kq R k q q T k k

Kap. IV QM in einer Räumliche Dimension (1D).
1) Der Harmonische Oszillator Æ Kohärente Zustände (Übungen)
2) Potentialstufe (1D Streuung).
3) Potentialbarriere (Tunnel Effekt).
4) Potentialtopf (Gebundene Zustände)
5) Periodische Potentiale (Bloch Theorem und Krönig-Penny Modell).
1) Der Harmonischer Oszillator (1d)
Hˆ
Hˆ ψ = E ψ
Zu lösen:
ω m Xˆ + i Pˆ
2ω m
aˆ =
Xˆ =
Invertierung,
Hˆ
mit ψ ψ = 1
aˆ + =
2ω m
ω m Xˆ − i Pˆ
2ω m
( aˆ + aˆ + )
n̂ bilden VONS.
2
da ⎡⎣ Pˆ , Xˆ ⎤⎦ =
gilt
i
1 ωm
Pˆ =
( aˆ − aˆ + )
i
2
Xˆ
2
nˆ ψ ν
⎡⎣ aˆ , aˆ + ⎤⎦ = 1
so dass:
Ist Hermitesch und heißt
Besetzungszahloperator
nˆ = aˆ + aˆ
ω ( aˆ aˆ + 1 / 2 )
Eigenvektoren von
mω
+
2
Abstieg, aufstieg Operatoren:
+
=
Pˆ 2
=
2m
= ν ψν
ν ≥ 0
Grundzustand:
nˆ ψ
0
= 0,
ψ 0 (x) =
1
x0
π
e
− x 2 / 2 x 02
x0 =
/ 2m
Angeregte Zustände.
ψn
=
Bem:
( )
1
aˆ +
n!
n
ψ0 ,
nˆ ψ n = n ψ n
1)
x ψn
= ψ n ( x)
2)
Ortsraumdarstellung von
1
ψ n ( x) =
n !2 x 0 π
n
2
Hˆ ψ n
=
ω ( n + 1 / 2) ψ n , n = 1, 2,
VONS von L2 ( )
bildet
e− x
=>
ψ n ( x)
/ 2 x02
H n ( x / x0 )
H 0 ( x ) = 1, H 1 ( x ) = 2 x , H 2 ( x ) = 4 x 2 − 2, ....
3)
4)
1 +
aˆ ψ n −1 ,
n
Ehrenfest Theorem.
ψn
=
ψ n −1
=
1
aˆ ψ n ,
n
Hermite Polynome
aˆ ψ 0 = 0
d2 ˆ
X (t ) = − mω2 Xˆ (t ) => Xˆ (t ) = A cos(ωt + δ )
2
dt
Wie beim klassischen Fall.
∞
Frage : Für welche Zuständen gilt
Xˆ (t ) = A cos(ω t + δ ) ?
Antwort: Kohärente Zustände:
ψα = e
− |α |2 / 2
∞
∑
n =0
αn
n!
ψn ,
ψ α (t ) = e − iω t / 2 ψ α ( t ) ,
α (t ) = α e − iω t
Xˆ (t ) = ψ α (t ) Xˆ ψ α (t ) =
x0 =
ωm
,
α = | α | e iδ
ψ α ψ α = 1, aˆ ψ α = α ψ α , α ∈
2 x0 | α | cos(ω t + δ ),
V(x)
2) Potential-Stufe.
Reflektiert.
V0
Transmittiert
Einfallende
2
d2
−
ψ ( x) + V ( x) ψ ( x) = E ψ ( x)
Stationäre Schrödinger Gleichung.
Zu lösen:
2 m dx 2
d
ψ ( x) sind stetig
Bedingungen V ( x) , ψ ( x) , E < ∞ => ψ ( x),
dx
Ansatz.
Lösung.
Bemerkung.
⎧⎪eikx + R e−ikx , x < 0,
ψ (x) = ⎨
Teiqx ,
x > 0,
⎪⎩
R=
k −q
k +q
∂
2
ψ ( x, t )
∂t
= ρ ( x ,t )
=
E − E −V0
E + E −V0
⎡
⎢i
+ ∇⎢
⎢ 2m
⎣
k = 2mE /
q = 2m(E −V0 ) /
, T=
2k
2 E
=
k +q
E + E −V0
⎤
⎥
*
*
∇
−
∇
ψ
(
,
)
ψ
(
,
)
ψ
(
,
)
ψ
(
,
)
x
t
x
t
x
t
x
t
(
)
⎥= 0
⎥
= j ( x ,t )
⎦
{
}
Stationäre Zustand, ein Dimension => j(x,t) = Wahrscheinlichkeitsstrom = Konstant !
V(x)
Reflektiert.
V0
Transmittiert
Einfallende
⎧⎪eikx + R e−ikx , x < 0,
ψ (x) = ⎨
Teiqx ,
x > 0,
⎪⎩
k = 2mE /
q = 2m(E −V0 ) /
q = iκ ,
q ∈
q
T
k
jr / j0 =
R∈
R
k −q
k +q
, T=
2k
k +q
E < V0
E > V0
jt / j 0 =
R=
2
2
Keine Phase Verschiebung
zwischen einfallende und
reflektiert Welle.
QM Teilchen kann reflektiert werden sogar
wenn E > V0
κ ∈
Wellenfunktion x>0
ist exponentiell unterdrückt.
jt = 0
jr / j0 =
R
2
= 1
Total-Reflektion.
