5. Hausübung zur Quantenmechanik WS 16/17

5. Hausübung zur Quantenmechanik
WS 16/17
Abgabe am Dienstag, den 29.11.16 in der Vorlesung
Aufgabe 13: Gebundener Zustand im δ-Potential
Ausgehend von der Lösung der stationären Schrödingergleichung für den Potentialtopf V (x) = −V0 θ(a − |x|), V0 > 0, aus der Vorlesung sollen die Bindungszustände
des Potentials V (x) = −αδ(x), α > 0, untersucht werden.
(i) Wie kann im Limes a → 0 das δ-Potential als Grenzwert des endlich tiefen
Potentialtopfs erhalten werden? Warum gibt es also nur einen gebundenen
Zustand? Bestimme Wellenfunktion und Energie dieses Zustands ausgehend
von der Lösung für den Potentialtopf.
(ii) Dieselbe Lösung kann man auch einfacher erhalten. Zeige dazu zunächst,
ausgehend von der stationären Schrödingergleichung, dass die erste Ableitung
der Wellenfunktion bei x = 0 springt,
2mα
lim ϕ0 () − ϕ0 (−) = − 2 ϕ(0) .
→0+
~
Daraus folgt die Stetigkeit der Wellenfunktion bei x = 0. Wie erhält man nun
aus diesen beiden Bedingungen erneut die Grundzustandseigenfunktion und
die dazugehörige Energie?
(6 Punkte)
Aufgabe 14: Wellenpost
Wir wollen uns noch einmal überlegen, wie sich Wellenpakete in einem dispersiven
Medium für lange Zeiten verhalten.
(i) Zeige, dass für t > 0 und −1 < α < 1
Z
∞
α itk2
dk k e
=
Γ
α+1
i 2
2
t
α+1
2
0
und dass diese Formel für alle α > −1 gilt, falls t zusätzlich
kleinen
R ∞einen x−1
positiven Imaginärteil besitzt. Hinweis: Für x > 0 ist Γ(x) = 0 du u e−u .
(ii) Sei f eine Funktion mit auf ganz [0, ∞) konvergenter Taylorreihe um Null.
Zeige, dass asymptotisch für große t
r
Z ∞
f (0) iπ
itk2
dk f (k)e
∼
.
2
t
0
(iii) Sei f auf [a, b] unendlich oft differenzierbar. Bestimme die Asymptotik von
Z b
dk f (k)eitk
a
für große t. Hinweis: Partielle Integration.
(iv) Betrachte nun das Integral
Z
b
dk f (k)eitϕ(k) .
a
ϕ(k) sei zweimal stetig differenzierbar, und in [a, b] existiere genau ein Punkt
p mit ϕ0 (p) = 0. An diesem Punkt sei ϕ00 (p) 6= 0. Begründe mit (i)-(iii), dass
dann
s
Z ∞
Z b
ϕ00 (p)(k−p)2
2πi
2
dk eit
dk f (k)eitϕ(k) ∼ f (p)eitϕ(p)
= f (p)eitϕ(p)
.
00
ϕ (p)t
−∞
a
(v) Untersuche ein freies Teilchen, beschrieben durch das Wellenpaket
Z ∞
p2
i
dp A(p)e ~ (px− 2m t) .
ψ(x, t) =
−∞
Der Betrag der Amplitude A(p) habe ein einziges Maximum bei p = p0 . Wie
verhält sich das Wellenpaket für große Zeiten? Hinweis: Setze x = vt, v > 0
fest. Deutung?
(vi) Was passiert anschaulich (nur Ausgangsformel hinschreiben, nicht weiter rechnen), wenn das Wellenpaket aus (v) an einem Potentialtopf gestreut wird
und p0 in der der Nähe einer Resonanz pR liegt (unterscheide p0 < pR und
p0 > pR )?
(6 Punkte)
Aufgabe 15: Drehungen und Verschiebungen
(i) Berechne für T (a) = eiapx /~ den Ausdruck T (a)xT † (a) explizit unter Benutzung von [px , x] = ~/i.
~ = ~r × p~, dass dessen
(ii) Zeige mit der Definition des Drehimpulsoperators L
~ ∂
z-Komponente in Kugelkoordinaten durch Lz = i ∂ϕ gegeben ist.
(iii) Zeige durch Anwenden auf eine Funktion f (ϕ), dass der Operator R = eiαLz /~
eine Drehung induziert.
(6 Punkte)