Zeitentwicklung des Erwartungswertes : d dt = ∫ dxx ∂|ψ|2

1.5
Der Impuls
[Griffiths 1.5, 1.6]
Zeitentwicklung des Erwartungswertes hxi:
Z
dhxi
∂|ψ|2
= dxx
dt
∂t
Wir hatten die Kontinuitätsgleichung
∂ρ ∂J
+
=0
∂t
∂x
für
i~
J(t, x) = −
2M
2
ρ(t, x) = |ψ(t, x)| ,
∂ψ ∗
ψ
−
ψ
∂x
∂x
∗ ∂ψ
Partielle Integration ergibt
i~
dhxi
=−
dt
2M
Z
∂ψ ∗
dx ψ
−
ψ
∂x
∂x
∗ ∂ψ
Integriere im zweiten Term nochmal partiell:
dhxi
i~
=−
dt
M
Z
dxψ ∗
∂ψ
∂x
Dies lässt sich wie folgt interpretieren: die rechte Seite ist der Erwartungswert hvi der
Geschwindigkeit. Wegen p = M v ist dann der Erwartungswert des Impulses
Z
hpi =
dxψ
∗
~ ∂
i ∂x
ψ
Damit ist
M
dhxi
= hpi
dt
Drücke hpi durch die Fourier-Transformierte ψe der Wellenfunktion ψ aus (siehe A4.1):
Z
dk e∗ ~
e k)
hpi =
ψ (t, k)~k ψ(t,
2π
Also ist
e ~ 2
ψ(t,
k)
2π
die Wahrscheinlichkeitsdichte, bei einer Impulsmessung zur Zeit t den Wert ~k zu finden.
1
Bsp: Gaußpaket,
ψ(x) = N e−x
2 /(4a2 )
Dafür ist
Z
2
2
dxe−ikx e−x /(4a )
Z
1
2
2
= N dx exp − 2 x + i4a kx
4a
Z
1 2 2
4 2
= N dx exp − 2 (x + i2a k) + 4a k
4a
e
ψ(k)
= N
Hier substituiere y = x + i2a2 k. Das liefert
2 2
e
ψ(k)
= N 0 e−k a
mit
0
Z
N := N
dye−y
2 /(4a2 )
Es gilt also ∆k = 1/(2a) und daher ∆p = ~/(2a). Für das Gaußpaket hatten wir ∆x = a
e 2 und umgekehrt,
gefunden. Also gilt: Je enger |ψ|2 , desto breiter ist |ψ|
∆x ∆p =
~
2
Später werden wir sehen dass im Allgemeinen gilt
∆x ∆p ≥
~
2
Dies ist die Heisenbergsche Unschärferelation oder auch Unbestimmtheitsrelation.
1.6
Operatoren
[Griffiths 1.5]
x und p sind messbare Größen. Für deren Erwartungswerte hatten wir
Z
hxi =
dx ψ ∗ xψ
Z
~ ∂
ψ
hpi =
dx ψ ∗
i ∂x
Die Ersetzungen
ψ → xψ
~ ∂
ψ →
ψ
i ∂x
2
sind lineare Abbildungen, die auf die Wellenfunktionen wirden. Messbare Größen werden
in der Quantenechanik durch lineare Abbildungen repräsentiert,
ψ → xψ
Ort
repräsentiert
ψ→
des Teilchens
~ ∂
i ∂x
Impuls
In der Quantenmechanik nennt man diese linearen Abbildungen (lineare) Operatoren.
Andere Messgrößen, die Funktionen von x und p lassen sich genauso durch Operatoren
darstellen:
1. kinetische Energie p2 /(2M )
ψ→−
~2 ∂ 2 ψ 2
2M ∂x2
2. potentielle Energie V (t, x)
ψ →Vψ
3. Gesamtenergie = Hamiltonfunktion
ψ→−
~2 ∂ 2 ψ 2
+Vψ
2M ∂x2
Die Operatoren bezeichnet man mit den gleichen Symbolen wie die klassischen Größen,
aber mit einem Hutb.
pb = Impuls-Operator ,
pbψ(x) =
x
b = Ortsoperator
~ ∂ψ
,
i ∂x
x
bψ(x) = xψ(x)
Damit gilt
Z
dxψ ∗ x
bψ
Z
dxψ ∗ pbψ
hxi =
hpi =
Entsprechend
pb 2
kinetische Energie Tb =
2M
potentielle Energie Vb = V (t, x
b)
2
b = pb + Vb
Hamilton-Operator H
2M
3
Beschreibt man einen Zustand durch ψ(x) bezeichet man dies als Ortsdarstellung oder
e
auch als Darstellung im Ortsraum. Äquivalent kann den Zustand auch durch ψ(k)
beschreiben. Dann spricht man von der Impulsdarstellung oder der Darstellung im
Impulsraum.
Im Impulsraum ist
Z
dk e∗ ∂ e
ψ i ψ
2π
∂k
Z
dk e∗ e
ψ ~k ψ
hpi =
2π
hxi =
d.h.
∂ e
ψ
∂k
e
e
pbψ(k)
= ~k ψ(k)
e
x
bψ(k)
=i
In der klassischen Physik gibt es keinen Unterschied zwischen den Produkten xp und px.
In der Quantenmechanik ist das anders!
Betrachte
~ ψ
~ ∂
−
(xψ) = i~ψ(x)
i ∂x
i ∂x
Dies gilt für beliebige Wellenfunktionen ψ. Also gilt die Operatorrelation
x
bpbψ(x) − x
bpbψ(x) = x
x
bpb − pbx
b = i~
Meist wird dies geschrieben als
[b
x, pb] = i~
b und B
b definiert ist als
wobei der Kommutator zweier Operatoren A
bB
b := A
bB
b−B
bA
b
A,
14. Mai 2014
4