bisher waren die Basisvektoren abzählbar, |ϕn >
jetzt: Übergang zum Kontinuum, Notation: |x >, |r >, |p >, etc.
zunächst war
ax,∆x
aν =< ϕν |a >= √ ,
∆x
x = ν,
∆x = 1
(für ∆x = 1, x = ν ist das zunächst nur eine andere Schreibweise.)
aν
a(x)
an
1111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111
a1
∆x 000
111 0
.....
1
∆x
n
x
Limes ∆x → 0:
ax,∆x
aν = √
∆x
∆x→0
−→
a(x)
x
52
KAPITEL 5. VEKTOREN IM HILBERTRAUM
und genauso
|ϕν >=
|ϕx,∆x >
√
∆x
∆x→0
−→
|x >
|x >: Uneigentlicher Hilbert-Vektor, Dirac-Vektor
Entwicklungssatz:
|a > =
=
=
X
lim
∆x→0 x
X
lim
∆x→0 x
Z
|ϕx,∆x >< ϕx,∆x |a >
|x >< x|a > ∆x
dx |x > < x|a >
|
{z
=a(x)
}
also
|a >=
Z
dx a(x)|x >
[Anmerkung: In der QM gibt |a(x)|2 die Wahrscheinlichkeit an, den Zustand |a > bei
x zu finden.]
Umkehrrelation:
a(x) =< x|a >
Aus Entwicklungssatz folgt:
′
< x |a > =
|
{z
=a(x′ )
}
Z
dx < x′ |x > < x|a >
|
{z
}|
=δ(x−x′ )
Orthonormierungsrelation
< x|x′ >= δ(x − x′ )
Vollständigkeitsrelation
Z
dx |x >< x| = 1
{z
=a(x)
}
53
5.4. DARSTELLUNGEN
5.4
Darstellungen
Ψ(x) ist die Darstellung von |Ψ > in der Basis |x > (Ortsdarstellung)
Ψ∗ (x) =< Ψ|x >
Ψ(x) =< x|Ψ >,
Skalarprodukt (inneres Produkt):
Eins einschieben
< Φ|Ψ >
=
Z
dx < Φ|x >< x|Ψ >=
Z
dx Φ∗ (x)Ψ(x)
Basistransformationen:
z.B. von der Ortsdarstellung in die Impulsdarstellung, also
|x >−→ |p >
|p >=
Z
dx |x > < x|p >
|
{z
=ϕp (x)
}
wähle
ϕp (x) = √
i
1
e h̄ px
2πh̄
(das sind gerade die Eigenfunktionen zum Impulsoperator in der Ortsdarstellung) dann
gilt (Orthogonalität):
< p|p′ >=
Z
dx < p|x >< x|p′ >=
i
1 Z
′
dx e h̄ (p −p)x = δ(p − p′ )
2πh̄
genauso Vollständigkeit
Z
dp |p >< p| = 1
Beweis:
Z
dp < x|p > < p|x′ > =< x|x′ >= δ(x − x′ )
|
{z
=p(x)
}|
{z
=p∗ (x′ )
}
54
KAPITEL 5. VEKTOREN IM HILBERTRAUM
andererseits (einsetzen von p(x))
i
1 Z
′
dp e h̄ (x−x )p = δ(x − x′ )
2πh̄
Wie berechnet sich Ψ(x) aus Ψ̃(p)?
Ψ(x) =< x|Ψ >=
Z
dp < x|p > < p|Ψ >
|
{z
=ϕp (x)
}|
{z
=Ψ̃(p)
}
Einsetzen ergibt
i
1 Z
dp e h̄ px Ψ̃(p)
Ψ(x) = √
2πh̄
gerade die Vorschrift für die Fourier-Transformation. Die FT ist also eine unitäre Basistransformation im Hilbertraum und beschreibt den Wechsel von der Impuls- in die
Ortsdarstellung (und umgekehrt).
In der QM werden wir den Erweiterten Hilbert-Raum verwenden müssen, um kontinuierliche Zustände zu beschreiben, z.B. für freie Teilchen oder für Streuzustände. Der
erweiterte Hilbert-Raum umfaßt die Hilbert-Vektoren und die Dirac-Vektoren.
Kapitel 6
Operatoren im Hilbert-Raum
Ein Operator bildet einen Zustand |b > auf |a > ab:
|a >= Ô|b >
Für beliebiges |a > gilt
1|a > = |a >,
0|a > = 0,
6.1
6.1.1
Eins-Operator
Null-Operator
Lineare Operatoren
Eigenschaften
Â|a + b > = Â|a > +Â|b >
Â|αa > = αÂ|a >
(Â + B̂)|a > = Â|a > +B̂|a >
ÂB̂|a > = Â|B̂a >
aber
ÂB̂|a > 6= B̂ Â|a >
Kommutator
h
Â, B̂
i
Anitkommutator
≡ ÂB̂ − B̂ Â
55
56
KAPITEL 6. OPERATOREN IM HILBERT-RAUM
h
Â, B̂
i
≡ ÂB̂ + B̂ Â
+
Entwicklung:
X
fˆ(Â) =
cn Ân
Taylor-Reihe
n
z.B.:
1
1
e = 1 +  +  +  + ...
