T2 - Quantenmechanik I WS 15/16 - Prof. Scrinzi ¨Ubungsblatt 4 4.1

3. Dezember 2015
T2 - Quantenmechanik I
WS 15/16 - Prof. Scrinzi
Übungsblatt 4
4.1: (T) Der Hamiltonoperator ist Hermitesch
Motivation: Aus der Erhaltung der Wahrscheinlichkeit folgen bereits die allgemeine Form der
Schrödingergleichung und die Hermitizität des Hamiltonoperators. Hier soll Letzteres gezeigt
werden.
(a) Nimm H = L2 (R) an und zeige, dass für die Ableitung von Skalarprodukten die übliche
Produktregel gilt, also für Ψa , Φa ∈ H:
∂a hΦa |Ψa i = h∂a Φa |Ψa i + hΦa |∂a Ψa i
(1)
wobei a ein beliebiger Parameter sei (zB die Zeit t). (In Ortsdarstellung sieht Ψa also so
aus: Ψa (x).) Hier müssen Integral und Ableitung vertauscht werden, worauf muss man
dabei achten?
Es gilt
Z∞
∂a h φa | ψa i = ∂a
dx φ∗a (x) ψa (x)
−∞
Z∞
=
dx ∂a φ∗a (x) ψa (x)
−∞
= h ∂a φa | ψa i + h φa | ∂a ψa i .
An dieser Stelle sei angemerkt, dass bei der Vertauschung von Ableitung und Integral
was schief gehen kann. Minimale Anforderung ist, dass das Integral überhaupt noch Sinn
ergibt. Dies ist erfüllt wenn ∂a ψa ∈ H und ∂a φa ∈ H.
(b) Zeige, dass dies für beliebige Hilberträume gilt. Welche Bedingung sollte man an ∂a |Ψa i
und/oder ∂a |Φa i stellen (hinreichende Bedingung)?
i 1h
i
1h
h φa+h | ψa+h i − h φa | ψa i = h φa+h | ψa+h i − h φa | ψa+h i + h φa | ψa+h i − h φa | ψa i
h
h
1
1
=
φa+h − φa ψa+h + φa ψa+h − ψa
h
h
h→ 0
⇒ ∂a h φa | ψa i = h ∂a φa | ψa i + h φa | ∂a ψa i
hierbei müssen die Limes existieren, was wieder unter anderem Voraussetzt, dass ∂a ψa ∈
H
1
(c) Benutze die Schrödingergleichung, die Produktregel und die Definition des hermitesch
b † , um zu zeigen, dass aus der Normerhaltung die Hermitizität
konjugierten Operators H
†
b =H
b ) folgt.
(H
Die zeitabhängige Schrödingergleichung lautet:
i~∂t |ψ(t)i = Ĥ|ψ(t)i
Hier schreiben wir ψt ≡ ψ(t). Entscheident ist nur sich klarzumachen, dass t hier ein
externer parameter ist.
!
0 = ∂t h φ(t) | ψ(t) i = h ∂t φ(t) | ψ(t) i + h φ(t) | ∂t ψ(t) i
*
+ *
+
−iĤ
E
iD
−iĤ
=
φ(t) ψ(t) + φ(t) ψ(t) =
φ(t) Ĥ † − Ĥ ψ(t) ⇔ Ĥ = Ĥ †
~
~
~
Hierbei müssen ψ und φ verschiedene Funktionen sein Ansonsten gilt der Variationstheorem (mathematische Grundlage des letzten Schritts) nicht.
4.2: (T) Heisenbergsche Unschärferelation
Die allgemeine Unschärferelation schreibt man als
1 Dh b b iE
b
b
∆A∆B ≥ A, B ,
2
q
b =
b2 i − hQi
b 2 die Varianz bezeichnet. Führe den Beweis nach der folgenden
wobei ∆Q
hQ
einfachen Anleitung aus.
b ein beliebiger (auch nicht-hermitischer) Operator. Zeige, dass
(a) Sei C
b† Ci
b ψ ≥ 0 ∀Ψ ∈ H.
hC
2
h Ĉ † Ĉ iψ = h ψ | Ĉ † Ĉ | ψ i = h ψ | Ĉ † Ĉ | ψ i = Ĉ|ψi ≥ 0 ∀ ψ ∈ H
b und B
b zwei hermitesche Operatoren. Nimm zunächst an hAi
b = hBi
b = 0. Schreibe
(b) Seien A
b und verwende das Obige um eine Ungleichung zu erhalten. Passe λ so an,
b := λA
b+ i B
C
λ
bB
b folgt.
