ω ω ψ ψ π ψ ν ψ ν

Zusammenfassung 26.5
Der Harmonischer Oszillator (1d)
Hˆ ψ = E ψ
Zu lösen:
ω m Xˆ + i Pˆ
2ω mℏ
aˆ =
Hˆ
mit ψ ψ = 1
aˆ + =
bilden VONS.
Xˆ
2
nˆ ψ ν
 aˆ , aˆ +  = 1
so dass:
Ist Hermitesch und heißt
Besetzungszahloperator
nˆ = aˆ + aˆ
= ℏ ω ( aˆ aˆ + 1 / 2 )
n̂
2
ℏ
da  Pˆ , Xˆ  =
gilt
i
1 ω mℏ
Pˆ =
( aˆ − aˆ + )
i
2
+
Eigenvektoren von
mω
+
2
Abstieg, aufstieg Operatoren:
ω m Xˆ − i Pˆ
2ω mℏ
ℏ
( aˆ + aˆ + )
2ω m
Xˆ =
Invertierung,
Hˆ
Pˆ 2
=
2m
= ν ψν
ν ≥ 0
Grundzustand:
nˆ ψ
0
= 0,
ψ 0 (x) =
1
x0
π
e
− x 2 / 2 x 02
x0 =
ℏ / 2m
Angeregte Zustände.
ψn
=
Bem:
( )
1
aˆ +
n!
n
ψ0 ,
nˆ ψ n = n ψ n
1)
x ψn
= ψ n ( x)
2)
Ortsraumdarstellung von
1
ψ n ( x) =
n !2 x 0 π
n
2
Hˆ ψ n
= ℏ ω ( n + 1 / 2) ψ n , n = 1, 2, ⋯ ∞
VONS von L 2 ( ℝ )
bildet
e− x
=>
ψ n ( x)
/ 2 x02
H n ( x / x0 )
H 0 ( x ) = 1, H 1 ( x ) = 2 x , H 2 ( x ) = 4 x 2 − 2, ....
3)
4)
1 +
aˆ ψ n −1 ,
n
Ehrenfest Theorem.
ψn
=
ψ n −1
=
1
aˆ ψ n ,
n
Hermite Polynome
aˆ ψ 0 = 0
d2 ˆ
X (t ) = − mω2 Xˆ (t ) => Xˆ (t ) = A cos(ωt + δ )
2
dt
Wie beim klassischen Fall.
Frage : Für welche Zuständen gilt
Xˆ (t ) = A cos(ω t + δ ) ?
Antwort: Kohärente Zustände:
ψα = e
− |α |2 / 2
∞
∑
n=0
αn
n!
ψn ,
ψ α (t ) = e − iω t / 2 ψ α ( t ) ,
α (t ) = α e − iω t
Xˆ (t ) = ψ α (t ) Xˆ ψ α (t ) =
x0 =
ℏ
,
ωm
ψ α ψ α = 1, aˆ ψ α = α ψ α , α ∈ ℂ
2 x0 | α | cos(ω t + δ ),
α = | α | e iδ
Note: Photons are described by a Hamiltonian which has the same structure as that of the
harmonic oscillator. To generate a classical electro-magnetic wave starting from
quantum mechanics, (i.e. photons), coherent states are very useful!
V(x)
Potential-Stufe.
Reflektiert.
V0
Transmittiert
Einfallende
ℏ2 d 2
−
ψ ( x) + V ( x) ψ ( x) = Eψ ( x)
Stationäre Schrödinger Gleichung.
Zu lösen:
2 m dx 2
d
ψ ( x) sind stetig
Bedingungen V ( x) , ψ ( x) , E < ∞ => ψ ( x),
dx
Ansatz.
Lösung.
Bemerkung.
eikx + R e−ikx , x < 0,
ψ ( x) = 
Teiqx ,
x > 0,

R=
k −q
k +q
=
E − E −V0
E + E −V0
k = 2mE / ℏ
q = 2m(E −V0 ) / ℏ
, T=
2k
2 E
=
k +q
E + E −V0


 iℏ

∂
2
*
*
ψ ( x, t ) + ∇ 
∇
ψ
(
x
,
t
)
ψ
(
x
,
t
)
−
ψ
(
x
,
t
)
∇
ψ
(
x
,
t
)
=0
(
)

