Serie 9: Heisenberg`sche Unschärferelation

Übungen zur Quantenphysik
Serie 9: Heisenberg’sche Unschärferelation
Diese Serie beinhaltet lediglich zwei Aufgaben. Allerdings ist die erste Aufgabe recht anspruchsvoll. Sie bildet
in gewisser Weise den Abschluss des Kapitels 1 im QM-Buch von Griffiths. In Aufgabe 2 geht es darum,
dass Sie sich rasch davon überzeugen, dass mittels komplexer Zahlen nun auch quadratische Gleichungen
Lösungen besitzen, die bisher (im Reellen) als “unlösbar” galten.
1. Eine erste Wellenfunktion zum harmonischen Oszillator
Lösen Sie die Aufgabe 1.9 auf Seite 41 QM-Buch von Griffiths.
Tipps zu den einzelnen Teilaufgaben
(a) Es geht um die Normierung der Wellenfunktion. Dafür brauchen wir:
|Ψ (x, t)|2 = Ψ ∗Ψ = A e−a[(mx
2 /~)−it]
· A e−a[(mx
2 /~)+it]
= A2 e−2amx
2 /~
(1)
Man bemerke: |Ψ |2 ist eine gerade Funktion in x!
An dieser Stelle ist es hilfreich die bereits früher gesehenen Gauss-Integrale wieder aus dem
Wissensspeicher hervor zu kramen. Mittlerweile – dank Ihren Fähigkeiten in Sachen lineare Substitution – genügen die folgenden beiden Angaben dazu:
√
√
Z ∞
Z ∞
π
π
2 −x2
−x2
x e
dx =
und
(2)
e
dx =
2
4
0
0
Für die lineare Substitution empfiehlt sich der Ansatz:
r
2am
s=x
~
Das Resultat der Normierung lautet schlussendlich: A =
(3)
q
4
2am
π~ .
Zum Abschluss der Teilaufgabe (a) empfiehlt es sich |Ψ |2 in Abhängigkeit des Parameters a als
Funktion von x in GeoGebra aufzeichnen zu lassen. (Der Einfachheit halber setzen Sie dabei m = 1
und ~ = 1.) Dank dieser Veranschaulichung wissen Sie für die weiteren Aufgaben viel besser, mit
was für einer Funktion resp. Wahrscheinlichkeitsverteilung Sie es zu tun haben.
(b) Zücken Sie die Schrödinger-Gleichung:
i~
~2 ∂ 2 Ψ
∂Ψ
=−
+VΨ
∂t
2m ∂x2
(4)
Es gilt die Wellenfunktion Ψ (x, t) in (4) einzusetzen und schliesslich das Potenzial V als Funktion
von x und/oder t anzugeben.
Wie schon früher gesehen, wird sich Ψ wegkürzen, aber zuerst müssen die partiellen Ableitungen
∂2Ψ
∂Ψ
∂t und ∂x2 gebildet und dann jeweils Ψ ausgeklammert werden. Vorsicht ist insbesondere bei
der zweiten Ableitung nach x geboten, denn aus der ersten Ableitung geht ein Term der Form
xΨ hervor, sodass man bei der zweiten Ableitung die Produktregel berücksichtigen muss!
Die Lösung für das Potenzial lautet V (x) = 2ma2 x2 und ist somit ein parabelförmiger Potenzialtopf, der in der klassischen Mechanik die Energiefunktion eines Federpendels beschreibt, also für
das Potenzial eines harmonischen Oszillators steht.
1
(c) Ich unterteile in Tipps zu den einzelnen Erwartungswertberechnungen:
hxi: Gemäss (1) ist |Ψ |2 eine gerade Funktion. x |Ψ |2 ist demzufolge eine . . . Funktion und das
Integral darüber wird zu . . .
hx2 i: Substituieren Sie wieder gemäss (3). Achtung! Vorsichtig vorgehen und nichts vergessen!
Benutzen Sie dann die Symmetrie von x2 |Ψ |2 sowie das zweite Gauss-Integral in (2).
~
.
Das Resultat lautet: hxi2 = 4am
∂
hpi: Der Impulsoperator ist gegeben durch p = ~i ∂x
(vgl. Griffiths, Seite 38).
Nun gilt es zu berechnen:
Z ∞
Z ∞
~ ∂Ψ
∗
dx
Ψ∗
Ψ pΨ dx =
hpi =
i ∂x
−∞
−∞
(5)
D.h., Sie sollten aus Aufgabe (b) den Ausdruck für ∂Ψ
∂x hervorholen. Damit werden Sie sehen,
2
dass unter dem Integral folgende Abhängigkeit von x entsteht: x e−2amx /~ . Damit integrieren
wir in Sachen Symmetrie aber wieder über was für eine Funktion? . . .
2
hp i: Jetzt geht es um das folgende Integral:
hp2 i =
Z
∞
Ψ ∗ p2 Ψ dx =
Z
∞
Ψ∗
−∞
−∞
~ ∂
i ∂x
2
Ψ dx =
2 Z ∞
~
∂2Ψ
Ψ ∗ 2 dx
i
∂x
−∞
(6)
Nach all der Erfahrung in den bisherigen Berechnungen gebe ich hier keine weiteren Tipps
mehr, sondern überlasse die Rechnung nunmehr Ihnen. Wenn Sie ganz präzise arbeiten, nichts
vergessen und den Überblick behalten, dann können Sie es tatsächlich schaffen, schlussendlich
zum irgendwie schlagend einfachen Endresultat zu gelangen: hp2 i = am~.
(d) Nach der richtig anspruchsvollen Arbeit bis hierhin wird es nun einfacher. Ich erinnere lediglich an
die Berechnungen der beiden Standardabweichungen:
p
p
und
σp = hp2 i − hpi2
(7)
σx = hx2 i − hxi2
Wenn Sie alles
q richtig gemacht haben, werden Sie feststellen, dass die betrachtete Wellenfunktion
Ψ (x, t) =
4
2am
π~
· e−a[(mx
2 /~)+it]
die Heisenberg’sche Unschärferelation σx σp ≥
~
2
gerade
noch erfüllt. Es ergibt sich nämlich genau der Grenzfall σx σp = 2~ .
2. Quadratische Gleichungen mit komplexen Zahlen
(a) Studieren Sie im Ergänzungsskript den Abschnitt 5.6.3 bis und mit Beispiel 1, also die Seiten 85
und 86.
(b) Lösen Sie nun die folgenden quadratischen Gleichungen in C und tragen Sie Ihre Lösungen jeweils
in einer komplexen Zahlenebene ein:
i. z 2 + 4 = 0
iv. z 2 + 2z + 5 = 0
ii. z 2 − 4z + 5 = 0
v. z 2 + 2iz − 1 = 0
iii. z 2 − z − 6 = 0
(c) Was fällt Ihnen bei i. bis iv. an der Lage Ihrer Lösungen auf? Woran mag das liegen?
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