¨Ubungen zur Vorlesung: Elektrodynamik

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Prof. Dr. R. Egger
Blatt 9
WS 2013/14
Übungen zur Vorlesung: Elektrodynamik
Abgabe bis Freitag, 10. Januar 2014, 12:00 Uhr
Übungstermin: Montag, 13. Januar 2014
Dieses Übungsblatt soll den Schwierigkeitsgrad der Klausur am 3. 2. 2014 in Hörsaal 5C verdeutlichen (Bearbeitungszeit 120 Minuten). Als Hilfsmittel wird ein (beidseitig) eigenhändig beschriebenes DIN A4 Blatt zugelassen,
und es wird eine Aufgabe direkt aus den Übungen übernommen. Ebenso wird es einen Aufgabenblock zu Grundlagen geben (siehe Aufgabe 20).
Wir wünschen allen Hörern einen Guten Rutsch und ein erfolgreiches und gesundes Neues Jahr!
Aufgabe 20: Grundlagen
12 Punkte
Beantworten Sie die folgenden Verständnisfragen und erläutern Sie ggf. die Gleichungen auch kurz in Worten.
a) Wie lauten die Maxwellgleichungen für die Felder E und B bei gegebener Ladungsdichte ρ und Stromdichte J?
Geben Sie auch die jeweilige integrale Form an.
(3 Punkte)
b) Geben Sie die Maxwellgleichungen nun in relativistischer Schreibweise an. Welche Gleichung folgt für das Viererpotential Aµ in Lorenz-Eichung?
(3 Punkte)
c) Wie berechnet sich das magnetostatische Potential A(r) zur vorgegebenen stationären Stromdichte J(r)? Ist
das Resultat eindeutig?
(2 Punkte)
d) Ein elektromagnetisches Feld wirke auf ein bewegtes Punktteilchen der Ladung q. Zeigen Sie, daß das Magnetfeld keine Arbeit an dem Teilchen leistet.
(2 Punkte)
e) Mit welcher Potenz des Abstands r fallen das elektrische Feld einer ruhenden Punktladung bzw. das Strahlungsfeld eines Hertz’schen Dipols für r → ∞ ab?
(2 Punkte)
1
Übungen zur Vorlesung: Elektrodynamik, Blatt 9
Aufgabe 21: Feld eines Drahtes bei abrupter Stromänderung
12 Punkte
Ein unendlicher gerader Draht entlang êz (Einheitsvektor in z-Richtung) trage den zeitabhängigen Strom I(t). Wir
nehmen an, dass zur Zeit t = 0 der Strom eingeschaltet wird, d.h. I = 0 für t < 0 und I(t ≥ 0) = I0 . Dabei sei I(t)
nicht vom Ort z abhängig, und die Ladungsdichte im Draht verschwinde bei t < 0, d.h. ρ(z, t < 0) = 0.
a) Zeigen Sie dass mit den obigen Annahmen auch ρ(z, t) = 0 für t ≥ 0 gilt!
(2 Punkte)
b) Man kann mit dem Resultat aus a) die Eichung ϕ = 0 für das Skalarpotential wählen. Wie berechnen sich dann
(ganz allgemein) die elektromagnetischen Felder aus dem Vektorpotential A(r, t)?
(2 Punkte)
c) Berechnen Sie nun das Vektorpotential an einem beliebigen Ort r für t > 0 aus dem retardierten Potential
Z
1
J(r0 , t − |r − r0 |/c)
A(r, t) =
d3 r0
c
|r − r0 |
Zeigen Sie durch Ausführen der Integration, dass das Vektorpotential gegeben ist durch


0,√
t < R/c,
2 −R2 )
A(r, t) =
(ct)
ct+
, t > R/c,
 2Ic0 êz ln
R
p
wobei R = x2 + y 2 der radiale Abstand vom Draht ist.
Hinweis: Es gilt
!
√
Z a
dz
a + a2 + R2
√
= ln
R
z 2 + R2
0
(4 Punkte)
d) Bestimmen Sie damit das elektrische und das magnetische Feld am Ort r für beliebige t > 0. Was ergibt sich
daraus für t → ∞?
Hinweis: Für ein Vektorfeld der Form V = Vz (r)êz , wobei wir Zylinderkoordinaten (r, φ, z) mit Einheitsvektoren
êr , êφ , êz annehmen, gilt:
dVz
êφ .
∇×V =−
dr
(4 Punkte)
2
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