65. Elektrisches Feld aus Strömen

Wintersemester 2016/17
Theoretische Physik I
Universität Bielefeld
Übung Nr.15 — Lösungsvorschlag
65. Elektrisches Feld aus Strömen
~ 0 (~r) erzeugt, gilt
i. Wenn die stationäre Stromdichte ~el.,0 (~r) das Magnetfeld B
~ ×B
~ 0 (~r) = µ0~el.,0 (~r).
∇
(1a)
~ 0 (~r) quellfrei sein:
Andererseits muss B
~ ·B
~ 0 (~r) = 0.
∇
(1b)
~ r) ≡ B
~ 0 (~r) t/τ .
a) Sei ~el.(t,~r) ≡ ~el.,0 (~r) t/τ und B(t,~
~
Erstens erfüllt das Feld B(t,~r) die Maxwell–Thomson-Gleichung:
~ · B~0 (~r) = 0,
~ · B(t,~
~ r) = t ∇
∇
τ
(2a)
wobei Gl. (1b) benutzt wurde.
~ r)
Dann soll die Maxwell–Ampère-Gleichung für B(t,~
~
~ × B(t,~
~ r) = µ0~el. (t,~r) + 0 µ0 ∂ E(t,~r)
∇
∂t
lauten. Unter Verwendung der Gl. (1a) gilt
(2b)
~ × B(t,~
~ r) = t ∇
~ ×B
~ 0 (~r) = t µ0~el.,0 (~r) = µ0~el.(t,~r),
∇
τ
τ
~ r) erfüllt wird.
so dass Gl. (2b) für jedes zeitunabhängige Feld E(~
Um noch der Maxwell–Faraday-Gleichung
~
~ × E(t,~
~ r) + ∂ B(t,~r) = ~0
∇
∂t
(2c)
~ r) die Bedingung
zu genügen, soll E(~
~
~ × E(~
~ r) = − ∂ B(t,~r) = − 1 B
~ 0 (~r)
∇
∂t
τ
(2d)
erfüllen. Dies ist zum Beispiel der Fall für
~ r) = −1
E(~
4πτ
Z ~
~ 0 (~r 0 )
∇~r 0 × B
d3~r 0 ,
0
|~r −~r |
(2e)
wobei sich diese Formel durch die Analogie der Frage ii. motiviert ist.
~ r) der Bedingung
Schließlich genügt dieses Feld E(~
~ · E(~
~ r) = 0,
∇
(2f)
entsprechend der Maxwell–Gauß-Gleichung für ρel.(t,~r) = 0.
b) Das elektrische Feld (2e) ist quellfrei, Gl. (2f), während seine Rotation nicht-Null ist, Gl. (2d).
Dagegen erfüllt das von einer stationären Ladungsdichte ρel.,st.(~r) herrührende elektrostatische
~ st.(~r) die Gleichungen
Feld E
~ ·E
~ st.(~r) = ρel.,st.(~r)
∇
0
~ ×E
~ st.(~r) = ~0,
und ∇
~ st.(~r) ist rotationsfrei und mit einer nicht-verschwindenden Divergenz.
d.h. E
1
Wintersemester 2016/17
Theoretische Physik I
Universität Bielefeld
ii. Die Gleichungen (2d), (2f) haben die gleiche Struktur wie die magnetostatischen Gleichungen
~ 1 (~r), das durch eine Ladungsstromdichte
für das Magnetfeld B
~el.,1 (~r) =
−1 ~
B0 (~r)
µ0 τ
erzeugt wird.
66. Sphärische Wellen
Die klassische Wellengleichung für eine kugelsymmetrische Funktion f (r) lautet
1 ∂2 1 ∂ 2 u(t, r)
1 ∂ 2 u(t, r)
=
ru(t,
r)
−
= 0.
c2 ∂t2
r ∂r2
c2 ∂t2
Die Multiplikation dieser Gleichung mit r ergibt
4u(t, r) −
(3)
∂2 1 ∂2 ru(t,
r)
−
ru(t, r) = 0,
2
2
2
∂r
c ∂t
(4)
d.h. die Funktion ru(t, r) ist Lösung der (1 + 1)-dimensionalen Wellengleichung. Laut Ergebnissen
der Vorlesung ist ru(t, r) Summe aus einer Funktion f+ von r − ct und einer Funktion f− von r + ct:
die allgemeine Lösung der Gl. (3) ist
f+ (r − ct) f− (r + ct)
+
,
r
r
d.h. die Amplitude der Welle nimmt mit r ab .
