Grundbegriffe der Prädikatenlogik

Logik und Diskrete Strukturen
Einheit 17
Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Grundbegriffe der Prädikatenlogik
Die Aussagenlogik kann vieles nicht ausdrücken, zum Beispiel:
• Für alle Objekte einer gewissen Art gilt...
• Es gibt ein Objekt einer gewissen Art mit...
• Funktionen und Relationen
Um solche Begriffsbildungen in unsere Logik mit einzubeziehen,
müssen wir die Aussagenlogik erweitern. Wir kommen dadurch
zum Begriff der Prädikatenlogik (erster Stufe).
Die hier nicht behandelte Prädikatenlogik zweiter Stufe erlaubt auch Quantoren,
die sich auf Funktionen oder Prädikate beziehen.
Winter 2015/16
– Folie 17.1 –
19.11.2015
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Syntax der Prädikatenlogik
Wir verwenden drei Sorten von Objekten:
• Eine Variable hat die Form xi für ein i ∈ {1, 2, . . . }
• Ein Prädikatsymbol hat die Form Pik für ein i ∈ {1, 2, . . . }
und ein k ∈ {0, 1, 2, . . . }
k
• Ein Funktionssymbol hat die Form fi für ein i ∈ {1, 2, . . . }
und ein k ∈ {0, 1, 2, . . . }
i ist ein Index, der uns ermöglicht, jeweils eine beliebige Anzahl dieser
Objekte zu verwenden. Wir nennen i auch Unterscheidungsindex.
k ist die Stelligkeit oder Stellenzahl von Pik bzw. fik .
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– Folie 17.2 –
19.11.2015
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Terme
Die Menge der Terme definieren wir induktiv so:
Induktionsanfang
• Variablen sind Terme.
• Wenn f ein k-stelliges Funktionssymbol ist und
t1 , . . . , tk Terme sind, dann ist auch
f (t1 , . . . , tk )
Induktionsschritt
ein Term.
Nullstellige Funktionssymbole stellen nach dieser Definition ebenfalls Terme dar, die wir auch als Konstanten bezeichnen.
Gelegentlich werden bei nullstelligen Funktionssymbolen die Klammern weggelassen.
Beispiele für Terme: f31 (f31 (x4 )), f22 (f50 (), f31 (x22234 )), f71 (f30 )
aber auch: x9 , f13 (x7 , x7 , x6 ), f11 (x1 )
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– Folie 17.3 –
19.11.2015
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Formeln
Nun soll die Menge der Formeln definiert werden:
• Wenn P ein k-stelliges Prädikatsymbol ist und t1 , . . . , tk
Terme sind, dann ist
P(t1 , . . . , tk )
eine atomare Formel.
• Mit F und G sind auch ¬F , (F ∧ G ) und (F ∨ G ) Formeln.
• Wenn F eine Formel ist und x eine Variable, dann sind
auch ∃x F und ∀x F Formeln.
Der Begriff der Teilformel ist der Intuition entsprechend definiert.
Das gleich gilt für freie und gebundene Variablen.
Weitere wichtige Begriffe: Geschlossene Formel, Aussage, Matrix.
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– Folie 17.4 –
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Beispiel
F sei die folgende Formel:
F = (∀x3 P43 (x3 , f22 (x1 , x2 ), x2 ) ∧ ¬∃x1 P72 (x1 , f32 (f60 , f91 (x3 ))))
Wir schreiben alle Teilformeln, Terme, gebundene Variablen,
freie Variablen dieser Formel auf:
Teilformeln:
F,
∀x3 P43 (x3 , f22 (x1 , x2 ), x2 ),
P43 (x3 , f22 (x1 , x2 ), x2 ),
Terme:
x1 , x2 , x3 ,
Gebundene Variablen:
Freie Variablen:
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¬∃x1 P72 (x1 , f32 (f60 , f91 (x3 ))),
∃x1 P72 (x1 , f32 (f60 , f91 (x3 ))),
f60 , f91 (x3 ), f22 (x1 , x2 ),
P72 (x1 , f32 (f60 , f91 (x3 )))
f32 (f60 , f91 (x3 ))
x1 , x3
x1 , x2 , x3
– Folie 17.5 –
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Beispiel (Forts.)
Es geht nach wie vor um die Formel F :
F = (∀x3 P43 (x3 , f22 (x1 , x2 ), x2 ) ∧ ¬∃x1 P72 (x1 , f32 (f60 , f91 (x3 ))))
• Ist F eine Aussage?
Nein - es gibt freie Variablen.
• Kommen in F Konstanten vor?
Ja, eine Konstante: f60 bzw. f60 ().
• Wie lautet die Matrix von F ?
F ∗ = (P43 (x3 , f22 (x1 , x2 ), x2 ) ∧ ¬P72 (x1 , f32 (f60 , f91 (x3 ))))
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– Folie 17.6 –
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