Spezielle Relativitätstheorie

Spezielle Relativitätstheorie
K. Henneberger
Inhaltsverzeichnis
1 Inertialsysteme in der Elektrodynamik
1.1 Vorbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Ableitung der Lorentz-Transformation . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Einfache Folgerungen aus der Lorentz-Transformation . . . . . .
2
2
3
5
2 Minkowski-Raum
2.1 Minkowski-Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Minkowski-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Geometrische Objekte im Minkowski-Raum . . . . . . . . . . . .
6
6
7
8
3 Relativistische Elektrodynamik
11
3.1 Das Viererpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Maxwell-Gleichungen und Vierertensor des Feldes . . . . . . . . . 12
4 Relativistische Mechanik
16
4.1 Eigenzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2 Vierervektoren der Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.3 Relativistische Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1
1
1.1
Inertialsysteme in der Elektrodynamik
Vorbetrachtungen
Klassische Mechanik: Es gibt Inertialsysteme (Fixsternhimmel), in ihnen gilt
das Galileische Trägheitsprinzip.
Galilei-Transformation: Σ und Σ0 seien Inertialsysteme, d.h.
dr(t)
= v
dt
dr0 (t)
= v0
dt
⇒
d(r − r0 )
= v − v0 = ~ν → r0 = r − ~ν t
dt
Dabei wurde implizit vorausgesetzt t0 = t, d.h., es existiert eine universelle Zeit.
Michelson-Versuch: Lichtgeschwindigkeit im Vakuum erweist sich als univer√
selle Naturkonstante c = 1/ µ0 ε0 , dies folgt auch inhärent aus der Theorie,
z.B. bei Ableitung der Wellengleichung, da µ0 , ε0 nicht in Bezug auf bestimmtes Inertialsystem definiert sind (Meßvorschrift).
Widerspruch: Universalität von c ist unvereinbar mit Galilei-Transformation,
z.B. Lösung der Wellengleichung
∆f (x, t) −
x0 = x − νt
→
1 ¨
f (x, t) = 0
c2
→
f (x − ct)
f (x − ct) = f (x0 + νt − ct) = f (x0 − c0 t)
c0 = c − ν
Einstein (1905):
(1) Universalität der Zeit fallen lassen, d.h. t0 6= t
(2) Galileisches Trägheitsprinzip beibehalten, d.h.
dx
= v
dt
→
(konst.)
dx0
= v0
dt0
(konst.)
(3) Neu: Universalität der Lichtgeschwindigkeit c0 = c
Anschauliche Interpretation: Begriff der Gleichzeitigkeit ist damit ”relativiert”, betrachten dazu einfaches →
Beispiel: Eine Lichtquelle bewege sich mit der Geschwindigkeit ν und sende
zur Zeit t = 0 bei x = 0 einen Lichtblitz. Es werden die Inertialsysteme Σ
(mitbewegt, Lichtquelle ruht) und Σ0 betrachtet.
2
(1) Klassische mechanische Betrachtung
Σ:
f (x − ct)
Σ0 :
f (x0 − c0 t)
→ Ankunft des Blitzes am Ort x zur Zeit
t =
x0
x − νt
c0 = c − ν → t = 0 =
c
c−v
x
(gleiche Zeit wie in Σ)
t =
c
:
x
c
(2) Elektrodynamik; ”relativistisch”
Σ:
Σ0 :
x
c
x0
x
0
0
0
f (x − ct ) → t =
6
=
c
c
f (x − ct)
→ t =
(da x0 gegen x bewegt)
Ein Beobachter in Σ0 stellt die Ankunft des Signals zu einer früheren Zeit
fest (naiv x0 = x − νt , t0 = t (1 − ν/c) , jetzt → korrekte Ableitung).
1.2
Ableitung der Lorentz-Transformation
(1) Galileisches Trägheitsprinzip gilt, d.h. aus x = vt in Σ folgt x0 =
v 0 t0 in Σ0 → Transformation muß linear sein:
x0 = αx + βt
t0 = γx + δt
(2) Relativgeschwindigkeit (Def.): Σ0 gegen Σ mit ν , d.h.
x0 = 0
→
x = νt .
Einsetzen ergibt
αx + βt = 0
→
x = −
β
t
α
→
Umkehrung:
x=0
→
x0 = −νt0 ,
Einsetzen ergibt
x0 = βt
→
t0 = δt
Zwischenergebnis: β = −να ; δ = −
β
= −ν
δ
β
=α
ν
x0 = α (x − νt)
t0 = γx + αt
3
−
β
= ν
α
(3) Universalität der Lichtgeschwindigkeit, d.h.
x0 = ct0
↔
x = ct
Einsetzen ergibt
x0 = α (ct − νt) = α(c − ν)t
x0
α(c − ν)
=
= c
t0
γc + α
→
t0 = γ ct + αt = (γc + α)t
Zusammenhang zwischen γ und α
αν
c2
γ =
Zwischenergebnis:
x0 = α (x − νt)
t0 = α
