Theoretische Physik III

Theoretische Physik III
SS 2013
Blatt II
25.4.2013
Fälligkeitsdatum 2.5.2013
Prof. Dr. Wilhelm-Mauch
http://qsolid.uni-saarland.de/?Lehre:TP III
Die Sprechstunde zur Vorlesung wurde verschoben und findet ab jetzt Montags, 14-15 Uhr
statt.
Übung 1
Potenzial
a) Finde die Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger Gleichung mit dem Potenzial
(
0, |x| > a
V (x) =
V0 , |x| < a
wobei V0 > 0 und die Energie E > V0 ist. Rechne die Transmissionsamplitude und die
Reflexionsamplitude für ein Teilchen das von links nach rechts propagiert.
(2 punkte)
b) Zeige, dass das Quantenteilchen eine nicht verschwindende Wahrscheinlichkeit het reflektiert zu werden auch für Energien höher als die Potenzialbarriere (E > V0 ). Zeige, dass
nur für E ≫ V0 diese Wahrscheinlichkeit gegen Null geht.
(1 punkt)
c) Finde die Energiezustände, für die es keine Reflexion gibt.
Übung 2
(1 punkt)
Dirac Delta Potenzial
Wir betrachten ein Teilchen in einem Delta-Potenzial V (x) = V0 δ(x).
a) Schreibe die Anschlussbedingungen für die Wellenfunktion ψ(x) und die Ableitung ψ ′ (x)
des Teilchens um x = 0. Verwende den Ansatz
(
a+ eikx + a− e−ikx , x < 0
ψ(x) =
b+ eikx + b− e−ikx , x > 0
Das Ergebnis wird durch die Wahrscheinlichkeitsamplituden a− , a+ , b− , und b+ sowie
andere Modellparameter ausgedrückt.
Hinweis: Integriere die Schrödingergleichung von x = −ǫ bis x = ǫ und schicke ǫ → 0+
(1 punkt)
b) Finde den gebundenen Zustand Energie E < 0 im Fall von einem attraktiven Potenzial
V0 < 0.
Hinweis: Die Wellenfunktion kann im Unendlichen nicht unschränkt sein.
(1 punkt)
1
c) Rechne den Transmissionskoeffizient und den Reflexionskoeffizent durch eine Potenzialbarriere mit V0 > 0.
(2 punkte)
Übung 3
Streuung eines Wellenpakets in einer Stufenpotenzial
Wir betrachten ein Stufenpotenzial V (x) = V0 θ(x) mit V0 > 0 und der Heaviside-Funktion
θ(x). Die Energie-Eigenzustände sind ebenen Wellen
( 1
√ eikx + √ k−κ
e−ikx ,
x<0
2π
2π(k+κ)
ψk (x) =
√ 2k
eiκx ,
x > 0.
2π(k+κ)
Statt ebener Wellen wir die Wellenfunktion eines Teilchen jedoch besser durch ein Wellenpaket
beschrieben. Trotzdem kann man ebene Wellen verwenden, falls das Wellenpaket größer als die
anderen Lägenskalen.
Betrachte ein Gaußsche Wellenpaket, das zuerst um x = −a in den Ortsraum zentriert ist.
Seines Standardabweichung
ist σ sodass a ≫ σ. In den Impulseraum ist diese Wellenpaket um
√
k = k0 > 2mV0 zentriert
1
2
2
eik0 (x+a)−(x+a) /2σ .
ψ(x, 0) =
2
1/4
(πσ )
a) Zeige, dass für diese Wellenpaket
ψ(x, 0) =
wobei
Z
Fk [ψ(x, 0)] =
dkψk (x)Fk [ψ(x, 0)],
σ2
π
1/4
2 σ 2 /2
eika e−(k−k0 )
.
gilt.
Hinweis: Was ist das innere Produkt von ψ(x, 0) mit den reflektierten und durchlaufenden
Wellen?
(1 punkt)
b) Was bedeutet κ in der Lösung der ebenen Wellen? Zeige, dass für das einfallende Wellenpaket die reflektierte und transmittierte Welle durch
Z
Z
1
1
ikx
dke φR (k, t), ψT (x, t) = √
dkeikx φT (k, t),
ψR (x, t) = √
2π
2π
mit
2 1/4 σ
k + κ −i~k2 t/2m −(k+k0 )2 σ2 /2 −ika
φR (k, t) =
e
e
e
,
π
k−κ
!
!
p
2 1/4
2 k 2 + 2mV0 /~2
k
σ
p
p
φT (k, t) =
π
k 2 + 2mV0 /~2 + k
k 2 + 2mV0 /~2
√
√ 2
2
2
2 2
2
2
2
×e−i~(k +2mV0 /~ )t/2m e−( k +2mV0 /~ −k0 ) σ /2 ei k +2mV0 /~ a .
beschrieben werden.
(1 punkt)
2
c) Zeige, dass der Transmissionskoeffizient und Reflexionskoeffizent durch
r Z
2
k−κ
σ2
2 2
R =
dk
e−(k−k0 ) σ ,
π
k+κ
r Z
2
σ2
κ
2k
2 2
T =
dk
e−(k−k0 ) σ .
π
k k+κ
gegeben sind.
(1 punkt)
d) Der Transmissionskoeffizient und der Reflexionskoeffizent kann durch
BR CR
+ 2 + ...,
σ
σ
CT
BT
+ 2 + ....
T = AT +
σ
σ
R = AR +
entwickelt sein. Berechne AR , AT , BR , BT , CR , und CT . Du kannst Mathematica oder
Maple verwenden. Wie können Transmissionskoeffizient und Reflexionskoeffizent für eine
einfallende ebene Welle von diesen Ergebnissen rekonstruirt werden?
(1 punkt)
3