Lösungen

Übungen zur Vorlesung Physik für Ingenieure I
Prof. Dr. K. Roßnagel, WS 2016/17
Blatt 2 Lösungen
1.
a) Die Kinematik beschreibt Bewegungsabläufe ohne auf die Ursachen der Bewegungsänderungen einzugehen. Allgemeine Erhaltungssätze (Energie-, Impulsund Drehimpulserhaltung) werden berücksichtigt, aber Ursachen und Form
der Kräfte und Wechselwirkungen werden nicht behandelt.
Zunächst befasst sich die Kinematik mit Orts-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsfunktionen. Der Ort eines Objekts wird mittels Koordinaten angegeben, in einem geeigneten Koordinatensystem mit normalerweise bis zu drei
Ortskoordinaten, die den (dreidimensionalen) Raum kartieren in dem sich das
Objekt bewegt.
Die physikalischen Gesetze sind im allgemeinen in kartesischen Koordinaten
formuliert, und meistens ist ein Inertialsystem gefordert. Wenn andere Koordinatensysteme angewendet werden, dann müssen die Gesetze in das verwendete
System transformiert werden. Oft sind aufgrund der Symmetrien des Problems
Kugel- oder Zylinderkoordinaten geeigneter zur Lösung.
b) Die Geschwindigkeit ist die Ableitung der Ortskoordinaten eines Objektes nach
x
. Die SI-Einheit ist demnach [v] = 1 m/s.
der Zeit, ~v = d~
dt
Die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit, ~a =
d~v
. Die SI-Einheit ist [a] = 1 m/s2 .
dt
2.
a)
x(t) = bt + d
[x]
= 1 m/s
[b] =
[t]
[d] = [x] = 1 m
dx
v =
=b
dt
dv
a =
=0
dt
b)
x(t) = ct2 + d
[x]
[c] =
= 1 m/s2
[t2 ]
s
x−d
c
q
dx
v =
= 2ct = 2 c (x − d)
dt
dv
a =
= 2c
dt
t =
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c)
u
(1 − exp(−δt))
δ
x(t) = d +
[δ] =
[u] =
t =
v =
a =
1
= 1 s−1
[t]
[x][δ] = 1 m/s
!
1
δ
− ln 1 − (x − d)
δ
u
dx
= u exp(−δt) = u − (x − d)δ
dt
dv
= −uδ exp(−δt)
dt
3. Gegeben ist a(t), wenn auch nicht direkt. t1 = 10 s, t2 = 22 s, t3 = 30 s, v0 = v3 = 0,
v1 = v2 = 80·103 m/3600 s = 22.2 m/s.
a) 0 < t < t1
v1
= a1 = 2.22 m/s2
t1
v(0) = 0
a(t) =
v(t) = v(0) +
Z t
0
a(t0 )dt0 = a1 t = 1.67 m/s2 ·t
v(t1 ) = v1 = 25 m/s
s(0) = 0
s(t) = s(0) +
Z t
0
s(t1 ) =
1
vt
2 1 1
v(t0 )dt0 = 12 a1 t2 = 0.83 m/s2 ·t2
= s1 = 111 m
t1 < t < t2
a(t) = 0
v(t) = v1 +
s(t) = s1 +
Z t
t1
Z t
t1
a(t0 )dt0 = v1
v(t0 )dt0 = s1 + (t − t1 )v1 = (t − 12 t1 )v1
= v1 t − s1 = 22.2 m/s·t − 111 m
s(t2 ) = v1 ·(t2 − 21 t1 ) = s2 = 378 m
t2 < t < t3
a(t) = −
v1
= −a3 = −2.78 m/s2
t3 − t2
v(t) = v1 +
Z t
t2
a(t0 )dt0 = v1 − a3 ·(t − t2 ) = a3 ·(t3 − t)
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= −a3 t + a3 t3 = −2.78 m/s2 ·t + 83.3 m/s
s(t) = s2 +
Z t
v(t0 )dt0 = s2 + a3 t3 (t − t2 ) − 21 a3 (t2 − t22 )
t2
1
− 2 a3 t22 − 12 v1 t1
+ a3 t3 t − 21 a3 t2
=
= −783 m + 83.3 m/s·t − 1.39 m/s2 ·t2
s(t3 ) = 21 v1 ·(t2 + t3 − t1 ) = s3 = 467 m
a [m/s2]
2.22
0
-2.78
0
10
22
30
t [s]
v [m/s]
22.2
0
0
10
22
30
22
30
t [s]
467
s [m]
378
111
0
0
10
t [s]
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v [m/s]
22.2
0
0
111
378
467
s [m]
b) s < s1
s(t) =
1
a1 t2
2
s
t(s) =
2s
a1
s
v = a1 t = a1
=
2s √
= 2a1 s
a1
q
4.44 m/s2 ·s
s1 < s < s 2
v = v1 = 22.2 m/s
s2 < s < s 3
s(t) = s3 − 21 a3 (t − t3 )2
s
t = t3 −
2(s3 − s)
a3
v = a3 (t3 − t) =
=
q
q
2a3 (s3 − s)
5.56 m/s2 (467 m − s)
c)
v(s3 − 1 m) =
q
6.25 m/s2 ·1 m = 2.4 m/s = 8.5 km/h
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