Wintersemester 2016/17 Theoretische Physik I Universität Bielefeld Übung Nr.15 — Lösungsvorschlag 65. Elektrisches Feld aus Strömen ~ 0 (~r) erzeugt, gilt i. Wenn die stationäre Stromdichte ~el.,0 (~r) das Magnetfeld B ~ ×B ~ 0 (~r) = µ0~el.,0 (~r). ∇ (1a) ~ 0 (~r) quellfrei sein: Andererseits muss B ~ ·B ~ 0 (~r) = 0. ∇ (1b) ~ r) ≡ B ~ 0 (~r) t/τ . a) Sei ~el.(t,~r) ≡ ~el.,0 (~r) t/τ und B(t,~ ~ Erstens erfüllt das Feld B(t,~r) die Maxwell–Thomson-Gleichung: ~ · B~0 (~r) = 0, ~ · B(t,~ ~ r) = t ∇ ∇ τ (2a) wobei Gl. (1b) benutzt wurde. ~ r) Dann soll die Maxwell–Ampère-Gleichung für B(t,~ ~ ~ × B(t,~ ~ r) = µ0~el. (t,~r) + 0 µ0 ∂ E(t,~r) ∇ ∂t lauten. Unter Verwendung der Gl. (1a) gilt (2b) ~ × B(t,~ ~ r) = t ∇ ~ ×B ~ 0 (~r) = t µ0~el.,0 (~r) = µ0~el.(t,~r), ∇ τ τ ~ r) erfüllt wird. so dass Gl. (2b) für jedes zeitunabhängige Feld E(~ Um noch der Maxwell–Faraday-Gleichung ~ ~ × E(t,~ ~ r) + ∂ B(t,~r) = ~0 ∇ ∂t (2c) ~ r) die Bedingung zu genügen, soll E(~ ~ ~ × E(~ ~ r) = − ∂ B(t,~r) = − 1 B ~ 0 (~r) ∇ ∂t τ (2d) erfüllen. Dies ist zum Beispiel der Fall für ~ r) = −1 E(~ 4πτ Z ~ ~ 0 (~r 0 ) ∇~r 0 × B d3~r 0 , 0 |~r −~r | (2e) wobei sich diese Formel durch die Analogie der Frage ii. motiviert ist. ~ r) der Bedingung Schließlich genügt dieses Feld E(~ ~ · E(~ ~ r) = 0, ∇ (2f) entsprechend der Maxwell–Gauß-Gleichung für ρel.(t,~r) = 0. b) Das elektrische Feld (2e) ist quellfrei, Gl. (2f), während seine Rotation nicht-Null ist, Gl. (2d). Dagegen erfüllt das von einer stationären Ladungsdichte ρel.,st.(~r) herrührende elektrostatische ~ st.(~r) die Gleichungen Feld E ~ ·E ~ st.(~r) = ρel.,st.(~r) ∇ 0 ~ ×E ~ st.(~r) = ~0, und ∇ ~ st.(~r) ist rotationsfrei und mit einer nicht-verschwindenden Divergenz. d.h. E 1 Wintersemester 2016/17 Theoretische Physik I Universität Bielefeld ii. Die Gleichungen (2d), (2f) haben die gleiche Struktur wie die magnetostatischen Gleichungen ~ 1 (~r), das durch eine Ladungsstromdichte für das Magnetfeld B ~el.,1 (~r) = −1 ~ B0 (~r) µ0 τ erzeugt wird. 66. Sphärische Wellen Die klassische Wellengleichung für eine kugelsymmetrische Funktion f (r) lautet 1 ∂2 1 ∂ 2 u(t, r) 1 ∂ 2 u(t, r) = ru(t, r) − = 0. c2 ∂t2 r ∂r2 c2 ∂t2 Die Multiplikation dieser Gleichung mit r ergibt 4u(t, r) − (3) ∂2 1 ∂2 ru(t, r) − ru(t, r) = 0, 2 2 2 ∂r c ∂t (4) d.h. die Funktion ru(t, r) ist Lösung der (1 + 1)-dimensionalen Wellengleichung. Laut Ergebnissen der Vorlesung ist ru(t, r) Summe aus einer Funktion f+ von r − ct und einer Funktion f− von r + ct: die allgemeine Lösung der Gl. (3) ist f+ (r − ct) f− (r + ct) + , r r d.h. die Amplitude der Welle nimmt mit r ab . u(t, r) = (5) 67. Eichtransformationen i. Die retardierten Potentiale Z 1 ρel. (t−|~r−~r 0 |/c,~r 0 ) 3 0 Φret.