Quantenmechanik, Sommersem. 2011, ¨Ubung 9 = Klausur 1

Quantenmechanik, Sommersem. 2011, Übung 9 = Klausur 1
Christof Gattringer, Florian Hebenstreit
Aufgabe 9.1
Wir betrachten ein System aus zwei Oszillatorquanten mit
b = κ
H
h³
a†2
´2 ³
a1
´2
³
+ a†1
´2 ³
a2
´2 i
b 1 (n
b 2 + 1) ,
+ εn
(1)
wobei κ, ε ∈ R, und
b i = a†i ai .
[ai , aj ] = 0 , [a†i , a†j ] = 0 , [ai , a†j ] = δij , n
(2)
Berechnen Sie die Matrixelemente
b 1 n2 i ,
Hm1 ,m2 ; n1 ,n2 = hm1 m2 |H|n
(3)
für die Oszillatorbasis
1
1
√
|n1 n2 i = √
(a† )n2 (a†1 )n1 |0i .
n1 ! n2 ! 2
(4)
b† = H
b gilt und überlegen Sie sich was dies
• Zeigen Sie zuerst, dass H
für die Matrixelemente Hm1 ,m2 ; n1 ,n2 bedeutet.
• Für den Term mit den Anzahloperatoren sind die Beiträge zu den
Matrixelementen besonders einfach auszurechnen. Bei den anderen
Termen empfiehlt es sich zuerst zu überlegen welche Matrixlemente
überhaupt ungleich Null sein können.
• Versuchen Sie auf langwierige Rechnungen zu verzichten, und zerlegen
Sie das Problem in kleinere Bausteine die Sie dann mit bereits bekannten Resultaten behandeln. Die verwendeten Formeln müssen Sie
allerdings angeben.
1
Aufgabe 9.2
In diesem Beispiel soll die eindimensionale Schrödingergleichung
−
h̄2 d2
ψ(x) + V (x) ψ(x) = E ψ(x) ,
2m dx2
(5)
für eine Potentialstufe (siehe Skizze) mit
(
V (x) =
0 für x < 0 ,
V0 für x ≥ 0 ,
(6)
gelöst werden.
• Studieren Sie zuerst den Fall mit E > V0 , und verwenden Sie den
folgenden Ansatz mit einer von links einlaufenden Welle, einem reflektiertem Teil und einer durchlaufenden Welle
(
ψ(x) =
e ik1 x + α e −ik1 x für x < 0 ,
β e ik2 x
für x ≥ 0 .
(7)
• Bestimmen Sie k1 , k2 , α und β und geben Sie auch die zeitabhängige
Wellenfunktion ψ(x, t) an.
• Berechnen Sie den Reflexionskoeffizienten R = |α|2 und den Transmissionskoeffizienten T = 1−R. Wie verhalten sich T und R für E >> V0 ?
• Betrachten Sie nun den Fall E < V0 mit dem Ansatz
(
ψ(x) =
e ikx + α e −ikx für x < 0 ,
β e −x/∆
für x ≥ 0 .
(8)
• Bestimmen Sie k, α, β und die Eindringtiefe ∆. Geben Sie auch wieder
die zeitabhängige Wellenfunktion ψ(x, t) an.
• Berechnen Sie den Reflexionskoeffizienten R = |α|2 . Wie verhalten sich
R und ∆ für E → 0?
V(x)
V(x) = V0
V(x) = 0
x=0
2
x