¨Ubungen zur Vorlesung “Theoretische Physik III (Quanten

Übungen zur Vorlesung “Theoretische Physik III (Quantenmechanik)”
WS 07/08 Blatt 3
Aufgabe 5: Unschärferelation (9 Punkte)
a) Beweisen Sie die Beziehungen
(3 Punkte)
Z
Z
∗
dx[(p̂ − hpi)ψ(x)] (p̂ − hpi)ψ(x) = dxψ ∗ (x)[p̂ − hpi]2 ψ(x)
Z
dx[(x̂−hxi)ψ(x)] (p̂−hpi)ψ(x) = i~+
∗
wobei
hAi =
Z
Z
dx[(p̂−hpi)ψ(x)]∗ (x̂−hxi)ψ(x)
dxψ ∗ (x)Âψ(x)
den Erwartungswert einer Observablen A in dem durch die Wellenfunktion ψ(x) beschriebenen Zustand bezeichnet. Â ist der der Observablen
A zugeordnete Operator. Verwenden Sie beim Beweis die Ortsdarstellung und gehen Sie von einer genügend glatten und genügend rasch
abfallenden Wellenfunktion ψ(x) aus. Beachten Sie, dass die Operatoren nur innerhalb der eckigen Klammern wirken.
(3
Punkte)
b) Verwenden Sie Teil a) um für
D(α) =
Z
dx|[(x̂ − hxi)ψ(x)] + iα(p̂ − hpi)ψ(x)|2
die Gleichung
D(α) = (∆x)2 + α2 (∆p)2 − α~
abzuleiten ((∆p)2 := h(p̂ − hpi)2 i, (∆x)2 := h(x̂ − hxi)2 i).
(3 Punkte)
c) Beweisen Sie nun die Unschärferelation
∆x∆p ≥ ~/2
Hinweis: D(α) ≥ 0. Die Unschärfe ist minimal falls D(α) minimal ist.
(3 Punkte)
1
Aufgabe 6: Teilchen in einem eindimensionale Topf (10 Punkte)
Bestimmen Sie die gebundenen Zustände ψn (x) für den eindimensionalen
Hamiltonoperator
p̂2
−V0 , |x| ≤ a/2
Ĥ(x, p̂) =
+ V (x) mit V (x) =
0
sonst
2m
Hinweis: Bestimmen Sie zunächst die Lösungen der zeitunabhängigen
Schrödingergleichung Hψn = En ψn in den drei Bereichen konstanten Potentials. Dabei kann man annehmen, dass die gesuchten Eigenfunktionen entweder symmetrisch oder antisymmetrisch unter Spiegelungen am Ursprung
sind. Warum ist das so?
Beachten Sie die Normierbarkeit der Wellenfunktion.
Bestimmen Sie die frei bleibenden Parameter der stückweisen Lösungen aus
den Bedingungen der Stetigkeit und Differenzierbarkeit der Wellenfunktion
an den Sprungstellen des Potentials. Begründen Sie diese Bedingungen.
Diskutieren Sie qualitativ die Lösungen der resultierenden transzendenten
Gleichung für die Energieeigenwerte En mit Hilfe einer Skizze. Wie hängt die
Zahl der möglichen gebundenen Zustände von V0 ab?
Aufgabe 7: Dreidimensionaler Kasten (6 Punkte)
Bestimmen Sie die Energieeigenwerte und Eigenfunktionen eines Teilchens,
das in einem würfelförmigen Kasten mit Kantenlänge a eingeschlossen ist.
a) Lösen Sie die dreidimensionale Schrödingergleichung durch folgenden
Separationssansatz in kartesischen Koordinaten:
ψnx ,ny ,nz (x, y, z) = ψnx (x)ψny (y)ψnz (z)
mit geeigneten Randbedingungen so, dass ψnx ,ny ,nz (x, y, z) ausserhalb
des Kastens verschwindet.
(3 Punkte)
b) Geben Sie die 5 niedrigsten Energieniveaus und ihre Entartung an,
d.h. die Anzahl der linear unabhängiger Eigenfunktionen zu gleicher
Energie.
(3 Punkte)
2