2
6
6.1.2
Operatoren als dyadisches Produkt zweier Zustände
P
Im R3 gilt: 3i ai bi = Zahl (Skalarprodukt), ai bj = 3x3-Matrix (dyadisches Produkt
zweier Vektoren)
Genauso im Hilbertraum: < a|b > = Zahl, |a >< b| = Operator
Satz: jeder lineare Operator kann als (unendliche oder endliche) Summe dyadischer
Produkte geschrieben werden:
 = Â1 =
X
µ
6.1.3
Â|ϕµ > < ϕµ | =
| {z }
=|Φµ >
X
µ
|Φµ >< ϕµ |
Darstellung von Operatoren
|b >= Â|a >
Multiplizieren und Eins einschieben (diskrete Basis):
< ϕµ |b >=
oder
bµ =
N
X
X
ν
Aµν aν ,
< ϕµ Â|ϕν >< ϕν |a >
N lineare Gleichungen
ν
Matrixelemente
Aµν =< ϕµ |Â|ϕν >
Analog Ortsdarstellung (kontinuierliche Basis):
|b >= Â|a >
6.2. SPEZIELLE LINEARE OPERATOREN
< x|b >=
Z
oder
b(x) =
Matrixelemente
dx′ < xÂ|x′ >< x′ |a >
Z
dx′ A(x, x′ )a(x′ )
A(x, x′ ) =< x|Â|x′ >
d.h. die Ortsdarstellung von  ist eine Funktion von x und x′ .
6.2
6.2.1
Spezielle lineare Operatoren
Zueinander inverse Operatoren
|b >= Â|a >,
|a >= Â−1 |b >
aber: Â−1 muß nicht existieren (singuläre Matrix)
ÂÂ−1 = Â−1 Â = 1
6.2.2
Zueinander adjungierte Operatoren
Definition:
< b|Â|a >=< Â+ b|a >
Darstellung:
< ϕµ |Â|ϕν >=< Â+ ϕµ |ϕν >=< ϕν Â+ |ϕµ >∗
also
Aµν = A∗+
νµ
oder
∗
A+
µν = Aνµ
Daraus
Â+
+
= Â,
(ÂB̂)+ = B̂ + Â+
57
58
KAPITEL 6. OPERATOREN IM HILBERT-RAUM
Spezialfall: selbstadjungierte, hermitische Operatoren:
Â+ = Â
Aµν = A∗νµ
(Bei reellen Matrix-Elementen handelt es sich also um symmetrische Matrizen.)
Satz: Erwartungswerte hermitischer Operatoren sind reell.
< A >=< Ψ|Â|Ψ >=< ÂΨ|Ψ >=< Ψ|Â|Ψ >∗ =< A >∗
Beispiele: Impuls, Energie (Observable)
6.2.3
Unitäre Operatoren
Definition:
Û −1 = Û +
Û + Û = 1
←→
Unitäre Transformation:
|a′ > = Û |a >
|b′ > = Û |b >
damit
+
< b′ |a′ >=< Û b|Û a >=< b| Û
| {zÛ} |a >=< b|a >
=1
d.h. das innere Produkt (damit die Norm) sind invariant unter unitären Transformationen. Das entspricht einer orthogonalen Transformation im R3 .
Beispiel Zeitentwicklungsoperator (siehe Kapitel 3.5):
|Ψ(t) > = Û (t)|Ψ(0) >
i
Û (t) = e− h̄ Ĥt
i
Û + (t) = e h̄ Ĥ
+t
i
= e h̄ Ĥt
59
6.2. SPEZIELLE LINEARE OPERATOREN
also
< Ψ(t)|Ψ(t) >=< Ψ(0)|Û + Û |Ψ(0) >=< Ψ(0)|Ψ(0) >
Erhaltung der Norm.
Allgemein: Operatoren der Form
T̂ = ei ,
mit  = Â+
sind unitär.
Wie transformiert sich ein beliebiger Operator  unter einer unitären Transformation?
sei
|a′ > = Û |a >
|b′ > = Û |b >
|b > = Â|a >
|b′ > = Â′ |a′ >
dann (Eins einschieben)
Û |b > = Û ÂÛ + Û |a >
| {z }
| {z }
=|b′ >
=|a′ >
also
Â′ = Û ÂÛ +
was auch schon aus der Matrizenrechnung bekannt ist.
6.2.4
Projektionsoperatoren
Betrachte die Aufspaltung
1=
N
X
n
sei
P̂ =
L
X
n
|ϕn >< ϕn | = P̂ + Q̂
|ϕn >< ϕn |,
Q̂ = 1 − P̂ =
N
X
L+1
|ϕn >< ϕn |,
60
KAPITEL 6. OPERATOREN IM HILBERT-RAUM
dann beschreibt P̂ die Projektion eines beliebigen Zustandes auf einen Teilraum von
H. Ferner gilt
P̂ n = P̂ ,
6.3
Q̂m = Q̂,
n, m > 0
Das Eigenwertproblem hermitischer Operatoren
Ĥ = Ĥ + ,
|a >= Ĥ|b >,
für beliebiges |b >
für bestimmte Zustände gilt:
λn |un >= Ĥ|un >
n = 1..N
mit |un > als Eigenzustände, Eigenvektoren und λn ǫR als Eigenwerte zu Ĥ.
