Quantenteilchen im Potentialkasten

TC1 – Grundlagen der Theoretischen Chemie
Irene Burghardt ([email protected])
Topics: Quantenteilchen im Potentialkasten: 1D und 2D
Vorlesung: Mo 10h-12h, Do9h-10h
Übungen: Do 8h-9h
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Web site: http://www.theochem.uni-frankfurt.de/TC1
1. Teilchen im Potentialkasten
2. Teilchen im zweidimensionalen Kasten
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Beispiel: Quantenwellen in einem Kastenpotential
• z.B. Elektron in Potentialkasten: Modell für π-Elektronen in konjugierten
Molekülen, Elektronen in Quantum Dots (z.B., Silizium-QD’s im 1-5
nm-Bereich)
2
• Schrödingergleichung: −(h̄ /2m)d2ψ(x)/dx2 − Eψ(x) = 0
2
• diskrete Lösungen wg. Randbedingungen: kn = 2πn/λ, En = h̄2kn
/2m
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Eigenwerte & Eigenfunktionen
Eigenwerte:
En =
Eigenfunktionen:
2
h̄2 kn
2m
=
2 2
2 π h̄
n 2ma2
ψn(x) =
1/2
2
a
sin knx
Beispiel: Elektron in 0.39 nm Potentialkasten
• Quantisierung ist Resultat der Randbedingungen
• direkte Analogie zum klassischen Fall der schwingenden Saite!
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Teilchen im Kasten: Ort und Impuls
• Ort: |ψn(x)|2 gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass sich das Teilchen
in der nten Eigenfunktion am Ort x befindet (i.e., das Teilchen ist
intrinsisch delokalisiert)
• Impuls: pn = h/λn = h̄kn (de Broglie). Wir könnten daher erwarten,
dass das Teilchen im nten Eigenzustand einen Impuls hat, der
proportional zur Wellenzahl kn ist.
Allerdings stellen die Eigenfunktionen eine Kombination zweier
ebener Wellen dar:
ψ(x) = N sinkx = (N/2i)(eikx − e−ikx)
die ihrerseits keine EF des Impulsoperators ist:
h̄ d
p̂ψ(x) = ( ) ψ(x) = (N/2i)(h̄keikx+h̄ke−ikx) = (N/i) h̄k coskx
i dx
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Eigenwerte (Forts.)
– zum Vergleich: ψ(x) = N sinkx = (N/2i)(eikx − e−ikx) ist keine EF
des Impulsoperators:
h̄ d
p̂ψ(x) = ( ) ψ(x) = (N/2i)(h̄keikx+h̄ke−ikx) = (N/i) h̄k coskx
i dx
– dagegen ist ψ(x) = N sinkx EF des Operators der kinetischen Energie:
p̂2
2m
ψ(x) =
N
d2
4mi dx
ikx
−ikx
(e
−
e
)=
2
N
4m
h̄2k2(eikx − e−ikx) =
h̄2k2
2m
N sinkx
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Erwartungswerte
wenn sich das System nicht in einem Eigenzustand befindet, können wir
nur “Erwartungswerte” = Mittelwerte bestimmen:
R
dx ψ ∗Ôψ
hψ|Ô|ψi
hÔi =
= R
hψ|ψi
dx ψ ∗ψ
• wenn ψ = ψn Eigenfunktion des Operators Ô mit Eigenwert ωn ist,
erhalten wir: hÔi = ωn
• wenn ψ keine Eigenfunktion des Operators Ô ist, ergibt eine Entwicklung
in Eigenfunktionen {|ψni}:
|ψi =
X
cn|ψni
n
hÔi =
X
n
c∗ncnωn
≡
X
n
Pn ωn
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Impulserwartungswert: Teilchen im Kasten
Beispiel: Wie bereits gezeigt, ist ψ(x) = N sinkx = N/2i(eikx − e−ikx)
keine EF des Impulsoperators. Was ist der Impuls-Erwartungswert?
• Wir benutzen, dass ψ(x) bereits als Überlagerung der ImpulsEigenfunktionen ψk±(x) = e±ikx vorliegt:
ψ(x) = N/2i(ψk+ − ψk−)
• die Wahrscheinlichkeiten ergeben sich daher als P+ = P− = N 2/4
• die Impulseigenwerte, die zu den Funktionen ψk±(x) gehören, sind ±h̄k
• daher lautet der Erwartungswert:
hψ|p̂|ψi
hψ|ψi
=
N2
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(h̄k − h̄k) = 0
im Mittel verschwindet der Impuls!
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1. Teilchen im Potentialkasten
2. Teilchen im zweidimensionalen Kasten
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Teilchen im zweidimensionalen Kasten
• Wie lautet die Wellenfunktion ψ(x, y)?
• Wie lauten die Eigenwerte?
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Teilchen im zweidimensionalen Kasten –
Wellenfunktionen
s
Ψn1,n2 (x, y )
E n1 n2
=
2
L1
s
2
sin
L2
„
=
ψn1 (x)ψn2 (y )
=
2
n1
«
„
«
π
π
n1 x sin n2 y
L1
L2
2 2
π 2h̄2
2 π h̄
+ n2
2mL21
2mL22
• zwei Quantenzahlen
• separable Wellenfunktion
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Entartung
Âψ = aψ
• Gehören zu einem Eigenwert mehrere, etwa k, verschiedene
Eigenfunktionen, so spricht man von k-facher Entartung
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