Exercise 3

Theoretische Physik III: Quantenmechanik
Prof. F.Wegner, Universität Heidelberg, SS04
3. Übungsblatt, Präsenzübung 7.05.04, Hausaufgaben Abgabetermin: 10.05.04
P2. Gauss’sches Wellenpaket
Eine allgemeine Lösung eines 1–dim.
Hamilton Operators H(p̂, x) zu beliebigen Anfangsbedingung ψ0 läßt sich mit
Hilfe des Propagators K(x, x′ , t) wie folgt
ausdrücken:
ψ(x, t) =
Z
P2. Gaussian wave packet
A general solution of a 1–d Hamiltonian
H(p̂, x) for an arbitrary initial condition
ψ0 can be expressed in terms of the propagator K(x, x′ , t) as follows
dx′ K(x, x′ , t)ψ0 (x′ ) .
i) Zeigen Sie daß der Propagator folgende
Eigenschaften erfüllen muß
i) Show that the propagator has to meet
with the following conditions
!
d
ih̄ − H(p̂, x) K(x − x′ , t) = 0 , t ≥ 0
dt
K(x − x′ , 0) = δ(x − x′ ) .
ii) Finden Sie den Propagator eines freien
Teilchens, benutzen Sie dabei die Lösung
von H2.
s
ii) Find the propagator of a free particle.
Use the solution of H2.
σ
1
√ exp −
ψ(x, t) =
(x0 − x + 2iσ 2 p0 /h̄)2 − σ 2 p20 /h̄2 + ix0 p0 /h̄
4∆
∆ 2π
h̄t
∆ = σ2 + i
2m
und verändern Sie die Anfangsbedingung and modify the initial condition approprientsprechend. Benutzen Sie die Darstel- ately. Use the representation of the δ–
lung der δ– Distribution
distribution
1
x2
δ(x) = lim √
exp −
t→0
2t
2πt
!
.
H6. Wahrscheinlichkeitsstromdichte H6. Probability current density
Berechnen Sie die Stromdichte für die 1–d Calculate the current density for the 1–d
Wellenfunktion
wave function
ψ(x) = c1 exp(ikx) + c2 exp(−ikx) ,
c1 , c2 complex .
(2P)
H7. Virialsatz und Ehrenfest’sches
Theorem
Gegeben sei der Hamiltonoperator
H7. Virial theorem and Ehrenfest
theorem
Consider the Hamilton operator
p̂2
+ V (x)
H=
2m
i) Beweisen Sie für einem stationären Zu- i) prove for a stationary state |ψi the virial
stand |ψi den Virialsatz
theorem
hψ|p̂2 |ψi = mhψ|x · ∇V (x)|ψi . (2P)
ii) Beweisen Sie für den Drehimpuls L = ii) Prove for the angular momentum L =
r × p das zweite Ehrenfest’sche Theorem r × p the second theorem of Ehrenfest
d
hLi = −hr × ∇V i . (2P)
dt
H8. Kumulanten
Die charakteristische Funktion
χ(τ ) =
H8. Cumulants
The generating function
Z
dx exp(−iτ x)w(x)
einer Wahrscheinlichkeitsverteilung w(x) of a probability distribution w(x) genererzeugt das n–te Moment hxn i der ates the n–th moment of the distribution
Verteilung durch die Vorschrift
through the rule
dn
χ(τ
)
.
hx i = i
n
τ =0
dτ
n
n
Eine andere nützliche Größe sind die Ku- Another useful quantity are the cumulants
mulanten Cn , die sich aus dem Loga- Cn , which are generated by the logarithm
rithmus der charakteristischen Funktion of the generating function
ableiten lassen
C n = in
dn
ln
χ(τ
)
.
τ =0
dτ n
i) Drücken Sie C1 , C2 , C3 durch die Momente aus. (3 P)
ii) Bestimmen Sie alle Kumulanten
C1 . . . C∞ der Gaußverteilung
i) Express C1 , C2 , C3 in terms of the moments. (3 P)
ii) Derive all cumulants C1 . . . C∞ of the
Gaussian distribution
1
(x − x0 )2
√ exp −
w(x) =
2σ 2
σ 2π
!