¨Ubungen zur Vorlesung: Quantenmechanik
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Prof. Dr. R. Egger Msc. A. Kundu SS 2012 Blatt 6 Übungen zur Vorlesung: Quantenmechanik Abgabe bis Mi, 30. Mai 2012, 12:00 Uhr Übungstermine: Gruppe 1: Do 31.05, 08:30 - 10:30, Hörsaal 5M Gruppe 2: Do 31.05, 10:30 - 12:30, Raum 25.32.O2.51 Gruppe 3: Fr 01.06, 08:30 - 10:30, Hörsaal 5M (S . Weiß) (A. Hütten) (D. Klöpfer) Aufgabe 15: Virial Theorem 6 Punkte Betrachten Sie ein System, das durch den folgenden Hamiltonian beschrieben wird H = T + V (x). Die kinetische Energie ist als T = p2 2m gegeben, V ist die potentielle Energie. a) Zeigen Sie, dass d dV hxpi = 2hT i − hx i. dt dx (3 Punkte) b) Zeigen Sie weiterhin, dass im stationären Fall gilt (Virial Theorem) 2hT i = hx dV i. dx (1 Punkt) c) Benutzen Sie das Virial Theorem, um für den harmonischen Oszillator mit V (x) = 12 kx2 , hT i = hV i zu beweisen. Verallgemeinern Sie das Resultat auf beliebige Potentiale der Form V (x) = Cxλ , mit einer Konstanten C. (2 Punkte) 1 Übungen zur Vorlesung: Quantenmechanik, Blatt 6 Aufgabe 16: Zwei-Niveau-System 3 Punkte Gegeben ist ein quantenmechanisches System mit zwei Energie Eigenzuständen |ϕ1 i, |ϕ2 i und zugehörigen Energien E1 , E2 . Der Paritäts-Operator P ist definiert durch P |ϕ1 i = |ϕ2 i, P |ϕ2 i = |ϕ1 i. a) Zeigen Sie, dass P zwei Eigenzustände |±i mit Eigenwerten λ± = ±1 besitzt, diese entsprechen positiver und negativer Parität. Vorausgesetzt das System ist bei t = 0 im Zustand |+i präpariert, finden Sie den Zustand des Systems zu allen Zeiten t. (2 Punkte) b) Zu einem speziellen Zeitpunkt t0 wird die Parität des Systems gemessen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür das System im Zustand positiver Parität zu finden? (1 Punkt) Aufgabe 17: Wahrscheinlichkeitsverteilung und charakteristische Funktion 4 Punkte a) Mittels der charakteristischen Funktion F (z) = heizA i, wobei h...i den quantenmechanischen Erwartungswert in einem Zustand |Ψ0 i bezeichnet, können die Erwartungswerte beliebiger Potenzen des Operators A durch Differentiation nach z gewonnen werden. Zeigen Sie dies. (1 Punkt) b) Zeigen Sie weiterhin, dass die Wahrscheinlichkeit bei einer Messung der Größe A den Wert a vorzufinden durch folgenden Ausdruck gegeben ist: Z +∞ dz −iaz PA (a) = e F (z). −∞ 2π (3 Punkte) 2
