12-Falger_Quantenphysik

2. Vortag aus Quantentheorie
Von Alexander Falger am 26.06.2007
Überblick
• Einleitung:
– Das Franck- Hertz- Experiment
• Das freie Teilchen
• Die eindimensionale Streuung
– Potentialstufe
– Potentialbarriere
• Der unendlich hohe Potentialtopf
Das Franck- Hertz- Experiment
• Ein experimenteller Beweis, dass bei
Stoßprozessen die Energiequantelung eine
Rolle spielt.
• Versuchsanordnung:
– Glaskolben mit Hg Dampf gefüllt (10-2 mbar)
– Kathode (Emission von e-)
Metallgitter
Anode
Versuchsaufbau
Ergebnis
• Die Elektronenstoßanregung zeigt, dass
Atome Energie nur in bestimmten
Energiequanten aufnehmen können, deren
Größe von der Struktur des Atoms und vom
angeregten Zustand abhängt.
Das freie Teilchen
• In diesem speziellen Fall vereinfacht sich die
stationäre Schrödingergleichung, da V(x)=0 ist.
2
2
 d

 x   E x 
2
2m dx
2
2 2
p

k
• Mit
E

2m 2m
2
d  x 
reduziert sich
2


k
 x 
2
die Gleichung zu:
dx
• Die allgemeine Lösung lautet:
 x   A  eikx  B  e ikx
• wir können B=0 setzen und mit dieser
speziellen Lösung weiterrechnen.
• Die zeitabhängige Wellenfunktion:
 x, t    x  e it
• Ergebnis:
 x, t   A  ei kx t   A  e
2 


k
i  kx 
t 
2m 

Wie gut wird das „Teilchen“ beschrieben?
• Die Ausbreitungsgeschwindigkeit
2
2
mv
p
p
klassisch:
E

vklassisch 
2
2m
m
• Phasengeschwindigkeit:
d
dx

kx  t   0 
 vPh 
dt
dt
k
2
 k
p
E k


mit
 
• daraus folgt:
k 2m 2m
 2m
• Ergebnis:
vPh = 0.5vT
Wie gut wird das „Teilchen“ beschrieben?
• Wir können über den Aufenthaltsort nichts
aussagen, da es sich um eine unendlich
ausgedehnte Welle handelt.
• Da sich das „Teilchen“ irgendwo 
*
im Raum befindet (W=1)
  dx  1
gilt Normierungsbedingung:


*
*


dx

A

 e



k 2 

i  kx 
t
2
m


 A e

k 2 

i  kx 
t
2
m



dx  A
2
 dx  

• Diese Lösung kann daher nicht als Teilchen
interpretiert werden.
Wellenpakete
• Dieses erhalten wir, indem wir unendlich viele
Lösungen der Schrödingergleichung
aufsummieren. (Superpositionsprinzip)
1
ip0 x /   x 2 / 2 2  2
 x  
e
 
x x  p t / m 
  x, t  
1
 it 
 1  
 t0 
e
ip0  x  x0 


e

ip02t
2 m
e
2
0
0
 it
2 2  2  1
 t0



Wie gelangen wir zu dieser Lösung?
• Die Fouriertransformation

1
ipx / 
 ( x) 

(
p
)
e
dp

2 
Hier werden unendlich viele Wellen als Funktion des Impulses überlagert.
• Wird als Impuls-Raum Wellenfunktion bezeichnet
• Die inverse Fouriertransformation liefert:
 ( p) 

1
ipx / 
 ( x )e
dx

2 
• Betrachten wir eine normierte Gaußfunktion mit
Erwartungswert p0 so ergibt sich:
  p p 


2
 ( p) 
e

• Beachte: wenn p=p0+1/α oder p=p0-1/α, dann ist
|Φ(p)|2 auf 1/e der maximalen Wertes gefallen.
• Also ist 1/α verantwortlich für die Breite des
Wellenpaketes.
2
2
0
Sektion8.5
• Indem wir Φ(p) in ψ(x) einsetzen und das
Integral lösen erhalten wir:
1
ip0 x /   x 2 / 2 2  2
 x  
e
 
• Der Satz von Plancherel besagt:
Φ(p) normiert  ψ(x) normiert ist.