∂t
2m

 = ρ ( x ,t )
=
(
x
,
t
)
j


{
}
Stationäre Zustand, ein Dimension => j(x,t) = Wahrscheinlichkeitsstrom = Konstant !
V(x)
Potential-Stufe.
Reflektiert.
V0
Transmittiert
Einfallende
eikx + R e−ikx , x < 0,
ψ ( x) = 
Teiqx ,
x > 0,

k = 2mE / ℏ
q = 2m(E −V0 ) / ℏ
q = iκ ,
q
T
k
jt / j0 =
jr / j0 =
R
2
2
R ∈ ℝ Keine Phase Verschiebung
zwischen einfallende und
reflektiert Welle.
QM Teilchen kann reflektiert werden sogar
wenn E > V0
k −q
k +q
, T=
2k
k +q
E < V0
E > V0
q ∈ ℝ
R=
κ ∈ ℝ
jt = 0
jr / j0 =
R
2
= 1
Wellenfunktion x>0
ist exponentiell unterdrückt.
Total-Reflektion.
R∈ ℂ
R = e − 2 iδ
κ 

 k 
δ = a rc ta n 
Phaseverschiebung.
V(x)
Tunnel Effekt.
Reflektiert.
V0
-a
a
 A e ik ( x + a ) + B e − ik ( x + a )

ψ (x) = 
C e iq x + D e − iq x

T e − ik ( x − a )

Stetigkeit von
E < V0
Transmittiert
Einfallende
x < −a
−a < x < a
x > a
k =
q =
2mE / ℏ
2 m ( E − V 0 ) / ℏ = iκ
ψ ( x) , ψ '( x)
Transmissionswahrscheinlichkeitsamplitude.
T ( E ) / A( E ) = S ( E ) =
2ikκ
≠0
2ik κ cosh(2κ a ) + ( k 2 − κ 2 ) sinh(2κ a )
Teilchen befindet sich für Zeitskala ∆t im potential Barriere. Während dieser Zeitskala ist
∆E ≥
ℏ
2 ∆t
Scanning tunneling Microscope. STM.
Tunnel Barriere groß: =>
E
| S ( E ) | ≈ 16
V0
2

E  −4κ a
1 −
e
V0 

Starke Abhängigkeit von a.
Eisen auf Kupfer Oberfläche.
Teilchen im Potentialtopf, Gebundene Zustände E<0.
V(x)
-a
+a
V0
1) Grundzustand hat keine Knotenpunkt.
2) Mit aufsteigender Energie nimmt Anzahl
von Knotenpunkten zu.
Ε2
Ε1
Ε0
3) Zahl gebundene Zuständen hängt von
breite und tiefe des Potentialstopf.
4) Es gibt immer einen gebundene Zustand.
Lösung Vereinfacht durch Symmetrie Betrachtungen. Parität.
Ρˆ x = − x , Ρˆ p = − p
Ρˆ + = Ρˆ , Ρˆ 2 = 1, Ρˆ ξ = ξ ξ => ξ = ± 1,
Ρˆ Xˆ Ρˆ = − Xˆ , Ρˆ Pˆ Ρˆ = − Pˆ
Eigenzustände von H können gleichzeitig Eigenzustände von Parität sein.
 ˆ ˆ
H ,Ρ = 0
Zusammenfassung 9.6 Teilchen im Potentialtopf, Streu Zustände E>0.
V(x)
Reflektiert.
E < V0
Transmittiert
Einfallende
-a
x
a
Ansatz.
-V0
 A e ik ( x + a ) + B e − ik ( x + a )

C e iq x + D e − iq x
ψ (x) = 

T e − ik ( x + a )

Stetigkeit von ψ ( x), ψ '( x)
x < −a
k =
−a < x < a
x > a
q =
2mE / ℏ
2m ( E + V0 ) / ℏ
=> Transmissionswahrscheinlichkeit.
1) Perfekte Transmission bei:
S (E )
2
T (E )
=
A(E )
2

V 02 s in 2 ( 2 q a ) 
= 1 +

4
(
)
+
E
V
E
0


−1
2 qa = nπ ,
n λq / 2 = 2 a
ℏ 2  nπ 
En =

 − V0
2m  2a 
2
( λq = 2π / q ) ,
Resonanzen.
2) Beim Resonanz Energie En
gilt B(En) = 0
In der nähe des Resonanz gilt:
S (E ) =
iΓ n / 2
2 kq
1
≅
2 kq cos(2 qa ) + i ( k 2 + q 2 ) sin(2 qa )
cos( nπ ) E − E n + i Γ n / 2
mit
χ
1
=
Γn
4
1 + 2 E n / V0
,
E n / V0 (1 + E n / V0 )
χ = a 2 mV0 / ℏ
(Γ n / 2 )
2
2
( E − En ) + (Γ n / 2 )
2
S (E ) ≅
2
1
Lorentz Funktion Breite Γn
Breite wächst mit zunehmender Energie.
Bedeutung von Breite des Resonanz.
Sei
ψE
Dann ist:
Es gilt:
 Aɶ e ik x + Bɶ e − ik x