(t,~r) = d ~r , 4π0 |~r −~r 0 | ~ ret.(t,~r) = µ0 A 4π Z ~el. (t−|~r−~r 0 |/c,~r 0 ) 3 0 d ~r |~r −~r 0 | (6) ~ = µ0~el. , die in Lorenz-Eichung sind Lösungen der Bewegungsgleichungen Φ = ρel. /ε0 und A ε 0 µ0 ∂Φ ~ ~ +∇·A=0 ∂t (7) gelten. ii. Eine allgemeine Eichtransformation der Potentiale ist eine gleichzeitige Transformation ∂χ ∂t 0 ~ ~ ~ ~ A → A = A + ∇χ Φ → Φ0 = Φ − (8a) (8b) mit einer beliebigen Funktion χ von Zeit und Ort. Sei χ die „Eichfunktion“ der Eichtransformation von Φret. nach Φ. Laut Gl. (8a) gilt Φ = Φret. − ∂χ ∂t ⇔ ∂χ = Φret. − Φ. ∂t Die Integration beider Seite dieser Gleichung nach der Zeit von einem beliebigen Anfangspunkt t0 bis zur Zeit t gibt dann Z t χ(t,~r) − χ(t0 ,~r) = Φret. (t0 ,~r) − Φ(t0 ,~r) dt0 . t0 Dabei ist χ(t0 ,~r) unwesentlich für die Eichtransformation und kann weggelassen werden. Mit der Wahl t0 = −∞ ergibt sich die gesuchte Formel 2 Wintersemester 2016/17 Theoretische Physik I Z t χ(t,~r) = Universität Bielefeld Φret.(t0 ,~r) − Φ(t0 ,~r) dt0 (9) −∞ Aus Gl. (8b) folgt Z ~ ~ ~ ~ ~ A(t,~r) = Aret.(t,~r) + ∇χ(t,~r) = Aret.(t,~r) + ∇ ~ ret.(t,~r) + =A Z t Φret.(t0 ,~r) − Φ(t0 ,~r) dt0 −∞ t 0 ~ ret.(t0 ,~r) − ∇Φ(t ~ ∇Φ ,~r) dt0 . (10) −∞ Dabei gilt laut der Beziehung zwischen dem elektrischen Feld und den Potentialen woraus Z t 0 ~ ~ ret.(t0 ,~r) = −E(t ~ 0 ,~r) − ∂ Aret.(t ,~r) , ∇Φ ∂t Z t h i 0 0 ~ ~ 0 ,~r)dt0 − A ~ ret.(t,~r) − A ~ ret.(−∞,~r) . ∇Φret.(t ,~r)dt = − E(t −∞ −∞ folgt. Eingesetzt in Gl. (10) kommt ~ r) = A ~ ret.(−∞,~r) − A(t,~ Z ~ ret.(−∞,~r) − =A Z t ~ 0 ,~r)dt0 − E(t −∞ t Z t 0 ~ ∇Φ(t ,~r)dt0 −∞ 0 ~ 0 ,~r)0 + ∇Φ(t ~ E(t ,~r) dt0 . (11) −∞ 68. Ebene elektromagnetische Welle i. Elektrisches und magnetisches Feld Die elektromagnetischen Potentiale Φ(t,~r) = λcf (~k ·~r − ωt), ~ r) = ~εf (~k ·~r − ωt) A(t,~ (12) führen zum elektrischen Feld ~ r) ∂ A(t,~ ~ r) = −∇Φ(t,~ ~ = −λc~kf 0 (~k·~r−ωt)+ω~εf 0 (~k·~r−ωt) = (ω~ε−λc~k)f 0 (~k·~r−ωt) (13a) E(t,~ r)− ∂t und zur magnetischen Induktion ~ r) = ∇ ~ × A(t,~ ~ r) = ~k ×~εf 0 (~k ·~r − ωt). B(t,~ ii. Eichtransformation Unter den gleichzeitigen Änderungen ω λ → λ0 ≡ λ + α , c ~ε → ~ε0 ≡ ~ε + α~k mit α ∈ R (13b) (14) werden die Felder (13) zu ~ 0 = (ω~ε0 − λ0 