Beispiel N = 2:
|u1 >, |u2 >
sei λ1 > λ2
|ϕ >
|a> = H|b>
2
bi =< ui |b >
|u 2>
1
|b >
ai =< ui |a >
|u1>
sei < b|b >= 1, dann
|a >
λ2
b21 + b22 = 1
λ1
|ϕ >
1
ai =< ui |H|b >
1
=
X
j
< ui |H|uj > bj
|
{z
=δij λj
= λi bi
}
damit also bi = ai /λi und
a2
a21
+ 2 =1
λ1 λ2
6.3. DAS EIGENWERTPROBLEM HERMITISCHER OPERATOREN
61
Die Lösung des Eigenwertproblems besteht also im Auffinden von |un > und λn .
Sätze:
Ĥ|unα >= λn |unα >,
α = Entartungsindex
1. Orthogonalität
< unα |un′ α′ >= δnn′ δαα′
Entartete Eigenzustände lassen sich über Schmidtsches Verfahren orthogonalisieren.
2. Vollständigkeit
X
nα
|unα >< unα | = 1
Aus 1. und 2. folgt: Die Eigenzustände eines hermitischen Operators bilden ein
VONS
3. Auffinden der Eigenzustände
(Wechsel der Bezeichnungsweise: |un >−→ |un >, α weglassen)
Ĥ|un >= λn |un >
Wahl einer Darstellung, Basis |ϕn >, n = 1...N :
N
X
m′
oder
< ϕm |Ĥ|ϕm′ > < ϕm′ |un > = λn < ϕm |un >
|
{z
=Hmm′
N
X
m′
}|
{z
=un
m′
}
|
{z
=un
m
}
[Hmm′ − λn δmm′ ] unm′ = 0
Aus der linearen Algebra: es gibt nur nichttriviale Lösungen, wenn die Lösbarkeitsbedingung
Det[...] = 0
erfüllt ist. Das liefert ein Polynom in λ vom Grade N der Form
62
KAPITEL 6. OPERATOREN IM HILBERT-RAUM
c0 + c1 λ + c2 λ2 + ...cN λN = 0
das heißt es gibt N , im allgemeinen verschiedene, Lösungen
λ1 , λ2 , ....λN
welche man auch als Spektrum von Ĥ bezeichnet. Für hermitische Operatoren
gilt speziell: Alle λn sind reell und haben, bei Entartung gleiche algebraische und
geometrische Vielfachheit. D.h. wenn zwei oder mehrere λn gleich sind (mehrfache
Nullstellen) dann lassen sich die dazugehörenden Zustände immer diagonalisieren
(Schmidt). Damit ist die Anzahl der orthogonalen Eigenzustände immer gleich
der Dimension des Hilbert-Raumes (Vollständigkeit).
4. Spektraldarstellung
Der Projektor auf den n-ten Eigenzustand lautet:
P̂n = |un >< un |
und, wegen Vollständigkeit,
PN
n
Ĥ = Ĥ1 =
P̂n = 1. Damit gilt die Spektraldarstellung
N
X
n
Ĥ|un >< un | =
N
X
λn P̂n
n
5. Gemeinsame Basis zweier hermitischer Operatoren
Â|ϕn > = αn |ϕn >,
B̂|ϕn > = βn |ϕn >
|ϕn >= VONS
Betrachte beliebigen Zustand |Ψ >:
|Ψ >=
N
X
n
|ϕn >< ϕn |Ψ >
Dann
ÂB̂|Ψ > =
B̂ Â|Ψ > =
N
X
n
N
X
n
Âβn |ϕn >< ϕn |Ψ >=
B̂αn |ϕn >< ϕn |Ψ >=
N
X
n
N
X
n
αn βn |ϕn >< ϕn |Ψ >
βn αn |ϕn >< ϕn |Ψ >
63
6.4. DER MESSPROZESS
Daraus
(ÂB̂ − B̂ Â)|Ψ >= 0
Und
h
i
Â, B̂ = 0
Satz: Â und B̂ haben gemeinsame Basis, wenn sie vertauschen und umgekehrt.
6.4
6.4.1
Der Messprozess
Vorbemerkungen
Am Messprozess sind drei Komponenten beteiligt:
1. System (Quantenmechanisch)
2. Messapparatur (Quantenmechanisch, klassisch)
3. Beobachter (klassisch)
Messung bedeutet Wechselwirkung zwischen den Komponenten. Klassisch kann diese
WW beliebig klein gemacht werden und beeinflusst dabei die Messung nicht mehr.
In der QM kann man jedoch die WW zwischen 1. und 2. nicht vernachlässigen. Eine
Messung ändert im allgemeinen den Zustand des Systems.
Der Observablen A wird der (hermitische) Operator  zugeordnet. sei
Â|ϕα >= aα |ϕα >
und ein beliebiger Zustand |Ψ >:
|Ψ >=
X
α
|ϕα >< ϕα |Ψ >=
X
α
cα |ϕα >
Für den Erwartungswert von A ergibt sich damit:
< A >=< Ψ|Â|Ψ >=
X
α
aα < Ψ|ϕα >< ϕα |Ψ >=
X
α
aα |cα |2
wobei |cα |2 als Wahrscheinlichkeit aufzufassen ist, bei einer Messung den Wert aα zu
finden.