( x ) =  C e iq x + D e − iq x

ɶ e − ik x
T

ψ ( x, t) =
∫
x < −a
−a < x < a
x > a
dE
e − iE t / ℏ f ( E ) ψ
2π ℏ
ψ T rans ( x , t ) =
Lösung des Stationär Schr. Gl.
E
(x)
Lösung des Zeitabhängig Schr. Gl.
ɶ ( t − t ') ψ ( x , t ')
dt
'
S
E in
∫
mit:
dE
− iE t / ℏ
ɶ ( E ) e ik ( E ) x
e
f
E
A
(
)
∫ 2π ℏ
dE
ψ T rans ( x , t ) = ∫
e − iEt / ℏ f ( E ) Tɶ ( E ) e ik ( E ) x
2π ℏ
dE
e − iE ( t − t ') / ℏ Sɶ ( E )
Sɶ ( t − t ') = ∫
2π ℏ
ψ Ein ( x , t ) =
Sɶ ( E ) ≅
Für
lim R →∞
iΓ n / 2
E − ( E n − i Γ n / 2)
ist
Sɶ (t − t ') =
dE − iE ( t − t ') / ℏ ɶ
S (E) =
∫ 2π ℏ e

e − iz ( t − t ') / ℏ
=0
dz

∫
γ +γ
z − ( E n − iΓ n / 2)
iΓ n 

4π ℏ 
e − iz ( t − t ') / ℏ
− iE n t / ℏ − Γ n ( t − t ') / 2 ℏ
2
π
=
dz
e
e
 ∫ γ + γ
z − ( E n − iΓ n / 2)
= Θ (t − t ')
1
τn
e − iEn t / ℏ e − ( t − t ') / τ n ,
τ n = 2ℏ / Γ n
t −t'< 0
t −t'> 0
Im(z)
γ
1) Kausalität
2) Transmissionssignal überlebt auf Zeitskala
τn
γ
R
Re(z)
Pol
γ
Zusammenfassung 12.6
Periodische Potentiale.
Hˆ = Pˆ 2 / 2 m + V ( Xˆ )
V ( x + na ) = V ( x ) n ∈ ℕ
Translations Operator.
ˆ /ℏ
− iPa
ˆ
Ta = e
=
Tˆa x
Tˆa :
x+a ,
Ist unitär. =>
Pˆ :
 Tˆa , Hˆ  = 0


Impuls Operator.
Eigenzustände von H können gleichzeitig
Eigenzustände von Translationsoperator sein.
Tˆa ψ k = λ k ψ k ,
λk
2
=1
=> λ k = e − ika
Im Ortsraum gilt:
x ψk
= ψ k ( x) =
(Bloch Theorem).
e ikx u k ( x ),
u k ( x + na ) = u k ( x )
V ( x) = V0
Krönig-Penny Modell.
Bem: Anschlussbedingungen für
ψ ( x ) stetig.
∞
∑
δ (x − na)
n = −∞
V ( x ) = V0δ ( x − x0 ):
lim ε → 0 ψ '( x0 + ε ) − ψ '( x0 + ε ) = 2 mV0ψ ( x0 ) / ℏ 2
Ansatz zur Lösung stationäre Schr. Gleichung zur Energie E und Translationsoperator
Eigenwert exp(-ika):
ψ ( x ) = An e iqx + Bn e − iqx
mit q =
2 mE / ℏ , na ≤ x < ( n + 1) a
=> u ( x ) = e − ikx ψ ( x )
Forderungen:
1) u ( x + a) = u ( x)
An = A0 e− i ( q − k ) na ,
=>
2) limε →0 ψ (na + ε ) − ψ (na − ε ) = 0 =>
(1 − e
i ( q −k ) a
)A
0
(
Bn = B0 ei ( q + k ) na
)
+ 1 − e− i ( q + k ) a B0 = 0
3) limε →0 ψ '( na + ε ) − ψ '(na − ε ) =
2mV0
ψ (na)
2
ℏ
=>
2mV0 
2mV0 


i( q−k )a
−i ( q + k ) a
−
−
+
−
+
−
iq
iqe
A
iq
iqe
B0 = 0
0




2
2
ℏ 
ℏ 


Nicht Triviale Lösung falls:
(
)
(
)


1 − ei ( q − k ) a
1 − e−i ( q + k ) a


det  
2mV0  
2mV0   = 0
i( q−k ) a
−i ( q + k ) a
− 2   −iq + iqe
− 2 
  iq − iqe
ℏ  
ℏ 

co s ( k a ) = cos( q a ) +
2 maV0 sin( qa )
ℏ2
qa
Für Gegebenes k gibt es nur Diskrete
Werte von q
E = ℏ 2 q 2 / 2m
1
-1