dass die Unschärferelation für diese speziellen A,
hĈ Ĉ † i ≥ 0
i
i
h(λ + B̂)(λ + B̂)† i ≥ 0
λ
λ
λ2 h† i +
∀λ ∈ R
1
hB̂ B̂ † i + ihB̂ † i − ihÂB̂ † i ≥ 0
λ2
1
λ2 hÂ2 i + 2 hB̂ 2 i ≥ ih[Â, B̂]i
λ
2
Nun gilt auch |λ2 hÂ2 i + λ12 hB̂ 2 i| ≥ |h[Â, B̂]i| weil: ih[Â, B̂]i ∈ R und falls ih[Â, B̂]i < 0,
dann gilt obige Ungleichung auch für vertauschte  und B̂. (Damit ist die Möglichkeit ausgeschlossen, dass ih[Â, B̂]i < 0 und vom Betrag größer als die linke Seite ist) Quadrieren
gibt:
1
λ4 hÂ2 i2 + 4 hB̂ 2 i2 + 2hÂ2 ihB̂ 2 i ≥ |h[Â, B̂]i|2
λ
Wähle nun
hB̂ 2 i
,
λ4 =
hÂ2 i
damit ergibt sich
q
q
1
2
h i hB̂ 2 i ≥ |h[Â, B̂]i|.
2
b hBi
b =
(c) Verallgemeinere für hAi,
6 0.
Setze Â0 = Â−h  iψ und B̂ 0 = B̂−h B̂ iψ in den obigen Ergebnisse für die Unschärferelation
ein.
b = Pb und B
b = X?
b
(d) Was ergibt sich für Orts- und Impulsoperator, A
Dh
iE
1
∆X̂ ∆P̂ ≥ 2 X̂, P̂ = 21 ~
4.3: (Z) Wellenfunktionen in Ortsdarstellung sind differenzierbar
Motivation: Unstetigkeiten in der Ortswellenfunktion implizieren das Auftreten unendlich großer
Impulse und sind somit unphysikalisch. Das sieht man auch daran, dass nach Anwendung des
Impulsoperators das Ergebnis nicht mehr normierbar ist, also kein Element mehr von L2 ist.
Nur differenzierbare Funktionen gehören zum ”Definitionsbereich” des Impulsoperators.
Es sei die Wellenfunktion eines Teilchens gegeben durch ψ(x) = αχ[a,b] (x) mit a < b.
(a) Berechne die Wahrscheinlichkeitsdichte für den Impuls.
Als erstes bestimmen wir α, so dass ψ normiert ist.
ψ(x) = αχ[a,b] (x)
α= √
1
b−a
Damit ergibt sich
r
Z b
b+a
α
b−a
b−a
−ikx
ψ̃(k) = √
dx e
=
sinc
k e−ik 2
2π
2
2π a
2
b−a
b−a
sinc2
k .
ψ̃(k) =
2π
2
3
(b) Berechne den Erwartungswert des Impulses in Orts- und Impulsdarstellung.
Gerechnet im Impulsraum:
~(b − a)
dk |ψ̃(k)| ~k =
hp̂iψ =
2π
R
Z
2
k)
sin2 ( b−a
2~
2
k=
dk
2
b−a
(b − a)π
R
k
2
Z
Z
dz
R
wobei im letzten Schritt das Integral verschwindet weil sin2 (z) gerade und
sin2 (z)
z=0
z2
1
z
ungerade ist.
Im Ortsraum:
Z
dx α2 χ[a,b] (x) − i~∂x χ[a,b] (x)
R
Z b
2
= −iα ~
dx δ(x − a) − δ(x − b)
a
1 1
2
=0
= −iα ~
−
2 2
hp̂iψ =
Auch hier haben wir ein bisschen gemogelt: beim ableiten der Sprungfunktion einfach δ
hinschreiben über die wir dann auch noch nur zur Hälfte integrieren.
Natürlich kommt bei den beiden Rechnung (Ortsraum und Impulsraum) das gleiche raus,
aber in beiden Fällen waren wir “an der Grenze”: Wir mussten mit Hauptwerten und δ
rumrechnen.
(c) Berechne den Erwartungswert der kinetischen Energie in Impulsdarstellung. Was passiert
in der Ortsdarstellung?
Gerechnet im Impulsraum:
(b − a)~2
hp̂ iψ =
dk |ψ̃(k)| ~ k =
2π
R
2
Z
2 2 2
Z
R
dk sin2 (
b−a
k) = ∞
2
wobei das Integral einfach divergiert, egal wie man es dreht und wendet.