ν
x
c2
t−
(4) Umkehrtransformation muß entstehen, wenn gleichzeitig vertauscht
wird
x, t ↔ x0 , t0 , sowie ν → −ν :
→ x = α (x0 + νt0 ) = α2
t = α
→ x =
α2
ν
t + 2 x0
c
0
ν2
1− 2
c
=
α2
ν
ν
t − 2 x + 2 [x − νt]
c
c
!
x
→ α =
t =
α2
ν2
1− 2
c
ν
x
c2
x − νt + ν t −
!
1
1−
t
!
ν2
=
1
1 − β2
c2
Ergebnis: Lorentz-Transformation
x − νt
x0 = p
1 − β2
ν
x
2
t0 = p c 2
1−β
t−
;
Beachte:
(1) Für ν c entsteht Galilei-Transformation, d.h. Newtonsche Mechanik
ist gültig.
<
(2) ν ∼ c , Lichtgeschwindigkeit als absolute obere Schranke für jedwede Bewegung.
(3) Übertragung auf drei räumliche Dimension trivial. Lege ~ν in x-Richtung
und ergänze y 0 = y , z 0 = z → beliebige Lorentztransformation durch
räumliche Drehung.
4
1.3
Einfache Folgerungen aus der Lorentz-Transformation
Längenkontraktion: Ein Maßstab in seinem Ruhesystem Σ hat die Länge l =
x2 −x1 . Im bewegten System Σ0 muß die Länge als gleichzeitige (!) Fixierung von
Anfangs- und Endpunkt definiert werden, d.h. l0 = x02 −x01 , wobei t02 = t01 = t0 .
Folglich
x0 − x02
l0
p
l = x2 (x02 , t02 ) − x1 (x01 , t01 ) = p1
=
1 − β2
1 − β2
Ergebnis: Ein bewegter Maßstab verkürzt sich.
Zeitdilation: Eine Uhr ruhe im Ursprung von Σ und zeige die Zeitdifferenz
τ = t2 − t1 an.
In Σ0 ergibt sich (x2 = x1 = 0) .
τ 0 = t02 (x2 , t2 ) − t01 (x1 , t1 ) = p
τ
1 − β2
Ergebnis: Eine bewegte Uhr geht nach/langsamer.
Addition von Geschwindigkeiten: Ein Körper bewege sich mit v =
in Σ. In Σ0 gilt
dx0
dx − ν dt
v−ν
0
=
=
ν
vν = v
0
dt
dt − 2 dx
1− 2
c
c
Beachte:
(a) v (oder ν) c
→
Galilei: v 0 = v − c .
(b) v → c : Dann folgt ebenfalls
v0
→
c−ν
c−ν
cν =
ν = c
1− 2
1−
c
c
5
dx
dt
2
Minkowski-Raum
Ziel: Eine geeignete, formal-mathematische Darstellung des Übergangs von einem Inertialsystem zum anderen mit folgender Motivation:
(a) Einheitliche Behandlung von Raumkoordinaten und Zeit, da beide ”ineinander übergehen” können; jedem zeitlichen Abstand wird durch die
Naturkonstante c auch ein räumlicher Abstand ct zugeordnet.
(b) Dabei lernen, wie Naturgesetze formuliert werden müssen, damit sie
in allen Inertialsystemen die gleiche Struktur haben (Erinnerung: Newtonsche Gleichung gilt in allen ”Inertialsystemen”, die durch GalileiTransformation auseinander hervorgehen).
Zunächst: Betrachtungen ”fast” o.B. d.A. für nur eine räumliche Dimension →
2.1
Minkowski-Ebene
Führt man anstelle x , t neue Koordinaten x1 = x , x2 = ict ein, dann schreibt
sich die Lorentztransformation
x − vt
x0 = p
1 − β2
→
xα = aαβ xβ ; aαβ
v
− 2 x+t
c
0
t = p
1 − β2
1
= p
1 − β2
P
Beachte: Einsteinsche Summenkonvention ( ) , β =
1,2
1
iβ
−iβ 1
!
v
c
Behauptung: In der x1 , x2 − Ebene beschreibt dies eine orthogonale Transformation (Drehung, d.h. Abstand/Länge invariant).
Beweis:
(1) â ist orthogonale Matrix, d.h. es gilt
â−1 = âT
a−1
αβ = aαβ
&
Bilden
!
=
1 − iβ
iβ
1
1
=
1 − β2
1 iβ
−iβ 1
T
â
und sehen
T
â â
p
!
1
1 − β2
1 − iβ
iβ
1
(2) Daraus folgt Abstand konstant. Definition Abstand:
|x|2 = x21 + x22 = xα xα
6
!
= δ̂
Folglich
x0α x0α = aα β · aα γ xβ xγ
= a−1
β α aα γ xβ xγ = xβ xβ
|
{z
}
δβγ
Beachte: Die so definierte Länge = Abstand ist zunächst fiktiv und unanschaulich, da
|x|2 = x2 − c2 t2
Folglich kann |x|2 < 0 (Ereignisse nur durch Über-Lichtgeschwindigkeit, also
nicht kausal verknüpft), |x|2 = 0 (Lichtausbreitung) und |x|2 < 0 (Ereignisse
kausal verknüpft → raumartiger Abstand) sein!
2.2
Minkowski-Raum
Verallgemeinerung auf drei räumliche Dimensionen ist offensichtlich:
{x, y, z, ict} → {x1 , x2 , x3 , x4 } = xα
;
(α = 1 , . . . , 4)
Formale Schreibweise der Lorentz-Transformation
x − vt
x0 = p
1 − β2
0
y = y
z0 = z
v
− 2 x+t
c
t0 = p
1 − β2

