Wahlpflichtfach 2

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Vorl. #19 (07. Jan. 2010)
ExperimentalPhysik III (Bachelor)
WS09/10
Wiederholung:
Einfache Systeme
r
r
- Ortsdarstellung ⇒ statt Zustand Ψ , t nehmen wir Wellenfunktion Ψ ( r , t ) = r Ψ , t
r r
- eindimensional ⇒ statt r , p , etc. nur x, p, etc.
⎛ h2 ∂2
⎞
, EΨ ( x ) = ⎜⎜ −
+ V( x ) ⎟⎟Ψ ( x )
2
⎝ 2m ∂x
⎠
- Diff.-Gl. 2.ter Ordnung: Lösungen müssen stetig in Ψ ( x ) und Ψ ′( x ) sein
freies Teilchen, V(x) = V0: Teilchen kommt von links, Ansatz: Ψ ( x ) = Ce ikx
- zeitunabhängig: Ψ ( x , t ) = Ψ ( x )e
S.-Gl.: E =
− hi Et
p2
+ V0 ⇔ hk = 2m(E − V0 )
2m
Weiterführung
Kapitel 4.b. wurde vor Weihnachten schon durchgenommen, kann aber zum Einstieg nochmal
kurz drankommen
Literatur für Kapitel 4: Schwabl, Quantenmechanik I
4.b. Potentialstufe, V(x<0) = 0 und V(x≥0) = V0
klassisch:
- E > V0: Teilchen bewegt sich mit geringere Geschwindigkeit weiter fort
- E < V0: Teilchen wird am Potential umkehren (kann sich nicht im Bereich II aufhalten)
quantenmechanisch:
Lösungen in Bereich I und II bekannt = ebene Wellen
Stetigkeitsbedingungen ⇒ Anschlussbedingungen bei x = 0
E > V0:
ΨI ( x ) = e ikx + Re −ikx
hk = 2mE
ΨII ( x ) = Te
hq = 2m(E − V0 )
iqx
k−q
2k
, T=
k+q
k+q
2
⇒ Teilchen wird mit Wahrscheinlichkeit R reflektiert und läuft mit Wahrscheinlichkeit t= T2 q/k
weiter
(klassisch gibt's das nicht => Welleneigenschaft eines qm Teilchens)
Anschlussbedingungen ⇒ R =
E < V0:
Ansatz und Lösung genauso wie oben, nur:
q ist imaginär ⇒ ΨII ( x ) = Te − κx mit hκ = −ihq = 2m(V0 − E)
⇒ Welle fällt im Bereich II exponentiell ab
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Vorl. #19 (07. Jan. 2010)
k − iκ
2k
, T=
k + iκ
k + iκ
2
⇒ R = 1 !!!
⇒R=
⇒ Teilchen wird vollständig reflektiert, dringt allerdings bis zu einer Tiefe von etwa 1 / κ in die
Potentialstufe ein (in der Elektrodynamik als evaneszente Welle bekannt)
V0 → ∞:
⇒ κ → ∞ ⇒ R = −1 , T = 0 ⇒ ΨI ( x ) = e ikx − e −ikx , ΨII ( x ) = 0
⇒ an unendlich hoher Potentialkante gilt die Randbedingung Ψ (an Potentialkante) = 0
4.c. Potentialbarriere, V(x < -a/2) = 0, V(-a/2 ≤ x ≤ a/2) = V0, V(x > a/2) = 0
klassisch:
- E > V0: Teilchen kommt über Barriere
- E < V0: Teilchen wird am Potential umkehren (kann sich nicht im Bereich II aufhalten)
quantenmechanisch:
Lösungsweg im Prinzip genauso wie in 4.b., nur nun 3 Bereiche
hk = 2mE
ΨI ( x ) = e ikx + Re −ikx
ΨII ( x ) = Be iqx + Ce −iqx
hq = 2m(E − V0 )
ΨIII ( x ) = Te
hk = 2mE
⇒ Teilchen läuft ein, wird mit Wahrscheinlichkeit R2 reflektiert und geht mit Wahrscheinlichkeit
T2 hindurch (Transmission).
ikx
E < V0: (nur dieser Fall soll diskutiert werden)
q ist imaginär ⇒ ΨII ( x ) = Be − κx + Ce + κx mit hκ = −ihq
Anschlussbedingungen ⇒ T(E) =
Tunnelwahrscheinlichkeit
1⎛κ k⎞
e −ika
, ε= ⎜ − ⎟
2⎝k κ⎠
cosh κa + iε sinh κa
⎞
⎛
V02
t (E) = T = ⎜⎜1 +
sinh 2 κa ⎟⎟
⎠
⎝ 4E(V0 − E)
−1
2
⇒ Teilchen durchdringt die Potentialbarriere mit Wahrscheinlichkeit t(E)
Diskussion:
⎡ 2a
⎤
i) κa >> 1 (hohe und breite Barriere) ⇒ t (E) ≈ exp ⎢−
2m(V0 − E) ⎥
⎣ h
⎦
ii) im allg. Fall eines kontinuierlichen Potentialberges gilt (WKB-Näherung):
⎡ 2b
⎤
t (E) = exp ⎢− ∫ 2m[V( x ) − E ]⎥
⎣ ha
⎦
a und b sind die klassischen Umkehrpunkte V8a ) = V(b) = V0
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Vorl. #19 (07. Jan. 2010)
Beispiele:
i) alpha-Zerfall
- dN = -N × Zerfallswahrscheinlichkeit × dt = -N/τ dt
- Zerfallswahrscheinlichkeit = Tunnelwahrscheinlichkeit × Frequenz der Wandstösse = v/(2r) t(E)
(r: Kernradius, v: Geschwindigkeit des alpha-Teilchens im Kern)
⎡
2 m ⎛ 2 Z1 Z 2
⎞⎤
⇒
− 4e Z1 Z 2 r ⎟⎥
t (E) ≈ exp ⎢−
⎜ πe
h ⎝
E
⎠⎦
⎣
ii) Fusion zweier Kerne mit Ladungen Z1 und Z2
⎡
2 m 2 Z1 Z 2 ⎤
πe
t (E) ≈ exp ⎢−
⎥
h
E ⎦
⎣
⇒ Kernfusion bevorzugt für niedrige Z = kleine Kerne
iii) Feldemission
thermische Energie < Austrittsarbeit WA ⇒ kl geht's nicht aber qm durch tunneln mit
starkes E-Feld (> 109 V/m) ⇒ e- werden aus negativer Kathode (Metall) gelöst
⎡ K W3/ 2 ⎤
E2
j(E) = K 1
exp ⎢− 2 A ⎥ (Fowler-Nordheim-Gleichung für Feldemission)
WA
|E| ⎦
⎣
Versuch: Feldelektronenmikroskop
raue Stellen ⇒ E-Feld grösser ⇒ grösser Tunnelwahrscheinlichkeit
iv) kalte Emission von Elektronen aus Metal ⇒ Rastertunnelmikroskop
U
⎡ 2d
⎤
I(d) ∝ exp ⎢−
2mWA ⎥
d
⎣ h
⎦
h / 2mWA ≈ 1Angström
v) Josephson-Effekt: Tunneln von Cooperpaaren durch Isolation zwischen 2 Supraleitern