64
6.4.2
KAPITEL 6. OPERATOREN IM HILBERT-RAUM
Konsequenzen des Messprozesses
Messung von A:
A
a1
|Ψ>
a2
a3
a4
Messung
z.B. von a1
|Ψ (a1)>
WF im Zustand zu a1
Vor der Messung sind alle Werte ai möglich, d.h. die WF besteht aus (unbekannten)
Überlagerungen der Eigenfunktionen |ϕα >.
Nach der Messung ist ein bestimmtes ai (das gemessene) realisiert und die WF geht in
den Zustand |ϕi > über. Eine nochmalige Messung würde wieder zum selben Ergebnis
(ai ) führen.
M.a.W.: Die Messung präpariert |Ψ > im Zustand |Ψ(ai ) >= |ϕi >.
– Reduktion der Wellenfunktion
– Änderung, Störung des Zustandes durch Messung
– Projektion auf |ϕi >
– Fernwirkung wird möglich, EPR-Paradoxon (gemeinsame WF zweier weit von einander entfernter Systemteile)
– Schrödingers Katze
6.4.3
Kombinierte Messung zweier verträglicher Observablen
A und B
Klassisch: Reihenfolge darf sich nicht auf das Ergebnis auswirken
QM: Wenn Reihenfolge keine Rolle spielt, sind die Observablen A und B verträglich.
Dann gilt:
h
i
Â, B̂ = 0
65
6.4. DER MESSPROZESS
d.h. das Experiment zur Messung von A stört die Messung von B nicht und umgekehrt.
– Â und B̂ haben gemeinsame Basis.
Liegt eine präzise Messung von A vor (d.h. man kann beliebig oft den selben Wert aα
messen), dann ist |Ψ > ein Eigenzustand von  zum Eigenwert aα .
Beweis: (zur Erinnerung: Varianz ∆A =< (A− < A >)2 >)
Präzise Messung ∆A = 0.
(∆A)2 =< A2 > − < A >2 = < Ψ|Â2 |Ψ > − < Ψ|Â|Ψ >2
= < ϕα |a2α ϕα > − < ϕα |aα ϕα >2
= a2α < ϕα |ϕα > −a2α < ϕα |ϕα >2
= 0
|
{z
=1
}
|
{z
=1
}
Betrachte zuerst die Messung von A, dann die von B:
praepariert bez. A
|Ψ>
praepariert bez. A,B
|Ψ (a i)>
A
Messung von ai
|Ψ (ai ,bi)>
B
Messung von bi
A liefert wieder
das selbe
Ergebnis ai
|Ψ (ai ,bi)>
Def.: Die Observablen A, B, C...M bilden einen vollständigen Satz von kommutierenden
Observablen, wenn es genau ein gemeinsames System von Eigenzuständen gibt.
Def.: Ein reiner Zustand wird durch Messung eines vollständigen Satzes von kommutierenden Observablen A, B, C...M präpariert:
|Ψ >= |Ψ(ai , bi , ci ...mi ) >≡ |ai , bi , ci ...mi >
Die Zahlen ai , bi , ci ...mi sind die Quantenzahlen, die den Zustand |Ψ > eindeutig fest-
66
KAPITEL 6. OPERATOREN IM HILBERT-RAUM
legen.
6.4.4
Kombinierte Messung zweier nichtverträglicher Observablen
Messung von A beieinflusst Messung von B und umgekehrt. Es macht keinen Sinn
mehr, einen Zustand durch die Quantenzahlen ai und bi simultan zu charakterisieren.
Behauptung:
1
(∆A)2 (∆B)2 ≥ | < C > |2 ≥ 0,
4
h
i
mit < C >=< Ψ| Â, B̂ |Ψ >
Beweis:
â ≡ Â− < A >
h
Â, B̂
b̂ ≡ B̂− < B >
i
=
h
â, b̂
i
(∆A)2 = < Ψ|â2 |Ψ >
(∆B)2 = < Ψ|b̂2 |Ψ >
Daraus folgt:
(∆A)2 (∆B)2 =< âΨ|â|Ψ >< b̂Ψ|b̂|Ψ >≥ | < âΨ|b̂|Ψ > |2
wobei für die letzte Umformung die Schwartzsche Ungleichung verwendet wurde. Für
die weitere Rechnung benutzen wir
âb̂ =
1h i
1
(âb̂ + b̂â) + â, b̂
2 | {z } 2 | {z }
=γ̂
=ǫ̂
d.h., jeder Operator läßt sich in einen hermitischen und einen antihermitischen Anteil
zerlegen. Für antihermitische Operatoren gilt
ǫ̂+ = −ǫ̂
6.5. DIE DICHTEMATRIX, DER STATISTISCHE OPERATOR
67
und deshalb
< ǫ >=< Ψ|ǫ̂|Ψ >= − < ǫ̂Ψ|Ψ >= − < Ψ|ǫ̂|Ψ >∗ = − < ǫ >∗
d.h. ihre Erwartungswerte müssen rein imaginär sein.