  ( x)


2
dx 
  ( p)
2
dp

Sektion8.3 und Sektion8.4
Ausbreitungsgeschwindigkeit des
Wellenpaketes
• Gruppengeschwindigkeit
des Wellenpakets:
d
vg 
dk
• aus
E
p2
k 2
 

 2m 2m
• folgt:
d k p
vg 

  vT
dk
m m
• Teilchen werden durch Wellenpakete recht gut
beschreiben
Streuung an einer Potentialstufe
• Raumgebiet wird in zwei Bereiche unterteilt:
{V
V ( x) 
0
0
für
für
x0
x0
Bereich1
Bereich 2
• Lösung aus Bereich1 ist bereits Bekannt:
 1 x   A  eikx  B  e ikx
• Hier ist A die Amplitude der einfallenden Welle
und B die an der Potentialstufe reflektierten
Welle.
• Im Bereich2 lautet die Schrödingergleichung:
2
d   x  2m
 2 E  V0  x   0
2
dx

2mV0  E 

2

reduziert sich
d 2 x 
2
   x   0
2
die Gleichung zu:
dx
• Mit
• Die allgemeine Lösung lautet:
 2 x   C  ex  D  e x
• Da zwischen –∞  x  ∞ ψ(x) eine Lösung der
Schrödingergleichung sein soll, muss sie überall
stetig differenzierbar sein.(sonst d2ψ/dx2 nicht def.)
• Randbedingungen:
 1 0   2 0  A  B  C  D
 d 1   d 2 
 dx    dx 
0
0
 ik  A  B    C  D 
Fallunterscheidung
• A) E < V0:
• Hieraus folgt: C=0, ansonsten ψ2(x)∞ für x ∞
(nicht mehr normierbar)
ik  
2ik
B
A und D 
A
ik  
ik  
• Ergebnis:
 ikx ik   ikx 
 1 x   A   e 
e  für 0  x
ik  


2ik
x
 2 x  
Ae
für x  0
ik  
R
• Reflexion:
Be
ikx 2
ikx 2
2
ik  
 2 
1
ik  
A
B
2
Ae
• Eindringwahrscheinlichkeit:
 2 x   D  e
2
x 2
4k 2
2
 2x
 2
A e
2
 k
• Teilchen können mit einer von Null
verschiedenen Wahrscheinlichkeit eindringen,
was klassisch nicht möglich ist.
• B) E > V0:
• Klassisch würden alle Teilchen in den Bereich x>0
eintreten, jedoch langsamer werden. Ekin=E-V0
2mE  V0 
• Im Wellenmodell:
k' 
 i

• Die allgemeine Lösung lautet:
 2 x   C  e
 ik ' x
 De
ik ' x
• Da für x>0 keine Teichen in –x Richtung fließen ist
C=0.
k  k'
B
A und
k  k'
2k
D
A
k  k'
• Ergebnis:
 ikx k  k ' ikx 
 1 x   A   e 
e 
k  k'


2k
 2 x  
A  eik ' x
k  k'
für
für 0  x
x0
• Reflexion:
R
Be
ikx 2
Ae
ikx 2
2
k  k'
 2 
k  k'
A
B
2
• Da die Wellenzahl k in der Optik
n1  n2
proportional zum Brechungsindex R  n  n
1
2
ist (k=n*k0), kann man R schreiben:
2
• Transmission:
v' D
4k  k '
T

Sektion9.4
2
2
k  k '
vA
2
• Aus Teilchenerhaltung gilt:
T  R 1
Streuung an einer Potentialbarriere
• In diesem Fall hat Potential nur eine endliche
Breite:
0 für
x0
Bereich1
{V
V ( x) 
0
0
für 0  x  L Bereich 2
für
xL
Bereich 3
• Lösungen:  1 ( x)  A  e ikx  B  e  ikx
x
 2 ( x)  C  e  D  e
ikx
 3 ( x)  A'e
x
• Randbedingungen:
 1 (0)   2 (0)  2 ( L)   3 ( L)
 1 ' (0)   2 ' (0)  2 ' ( L)   3 ' ( L)
• Transmissionsvermögen für E<V0:
T 
A'
A
2
2
E
1
V0