→



x0α = aαβ xβ ; â = 


√
1
1−β 2
0
0
√−iβ
1−β 2
Wie vorher: aαβ = a−1
αβ
0 0
√ iβ

1 0
0 1
0 0
0
0






1−β 2
√
1
1−β 2
(orthogonale Matrix)
→ |x|2 = xα xα = r2 − c2 t
invariant
Beweis: x0α x0α = aαβ aαγ xβ xγ = xβ xβ
Beachte:
Bisher wurde nur den Fall betrachtet, bei dem Σ0 sich gegen Σ auf der xAchse bewegt. Verallgemeinerung auf beliebige Relativgeschwindigkeit v =
(vx , vy , vz ) durch rein räumliche Drehung xi = aij xj (i, j = 1, . . . , 3) →
hier nicht weiter betrachten.
7
Zusammenfassung:
Der Übergang Σ → Σ0 läßt sich auffassen als Drehung (orthogonale Transformation) im Minkowski-Raum, bei welcher der raum-zeitliche Abstand invariant
ist.
Frage: Wie müssen Naturgesetze beschaffen sein, die in jedem Inertialsystem die
gleiche Form haben? → Forminvarianz (Kovarianz)! Studieren dazu →
2.3
Geometrische Objekte im Minkowski-Raum
Die Größen sind durch ihr Transformationsverhalten gegenüber Drehungen (wie
im 3-dimensionalen Kartesischen Raum) definiert:
Skalar = Invariante, d.h. Zahl A0 = A
Beispiel: raum-zeitlicher Abstand
s =
√
xα xα
Vektor: Quatrupel von Zahlen Aα = {A1 , A2 , A3 , A4 } , welches sich beim
Übergang Σ → Σ0 wie Koordinaten transformiert, also
A0α = aαβ Aβ
Beispiel: Ortsvektor xα im Minkowski-Raum.
Veranschaulichung in der x-y-Ebene: Das geometrische Objekt ist der Vektor
(= Pfeil); seine Komponenten (Projektion auf die Achsen) hängen von der Wahl
der Koordinaten ab und ändern sich bei einer Drehung. Die geometrische Figur
(Pfeil) ändert sich dabei nicht (Kovarianz!), denn so ist gerade das Transformationsverhalten definiert.
Tensor n−ter Stufe analog: 4n −Tupel von Zahlen Aα1 , α2 ...αn , die sich beim
Übergang Σ → Σ0 wie Produkte der Koordinaten xα1 xα2 . . . xαn transformieren, also
A0α1 α2 ...αn = aα2 β2 aα2 β2 . . . aαn βn Aβ1 β2 ...βn
Folgende Rechenregeln gelten
(1) Summe von Tensoren gleicher Stufe ergibt wieder Tensor dieser Stufe
Beweis:
Aαβ + Bαβ = Cαβ
A0αβ = aαγ aβδ Aγδ
0
Bαβ
= aαγ aβδ Bγδ
→
0
Cαβ
= aαγ aβδ Cγδ
8
(2) Verjüngung eines Tensor n−ter Stufe erzeugt Tensor (n − 2)−ter Stufe,
d.h.
Tα1 . . .αi . . .αj . . .αn → Tα1 . . . α . . .α . . .αn
(Summe α !)
| {z }
Beweis:
Tα0 1 . . .αi . . .αj . . .αn = aα1 β1 . . . aαi βi . . . aαj βj . . . aαn βn Tβ1 ...βi ...βj ...βn
Tα0 1 . . . α . . .α . . .αn = aα1 β1 . . . aαβi . . . aαβj . . . aαn βn Tβ1 ...βi ...βj ...βn
| {z }
|
{z
}
= δ βi βj
a
a−1