Weitere Umformungen:
| < âΨ|b̂|Ψ > |2 = | < Ψ|âb̂|Ψ > |2
=
2
1
> + < Ψ|ǫ̂|Ψ >
|< Ψ|γ̂|Ψ
{z
} |
{z
}
4
imaginär reell
1
1
| < Ψ|γ̂|Ψ > |2 + | < Ψ|ǫ̂|Ψ > |2
=
{z
} 4
4|
≥0
und damit endlich
i
h
1
(∆A)2 (∆B)2 ≥ | < Ψ| Â, B̂ |Ψ > |2
4
Verallgemeinerte Heisenbergsche Unschärferelation.
h
i
d
und Â, B̂ = ih̄:
Speziell für Impuls-Ort gilt also: Â = x, B̂ = −ih̄ dx
1
(∆x)(∆p) ≥ h̄
2
6.5
Die Dichtematrix, der statistische Operator
Ein reiner Zustand wird nach 6.4.3 durch einen Satz von Quantenzahlen ai , bi , ...mi
festgelegt:
|Ψ >= |Ψ(ai , bi , ...mi ) >
Dies ist für kompliziertere Stysteme nicht mehr möglich, für ein Gas würde man z.B.
ca. 1023 verschiedene Quantenzahlen benötigen. Wie schon in der klassischen Mechanik
muss man statistische Methoden verwenden. Sind nicht alle Quantenzahlen bekannt,
68
KAPITEL 6. OPERATOREN IM HILBERT-RAUM
so liegt kein reiner Zustand (als Hilbert-Vektor) vor, sondern ein gemischter Zustand.
Zur Abkürzung führen wir den Index m stellvertretend für alle Quantenzahlen ein, d.h.
der Satz m beschreibt den Zustand
|Ψ(ai , bi , ...mi ) >= |Ψm >
als reinen Zustand eindeutig. Sind nicht alle Quantenzahlen von m bekannt, führt man
die Wahrscheinlichkeit
Pm ,
X
0 ≤ Pm ≤ 1,
Pm = 1
m
ein, mit der sich das System im Zustand |Ψm > befindet. Die Wahrscheinlichkeit Pm
muss also nicht aus quantenmechanischen Gründen eingeführt werden, sondern alleine wegen fehlender Information (unvollständiger Präparation) des Systems. Für den
Erwartungswert eines Operators  erhält man jetzt:
< A >=
X
m
Pm < Ψm |Â|Ψm >
also einmal die übliche quantenmechanische Mittelung, bei der die Phasen der Wellenfunktionen eine Rolle spielen (Interferenzen), und zusätzlich noch eine Mittelung über
die Amplituden.
Man definiert die Dichtematrix (eigentlich Dichteoperator)
ρ̂ =
X
m
Pm |Ψm >< Ψm |
Damit lässt sich der Erwartungswert umformulieren:
<A> =
X
m
=
Pm < Ψm |Â|Ψm >
X
Pm
X
Aij
X
Aij ρji =
m
=
ij
=
ij
X
< Ψm |ϕi > < ϕi |Â|ϕj > < ϕj |Ψm >
X
Pm < ϕj |Ψm >< Ψm |ϕi >
ij
m
|
|
{z
{z
Aij
ρji
X
i
(Aρ)ii = Spur(Aρ)
}
}
6.5. DIE DICHTEMATRIX, DER STATISTISCHE OPERATOR
69
Wir erhalten also
< A >= Spur(Aρ) = Spur(ρA)
D.h. die Kenntnis von ρ̂ erlaubt die Berechnung sämtlicher Erwartungswerte, der gemischte Zustand wird durch ρ̂ soweit wie durch die unvollständige Präparation möglich
ist, beschrieben. Entwickelt sich das System in der Zeit, so gilt
ρ̂ = ρ̂(t)
und man benötigt eine Bewegungsgleichung für ρ̂(t), die die quantenmechanische Verallgemeinerung der Liouville-Gleichung darstellt (siehe Abschn. 7.3 über die Heisenbergsche Bewegungsgleichung für Operatoren).
70
KAPITEL 6. OPERATOREN IM HILBERT-RAUM
Kapitel 7
Dynamik der Quantensysteme
7.1
Darstellungen der Schrödingergleichung
Zunächst darstellungsfreie Formulierung:
ih̄|Ψ̇(t) >= Ĥ(t)|Ψ(t) >
Formale Lösung:
− h̄i
|Ψ(t) >= e
Rt
t0
Ĥ(t′ )dt′
|Ψ(t0 ) >
Ortsdarstellung:
ih̄ < x|Ψ̇ > =
|
oder
ih̄Ψ̇(x) =
Z
{z
=Ψ̇(x)
}
Z
dx′ < x|Ĥ|x′ > < x′ |Ψ >
dx′ H(x, x′ )Ψ(x′ ),
|
{z
=H(x,x′ )
}|
{z
=Ψ(x′ )
}
Darstellung in kontinuierlicher Basis
genauso wäre eine Darstellung in einer diskreten Basis möglich (“Matrizenmechanik”):
ih̄ȧn =
X
m
Wie läßt sich < x|Ĥ|x′ > ausdrücken?