Im Ortsraum:
2
hp̂ iψ
Z
=
2
dx α2 χ[a,b] (x) − i~∂x χ[a,b] (x)
R
Z
2 2
−α ~
dx χ[a,b] (x)∂x δ(x − a) − δ(x − b)
R
Z b
dx ∂x δ(x − a) − δ(x − b)
−α2 ~2
a
b
2 2
−α ~ δ(x − a) − δ(x − b) a
2 2
−α ~ δ(a − b) − δ(b − b) − δ(a − a) + δ(a − b)
=
2 α2 ~2 δ(0) = ∞
=
=
=
F.S.
=
4
δ(0) hier einfach als ∞ interpretiert.
Wieder geben beide Rechnung natürlich das gleiche Ergebnis. Im Impulsraum hat man es
offensichtlich mit nicht sinnvollen Ausdrücken zu tun (weil sie divergieren). Im Ortsraum
treten Ableitungen von δ bzw δ 2 auf welche ebenfalls nicht sinnvoll zu definieren sind.
4.4: (Z) Eigenfunktionen - kontinuierliches Spektrum - Bra-Ket Notation
Motivation: Wir unterscheiden zwischen Eigenvektoren und Eigenfunktionen eines Operators.
Die Eigenvektoren sind Elemente des Hilbertraums (repräsentieren also sinnvolle Zustände des
Systems) während es Eigenfunktionen im allgemeinen nicht sind (jeder Eigenvektor ist auch
Eigenfunktion, aber nicht umgekehrt). In der Bra-Ket Notation wird diese Unterscheidung unterschlagen, was sie einerseits sehr kompakt und hübsch macht, andererseits Verwirrung stiften
kann. Wenn man sich der Unterscheidung bewusst bleibt, ist die Bra-Ket Notation ein sehr
mächtiges Werkzeug.
b : H → H dessen Spektrum σ(A)
b sowohl aus diskretem SpekBetrachte einen Operator A
b (auch Punktsprektrum oder diskrete Eigenwerte genannt) als auch kontinuierlichem
trum σp (A)
b besteht, also
Spektrum σc (A)
b = σp (A)
b ∪ σc (A)
b = {a0 , a1 , . . . aN } ∪ [a0(c) , a(c)
σ(A)
1 ].
(2)
Die Eigenvektoren zum diskreten Spektrum existieren immer (als Elemente des Hilbertraums):
b i = Φi ai . Nimm an, dass auch Eigenfunktionen für das kontinuierliche Spektrum
Φi ∈ H : AΦ
b a = φa a mit a ∈ σc (A).
b (Siehe Vorlesungsmaterialien:
defniert werden können: φa ∈
/ H : Aφ
StrukturQM.pdf)
b
(a) Zeige, dass für Eigenfunktionen des kontinuierlichen Spektrums φa , φa0 mit a, a0 ∈ σc (A)
gelten muss
Z
hφa |φa0 i = dx φ∗a (x)φa0 (x) = δ(a − a0 ).
(3)
b bU
b −1 = U
b −1 U
b b = 1.
Hinweis: Verwende U
b
b
A A
A
A
ÛA† ψ
Z
dx U ∗ (x, a)ψ(x)
Z
Z
X
∗
=
dx U (x, a)
dã U (x, ã)ψA (ã)
ψA (a) =
(a) =
σ(Â)
=
Z
X
Z
dã ψA (ã)
σ(Â)
dx U ∗ (x, a)U (x, ã)
{z
}
|
!
=δ(a−ã)
Z
dx U ∗ (x, a)U (x, ã) =
Z
dx φ∗a (x)φã (x) = hφa |φã i
0
Um zu zeigen, dassP
Rhφa |φa0 i = δ(a −Ra ) für Eigenfunktionen des kontinuierlichen Spektrums könnte man σ(Â) auch durch σc (Â) ersetzen.
5
(b) Unter welcher Bedingung gilt auch die “Umkehrung”?
Z
da φa (x)∗ φa (x0 ) = δ(x − x0 )
(4)
(Lege fest, über welchen Bereich der a integriert wird.)
Z
X
ψ(x) = ÛA ψA (x) =
da U (x, a)ψA (a)
σ(Â)
=
Z
X
Z
da U (x, a)
dx̃ U ∗ (x̃, a)ψ(x̃)
σ(Â)
Z
=
Z
X
dx̃ ψ(x̃)
da U (x, a)U ∗ (x̃, a)
σ(Â)
|
!
{z
}
=δ(x−x̃)
Z
X
da U (x, a)U ∗ (x̃, a) =
σ(Â)
Z
X
da φ∗a (x̃)φa (x)
σ(Â)
Entscheidend hierbei ist, dass
diskretes und kontinuierliches.