β α αβj
i
∂
transformiert sich wie Vektor
∂xα
(3) Viererableitung ∇α =
Beweis:
∂
∂xα
0
=
∂xβ
∂
∂
∂
=
· 0 = aαβ
0
∂xα
∂xβ ∂xα
∂xβ
denn
x0α = aαβ xβ
(4) Folglich ist
→
0
xβ = a−1
βα xα
→
∂xβ
= a−1
βα = aαβ
∂x0α
∂Tα1 ...αn
Tensor (n+1)-ter Stufe
∂xα
Beweis:
∂Tα1 ...αn
∂xα
0
=
∂
T0
∂x0α α1 ...αn
= aαβ aα1 β1 . . . aαn β1
∂Tβ1 ...βn
∂xβ
(5) Wichtigster Spezialfall: Der 2−Operator ist ein skalarer Operator
Beweis:
∆−
∂
∂
∂xα ∂xα
∂
1 ∂2
∂
=
·
2
2
c ∂t
∂xα ∂xα
0
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
= aαβ aαγ
=
0
0
∂xα ∂xα
∂xβ ∂xγ
∂xβ ∂xβ
da
aαβ aαγ = a−1
βα aαγ = δβγ
9
Zusammenfassung und weiteres Vorgehen:
(1) Übergang Σ − Σ0 (Lorentztransformation) ⇒ Drehung im MinkowskiRaum
(2) physikalische Meßgrößen ⇒ Tensoren
(3) Einsteinsches Relativitätsprinzip: In allen Inertialsystemen haben Naturgesetze die gleiche Gestalt (NB für Erkenntnis!) →
(4) Naturgesetze müssen als Tensorgleichungen im Minkowski-Raum formuliert werden.
10
3
Relativistische Elektrodynamik
Grundgedanke/Strategie:
(1) Ausgangspunkt: Grundgleichungen (Maxwellgleichungen für die Felder
bzw. Potentialgleichungen) in einem Inertialsystem
(2) Darstellung dieser Gleichungen als Tensorbeziehungen im MinkowskiRaum (nichts Neues, rein formal, Viererschreibweise)
(3) Falls dies gelingt → Transformation in anderes Inertialsystem durch
Lorentztransformation → orthogonale Transformation (Drehung) im
Minkowski-Raum. Dabei bedeutet Invarianz des (raum-zeitlichen) Abstands → Lichtausbreitung erfolgt in allen Inertialsystemen mit c (universell).
(4) Neu, d.h. eigentlich zu postulieren: Die gefundenen Vierergrößen transformieren sich wie Tensoren (Skalare, Vektoren, ...) im Minkowski-Raum.
3.1
Das Viererpotential
Ausgangspunkt: Gleichungen für die Potentiale in Lorentz-Eichung
Vektorpotential:
2 A (r, t) = −µ0 j (r, t)
Skalares Potential:
1
2 φ (r, t) = − % (r, t)
ε
Lorentzkonvention:
div A +
1
φ̇ = 0
c2
Viererpotential (Definition):
Aα =
i
φ
c
Ax , A y , A z ,
Viererstrom (Definition):
jα = (jx , jy , jz , ic %)
d’Alembert-Operator (skalarer Operator):
2 = ∆−
1 ∂2
∂
∂
=
c2 ∂t2
∂xα ∂xα
Damit lassen sich die Potentialgleichungen zusammenfassen:
2 Aα = −µ jα
11
Lorentzkonvention:
∂ Aα
= 0
∂xα
Beweis: Komponentenweise durch Einsetzen!
Postulat: Aα transformiert sich wie Vektor beim Übergang Σ → Σ0 .
Ergebnis: Im bewegten Bezugssystem gilt
A0α = aαβ Aβ
jα0 = aαβ jβ
Explizit:

(A0x , A0y , A0z ,
i
c



φ0 ) = 


√
1
1−β 2
0
0
√−iβ
1−β 2
0 0
√ iβ

1 0
0 1
0 0
0
0






1−β 2
√
1
1−β 2
(Ax , Ay , Az ,
i
c
φ)
Folglich
Ax +
A0x =
p
1−
φ
β2
;
A0y = Ay ; A0z = Az
φ + νAx
1 − β2
φ0 =
Dasselbe für jα0 A → j ,
ν
c2
p
1
c
φ → c% !
Ladungserhaltung: Die Kontinuitätsgleichung
div j +
∂%
∂ jα
=
=0
∂t
∂xα
ist eine skalare Gleichung, sie gilt in allen Inertialsystemen!
Beachte: Vektorpotential (B) und skalares Potential (E) transformieren sich
”ineinander”. Das ist anschaulich klar: Die magnetische Kraft ṙ × B läßt sich
z.B. wegtransformieren durch den Übergang ins (momentane!) Ruhsystem des
Elektrons.
3.2
Maxwell-Gleichungen und Vierertensor des Feldes
Tensor des elektromagnetischen Feldes (Def.):
Fαβ =
∂ Aβ
∂ Aα !
−
= ∂α Aβ − ∂β Aα
∂ xα
∂xβ
Offensichtlich ist der Tensor Fαβ = − Fβα antisymmetrisch, d.h. F11 =
F22 = F33 = F44 = 0 (Diagonalelemente verschwinden), verbleiben 6 unabhängige Komponenten (z.B. für j > i : F12 , F13 , F14 , F23 , F24 , F34 )
12
Vergleichen komponentenweise z.B.
F12 = ∂1 A2 − ∂2 A1 =
∂ Ay
∂ Ax
−
= (rot A)z = Bz
∂x
∂y
i
φ
c
∂x
∂
F14 = ∂1 A4 − ∂4 A1 =
=
∂ Ax
i
−
=
∂ (ict)
c
∂φ
∂ Ax
+
∂x
∂t
i
i
(grad φ + Ȧ)x = − Ex
c
c
Ergebnis insgesamt: Feldstärke - Vierertensor