c~k)f 0 = ω~ε + αω~k − λc~k − αω~k f 0 = (ω~ε − λc~k)f 0 = E ~ E und ~ 0 = ~k ×~ε0 f 0 = ~k × ~ε + α~k f 0 = ~k ×~εf 0 = B. ~ B ~ und B ~ bleiben invariant unter der Transformation (14) der Potentiale, die somit D.h., die Felder E eine Eichtransformation ist. iii. Inhomogene Maxwell-Gleichungen Allgemein lauten die inhomogenen Maxwell-Gleichungen im Vakuum 3 Wintersemester 2016/17 Theoretische Physik I Universität Bielefeld ~ ~ ×B ~ − 1 ∂ E = ~0. ∇ 2 c ∂t 00 Für die Felder (13) gelten (f bezeichnet natürlich die zweite Ableitung) ~ ·E ~ = (ω~ε − λc~k) · ~kf 00 = (ω~ε · ~k − λc~k 2 )f 00 ∇ ~ ·E ~ =0 ∇ , (15) (16) und ~ 00 −ω ω2 λω ~ 00 1 ∂E 00 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ = k × k ×~ε f − 2 (ω~ε − λc k)f = (~ε · k)k − k ~ε + 2 ~ε − k f ∇×B− 2 c ∂t c c c 2 λω ~ ω ~k 2 ~ε f 00 . − = ~ε · ~k − k+ c c2 (17) ~ ·E ~ = 0 ist dann äquivalent — falls f 00 nicht identisch verschwinDie Maxwell–Gauß-Gleichung ∇ 2 ~ ~ det — zur Beziehung ω~ε · k − λc k = 0, d.h. ω λ~k 2 = ~k ·~ε. (18) c Unter Verwendung dieser Gleichung wird Gl. (17) zu 2 2 ~ ω λc ~ λc ~ 2 λω ~ ω 1 ∂E 00 2 2 ~ ~ ~ ~ − k +~ε f 00 . = k − − k ~ε f = −k k+ ∇×B− 2 c ∂t ω c c2 c2 ω Die Maxwell–Ampère-Gleichung ist dann erfüllt, wenn 2 ω λc ~ 2 ~ −k ~ε − k = ~0. c2 ω (19) iv. Fall ω 2 6= c2~k 2 Dann muss laut Gl. (19) ~ε = λc~k/ω gelten. Die Eichtransformation (14) mit α = −λc/ω führt zu λc ~ λc ~ ~ ~ε0 = k− k = 0, ω ω ~ 0 = ~0, und d.h. A λc ω λ0 = λ − = 0, ω c ~ und B ~ Felder, verschwinden. d.h. Φ0 = 0. Beide Potentiale, und somit die E v. Fall ω 2 = c2~k 2 a) Die Lorenz-Eichbedingung lautet 1 ∂Φ ~ ~ λω 0 ~ λω 0 ω~ λω 2 c 0 ω~ 0 2 c 0 ~ ~ 0= 2 + ∇ · A = − f + k ·~εf = k ·~ε − f = k ·~ε − 2 f = k ·~ε − λk f. c ∂t c c c c ω c ω Der Term in Klammern im rechten Glied verschwindet laut der Gl. (18), d.h. die Eichbedingung ist erfüllt. b) Mit α = −λc/ω führt die Eichtransformation (14) zu λc λc ω λ0 = λ − = 0 und ~ε0 = ~ε − ~k ω c ω 0 ~ Das heißt, man hat (wie in der Vorlesung!) Φ = 0. Dazu gilt k ·~ε0 = ~k ·~ε − λc~k 2 /ω = 0, wobei die zweite Gleichung aus Beziehung (18) folgt. Aus Φ0 = 0 folgt ∂Φ0 /∂t = 0, so dass die Lorenz-Eichbedingung sich zur Coulomb-Eichbedingung ~ ·A ~ = 0 vereinfacht. ∇ Mit λ = 0 lauten die Felder (13) ~ r) = ω~ε0 f 0 (~k ·~r − ωt) und B(t,~ ~ r) = ~k ×~ε0 f 0 (~k ·~r − ωt) = 1 ~k × E(t,~ ~ r), E(t,~ ω ~ = 0; dazu gelten auch ~k · B ~ =E ~ ·B ~ = 0 und |B| ~ = |E|/c. ~ wobei ~k · ~ε0 = 0 (s. oben), d.h. ~k · E 4