Quantentheorie I Serie 3

Quantentheorie I
Serie 3
Impuls, Unschärferelation
9. 10. 2017
1. Erwartungswerte des Impulses
(a) Zeige, dass hpi reell ist.
(b) Zeige, dass hp2 i reell und positiv ist.
2. Theorem von Ehrenfest. Zeige, dass
d
hpi = hF i
dt
wobei F = − ∂V
∂x . Was sagt diese Gleichung aus?
3. Betrachte ein Teilchen der Masse m, das sich entlang der x-Achse bewegt und auf
das die Kraft F = −kx wirkt.
(a) Wie lautet die zugehörige Schrödingergleichung?
(b) Wie müssen a und b gewählt werden, damit der Ansatz
Ψ(t, x) = N exp(−ax2 + ibt)
eine Lösung dieser Schrödingergleichung ergibt?
(c) Wie muss N gewählt werden, damit die Wellenfunktion richtig normiert ist?
4. Betrachte wieder die allgemeine Wellenfunktion
Ψ(t, x) = N exp(−ax2 + ibt)
(a) Was sind hxi, hx2 i?
(b) Berechne hpi, hp2 i.
(c) Bestimme σx und σp . Prüfe, ob die Unschärferelation erfüllt ist.
Hinweis zu 3.) und 4.):
Z
+∞
r
π
für Re(A) > 0 ,
A
−∞
Z +∞
Z +∞
d
2
2
dx x exp(−A x ) = −
dx exp(−A x2 ) .
dA
−∞
−∞
2
dx exp(−A x ) =