0
Bz



 −B

z

Fαβ = F̂ = 

 +By


 i
c
Ex
0
−Bx
i
Ey
c
i
−By − Ex 
c


i
Bx − Ey 


c


i
0
− Ez 

c


i
0
Ez
c
Beachte einfache Struktur!
3-er Anteil :
zuzüglich :
Fij = εijk Bk
i
F4j = − Fj4 = − Ej
c
Maxwellgleichungen in Viererschreibweise:
∂α Fαβ = −µ0 jβ
∂α Fβγ + ∂β Fγα + ∂γ Fαβ = 0
13

Zerlegung der ersten Gleichung:
Räumlicher Anteil β → i ergibt
∂α Fαi = ∂j Fji +
∂ F4i
∂ i
= ∂j εjik Bk +
Ei
∂ (ict)
ic ∂t c
= εjik ∂j Bk +
⇒
1 ∂ Ei
= − µ0 ji
c2 ∂t
rot B = µ0 j +
1
Ė
c2
Zeitlicher Anteil β = 4 ergibt
∂α Fα4 = ∂j Fj4 +
∂
F44 = ∂j
∂ (ict)
div E = µ0 c2 % =
i
− Ej
c
= − µ0 (ic %)
%
ε0
Zerlegung der zweiten Gleichung: räumlicher Anteil ergibt
εijk [∂i Fjk + ∂j Fki + ∂k Fij ] = 3 εijk ∂i Fjk = 0
⇒ εijk δi εjkl Bl = εijk εljk δi Be = 2 δi Bi
| {z }
2 δil
⇒ div B = 0
Anteil α β γ → ij 4 ergibt
εkij [∂i Fj4 + ∂j F4i + ∂4 Fij ] = 0
εkij [−∂i F4j + ∂j F4i + ∂4 Fij ] +
∂
εkij εijl Bl = 0
∂ (ict) | {z }
2δkl
− 2 εkij ∂i
i
2 ∂
Ej +
Bk = 0
c
ic ∂t
⇒ rot E = −
14
∂B
∂t
Zusammenfassung:
Minkowski-Raum
Maxwellgleichungen
als
Tensorgleichungen
im
∂α Fαβ = − µ0 jβ
∂{α Fβγ} = 0
Beim Übergang in ein anderes Inertialsystem Σ → Σ0 transformiert sich folglich F̂ gemäß
0
Fαβ
= aαγ aβδ Fγδ
Explizit (ohne Rechnung)
Ex0 = Ex
;
Ey − βBz
Ey0 = p
1 − β2
By + βEz
Bx0 = Bx ; By0 = p
1 − β2
15
;
;
Ez + βBy
Ez0 = p
1 − β2
Bz − βEy
Bz0 = p
1 − β2
4
Relativistische Mechanik
Mechanik: Die Newtonsche Bewegungsgleichung ist nicht forminvariant gegenüber Lorentztransformation, sie muß also abgeändert werden.
Strategie wie in der Elektrodynamik: Tensorgleichungen im Minkowski-Raum
erzeugen durch → Konstruktion (Postulat) von Vierervektoren der Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft, ...
Bisher ist nur der Vierervektor des Ortes xα bekannt.
Problem: Zeitableitung von xα erzeugt keinen Vierervektor ”Geschwindigkeit”:
dxβ
d
dx0α
= 0 aαβ xβ = aαβ 0
dt0
dt
dt
dxβ
dxβ
=
Richtiges Transformationsverhalten, falls
wäre. Das gilt natürlich
0
dt
dt
nicht, denn
ν
ν dx
t− 2 x
1− 2
0
dt
t0 = p c 2 →
= p c dt
dt
1−β
1 − β2
Erforderlich: Definition einer skalaren (invarianten) Zeit → Eigenzeit.
4.1
Eigenzeit
Die Bahnkurve eines beliebig bewegten Körpers (d.h. auch beschleunigt) definiert eine sogenannte Weltlinie im Minkowski-Raum xα (t) =
