9th sheet

Quantenmechanik II
A. Riefer, H. Aldahhak, W.G. Schmidt ([email protected], [email protected])
Übungsblatt 9 – exercise 9
1. Dirac Algebra (1 Punkt)
Dirac algebra
Zeigen Sie, dass die in der Vorlesung definierten γ-Matrizen der Dirac Algebra
[Gleichung (4.75)] genügen. Show that the γ-matrices, defined in the lecture,
satisfy the Dirac algebra [equation (4.75)].
2. Klein Paradoxon in Graphen 1 (2+3+2+2 Punkte)
Klein Paradox in Graphene
Dynamik masseloser Teilchen mit Spin-1/2 wird beschrieben durch die sog. Weyl
Gleichung: The dynamics of massless spin 1/2 particles is described by the so-called
Weyl-equation:
ˆ p~ψ(t).
i~∂t ψ(t) = c~σ
(1)
Bilden Sie die zweite Zeitableitung von Gl. (1) und zeigen Sie, dass das Ergebnis
auf das Quadrat des Hamilton-Operators eines freien masselosen relativistischen
quantenmechanischen Teilchens führt. Calculate the second time derivative of eq.
(1) and show that the result leads to square of the Hamiltonian of a massless
relativistic quantum mechanical particle.
Graphen kann als ein zweidimensionaler Halbleiter mit nahezu verschwindender
Bandlücke betrachtet werden. Die Dispersionrelation der Quasiteilchen nahe
der Bandlücke entspricht der masseloser Teilchen E = ~kvF , wobei die FermiGeschwindigkeit vF ' 106 m/s die Rolle der Lichtgeschwindigkeit einnimmt. Die
Dynamik der Quasiteilchen wird daher beschrieben durch den Hamilton-Operator:
Graphene is considered as a two-dimensional zero-gap semiconductor. The dispersion relation of the quasi-particles close to the band gap corresponds to massless
relativistic particles E = ~kvF . Here, the role of the speed of light is played by
the Fermi velocity vF ' 106 m/s. The dynamics of the quasiparticles is therefore
described by the Hamiltonian:
ˆxy ∇ mit ~σ
ˆxy = (σx , σy ) und ∇T = (∂x , ∂y ).
Ĥ = −i~vF ~σ
(2)
a) Zeigen Sie, dass sich die allgemeine Lösung ψ als Linearkombination von
Show that the general solution ψ can be expressed as a linear combination of
~
ψ± ∝ (1, ±eiφ )T eik~r
1
Katsnelson et al., Nature Physics 2, 620 - 625 (2006)
1
(3)
darstellen lässt. Verwenden Sie dabei den Ebene-Wellen-Ansatz For that
~
use the plane-wave approach ψ = ψ̃eik~r und berechnen Sie die Eigenwerte
und Eigenvektoren and calculate the eigenvalues and the eigenvectors. φ
~k und der x-Achse.
ist in Gl. (3) der Winkel zwischen dem Wellenvektor
q
Der Gesamtwellenvektor beträgt |~k| = kF = k 2 + k 2 . φ in eq. (3) is the
x
y
~
angle between
q the wave vector k and the x-axis. The total wave vector is
2
2
|~k| = kF = kx + ky
b) Bei 0 < x < D soll sich eine Potentialbarriere V (x) unendlicher Ausdehnung
in y-Richtung befinden, d. h. For 0 < x < D, the potential barrier V (x) has
an infinite extent in the y-direction, i.e.
V (x) = V0 Θ(x)Θ(D − x)
(4)
In Folge von Aufgabe (a) wird folgender Ansatz für die Komponenten von
ψ = (ψ1 , ψ2 )T verwendet: As a result of task (a), the following ansatz for the
components of ψ = (ψ1 , ψ2 )T can be used
ψ1 = [(eikx x + re−ikx x )Θ(−x) + (aeiqx x + be−iqx x )Θ(x)Θ(D − x)+
× teikx x Θ(x − D)]eiky y
ψ2 = [s(e
× ste
ikx x+iφ
ikx x+iφ
mit with qx =
(5)
−ikx x−iφ
− re
)Θ(−x) + s (ae
iky y
Θ(x − D)]e
0
iqx x+iθ
−iqx x−iθ
− be
)Θ(x)Θ(D − x)+
,
(6)
q
(E − V0 )2 /~2 vF2 − ky2 , θ = arctan(ky /qx ), s = sgn(E) and
und s0 = sgn(E − V0 ). Leiten Sie Gleichungen zur Bestimmung der Koeffizienten r, a, b und t. Derive equations to determine the coefficients r, a, b
und t.
c) Nach Auflösung des Gleichungssystems in Aufgabe (b) erhält man für den
Reflexionskoeffizienten r: After solving of the system of linear equations in
task (b), one obtaines the reflection coefficient r:
r=
ss0 [e−iqx D
2ieiφ sin(qx D)[sin(φ) − ss0 sin(θ)]
cos(φ + θ) + eiqx D cos(φ − θ)] − 2i sin(qx D)
(7)
Berechnen Sie die Reflexions- bzw. Transmissionswahrscheinlichkeit |r|2 bzw.
|t|2 = 1 − |r|2 für |V0 | |E|. Unter welchen Bedingungen wird die Barriere
transparent? Calculate the reflection and the transmission probabilities |r|2
and |t|2 = 1 − |r|2 for |V0 | |E|. Under which conditions will the barrier be
transparent?
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