¨Ubungen zur Quantenmechanik Vorlesung Prof. Dr. Blumen, SoSe

Übungen zur Quantenmechanik
Vorlesung Prof. Dr. Blumen, SoSe 2011
Aufgabenblatt 6
Aufgabe 16: Transmission durch eine Potentialbarriere
Ein Teilchen mit der Gesamtenergie E > 0 wird an einer Potentialbarriere,


0
V (x) = V0


0
x < −a
−a < x < a
x > a.
(1)
mit V0 > 0, a > 0 gestreut. Setzen Sie die Lösung der stationären Schrödingergleichung
an als:


A1 exp(ikx) + A2 exp(−ikx) x < −a
Ψ(x) = B1 exp(−κx) + B2 exp(κx)
(2)
−a < x < a


C1 exp(ikx) + C2 exp(−ikx) x > a.
a) Drücken Sie k und κ durch E und V0 aus.
b) Definieren Sie nun die “Vektoren” (A1 , A2 ), (B1 , B2 ) und (C1 , C2 ). Als Randbedingung
an die Wellenfunktion Ψ fordert man Stetigkeit und Stetigkeit der Ableitung an den
Sprungstellen des Potentials bei x = a und x = −a. Schreiben Sie die Randbedingungen
in Matrixform
A1
B1
B1
C1
= T−a
bzw.
= T+a
(3)
A2
B2
B2
C2
c) Bestimmen Sie die Transfermatrix Tges. der gesamten Potentialbarriere, die durch die
Relation (A1 , A2 ) = T (C1 , C2 ) bestimmt ist. Wie lauten die Einträge der Matrix Tges. ?
d) Betrachten Sie den Fall, einer von links einlaufenden Welle und berechnen sie den
Transmissionskoeffizienten T := |C1 /A1 |2 und den Reflexionskoeffizienten R := |A2 /A1 |2 .
Was gilt für T + R?
e) Diskutieren Sie den Transmissionskoeffizienten T qualitativ für die Fälle (i) E > V0
sowie (ii) 0 < E < V0 und vergleichen Sie mit dem klassischen Ergebnis.
Hinweis: Vereinfachen Sie im letzten Fall das Ergebnis für κa 1.
(9 Punkte)
(bitte wenden)
Aufgabe 17: Molekülbindung
Das Doppel-Deltapotential V (x) = −β δ(x + a) + δ(x − a) , mit a, β > 0, kann als
einfachstes Modell für das H2+ -Ion betrachtet werden, an dem sich die Grundzüge der
Molekülbindung studieren lassen.
a) Geben Sie für gebundene Zustände (E < 0) die allgemeine Lösung der Schrödingergleichung in den drei Bereichen x < −a, −a < x < a und x > a an.
b) Als Randbedingung an die Wellenfunktion fordert man Stetigkeit von Ψ sowie die
Sprungbedingung
Ψ0 (x + 0) − Ψ0 (x − 0) = −(2mβ/~2 )Ψ(x)
(4)
an den Stellen x = ±a der Deltafunktion. Bestimmen Sie unter Betrachtung der Stetigkeitsund Sprungbedingungen die geraden Eigenfunktionen. Lösen Sie die Bestimmungsgleichung des zugehörigen Eigenwertes graphisch.
(Eine Funktion Ψ heißt gerade falls Ψ(−x) = Ψ(x))
c) Führen Sie die entsprechende Rechnung für die ungeraden Eigenfunktionen durch. Für
welchen Wert von a existiert keine ungerade Lösung mehr?
(Eine Funktion Ψ heißt ungerade falls Ψ(−x) = −Ψ(x))
(6 Punkte)
d) Bonusaufgabe: Leiten Sie aus der stationären Schrödingergleichung die Sprungbedingung (4) her.
(1 Bonuspunkt)
Abgabe der Lösungen zu diesem Blatt bis Mo. 20. Juni in der Vorlesung.
Bitte schreiben Sie gut sichtbar den Namen Ihres Tutors auf Ihre Lösungsblätter.
Lösungsblätter sollten zusammengeheftet sein!