(x(t), y(t), z(t), ict) . Das Differential
dxα = xα (t + dt) − xα (t) =
dx dy dz
,
,
, ic
dt dt dt
dt
ist als Differenz zweier Vierervektoren selbst auch ein Vierervektor, dessen
Länge bzw. Skalarprodukt
h
i
ds2 = dxα dxα = v 2 (t) − c2 dt2
eine Invariante bzw. ein Skalar ist. Dann ist aber auch
ds
1 q 2
dτ =
=
v (t) − c2 dt =
ic
ic
s
1−
v 2 (t)
dt
c2
eine invariante Größe (Viererskalar) mit der Dimension Zeit.
16
Beachte:
(1) v(t) ist nicht die Relativgeschwindigkeit zwischen zwei Inertialsystemen
Σ ↔ Σ0 , sondern die (ggfs. nicht konstante) Geschwindigkeit des Körpers.
(2) dτ ist reell, da v < c
(3) τ mißt die Zeit, die im Ruhsystem des Körpers (im allgemeinen kein
Inertialsystem) vergeht → Eigenzeit.
Betrachtung zu (3):
Im Inertialsystem Σ0 , welches zur Zeit t0 mit dem Ruhsystem des bewegten
Körpers übereinstimmt, gilt
dx0α
=
dx0 dy 0 dz 0
,
,
, ic
dt0 dt0 dt0
dt0 = (0, 0, 0, ic) dt0
ds02 = dx0α dx0α = − c2 dt02
→
ds0 = ic dt0
Im ursprünglichen System Σ gilt
ds =
Da ds0 = ds (invariant)
q
v 2 (t) − c2 dt = ic dτ
dt0 = dτ (Eigenzeit)
→
Achtung: Die in Σ gemessene Eigenzeit
Zt1
Zt1
τ (t1 ) =
dτ =
0
s
1−
v 2 (t)
dt
c2
0
kann nicht als dt0 , also als Integral über die in Σ0 vergehende Zeit t0 dargestellt
werden, da Σ0 nur zum (festen) Zeitpunkt t0 mit dem Ruhsystem des Körpers
übereinstimmt. Vielmehr gilt auch von Σ0 aus gesehen
R
0
τ (t01 ) =
Zt1
s
dt0
v 02 (t0 )
c2
1−
0
Explizit erkennt man die Invarianz der Eigenzeit durch Substitution t0 (t), also
dt
0
ν
dx
c2
− β2
dt −
=
p
1
1−
=p
ν·v
c2
1 − β2
dt
dx0
dx − ν dt
v−ν
=
=
.
ν
0
dt
dt − c2 dx
1 − νv
c2
v 0 (t0 ) =
Damit ergibt sich
τ
t01 [t1 ]
Zt1
=
1−
p
0
νv
c2
1 − β2
v
u
u
1
dt t1 −
17
c2
v−ν
1 − νv
c2
!2
Zt1
=
0
dt
p
1 − β2
Zt1
=
s
1−
dt
s
1−
νv
c2
2
−
(v − ν)2
c2
v 2 (t)
c2
0
4.2
Vierervektoren der Mechanik
Kennen bereits xα = (x, y, z, ict) und können damit nunmehr einfach bilden
→
Vierergeschwindigkeit (Definition)
uα =
dxα
= s
dτ
dxα
(v, ic)
= s
v 2 (t) dt
v 2 (t)
1− 2
1− 2
c
c
1
Beachte Eigenschaft (Identität)
uα uα =
v 2 − c2
= −c2
v2
1− 2
c
Viererbeschleunigung (Definition)
ωα =
Wegen uα uα = −c2 →
duα
dτ
d
(uα uα ) = 0 →
dτ
uα · ωα = 0
