Theoretische Physik III: Quantenmechanik

Theoretische Physik III: Quantenmechanik
Prof. F.Wegner, Universität Heidelberg, SS04
5. Lösungsblatt, Präsenzübung 28.05, Hausaufgaben Abgabetermin: 24.05.04
P5. Gauss’sches Wellenpaket
Laut Vorlesung (Schwabl) wird die allgemeine Unschärferelation durch zwei Ungleichungen abgeschätzt.
1) Schwarz’sche Ungleichung.
2)|h{p, x}i|2 ≥ 0.
Die Unschärferelation wird zur Gleichung,
wenn beide Ungleichungen zu Gleichungen
werden.
Die Schwarz’sche Ungleichung für zwei
Funktionen ψ und φ wird zur Gleichung
wenn und nur wenn
φ = zψ
P5. Gaussian wave packet
Two inequalities have been used in the lecture (see Schwabl) at deriving the general
uncertainty relation.
1) Inequality of Schwarz.
2)|h{p, x}i|2 ≥ 0.
The uncertainty relation becomes an
equality if both inequalities become equalities.
The inequality of Schwarz for two functions ψ 6= 0 and φ 6= 0 is an equality iff
z∈C
,
(1)
Beweis (nach Schwabl): Zerlege φ = zψ + Proof (after Schwabl): use the decomposiχ mit (ψ, χ) = 0 und betrachte
tion φ = zψ + χ with (ψ, χ) = 0 and look
at
(φ, φ) = (zψ + χ, zψ + χ)
= |z|2 (ψ, ψ) + (χ, χ)
|(φ, ψ)|2
+ (χ, χ) ,
=
(ψ, ψ)
Da |z|2 = |(φ, ψ)|2 /(ψ, ψ). Daraus folgt
Since|z|2 = |(φ, ψ)|2 /(ψ, ψ). It follows
|(φ, ψ)|2 = (ψ, ψ)(φ, φ) − (χ, χ)(ψ, ψ)
= (ψ, ψ)(φ, φ)
nur wenn χ = 0 oder ψ = 0. Der iff χ = 0 or ψ = 0. The second case is
zweite Fall ist aber laut Voraussetzung excluded by assumption. The inequality
ausgeschlossen. Die Schwarz’sche Ungle- of Schwarz follows from
ichung folgt aus
(χ, χ) =
Z
|χ(x)|2 dx ≥ 0 .
Wir setzen in (1) ψ = (x − hxi)φ0 und Now we set ψ = (x − hxi)φ0 and φ = (p̂ −
φ = (p̂ − hpi)φ0 und erhalten eine Differ- hpi)φ0 in Eq. (1) and obtain a differential
entialgleichung für φ0
equation for φ0
(−ih̄∂x − hpi) ψ0 (x) = z (x − hxi) ψ0 (x)
z
−ih̄d ln ψ0 = d[ x2 + hpix − zhxix]
2
!
izx2 ix
ψ0 (x) = C exp
+ (hpi − zhxi)
2h̄
h̄
Normierbarkeit erfordert für z = µ + iλ Normalization requires for z = µ + iλ the
die Bedingung λ > 0. Weiterhin liefert condition λ > 0. Moreover the normalizadie Normierung
tion yields
s
ψ0 (x) =
4
λ
iz
ixhpi iµhxi2
2
exp
(x − hxi) +
−
πh̄
2h̄
h̄
2h̄
"
Man kann λ, µ noch weiter bestimmen,
entweder durch minimieren von ∆x∆p
bezüglich λ, µ oder durch Ausnutzen der
zweiten obigen (Un)gleichung. Da die
zweite Möglichkeit im Schwabl diskutiert
wird beschränken wir uns auf die erste
Möglichkeit. Für ∆x bzw. ∆p findet man
#
.
One can determine λ, µ further either
by minimizing ∆x∆p with respectλ, µ to
or by using the second inequality above.
