¨Ubungen zur Vorlesung: Theoretische Elektrodynamik

Prof. Dr. R. Egger
Dr. A. Zazunov
WS 10/11
Blatt 10
Übungen zur Vorlesung: Theoretische Elektrodynamik
Übungstermin: Mo, 24. Januar 2011
Abgabe bis Fr, 21. Januar 2011, 12:00 Uhr
Bemerkung: Die Übungen am 31.1. finden als Tutorium bzw. Fragestunde statt.
Aufgabe 26:
Magnetisierter Zylinder
4 Punkte
Betrachten Sie einen Zylinder mit Radius R und endlicher Länge L, der aus einem festen, permanent und
gleichförmig magnetisierten Stoff aufgebaut sei. Die Magnetisierung sei M0 in der Richtung der Achse
~ und H
~ entlang der Zylinderachse innerhalb sowie außerhalb
des Zylinders. Berechnen Sie die Felder B
des Zylinders.
~ M , das durch eine Magnetisierung M
~ erzeugt wird, ist allgemein gegeben
[Hinweis: Das Vektorpotential A
durch:
Z
0
~ (~r 0 ) Z
~ r 0)
n×M
0 ~
3 0 ∇ × M (~
~
AM (~r) = −
df
+
d
~
r
. ]
|~r − ~r 0 |
|~r − ~r 0 |
∂V
V
Aufgabe 27:
Telegrafengleichung
6 Punkte
1) Wie lauten die (makroskopischen) Maxwellgleichungen für Kontinua in linearen Materialien? Definieren Sie kurz die relevanten Grössen.
(2 Punkte)
2) Betrachten Sie einen ladungsfreien, homogen-isotropen elektrischen Leiter mit Leitfähigkeit σ, welcher dem Ohmschen Gesetz genügt. Leiten Sie aus den Maxwellgleichungen die Wellengleichungen
~ (~r, t) und B
~ (~r, t) her, und zeigen Sie, daß diese gegeben sind durch
für E
"
1 ∂2
∆ − 02 2
c ∂t
!
#
4πµσ ∂ ~
− 2
V (~r, t) = 0 ,
c ∂t
~ (~r, t) das E~ bzw. das B-Feld
~
wobei V
repräsentiert. Zeigen Sie, daß dies im Falle σ = 0 eine
elektromagnetische Welle mit Ausbreitungsgeschwindigkeit
c0 = c/n mit dem Brechungsindex n =
√
~ +∇ ∇·V
~ .]
~ = −∆V
µ beschreibt. [Hinweis: ∇ × ∇ × V
(2 Punkte)
Übungen zur Vorlesung: Theoretische Elektrodynamik, Blatt 10
3) Zeigen Sie, daß unter obigen Voraussetzungen eine verschwindende Ladungsdichte ρ (~r, t) zur Zeit
t = 0 auch ρ (~r, t) ≡ 0 für alle Zeiten t impliziert.
(2 Punkte)
Aufgabe 28:
Kirchhoff ’sches Gesetz
3 Punkte
1) Leiten Sie die Grundgleichungen stationärer Ströme aus den Maxwellgleichungen bzw. der Kontinuitätsgleichung her:
~ =0.
divJ~ = 0 , rot E
(1 Punkt)
2) Beweisen Sie damit die Kirchhoff’sche Knotenregel: An einer beliebigen Verzweigung von N Leitern
ist die Summe der Ströme (vom Knoten weg orientiert) gleich Null.
(1 Punkt)
3) Wann gilt die Kirchhoffsche Maschenregel, d.h. wann ist die Summe der Spannungsabfälle entlang
eines geschlossenen Weges in einem Leiterkreis gleich Null?
(1 Punkt)
2