Damit ”linke Seite” der Newtonschen Bewegungsgleichung ”erraten”. Jetzt noch
benötigt →
Vierervektor der Kraft: Führen wie bei der Eigenzeit das Ruhsystem des
(beliebig) bewegten Körpers zum Zeitpunkt t0 ein und verlangen (Postulat!),
daß für v(t0 ) = 0 der Newtonsche Ausdruck gilt, d.h.
Fα0 = (Kx , Ky , Kz , F40 )
F40 ist durch ”linke Seite” der Newtonschen Bewegungsgleichung bereits festgelegt:
ω4 =
1
d
ic
du4
s
= s
dτ
dt
2
v
v2
1− 2
1− 2
c
c
= ic
1
−
2
1
d
!2
dt
v2
1− 2
c
18
v2
− 2
c
v
c ! dv
2 dt
v2
1− 2
c
i
!
=
→ F40 = 0 , da v 0 (t0 ) = 0 in Σ0 .
Transformieren nunmehr
0
0
Fα = a−1
αβ Fα = aβα Fα
und erhalten für v = (vx , 0, 0) sowie v ≡ vx .
Fx =
Fx0 + vx (t) F40
s
1−
i
F4 =
v2
= s
c2
Kx
v2
1− 2
c
; Fy = Ky , Fz = Kz
v 0
Fx + F40
i Kx vx
c
s
s
=
c
v2
v2
1− 2
1− 2
c
c
Verallgemeinert auf beliebige Richtung der Geschwindigkeit
K
F = s
1−
v2
;
F4 =
c2
i
Kv
s
c
v2
1− 2
c
Beachte auch hier (wie bei Eigenzeit): v = v(t) ist die von Σ aus gemessene
Geschwindigkeit und nur zu jeweils einem herausgegriffenen Zeitpunkt mit der
(konstanten) Relativgeschwindigkeit eines anderen Inertialsystems Σ0 identifizierbar!
19
4.3
Relativistische Bewegungsgleichung
Postulieren Vektorgleichung im Minkowski-Raum
m
d2 xα
duα
= Fα = m
2
dτ
dτ
Schreiben dies in die gewohnten Größen um, d.h. τ → t , F → K , Aufspaltung
in räumliche und zeitliche Komponenten
du
ms
1−
v2
dt
c2
du4
ms
1−
v2
dt
c2
v
Setzen ein u = s
1−
v2
c2
K
= s
1−
=
v2
c2
i Kv
s
c
v2
1− 2
c
du
= K
dt
⇒ m
i
du4
= K·v
dt
c
ic
, u4 = s
1−
d
(M v) = K
dt
⇒ m
;
v2
c2
M = s
m
1−
d
(iM c) =
dt
i
K·v
c
⇒
d
(M c2 ) = K v
dt
Falls ”Newtonsches Kraftfeld” konservativ
K(r)
dV (r)
dr
=
dt
dt
Verallgemeinerte Newtonsche Gleichung
d
(M v) = K
dt
Erhaltungssatz
d
[M c + V (r)] = 0
dt
20
v2
c2
Anschauliche Interpretation
(1) Verallgemeinerte ”geschwindigkeitsabhängige” Masse
→ Körper wird immer schwerer, je schneller
→ kann Lichtgeschwindigkeit nicht erreichen (außer falls m = 0),
da unendlich schwer → unendlich große Kraft erforderlich
→ M (v = 0) = m Ruhmasse
(2) Kinetische Energie
2
Mc = s
mc2
#
"
1 v2
∼
− ...
= mc2 1 +
2 c2
v2
c2
→ Ruhenergie mc2 , mechanisch nicht nachweisbar, aber bei Kernspaltung
m 2
→ in niedrigster Ordnung danach: übliche kinetische Energie
v !
2
1−
21