Lösungen dazu

Lösungen zu ‘Räumlich aufgelöste MR’
1) a) F(x)=FT[f(k)] ist reellwertig. f(k) = g(k) + i h(k) (mit g und h reell).
Somit: F(x) = ∫ f(k) e ikx dk = ∫ [g(k) + i h(k) ][cos(kx) + i sin(kx) ]dk
und: Im[F(x)] = ∫ g(k) sin(kx) + h(k) cos(kx) dk = 0
da sin(x) und cos(x) orthogonal sind, müssen beide Summanden gleich Null sein. Da
sin(x) eine antisymmetrische Funktion ist (sin(-x) = -sin(x)), muß g(k) symmetrisch sein
(g(k) = g(-k)). Da cos(x) eine symmetrische Funktion ist, muß h(k) antisymmetrisch sein.
Also gilt:
f(-k) = g(-k) + i h(-k) = g(k) – i h(k) = f(k) .
b) ∫ f(x) e iax e ikx dx = ∫ f(x) e ikx dx ⊗ ∫ e iax e ikx dx = F(k) ⊗ d(k − a) = F(k − a)
-a t
2) Ein Echo ist symmetrisch ( e ) und daher ist die Fouriertransformierte rein real
(Fouriercosinustransformation). Bei Betragsbildung ändert sich also nichts an der Breite
der Funktion.
Ein FID ist nicht symmetrisch ( e -at ) und die Fouriertransformierte besitzt daher einen
Realteil (Absorptionssignal) und einen Imaginärteil (Dispersionssignal). Das
Dispersionssignal ist deutlich breiter (siehe Formel für FT der e-Funktion). Bei
Betragsbildung wird also die Funktion deutlich breiter. Dies bedeutet eine größere
Linienbreite oder eine geringere Auflösung im Bild.
3) Der Fett-Wasser Frequenzunterschied bei 1.5T ist etwa 220Hz. 1mT/m entspricht
42.6Hz/mm. Also ist der Schift etwa 5.25mm (oder Pixel). Da 256 Pixel aufgenommen
werden ist die Gesamtbandbreite etwa 10800Hz. Also ist die Dwellzeit (Zeit pro
Aufnahmepunkt) etwa 0.1ms. Die Aufnahmezeit für 256 Datenpunkte beträgt daher etwa
25.6 ms.
4) a) Dies ist in Frage 2 schon fast beantwortet. Wird ein Echo nur teilweise ausgelesen (um
etwa die Echozeit zu verringern) so verbreitert sich die Point-Spread-Funktion je weniger
Daten aufgenommen werden (bis zum Extremfall, bei dem nur ein FID aufgenommen
wird).
b) Werden die Rohdaten gedreht, dreht sich das Bild entsprechend, also auch um 45°:
R sein die Rotationsmatrix. Durch Substitution der Integrationsvariablen k durch k’
(beachte: Die Determinante von R ist 1) kann gezeigt werden:
F(x) = ∫ f(k) e ikx dk; ∫ f( Rk) e ixk dk = ∫ f(k' ) e ix R k' dk' = ∫ f(k' ) e i(xR
-1
-1
)k'
dk' = F( Rx)
c) Die komplexe Konjugation entspricht einer Punktspiegelung am Ursprung, also einer
Drehung um 180° (siehe 1). Nach 4b) wird also das Bild um 180° gedreht sein.
5) Eine Offresonanz Frequenz verschiebt das entsprechende Pixel in Leserichtung. Eine
lineare Inhomogenität in Leserichtung verursacht also eine Streckung/Stauchung des
Bildes, während eine lineare Inhomogenität in Phasenrichtung eine Scherung verursacht.
Diese geometrischen Abbildungsfehler sind unabhängig von der Signalerzeugung als
Gradientenecho oder Spinecho.
6) Da der Flipwinkel durch α=γ B1t gegeben ist, muß B1 halbiert werden. Dies verursacht
zudem eine Halbierung der Bandbreite (in der Fouriernäherung für kleine Flipwinkel
sofort klar, für große Flipwinkel muß dies mittels der Blochgleichungen errechnet werden
und ist nicht mehr ganz exakt richtig). Die B1-Feldstärke ist proportional zur Spannung,
die an der Spule angelegt wird. Die Leistung ist proportional zum Quadrat der Spannung.
Also wird nur ein Viertel der Leistung benötigt.
7) Der Puls ist frequenzmoduliert. Er beginnt bei einer sehr großen Offresonanzfrequenz
und endet genau bei der Resonanzfrequenz. Bei großer Offresonanz steht das effektive
B1-Feld fast entlang der z-Achse. Die Magnetisierung präzediert nun um diese Achse.
Wird die Frequenz in Richtung Onresonanz variiert, dreht sich Beff in die transversale
Ebene. Wenn dies nicht zu schnell geschieht (adiabatische Bedingung: Präzession um Beff
schnell gegen Drehung von Beff in die transversale Ebene), folgt die Magnetisierung eng
dem effektiven Feld. Sie dreht sich also in die transversale Ebene. Dies ist unabhängig
vom der B1-Stärke (für B1 oberhalb eines Schwellwertes für die adiabatische Bedingung).