R
P
σ(Â)
eben über das gesamte Spektrum läuft, also über
(c) Wie würde man beides in Bra-Ket Notation schreiben? Also mittels der |ai i ≡ Φi ,
b (für das kontinui ∈ {1, . . . , N } (für das diskrete Spektrum) und der |ai ≡ φa , a ∈ σc (A)
ierliche Spektrum)?
Wir
direkt die Unterscheidung zwischen |ai und |ai i und schreiben statt
R unterschlagen
R
P
gleich da:
σ(Â)
Z
Z
X
1 =
da |aiha| ≡
|aiha|
σ(Â)
Z
1 =
ψ(x) =
=
=
=
dx |xihx|
Z
hx|ψi = da hx|aiha|ψi
Z
Z
da hx|ai dx0 ha|x0 ihx0 |ψi
Z
Z
0
0
dx hx |ψi da hx|aiha|x0 i
Z
Z
0
0
dx ψ(x ) da φa (x)φ∗a (x0 )
{z
}
|
=δ(x−x0 )
und
Z
ψA (a) = ha|ψi =
6
dx ha|xihx|ψi
Z
Z
dx ha|xi
=
Z
0
Z
da ha |ψi dx ha|xihx|a0 i
Z
Z
0
0
=
da ψ(a ) dx φ∗a (x)φa0 (x)
|
{z
}
=
0
da0 hx|a0 iha0 |ψi
=δ(a−a0 )
b = Pb.
(d) Verifiziere obige Punkte explizit für den Impulsoperator A
Z
1 =
dk |kihk|
ψ(x) = hx|ψi
Z
=
dk hx|kihk|ψi
Z
eikx
dk √ ψ̃(k)
=
2π
Z
Z
eikx
dx0 hk|x0 ihx0 |ψi
=
dk √
2π
Z
ikx Z
−ikx0
e
0 e
=
dk √
dx √ ψ(x0 )
2π
2π
Z
Z
ik(x−x0 )
e
=
dx0 ψ(x0 ) dk
2π
|
{z
}
=δ(x−x0 )
4.5: (T) Freies Teilchen
Die Ortswellenfunktion eines Teilchens (in einer Dimension) der Masse m sei gegeben durch
ψ0 (x) = N exp − a(x − x0 )2 + ikx
(5)
mit k ∈ R, a > 0 und N ∈ C.
(a) Normiere die Wellenfunktion und argumentiere weshalb N ∈ R gewählt werden kann.
2
R∞
p π a( 16 x2 −2x2 )
2
! 1 = ψ0 (x) = N 2
dx e−2a(x−x0 ) = N 2 2a
e 8 0 0
⇔
N=
41
−∞
2a
π
(b) Was sind die Erwartungswerte und wahrscheinlichsten Werte für Ort und Impuls bei einer
Messung?
Z∞
h x iψ0 = h ψ0 (x) | x̂ | ψ0 (x) i =
dx x
−∞
7
r
2a −2a(x−x0 )2
e
π
√
Mit der Substitution ξ = πa(x − x0 ) ⇔ x =
kann wird der Erwartungswert
r
h x iψ0 =
1
π
Z∞
−∞
√ξ
2a
+ x0 und dementsprechend dx =
2
ξ
dξ √ + x0 e−ξ =
2a
r
√dξ
2a
1√
πx0 = x0 .
π
Analog
r
h p iψ0 = h ψ0 (x) | p̂ | ψ0 (x) i =
2a
π
Z∞
dx e−a(x−x0 )
2 −ikx
2 +ikx
(−i~)∂x e−a(x−x0 )
−∞
r
= −i~
VS
2a
π
r
= −i~
Z∞
2a
π
−∞
Z∞
−∞
2
dx ik + 2a2 (x − x0 ) e−2a(x−x0 )
√
ξ −ξ2
1
dξ ik + 2a2 √
e
= −i~ √ (ik π) = ~k.
π
2a
Die wahrscheinlichsten Werte für Ort und Impuls ergeben sich aus ∂x |ψ(x)|2 und entsprechend im Fourierraum ∂k |ψ(k)|2 . Es kommt wieder x0 und ~k raus.
p̂2
t mit t ∈ R
(c) Für den Zeitentwicklungsoperator eines freien Teilchens Ût := exp − i 2m~
berechne ψt := Ût ψ0 . (Funktionen von Operatoren sind über die Spektraldarstellung
definiert, siehe Aufgabe 2.4.)