71
Hnm am
72
KAPITEL 7. DYNAMIK DER QUANTENSYSTEME
Betrachte
Ĥ =
P̂ 2
+ V̂
2m
Wir berechnen zunächst
< x|p̂2 |x′ >=
Z Z
dp′ dp′′ < x|p′ >< p′ |p̂2 |p′′ >< p′′ |x′ >
mit
< p′ |p̂2 |p′′ >= p′′2 < p′ |p′′ >= p′′2 δ(p′ − p′′ )
ergibt sich
2
′
< x|p̂ |x >=
Z
dp′ < x|p′ > p′2 < p′ |x′ >
und mit
< x|p >= p(x) = √
i
1
e h̄ px
2πh̄
weiter
=−
d2
d2 i
h̄ Z
′
dp 2 e h̄ p(x−x ) = −h̄2 2 δ(x − x′ )
2π
dx
dx
also
"
#
h̄2 d2
< x|Ĥ|x >= −
+ V (x) δ(x − x′ )
2m dx2
′
und endlich
ih̄Ψ̇(x) = −
h̄2 d2 Ψ(x)
+ V (x)Ψ(x)
2m dx2
73
7.2. DAS SCHRÖDINGER-BILD
7.2
Das Schrödinger-Bild
– wurde bisher verwendet
A −→ ÂS , wobei ÂS höchstens explizit von der Zeit abhängt. Die Zeitabhängigkeit
einer Obbservablen steckt in der Wellenfunktion:
< A(t) >=< ΨS (t)|ÂS |ΨS (t) >
mit |ΨS (t) > als Lösung der zeitabh. Schrödingergleichung, formal:
|ΨS (t) >= Û (t)|Ψ(0) >
oder
< A(t) >=< Ψ(0)|Û + (t)ÂS Û (t)|Ψ(0) >
7.3
Das Heisenberg-Bild
man definiert
ÂH (t) ≡ Û + (t)ÂS Û (t),
unitäre Transformation
als den Operator Âs im Heisenberg-Bild. Die Zeitabhängigkeit steckt jetzt ganz im
Operator, die Wellenfunktionen sind zeitunabhängig:
|ΨH >= |Ψ(0) >
nach wie vor gilt
< A(t) >=< ΨH |ÂH (t)|ΨH >
Anstatt der Schrödingergleichung brauchen wir jetzt eine Bewegungsgleichung für ÂH (t).
d
˙+
˙
˙
ÂH = Û ÂS Û + Û + ÂS Û + Û + ÂS Û
dt
mit
i
∂ i
˙
Û = e− h̄ Ĥt = − Ĥ Û ,
∂t
h̄
i
˙+
Û = Ĥ Û +
h̄
74
KAPITEL 7. DYNAMIK DER QUANTENSYSTEME
(Beachte dass [Ĥ, Û ] = 0 gilt) erhalten wir
i
d
˙
ÂH = (Ĥ Û + ÂS Û − Û + ÂS Û Ĥ) + Û + ÂS Û
dt
h̄
oder
i
∂ ÂH
ih
d
Ĥ, ÂH +
ÂH =
dt
h̄
∂t
was als Heisenbergsche Bewegungsgleichung bezeichnet wird.
Man sieht, daß Observablen, deren Operatoren mit Ĥ vertauschen, Erhaltungsgrößen
sind.
Erinnerung an die klassische Mechanik:
Observable F (pk , qk , t)
Bewegungsgleichung:
∂F X ∂F dqk X ∂F dpk
d
F =
+
+
dt
∂t
k ∂qk dt
k ∂pk dt
=
∂F X ∂F ∂H X ∂F ∂H
+
−
∂t
k ∂qk ∂pk
k ∂pk ∂qk
=
∂F
+ {H, F }
∂t
mit der Poisson-Klammer {H, F }. Verschwinden der Poissonklammer bedeutet hier,
daß F eine Konstante der Bewegung (Erhaltungsgröße) ist.
Es zeichnet sich die formale Zuordnung ab:
Klassische Mechanik
Quantenmechanik
Poisson-Klammer −→ Kommutator
{H, F } −→
i
ih
Ĥ, F̂
h̄
p(t), q(t) −→ p̂H (t), q̂H (t)
75
7.4. DAS DIRAC-BILD
7.4
Das Dirac-Bild
– Wechselwirkungsbild, wichtig für Störungstheorie (siehe v.w.u.).
– Verteilung der Zeitabh. auf |Ψ > und Â.
Ĥ = Ĥ0 + Ĥ1 (t)
– H0 zeitunabh., Lösung bekannt (ungestörtes Problem)
– H1 (kleine) Störung
Zeitentwicklungsoperator:
i
Û0 (t) = e− h̄ Ĥ0 t
und
ΨS (t) >= Û0 (t)|ΨD (t) >
ÂD (t) = Û0+ (t)ÂS Û0 (t)
Bewegungsgleichung (Rechnung wie oben)
i
∂ ÂD
ih
d
Ĥ0 , ÂD +
ÂD =
dt
h̄
∂t
Für die Wellenfunktion:
Û0+ · |
˙
ih̄Û 0 |ΨD > +ih̄Û0 |Ψ̇D >= Ĥ0 Û0 |ΨD > +Ĥ1 Û0 |ΨD >
die jeweils ersten Terme auf beiden Seiten heben sich heraus und man erhält:
ih̄|Ψ̇D >= Û0+ Ĥ1 Û0 |ΨD >= Ĥ1D |ΨD >
ih̄|Ψ̇D >= Ĥ1D |ΨD >
76
7.5
KAPITEL 7. DYNAMIK DER QUANTENSYSTEME
Zusammenfassung
Ĥ = Ĥ0 + Ĥ1 (t)
Wellenf.