u(t, r) =
(5)
67. Eichtransformationen
i. Die retardierten Potentiale
Z
1
ρel. (t−|~r−~r 0 |/c,~r 0 ) 3 0
Φret.(t,~r) =
d ~r ,
4π0
|~r −~r 0 |
~ ret.(t,~r) = µ0
A
4π
Z
~el. (t−|~r−~r 0 |/c,~r 0 ) 3 0
d ~r
|~r −~r 0 |
(6)
~ = µ0~el. , die in Lorenz-Eichung
sind Lösungen der Bewegungsgleichungen Φ = ρel. /ε0 und A
ε 0 µ0
∂Φ ~ ~
+∇·A=0
∂t
(7)
gelten.
ii. Eine allgemeine Eichtransformation der Potentiale ist eine gleichzeitige Transformation
∂χ
∂t
0
~
~
~
~
A → A = A + ∇χ
Φ → Φ0 = Φ −
(8a)
(8b)
mit einer beliebigen Funktion χ von Zeit und Ort.
Sei χ die „Eichfunktion“ der Eichtransformation von Φret. nach Φ. Laut Gl. (8a) gilt
Φ = Φret. −
∂χ
∂t
⇔
∂χ
= Φret. − Φ.
∂t
Die Integration beider Seite dieser Gleichung nach der Zeit von einem beliebigen Anfangspunkt t0
bis zur Zeit t gibt dann
Z t
χ(t,~r) − χ(t0 ,~r) =
Φret. (t0 ,~r) − Φ(t0 ,~r) dt0 .
t0
Dabei ist χ(t0 ,~r) unwesentlich für die Eichtransformation und kann weggelassen werden. Mit der
Wahl t0 = −∞ ergibt sich die gesuchte Formel
2
Wintersemester 2016/17
Theoretische Physik I
Z
t
χ(t,~r) =
Universität Bielefeld
Φret.(t0 ,~r) − Φ(t0 ,~r) dt0
(9)
−∞
Aus Gl. (8b) folgt
Z
~
~
~
~
~
A(t,~r) = Aret.(t,~r) + ∇χ(t,~r) = Aret.(t,~r) + ∇
~ ret.(t,~r) +
=A
Z
t
Φret.(t0 ,~r) − Φ(t0 ,~r) dt0
−∞
t 0
~ ret.(t0 ,~r) − ∇Φ(t
~
∇Φ
,~r) dt0 .
(10)
−∞
Dabei gilt laut der Beziehung zwischen dem elektrischen Feld und den Potentialen
woraus
Z
t
0
~
~ ret.(t0 ,~r) = −E(t
~ 0 ,~r) − ∂ Aret.(t ,~r) ,
∇Φ
∂t
Z t
h
i
0
0
~
~ 0 ,~r)dt0 − A
~ ret.(t,~r) − A
~ ret.(−∞,~r) .
∇Φret.(t ,~r)dt = −
E(t
−∞
−∞
folgt. Eingesetzt in Gl. (10) kommt
~ r) = A
~ ret.(−∞,~r) −
A(t,~
Z
~ ret.(−∞,~r) −
=A
Z
t
~ 0 ,~r)dt0 −
E(t
−∞
t Z
t
0
~
∇Φ(t
,~r)dt0
−∞
0
~ 0 ,~r)0 + ∇Φ(t
~
E(t
,~r) dt0 .
(11)
−∞
68. Ebene elektromagnetische Welle
i. Elektrisches und magnetisches Feld
Die elektromagnetischen Potentiale
Φ(t,~r) = λcf (~k ·~r − ωt),
~ r) = ~εf (~k ·~r − ωt)
A(t,~
(12)
führen zum elektrischen Feld
~ r)
∂ A(t,~
~ r) = −∇Φ(t,~
~
= −λc~kf 0 (~k·~r−ωt)+ω~εf 0 (~k·~r−ωt) = (ω~ε−λc~k)f 0 (~k·~r−ωt) (13a)
E(t,~
r)−
∂t
und zur magnetischen Induktion
~ r) = ∇
~ × A(t,~
~ r) = ~k ×~εf 0 (~k ·~r − ωt).
B(t,~
ii. Eichtransformation
Unter den gleichzeitigen Änderungen
ω
λ → λ0 ≡ λ + α ,
c
~ε → ~ε0 ≡ ~ε + α~k
mit α ∈ R
(13b)
(14)
werden die Felder (13) zu
~ 0 = (ω~ε0 − λ0 c~k)f 0 = ω~ε + αω~k − λc~k − αω~k f 0 = (ω~ε − λc~k)f 0 = E
~
E
und
~ 0 = ~k ×~ε0 f 0 = ~k × ~ε + α~k f 0 = ~k ×~εf 0 = B.
