Universität des Saarlandes Saarbrücken, 16.04.2010 Übungen zur

Universität des Saarlandes
Fachrichtung 7.1 – Theoretische Physik
Prof. Dr. H. G. Schuster
Saarbrücken, 16.04.2010 Übungen zur Theoretischen Physik III für Lehramtskandidaten
(Quantenmechanik+Statistische Physik)
SS 2010, Blatt 2
3. hermitesche Operatoren (2 Punkte)
Wenn ein Operator  hermitesch ist, gilt (Vorlesung 2.48):
Z∞
Z∞
dx f ∗ (x)Âg(x) =
−∞
dx (Âf (x))∗ g(x)
(1)
−∞
a) Â = x̂p̂, Orstdarstellung: x̂ → x,p̂ →
f (x), g(x) ∈ L2 (Rn )gelten
~ ∂
.
i ∂x
Wenn x̂p̂ hermitesch ist muss (1) für alle
Z∞
Z∞
∂
~
∂ ∗
~
∗
dx f (x)x g(x) = −
dx x
f (x) g(x)
i
∂x
i
∂x
−∞
−∞
{z
} |
{z
}
|
1l
2l
partielle Integration der linken Seite:
~
~
1l: [f ∗ (x)g(x)x]|+∞
−∞ −
i
i
Z∞
dx g(x)
∂
(f ∗ (x)x)
∂x
−∞
~
=−
i
Z∞
dx
Z∞
∂ ∗
~
f (x) xg(x) −
dx f ∗ (x)g(x)
∂x
i
−∞
−∞
2
n
weil ~i [f ∗ (x)g(x)x]|+∞
−∞ = 0 für alle f (x), g(x) ∈ L (R ), (für alle quadratintegrablen
Funktionen)
Aus 1l = 2lfolgt:
~
0=−
i
Z∞
dx f ∗ (x)g(x)
−∞
was nicht allgemein für alle f (x), g(x) gilt. Somit ist x̂p̂ nicht hermitesch.
1
b)  = 12 (x̂p̂ + p̂x̂). Damit  hermitesch ist muss (1) gelten. Berechnung der linken Seite
von (1):
Z∞
Z∞
1
dx g (x)Âf (x) =
2
∗
~ ∂
~ ∂
dx f (x) x
+
x g(x)
i ∂x
i ∂x
∗
−∞
−∞
Z∞
∂
~
dx f (x)x
g(x) +
dx f ∗ (x)g(x)
∂x
i
−∞
−∞

∂
dxf ∗ (x)x
g(x) 
∂x

1 ~
= 
2 i
Z∞
~
+
i
Z∞
−∞
Z∞
~
=
i
∗
∗
dx f (x)x
Z∞
∂
~
dx f ∗ (x)g(x)
g(x) +
∂x
2i
−∞
−∞

~ ∗
f (x)xg(x)|∞
−
i |
{z −∞}
partielle Integration =
+
~
2i

∂
dx f ∗ (x) + x f ∗ (x) g(x)
∂x
−∞
=0
Z∞
Z∞
dx f ∗ (x)g(x)
−∞
Z∞
~
=−
2i
~
dx f ∗ (x)g(x) −
i
−∞
Z∞
∂ ∗
f (x) g(x)
∂x
dx x
−∞
Und die rechte Seite von (1):
Z∞
1
dx (Âf (x))∗ g(x) =
2
−∞
Z∞
~ ∂
~ ∂
∗
−
x f (x) g(x)
dx
−x
i ∂x
i ∂x
−∞
Z∞
~
∂ ∗
dx x
f (x) g(x) −
dx f ∗ (x)g(x)
∂x
i
−∞
−∞

∞
Z
~
∂ ∗
f (x) g(x)
−
dx x
i
∂x

1
~
= −
2
i
Z∞
−∞
Z∞
~
=−
2i
~
dx f (x)g(x) −
i
∗
−∞
Z∞
dx x
∂ ∗
f (x) g(x)
∂x
−∞
Daraus folgt:
Z∞
Z∞
∗
dx f (x)Âg(x) =
−∞
dx (Âf (x))∗ g(x)
−∞
und somit ist der Operator 21 (x̂p̂ + p̂x̂) hermitesch.
2
Andere Möglichkeit:
Zunächst wird gezeigt, dass p̂ hermitesch ist. Für hermitesche Operatoren gilt nach (1):
Z∞
~
i
Z∞
∂
~
dx f ∗ (x) g(x) = −
∂x
i
−∞
dx
∂ ∗
f (x) g(x)
∂x
−∞
Rechte Seite partielle Integration:
−
~
i
Z∞
dx
−∞