E   V0 
1 
  
  sinh
V0   4 E 

2
L 
mit

2mV0  E 

• Für große Breiten L der Potentialbarriere kann
man sinh(x) durch ½*ex annähern.
16 E
T  2 V0  E   e  2L
V0
• Die Transmission hängt also von der Höhe V0,
der Breite L der Barriere und von der
Energiedifferenz V0-E (Masse m des Teilchens)
ab.
Sektion9.6 bis Sektion9.9
Der unendlich hohe Potentialtopf
• Teilchen befindet sich mit Energie E in einem
beschränkten Raumgebiet:
{
V ( x) 
0

für 0  x  L
sonst
• Kann diese Teilchen beliebige stationäre
Energiewerte annehmen?
• Um diese Frage zu beantworten müssen wir die
Schrödingergleichung lösen.
Lösen der Schrödingergleichung
• Im Bereich 0xL:
2 d 2

 x   E x 
2
2m dx
• Bekannte Lösung:
 ( x)  A  e  B  e
ikx
• Randbedingungen:  (0)  0
• Dies ergibt: A  B  0
und
 ikx
und  ( L)  0
A e
ikL
 Be
ikL
0
•
 ( x)  A  eikx  e ikx   2iA sin( kx)  C sin( kx)
C sin( kL)  0  kL  n
n  1,2,3,...
• Die möglichen Wellenfunktionen lauten:
 n 
 n ( x)  C sin 
x
 L 
• Aus Normierung folgt:
2
 n 
 n ( x) 
sin 
x
L  L 
• Die Energiewerte sind gequantelt, da:
p2 2 2 2  2 2
En 

kn 
n
2
2m 2m
2m L
oder
En  E1 n
2
• Die minimale Energie ist nicht Null, sondern E1,
da n=0 nicht erlaubt ist.
• Je breiter der Potentialtopf ist, desto kleiner wird
die Nullpunktsenergie E1
Sektion10.2
Die zeitabhängige Schrödingergleichung
 d  ( x, t )
 ( x, t )

 i
2
2m dx
t
2
• Im Bereich 0xL:
2
• Mit den Energiewerten En von ψn(x) ergeben
iE t
sich die Lösungen:
 n
 n ( x, t )  e  n ( x)
• Einsetzen von ψn(x) liefert:
 n ( x, t ) 
2 
e
L
in 2 2t
2 mL2
 n 
sin 
x
 L 
Visualisierung
• Zwei mögliche Wege:
• Aufspaltung in Real- und Imaginärteil
  ( x)
( x, t )   sin   ( x)
 n Re ( x, t )  cos
 n Im
Ent

Ent

n
n
• Phasenänderungen mit Farben darstellen
– Da ψn(x) real ist, ist nur e−iEt/ħ imaginär
– Daher ist −Ent/ħ = θn(t) ein Vektor
Sektion10.4 und Sektion10.8
Darstellung im Impulsraum
• Φn(p) erhalten wir über die Fouriertransformation
L
1
ipx / 
n ( p ) 
 n ( x )e
dx

2 0
• Ergebnis:
ipL
in
in


 2 sin  n 
sin  n  
L
2 
2

n ( p)  i
e e 
e


4


n
n


pL
pL
 n
 n
 n  
und  n   
2
2
• Die Welle im Impulsraum hat ihre Maxima, wenn
δn-=0 und δn+=0.
n
p
L
• Dies stimmt mit klassischen Überlegungen
überein.
• Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist gegeben
durch das Absolutquadrat von ψn(x).
Sektion10.5
Überlagerung von zwei Wellen
• Einer der einfachsten nicht trivialen
Überlagerungen ist gegeben durch:
1
 n1 ( x, t )  n 2 ( x, t )
n1n 2 ( x, t ) 
2
iEn1t
i  En 2  En1 t




1

n1n 2 ( x, t ) 
e   n1 ( x)  e
 n 2 ( x) 
2


• Die zeitabhängige relative Phase hängt vom
Energieunterschied En2-En1 ab.
Sektion10.6