~
B
~ und B
~ bleiben invariant unter der Transformation (14) der Potentiale, die somit
D.h., die Felder E
eine Eichtransformation ist.
iii. Inhomogene Maxwell-Gleichungen
Allgemein lauten die inhomogenen Maxwell-Gleichungen im Vakuum
3
Wintersemester 2016/17
Theoretische Physik I
Universität Bielefeld
~
~ ×B
~ − 1 ∂ E = ~0.
∇
2
c ∂t
00
Für die Felder (13) gelten (f bezeichnet natürlich die zweite Ableitung)
~ ·E
~ = (ω~ε − λc~k) · ~kf 00 = (ω~ε · ~k − λc~k 2 )f 00
∇
~ ·E
~ =0
∇
,
(15)
(16)
und
~
00 −ω
ω2
λω ~ 00
1 ∂E
00
2
~
~
~
~
~
~
~
~
= k × k ×~ε f − 2 (ω~ε − λc k)f = (~ε · k)k − k ~ε + 2 ~ε −
k f
∇×B− 2
c ∂t
c
c
c
2
λω ~
ω
~k 2 ~ε f 00 .
−
= ~ε · ~k −
k+
c
c2
(17)
~ ·E
~ = 0 ist dann äquivalent — falls f 00 nicht identisch verschwinDie Maxwell–Gauß-Gleichung ∇
2
~
~
det — zur Beziehung ω~ε · k − λc k = 0, d.h.
ω
λ~k 2 = ~k ·~ε.
(18)
c
Unter Verwendung dieser Gleichung wird Gl. (17) zu
2
2
~
ω
λc ~
λc ~ 2 λω ~
ω
1 ∂E
00
2
2
~
~
~
~
− k +~ε f 00 .
=
k −
− k ~ε f =
−k
k+
∇×B− 2
c ∂t
ω
c
c2
c2
ω
Die Maxwell–Ampère-Gleichung ist dann erfüllt, wenn
2
ω
λc ~
2
~
−k
~ε −
k = ~0.
c2
ω
(19)
iv. Fall ω 2 6= c2~k 2
Dann muss laut Gl. (19) ~ε = λc~k/ω gelten. Die Eichtransformation (14) mit α = −λc/ω führt
zu
λc ~ λc ~ ~
~ε0 =
k−
k = 0,
ω
ω
~ 0 = ~0, und
d.h. A
λc ω
λ0 = λ −
= 0,
ω c
~ und B
~ Felder, verschwinden.
d.h. Φ0 = 0. Beide Potentiale, und somit die E
v. Fall ω 2 = c2~k 2
a) Die Lorenz-Eichbedingung lautet
1 ∂Φ ~ ~
λω 0 ~
λω 0
ω~
λω 2 c 0
ω~
0
2 c 0
~
~
0= 2
+ ∇ · A = − f + k ·~εf = k ·~ε −
f =
k ·~ε − 2
f =
k ·~ε − λk
f.
c ∂t
c
c
c
c
ω
c
ω
Der Term in Klammern im rechten Glied verschwindet laut der Gl. (18), d.h. die Eichbedingung ist
erfüllt.
b) Mit α = −λc/ω führt die Eichtransformation (14) zu
λc
λc ω
λ0 = λ −
= 0 und ~ε0 = ~ε − ~k
ω c
ω
0
~
Das heißt, man hat (wie in der Vorlesung!) Φ = 0. Dazu gilt k ·~ε0 = ~k ·~ε − λc~k 2 /ω = 0, wobei die
zweite Gleichung aus Beziehung (18) folgt.
Aus Φ0 = 0 folgt ∂Φ0 /∂t = 0, so dass die Lorenz-Eichbedingung sich zur Coulomb-Eichbedingung
~ ·A
~ = 0 vereinfacht.
∇
Mit λ = 0 lauten die Felder (13)
~ r) = ω~ε0 f 0 (~k ·~r − ωt) und B(t,~
~ r) = ~k ×~ε0 f 0 (~k ·~r − ωt) = 1 ~k × E(t,~
~ r),
E(t,~
ω
~ = 0; dazu gelten auch ~k · B
~ =E
~ ·B
~ = 0 und |B|
~ = |E|/c.
~
wobei ~k · ~ε0 = 0 (s. oben), d.h. ~k · E
4