Solutions 3

Theoretische Physik III: Quantenmechanik
Prof. F.Wegner, Universität Heidelberg, SS04
3. Lösungsblatt, Präsenzübung 14.05, Hausaufgaben Abgabetermin: 10.05.04
P3. Eichtransformation
Betrachte
P3. Gauge Transformation
Look at
[p̂i , p̂j ] = [−ih̄∂i + gi (x), −ih̄∂j + gj (x)]
!
= −ih̄ [∂i gj (x) − ∂j gi (x)] = 0
⇓
∂i gj (x) − ∂j gi (x) = 0
∇ × g(x) = 0 in three dimensions
H6. Wahrscheinlichkeitsstromdichte
Einsetzen liefert
H6. Probability current density
Plugging in yields
h̄
Imψ ∗ (∂x ψ)
m
h̄
=
Im c∗1 e−ikx + c∗2 eikx ikc1 eikx − ikc2 e−ikx
m
h̄k 2
=
|c1 | − |c2 |2 .
m
j(x) =
H7. Virialsatz und Ehrenfest’sches H7. Virial theorem and theorem of
Theorem
Ehrenfest
i) Betrachte Zeitentwicklung von x · p
i) Look at time evolution of x · p
1
d
x·p =
[x · p, H]
dt
ih̄
p
− x · ∇V (x)
=
m
⇓
1
1
hψ|[x · p, H]|ψi =
hψ|p|ψi − hψ|x · ∇V (x)|ψi .
ih̄
m
Es bleibt zu zeigen, daß die linke Seite It remains to show that the right hand side
identisch verschwindet. Da ψ(x) stationär vanishes identically. Since ψ(x) is stationist gilt
ary, we have
Hψ(x) = Eψ ψ(x) and Hψ ∗ (x) = Eψ ψ ∗ (x)
⇓
hψ|[x · p, H]|ψi =
Z
dxψ ∗ (x)[x · p, H]ψ(x)
= Eψ
Z
∗
dxψ (x) (x · p) ψ(x) −
= (Eψ − Eψ )
= 0
Z
Z
dxψ(x) (x · p) Hψ ∗ (x)
dxψ ∗ (x) (x · p) ψ(x)
q.e.d.
ii) Heisenberg Gleichung für L
ii) Heisenberg equation for L
1
1
[x × p, p2 ] + [x × p, V (x)]
ih̄ 2m
1
1
2
=
[x, p ] × p + x × [p, V (x)]
ih̄ 2m
1
=
p × p − x × ∇V (x)
m
= −x × ∇V (x)
q. e. d .
L̇ =
H8. Kumulanten
i) Per definitionem χ(0) = 1. Ein zwei
bzw. dreimaliges Ableiten ergibt
i∂τ ln χ(τ )
τ =0
=
=
(i∂τ )2 ln χ(τ )
τ =0
=
=
(i∂τ )3 ln χ(τ )
τ =0
=
=
H8. Cumulants
i) By definition we have χ(0) = 1. Taking
the derivative once, twice or three times
respectively yields
i∂τ χ(τ ) χ(τ ) τ =0
hxi
1
1
(i∂τ )2 χ(τ ) − 2 (i∂τ χ(τ ))2 τ =0
χ(τ )
χ (τ )
2
2
hx i − hxi
i
3 h
1
2
(i∂τ )3 χ(τ ) − 2
(i∂τ )2 χ(τ ) (i∂τ χ(τ )) + 3 (i∂τ χ(τ ))3 τ =0
χ(τ )
χ (τ )
χ (τ )
3
2
3
hx i − 3hx ihxi + 2hxi
ii) Ausführen des Gauss’schen Integrals
liefert
ii) Performing the Gaussian integral yields
!
1 Z
(x − x0 )2
√
χGauss (τ ) =
dx exp −
− ixτ
2σ 2
σ 2π
!
σ2 2
= exp − τ − iτ x0
2
2
σ
ln χGauss (τ ) = − τ 2 − iτ x0 .
2
Wir finden die Kumulanten:
We find the cumulants
C1 = x0 , C2 = σ 2 , C3 = 0, . . . , C∞ = 0 .