¨Ubungsblatt 2

Physik der Materie I, SS 2016 Prof. Dr. H. Weinfurter
Übungsblatt 2
Aufgabe 4
Bracket und Vektor Schreibweise für Zustände und Operatoren
Wir betrachten ein quantenmechanisches System mit zwei Zuständen
1
0
|a1 i =
und |a2 i =
0
1
mit den “Kets” |a1 i und |a2 i, welche in der Vektorschreibweise den Spaltenvektoren
entsprechen, wenn man {|a1 i , |a2 i} als Basis nimmt.
1
0
0
,
1
a) Das System sei im Zustand |ψi = 15 (3 |a1 i + 4 |a2 i). Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet
man das System jeweils im Zustand |a1 i bzw. |a2 i vor?
P
Jeden Operator B̂ kann man schreiben als B̂ = i,j bi,j |ji hi| (mit “Bras” hi|). In der Vektorschreibweise entspricht dies einer Matrix (hier 2 × 2), wobei i der Spalten- und j der Zeilenindex ist.
Zum Beispiel sei B̂ = |a1 i ha2 | + |a2 i ha1 |, die entsprechende Matrix in der Basis {|a1 i , |a2 i} ist dann
0 1
B̂ =
.
1 0
b) Berechnen Sie die Eigenwerte und die Eigenvektoren von B̂. Ist B̂ hermitesch?
c) Bestimmen Sie den Erwartungswert ha1 | B̂ |a1 i.
d) Angenommen die Messung des Operators B̂ ergibt den Wert 1. In welchem Zustand ist das
System direkt nach der Messung?
Aufgabe 5
Erwartungswerte einer Wellenfunktion
Die Wellenfunktion eines Teilchens im (eindimensionalen) Ortsraum sei
(x−x0 )2
1
· ei·k·x · e− 4σ2 ,
ψ(x) = √
4 2πσ 2
wobei σ, k, x0 Konstanten sind.
a) Bestimmen Sie den Erwartungswert des Ortes hxi =
´∞
−∞ dxψ
∗ (x) ·
x · ψ(x).
´∞
∂
ψ(x) .
b) Bestimmen Sie den Erwartungswert des Impulses hpi = −∞ dxψ ∗ (x) · −i~ ∂x
´∞
Hinweis: die gegebene Wellenfunktion ist normiert, d.h. −∞ dxψ ∗ (x) · ψ(x) = 1. Man kann sich bei
den Integralen oft viel Arbeit sparen,
´ ∞ wenn man beachtet, dass für antisymmetrische Funktionen
(also wenn f (−x) = −f (x)) gilt: −∞ dxf (x) = 0.
1
Physik der Materie I, SS 2016 Prof. Dr. H. Weinfurter
Aufgabe 6
Teilchen am Potentialwall
Wir betrachten die stationäre Schrödingergleichung für ein Teilchen im Potential V (x):
Ĥ Ψ(x) = −
~2 d2
Ψ(x) + V (x) Ψ(x) = E Ψ(x).
2m dx2
(1)
a) Zeigen Sie, dass für ein ortsunabhängiges Potential V (x) ≡ V0 die Wellenfunktion
Ψ(x) = Aeikx + Be−ikx
p
eine Lösung der Schrödingergleichung (1) ist für k = 2m(E − V0 )/~.
(2)
Ein nach rechts laufendes Teilchen trifft nun an der Stelle x = 0 auf eine Stufe, d.h.
(
0 x < 0 (Bereich I)
V (x) =
V0 x ≥ 0 (Bereich II)
Einlaufende, reflektierte und transmittierte Wellen lassen sich schreiben als
ψe (x) = eikx
ψr (x) = r · e−ikx
ψt (x) = t · e−αx
q
q
2m
mit r, t ∈ C, k = 2m
E,
α
=
(V0 − E).
2
~
~2
Damit sind die Wellenfunktionen für die Bereiche I und II gegeben als
ψI (x) = eikx + r · e−ikx
ψII (x) = t · e−αx
b) Bestimmen Sie die Koeffizienten r und t für den Fall E = 21 V0 .
Hinweis: Die Wellenfunktion und ihre erste Ableitung müssen an der Stufe stetig sein, d.h.
! d
!
d
ψI (x)x=0 = dx
ψII (x)x=0 .
ψI (x)|x=0 = ψII (x)|x=0 , sowie dx
V(x)
Bereich I
Bereich II
V0
E=V0/2
x=0
2
Physik der Materie I, SS 2016 Prof. Dr. H. Weinfurter
c) (Ohne explizite Rechnung) Betrachten Sie ein nach rechts einlaufendes Teilchen, das an
der Stelle x = 0 auf einen Potentialwall der Höhe V0 mit der Dicke d trifft (siehe Abbildung).
Wie lauten für den Ansatz
ψI (x) = eikx + r · e−ikx
ψII (x) = b · e−αx + c · eαx
ψIII (x) = t · eikx
die Anschlussbedingungen? Welche Schritte sind notwendig, um die Wahrscheinlichkeit zu
bestimmen, dass das Teilchen den Potentialwall überwindet? Was erwarten Sie im klassischen
Bild, wenn E < V0 gilt?
V(x)
Bereich I
Bereich II
Bereich III
V0
E=V0/2
x=0
x=d
3