Operator
7.6
Schrödinger
Heisenberg
Dirac
ih̄|Ψ̇S = Ĥ|ΨS >
|Ψ̇H >= 0
ih̄|Ψ̇D >= Ĥ1D |ΨD >
dÂS
dt
=
∂ ÂS
∂t
d
Â
dt H
=
i
h̄
h
i
Ĥ, ÂH +
∂ ÂH
∂t
d
Â
dt D
=
i
h̄
h
i
Ĥ0 , ÂD +
∂ ÂD
∂t
Feynmansche Pfadintegrale
– mehr intuitiver Zugang zur QM
– Pfadintegrale, Wegintegrale, Propagator
7.6.1
Propagatoren
Betrachte Teilchen im Zustand |xa > zur Zeit ta , z.B. in der Ortsdarstellung
< x|xa >= δ(x − xa )
mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es zur Zeit te bei |xe > ?
Feynmann: Summierung über alle Wege, die von xa nach xe führen.
Übergangswahrscheinlichkeit für Ausbreitung = Propagator:
P (xe , te , xa , ta ) =< xe |Û (te − ta )|xa >
Zur näherungsweisen Berechnung: führe Zwischenpunkte x2 ...xN −1 ein, an denen das
Teilchen zur Zeit tn ist (Zeitgitterung):
7.6.2
Kurzzeitpropagator und Pfadintegral
Der Kurzzeitpropagator beschreibt die Übergangswahrscheinlichkeit von einem Punkt
auf den benachbarten:
77
7.6. FEYNMANSCHE PFADINTEGRALE
x
x
e
xa
te
ta
t
x
x
e
xN-1
xa
x3
x
2
...........
∆t
ta
t2
t3
t N-1
te
t
78
KAPITEL 7. DYNAMIK DER QUANTENSYSTEME
i
P (xn+1 , tn+1 , xn , tn ) =< xn+1 |Û (∆t)|xn >=< xn+1 |e− h̄ Ĥ∆t |xn >
damit ergibt sich das Wegintegral
P (xe , te , xa , ta ) =
Z
dxN −1 dxN −2 ...dx2 P (xN , tN , xN −1 , tN −1 )P (xN −1 , tN −1 , xN −2 , tN −2 )....P (x2 , t2 , x1 , t1 )
Berechnung der einzelnen Kurzzeitpropagatoren:
i
< xn+1 |e− h̄ Ĥ∆t |xn > =
≈
Z
i
dx δ(x − xn+1 ) e− h̄ ∆t(T (p̂)+V (xn )) δ(x − xn )
Z
i
dx δ(x − xn+1 ) e− h̄ ∆tT (p̂)
1
= 2πh̄
Z
Z
i
e− h̄ ∆tV (xn )
δ(x − xn )
|
R
{z
dpn e
}
i p (x−x )
n
h̄ n
i
1
dx dpn δ(x − xn+1 ) e h̄ [pn (x−xn )−H(pn ,xn )∆t]
2πh̄
h
i
x
−xn
i
pn n+1
−H(pn ,xn ) ∆t
1 Z
h̄
∆t
=
dpn e
2πh̄
=
(7.1)
Der Limes ∆t → 0 führt in der eckigen Klammer im Exponent auf
[...] = pn ẋn − H(pn , xn ) = L(Pn , xn )
also auf die klassische Lagrange-Funktion. Damit ergibt sich für den Kurzzeitpropagator also endgültig der einfache Ausdruck:
i
1 Z
P (xn+1 , tn+1 , xn , tn ) =
dpn e h̄ L(pn ,xn )∆t
2πh̄
∆t→0
Für den gesammten Prozess von xa nach xe erhalten wir damit das Pfadintegral
P (xe , te , xa , ta ) = lim
N →∞
Z
dx2 dx3 ...dxN −1
Z
i
dp1 dp2 dp3 ...dpN −1 e h̄
R te
ta
L(p,x)dt
wobei das Integral im Exponenten ein Funktional des Weges von xa nach xb (klassisch
also x(t), p(t)) ist.
Für die Vielfach- (eigentlich Unendlichfach-) Integrale verwendet man oft die abgekürzte Notation
79
7.6. FEYNMANSCHE PFADINTEGRALE
lim
N →∞
und
Z
dx2 dx3 ...dxN −1 ≡
Z
Dx
Z
Z
Dp
1
dp
dp
dp
...dp
≡
1
2
3
N
−1
N →∞ (2πh̄)N −1
2πh̄
lim
oder
P (xe , te , xa , ta ) =
Z
Dx
Z
Dp
i Z te
L(p, x)dt
exp
2πh̄
h̄ ta
(7.2)
Die anschauliche Erklärung des Pfadintegrales ist die, daß man über alle Wege im
Phasenraum (x, p), die von xa nach xb führen, aufsummiert und die einzelnen Wege
mit dem Ausdruck
i Z te
exp
L(p, x)dt
h̄ ta
gewichtet. Dabei ist entscheidend, daß der Weg am stärksten zur Summe beiträgt, bei
dem der Exponent extremal wird, also
Z
Ldt = Extr.