0
Z
ψ̃0 (k ) = N
dx
0
√ e−ixk ψ0 (x) = N
2π
Z
1 (ik−ik0 −2ax0 )2 −ax0 2
dx
2
0
4a
√ e−a(x−x0 ) +ix(k−k ) = N √ e
2π
2a
0 2
2
ψ̃t (k 0 ) = Ut ψ̃0 (k 0 ) = e−ip̂ t/2m~ ψ̃0 (k 0 ) = e−i(~k ) t/2m~ ψ̃0 (k 0 )
Z
i~t 02
k
k2
N
1
ψt (x) = √
dk 0 exp −( +
)k + (i(x − x0 ) + )k 0 −
+ ikx0
4a 2m
2a
4a
4aπ
1/4
2
n −a(x − x )2 + ikx − ik t~ − 2x0 kta~ o
2a
1
0
2m
m
q
=
exp
2iat~
π
2iat~
1
+
m
1+
m
mit τ = 2a~t/m gibt das
2a
π
14
ik 2
−1
2
ψt (x) = √
exp (1 + iτ )
−a(x − x0 ) + ikx − τ (
+ kx0 )
4a
1 + iτ
(d) Berechne die Wahrscheinlichkeitsdichte für den Ort als Funktion von t und skizziere diese
für ausgewählte t. Interpretiere das Ergebnis.
8
q
2
|ψt (x)| = √
2a
π
1 + τ2
exp
−2a
1 + τ2
2 !
τk
x − x0 +
2a
Die Gaussglocke zerfliesst (wird also breiter und flacher) und wandert mit geschwindigkeit
~k/m = p/m = v.
(e) Verifiziere, dass ψt die Schrödingergleichung eines freien Teilchens
d
p̂2
ψt =
ψt
dt
2m
= ψ0 erfüllt.
i~
mit der Anfangsbedingung ψt=0
(6)
Es gilt
i~∂t ψt (x) = i~∂t Ut† ψ0 (p) = i~ ∂t e−itp̂
2 /2m~
ψ0 (p) =
p̂2 −itp̂2 /2m~
p̂2
e
ψ0 (p) =
ψt (x)
2m
2m
und explizit in im Ortsraum mit x0 = 0:
2a 1/4
1
q
ψt (x, x0 = 0) =
π
1+
2iat~
m
n −ax2 + ikx −
exp
1 + 2iat~
m
ik2 t~ o
2m
i
ψt (x) h a~2 k 2 ~2 2a~2
2
+
+
(−ax
+
ikx)
m
2m
m
1 + 2iat~
m
h
ψt (x) a~2 k 2 ~2
a2 x2 ~2 2iakx i
=
+
−2
+
m
2m
m
m
1 + 2iat~
m
2 2
2
~ ∂x
~ ∂x
ψt (x)(−2ax + ik)
−
ψt (x) = −
2iat~
2m
2m 1 + m
i
ψt (x) h
~2
2 2
2
=
−
(4a
x
−
k
−
4iakx
−
2a)
2m
1 + 2iat~
m
h
2
ψt (x) a~
k 2 ~2
a2 x2 ~2 2iakx i
=
+
−2
+
= i~∂t ψt (x)
m
2m
m
m
1 + 2iat~
m
i~∂t ψt (x) =
4.6: (T) Translationsoperator
Motivation: Den Impuls als Erzeuger von Verschiebungen in der klassischen Mechanik haben wir
bereits betrachtet. Hier nun der quantenmechanische Operator welcher endliche Verschiebungen
generiert.
Der Translationsoperator ist gegeben durch T̂a := exp − ip̂a
mit a ∈ R.
~
(a) Berechne [x̂, T̂a ].
∞
∞
X
X
(−ia/~)n n
(−ia/~)n
−ip̂ a/~
−ip̂ a/~
x̂, T̂a = x̂ e
−e
x̂ =
x̂, p̂ ] =
i~np̂n−1
n!
n!
n=0
n=0
∞
=
−ia/~ X (−ia/~)n−1
i~np̂n−1 = ae−ip̂a/~ = aT̂a
n n=0 (n − 1)!
9
(b) Zeige, dass für eine beliebige Eigenfunktion |xi des Ortsoperators auch T̂a |xi wieder eine
Eigenfunktion ist.
x̂T̂a |xi = x̂, T̂a + T̂a x̂ |xi = (aT̂a + T̂a x̂)|xi = (aT̂a + T̂a x)|xi = (a + x)T̂a |xi
(c) Zeige, dass T̂a Funktionen verschiebt, also T̂a ψ (x) = ψ(x − a).
x̂T̂a |xi = (a + x)T̂a |xi → T̂a |xi ∝ |a + xi
h x | T̂a† T̂a | x i = 1 → T̂a |xi = |a + xi
10