∂ ∗
~
f (x) g(x) = − f (x)∗ g(x)|∞
−
∂x
i |
{z −∞}
=0
Z∞

dx f ∗ (x)
∂
g(x)
∂x
−∞
→ p̂ ist hermitesch
Analog kann gezeigt werden, dass x̂ hermitesch ist. Zudem wurde in der Vorlesung gezeigt,
dass für die Matrixeinträge aij einer hermiteschen Matrix  gilt Vorlesung (2.46):
aij = a∗ji
a∗ji = (a∗ij )T
wobei (a∗ij )T = a†ij die Matrixeinträge der adjungierten Matrix sind. Somit gilt für hermitesche Operatoren:  = †
→ x̂ = x̂†
p̂ = p̂† , da diese hermitesch sind
Daraus folgt:
(x̂p̂)† = p̂† x̂† = p̂x̂ 6= x̂p̂
→ nicht hermitesch
1
1
1
(x̂p̂ + p̂x̂)† = (p̂† x̂† + x̂† p̂† ) = (p̂x̂ + x̂p̂)
→ hermitesch
2
2
2
4. Reflexion an einer Potentialstufe (2 Punkte)
a) (1 Punkt)
Zeitunabhï¿ 12 ngige Schrï¿ 12 dinger-Gleichung:
⇔
⇔
Ĥψ(x) = Eψ(x)
2
p̂
+ V (x) = Eψ(x)
2m
∂ 2 ψ(x) 2m(E − V (x))
+
ψ(x) = 0
∂x2
~2
x < 0:
∂ 2 ψ(x) 2mE
+ 2 ψ(x) = 0
∂x2
~
x > 0:
∂ 2 ψ(x) 2m(E − V0 )
+
ψ(x) = 0
∂x2
~2
3
b) (1 Punkt)
x < 0:
Allgemeine Lï¿ 12 sung der Differentialgleichung:
r
ψ(x) = A1 eikx + A2 e−ikx
mit k =
ψI (x) = A eikx + Re−ikx
⇒
2mE
~2
x > 0, E > V0 :
r
ψII (x) = A · T eiqx
mit q =
2m(E − V0 )
~2
x > 0, E < V0 :
r
ψII (x) = A · T e−λx
mit λ =
2m(V0 − E)
~2
c) (2 Punkte)
Stetigkeit von ψ(x):
ψI (0) = A(1 + R) = A · T = ψII (x)
⇒
1+R=T
E > V0 :
Stetigkeit von
∂
ψ(x):
∂x
(
∂ψII 0)
∂ψI (0)
= ikA(1 − R) = iqA · T =
∂x
∂x
⇒
k(1 − R) = qT
Zusammen mit (2) ergibt sich:
T =
E < V0 :
Stetigkeit von
2k
k+q
R=
k−q
k+q
∂
ψ(x):
∂x
(
(
∂ψI 0)
∂ψII 0)
= ikA(1 − R) = −λA · T =
∂x
∂x
⇒
k(1 − R) = iλT
Wieder mit (2) ergibt sich:
T =
2k
k + iλ
R=
k − iλ
k + iλ
d) (3 Punkte)
~
Die Stromdichte ist definiert als: j = 2mi
(ψ ∗ ψ 0 − ψψ ∗0 ).
Die einlaufende Stomdichte ist mit ψ0 (x) = Aeikx also:
~
|A|2 e−ikx ikeikx − eikx (−ik)e−ikx
2mi
~k
= |A|2
m
j0 =
4
(2)
Reflektierte Stromdichte fï¿ 12 r ψR (x) = A · Re−ikx :
~k
2
2
jR = |A| |R| −
m
E > V0 :
2
~k
~k
k−q
2
2
= |A| −
jR = |A| −
m
k+q
m
!2
√
√
E − E − V0
√
√
E + E − V0
E < V0 :
~k k 2 + λ2
~k
2
jR = |A| −
= |A| −
m k 2 + λ2
m
2
Transmittierte Stromdichte fï¿ 21 r ψT (x) = A · T eiqx bzw. ψT (x) = A · T eλx :
~k
2
2
jR = |A| |R| −
m
E > V0 :
~q
~q
jT = |A|2 |T |2
= |A|2
m
m
!2
√
2 E
√
√
E + E − V0
E < V0 :
~
e−λx (−λ)e−λx − e−λx (−λ)e−λx = 0
2mi
1
Fï¿ 2 r E < V0 wird der gesamte Wahrscheinlichkeitsstrom an der Stufe reflektiert:
jT = |A|2 |T |2
jR
= −1;
j0
-1 wegen Richtungswechsel der Welle
Im Vergleich zum Verhalten eines Teilchens in der klassischen Mechanik, kann das
Teilchen an der Potentialstufe reflektiert werden, auch wenn die Energie mit E > V0
ausreichen wï¿ 12 rde, um die Stufe zu ï¿ 12 berwinden. Des Weiteren ist die Wellenfunktion
fï¿ 21 r E < V0 im positiven Bereich der x-Achse nicht null. Die Wellenfunktion dringt also
in den verbotenen Bereich x > 0 ein.
5
Transmissionswahrscheinlichkeit
V0 = 1
1
0.8
jT/j0
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
E
6
2.5
3
3.5
4