Das ist aber gerade der Weg, den ein Teilchen gehen würde, daß der klassischen Mechanik folgt. Die Wege, bei denen der Exponent bezüglich benachbarter Wege stark
variiert, mitteln sich zum großen Teil durch Interferenzen heraus.
7.6.3
Pfadintegral im Konfigurationsraum
In der Form (7.2) ist das Pfadintegral im Phasenraum dargestellt. Die ursprünglichen
Arbeiten von Feynman verwendeten das Pfadintegral im Konfigurationsraum. Man
gelangt zu dieser Darstellung durch ausintegrieren der Impulse. Sei
Ĥ =
p̂2
+ U (x)
2m
dann lässt sich (7.1) schreiben als:
< xn+1 |e
− h̄i Ĥ∆t
− h̄i U (xn )∆t
|xn >= e
h
x
−xn
pn
i
pn n+1
− 2m
1 Z
h̄
∆t
dpn e
{z
|2πh̄
=J
i
∆t
}
80
KAPITEL 7. DYNAMIK DER QUANTENSYSTEME
x
xe
schwache
Variation
klassischer Weg
xa
starke
Variation
ta
te
t
Der Ausdruck J lässt sich quadratisch ergänzen zu
1 h̄i m2
e
J=
2πh̄
xn+1 −xn
∆t
2
∆t
Z
dpn e
− h̄i
1
2m
pn −
2
xn+1 −xn
m
∆t
∆t
Das letzte Integral (komplexes Gauß-Integral, Fresnel-Integral) lässt sich ausrechnen.
Für den Kurzzeitpropagator erhalten wir insgesamt
i
< xn+1 |e− h̄ Ĥ∆t |xn >=
r
m
e
2πh̄i∆t
i
h̄
m
2
xn+1 −xn
∆t
2
−U (xn ) ∆t
und schließlich für das Wegintegral in der Ortsdarstellung wie in 3.7.2
P (xe , te , xa , ta ) = lim
N →∞
Z
dx2 dx3 ...dxN −1
m
2πh̄i∆t
N −1
2
e
i
h̄
R te
ta
L(ẋ,x)dt
wobei jetzt also nur noch über Wege im Ortsraum integriert wird.
7.6.4
Beispiel: das freie Teilchen
Als Anwendung wollen wir den Propagator für das freie Teilchen berechnen:
U (x) = 0,
Ausgehend von (7.3) erhalten wir
L(ẋ) =
m 2
ẋ
2
(7.3)
81
7.6. FEYNMANSCHE PFADINTEGRALE
P (xe , te , xa , ta ) = lim
N →∞
m
2πh̄i∆t
N −1 Z
2
im
dx2 dx3 ...dxN −1 e 2h̄∆t
PN −1
n=1
(xn+1 −xn )2
(7.4)
wobei x1 = xa und xN = xe festgehalten werden. Im folgenden verwenden wir die
Hilfsformel (Faltung zweier Gauß-Funktionen):
Z
∞
−∞
e
−α(x−a)2 −β(x−b)2
e
=
s
αβ
π − α+β
(a−b)2
e
α+β
Zunächst werten wir das erste Integral, zusammen mit einem Vorfaktor
aus. Mit der Hilfsformel ergibt sich
im
im
m Z
2
2
dx2 e 2h̄∆t (x2 −x1 ) e 2h̄∆t (x3 −x2 ) =
2πh̄i∆t
s
m
2πh̄i∆t
in (7.4)
im
2
m
e 2h̄(2∆t) (x1 −x3 )
2πh̄i(2∆t)
D.h. eine Integration liefert die Vorschrift, im Vorfaktor und im Exponenten ∆t durch
2∆t zu ersetzen und im Exponenten
(x2 − x1 )2 + (x3 − x2 )2 −→ (x1 − x3 )2
zu ersetzen. Wenn wir alle xn ausintegrieren, müssen wir deshalb die Substitutionen
∆t −→ (N − 1)∆t = ta − te
und
N
−1
X
n=1
(xn+1 − xn )2 −→ (xa − xe )2
durchführen. Damit lautet das Wegintegral für das freie Teilchen endlich:
P (xe , te , xa , ta ) =
s
"
m
i m (xe − xa )2
exp
2πh̄i(te − ta )
h̄ 2 te − ta
#
Bemerkenswert ist dabei, dass die Phase genau der Wirkung entspricht, die der klassische Weg des freien Teilchens ergibt:
SKL =
Z
te
ta
m Z te xe − xa
m Z te 2
ẋ dt =
Ldt =
2 ta
2 ta te − ta
2
dt =
m (xe − xa )2
2 te − ta
82
KAPITEL 7. DYNAMIK DER QUANTENSYSTEME
Die Wahrscheinlichkeitsdichte, das Teilchen nach der Zeit t = te − ta zu finden ergibt
sich dann zu
ρ = |P |2 ∝
analog zu dem Ergebnis für Wellenpakete.
1
t