R∈
R = e
− 2 iδ
⎛
δ = a rc ta n ⎜
⎜
⎝
E − V0 ⎞
⎟
⎟
E
⎠
Phaseverschiebung.
V(x)
Tunnel Effekt.
Reflektiert.
V0
-a
a
⎧ A e ik ( x + a ) + B e − ik ( x + a )
⎪⎪
ψ (x) = ⎨
C e iq x + D e − iq x
⎪
T e − ik ( x − a )
⎪⎩
Stetigkeit von
E < V0
Transmittiert
Einfallende
x < −a
−a < x < a
x > a
k =
q =
2mE /
2 m ( E − V0 ) /
= iκ
ψ ( x) , ψ '( x)
Transmissionswahrscheinlichkeitsamplitude.
T ( E ) / A( E ) = S ( E ) =
2ikκ
≠0
2ikκ cosh(2κ a ) + ( k 2 − κ 2 ) sinh(2κ a )
Teilchen befindet sich für Zeitskala Δt im potential Barriere. Während dieser Zeitskala ist
ΔE ≥
2 Δt
Scanning tunneling Microscope. STM.
Tunnel Barriere groß: =>
E
| S ( E ) | ≈ 16
V0
2
⎛
E ⎞ −4κ a
⎜1 −
⎟e
V0 ⎠
⎝
Starke Abhängigkeit von a.
Eisen auf Kupfer Oberfläche.
Teilchen im Potentialtopf, Gebundene Zustände E<0.
V(x)
-a
+a
V0
1) Grundzustand hat keine Knotenpunkt.
2) Mit aufsteigender Energie nimmt Anzahl
von Knotenpunkten zu.
Ε2
Ε1
Ε0
3) Zahl gebundene Zuständen hängt von
breite und tiefe des Potentialstopf.
4) Es gibt immer einen gebundene Zustand.
Lösung Vereinfacht durch Symmetrie Betrachtungen. Parität.
Ρˆ x = − x , Ρˆ p = − p
Ρˆ + = Ρˆ , Ρˆ 2 = 1, Ρˆ ξ = ξ ξ => ξ = ± 1,
Ρˆ Xˆ Ρˆ = − Xˆ , Ρˆ Pˆ Ρˆ = − Pˆ
Eigenzustände von H können gleichzeitig Eigenzustände von Parität sein.
⎡ Hˆ , Ρˆ ⎤ = 0
⎣
⎦
4) Periodische Potentiale.
Hˆ = Pˆ 2 / 2 m + V ( Xˆ )
V ( x + na ) = V ( x ) n ∈
Translations Operator.
ˆ /
− iPa
ˆ
Ta = e
=
Tˆa x
Tˆa :
x+a ,
Ist unitär. =>
Pˆ :
⎡ Tˆa , Hˆ ⎤ = 0
⎣
⎦
Impuls Operator.
Eigenzustände von H können gleichzeitig
Eigenzustände von Translationsoperator sein.
Tˆa ψ k = λ k ψ k ,
λk
2
=1
=> λ k = e − ika
Im Ortsraum gilt:
x ψk
= ψ k ( x) =
(Bloch Theorem).
e ikx u k ( x ),
u k ( x + na ) = u k ( x )
V ( x) = V0
Krönig-Penny Modell.
Bem: Anschlussbedingungen für
ψ ( x ) stetig.
∞
∑
δ (x − na)
n = −∞
V ( x ) = V0δ ( x − x0 ):
lim ε → 0 ψ '( x0 + ε ) − ψ '( x0 + ε ) = 2 mV0ψ ( x0 ) /
2
Ansatz zur Lösung stationäre Schr. Gleichung zur Energie E und Translationsoperator
Eigenwert exp(-ika):
ψ ( x ) = An e iqx + Bn e − iqx
mit q =
2 mE /
, na ≤ x < ( n + 1) a
=> u ( x ) = e − ikx ψ ( x )
Forderungen:
1) u ( x + a ) = u ( x)
An = A0 e − i ( q − k ) na ,
=>
2) limε →0 ψ (na + ε ) − ψ (na − ε ) = 0 =>
(1 − e
i ( q−k ) a
)A
0
(
Bn = B0 ei ( q + k ) na
)
+ 1 − e − i ( q + k ) a B0 = 0
3) limε →0 ψ '(na + ε ) − ψ '(na − ε ) =
2mV0
2
ψ (na )
=>
2mV0 ⎞
2mV0 ⎞
⎛
⎛
i ( q −k ) a
−i ( q + k ) a
iq
−
iqe
−
A
+
−
iq
+
iqe
−
⎜
⎟ 0 ⎜
⎟ B0 = 0
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠
Nicht Triviale Lösung falls:
(
)
(
)
⎛
⎞
1 − ei ( q − k ) a
1 − e−i ( q + k ) a
⎜
⎟
det ⎜ ⎛
2mV0 ⎞ ⎛
2mV0 ⎞ ⎟ = 0
i ( q−k ) a
−i ( q + k ) a
− 2 ⎟ ⎜ −iq + iqe
− 2 ⎟⎟
⎜ ⎜ iq − iqe
⎠ ⎝
⎠⎠
⎝⎝
co s ( k a ) = cos( q a ) +
2 maV0 sin( qa )
2
qa
Für Gegebenes k gibt es nur Diskrete
Werte von q
E (k ) =
1
-1
2
q 2 (k )
2m