Since the second possibility is discussed in
the textbook of Schwabl we restrict ourselves to the first one
s
∆x
=
(∆p)2
=
=
h̄
2λ
−h̄2 (ψ0 , ∂x2 ψ0 ) − hpi2
h̄2 (∂x ψ0 , ∂x ψ0 ) − hpi2
with ψ0 = C exp(f (x))
=
=
=
⇓
h̄2 h|f 0 (x)|2 i − hpi2
h|z(x − hxi) + hpi|2 i − hpi2
|z|2 (∆x)2
s
∆x∆p
1+
=
µ2 h̄
λ2 2
mit Minimum bei µ = 0.
with minimum at µ = 0.
H12. Teilchen im Gravitationsfeld
Einsetzen
von
ψ(x, t)
in
Schrödingergleichung liefert nach durchmultiplizieren mit exp(−iφ(t) + iaxt)
H12. Particle in gravitational field
Plugging ψ(x, t) into the Schrödinger
equation yields after multiplying on both
sides with exp(−iφ(t) + iaxt)
ih̄ iφ̇ψ0 − iaxψ0 + ψ˙0 + gtψ00
"
=
h̄2 2 2
−
−a t ψ0 − 2iatψ00 + ψ000 + mgxψ0
2m
#
.
Wir können nun ih̄φ̇ = −h̄2 φ00 /2m be- We now use ih̄φ̇ = −h̄2 φ00 /2m and deternutzen und durch Koeffizientenvergleich a mine a and φ by comparing coeffizients
und φ bestimmen
ψ00
:
h̄2
ih̄gt = iat
m
⇒a =
mg
h̄
h̄2 a2 t2
+ mgx
2m
⇓ with a = mg/h̄
h̄a2 t2
φ̇ = −
2m
mg 2 t3
h̄a2 t3
= −
φ(t) = −
6m
6h̄
wobei wir die Integrationskonstante null where the integration constant has been
gestzt haben.
set to zero.
ψ0 :
−h̄φ̇ + h̄ax =
H13. Potentialstufe
i) Definiere
H13. Potentialstep
i) Define
ψ− = θ(−x) (ψin (x) + ψout (x)) , ψ+ = θ(x) (ψin (x) + ψout (x))
0
Gleichsetzen von ψ− (0) = ψ+ (0) und Equating ψ− (0) = ψ+ (0) and ψ−
(0) =
0
0
0
von ψ−
(0) = ψ+
(0) ergibt lineares Gle- ψ+
(0) yields a system of linear equations
ichungssystem für C und D
for C and D
A+C = D+B
k
(A − C) = (D − B)
q
⇓
1
C
k−q
=
D
2k
q+k
Die erste Spalte der obigen Matrix ist
bereits in der Vorlesung hergeleitet worden. Die zweite Spalte erhält man durch
einfaches Vertauschen von k ↔ q.
ii) Man erhält die partiellen Ströme
jC
jD
A
B
The first column of the above matrix has
already been derived in the lecture. The
second column could have been derived by
simply interchanging k ↔ q.
ii) We obtain the partial current densities
h̄k 2
|A|
m
h̄q
= − |B|2
m
h̄k 2
h̄k
2
2
2
2
∗
= − |C| = −
(k
−
q)
|A|
+
4q
|B|
+
4q(k
−
q)Re(A
B)
m
m(q + k)2
h̄q
h̄q
2
2
2
2
∗
=
|D|2 =
(q
−
k)
|B|
+
4k
|A|
+
4k(q
−
k)Re(A
B)
.
m
m(q + k)2
jA =
jB
2q
q−k
Die Kontinuitätsgleichung liefert
The continuity equation yields
jA + jC = jB + jD
4h̄kq 2
2
∗
=
k|A|
−
q|B|
−
(k
−
q)Re(A
B)
m(q + k)2
Eine weitere Beziehung erhält man zwis- Another relation can be obtained by comchen dem einfallenden und dem aus- paring the incoming and outgoing current
laufenden Strom
jin = jA − jB
h̄ =
k|A|2 + q|B|2
m
jout = jD − jC
h̄
2
2
2
2
q(q
+
k)
|B|
+
k(k
+
q)
|A|
=
m(q + k)2
= jin ,