Elektrodynamik

Institut für Theoretische Physik
Prof. Dr. M. Vojta
Dr. R. Schumann
Elektrodynamik
Wintersemester 2014/15
3. Übung
Woche vom 03.11.2014 bis 09.11.2014
Aufgabe 6 Rechenregeln für die δ-Funktion
Die „δ–Funktion” ordnet jeder beliebigen (mit gewissen Einschränkungen) Funktion f (x) eines
reellen Arguments x den Funktionswert f (0) an der Stelle x = 0 zu (’Distribution’ in mathematischer Terminologie). Nützlich ist die Schreibweise
Z ∞
dxf (x)δ(x) = f (0) ,
−∞
wobei man sich δ(x) zunächst näherungsweise als eine bei x = 0 konzentrierte Verteilungsfunktion, z.B.
x2
1
ε sin2 xε
δε (x) = √ e− ε2 , δε (x) =
,
πε
π x2
(
1
ε (|x| < ε)
und δε (x) = 2
0
(|x| > ε)
δε (x) =
ε
1
,
2
π ε + x2
δε (x) =
1 sin xε
π x
1
vorstellen kann. Alle diese Funktionen
R ∞nehmen im Limes ε → 0 bei x = 0 Werte ∝ ε ≫1 1 an,
und verschwinden für |x| =
6 0, wobei −∞ δε (x)dx = 1 gilt (unabhängig von ε). Für ε = 10 sind
die ersten vier dieser Funktionen nachfolgend dargestellt.
-2
6
6
6
6
4
4
4
4
2
2
2
2
1
-1
-2
2
-2
1
-1
-2
2
-2
1
-1
2
-2
-2
1
-1
2
-2
R∞
Das ’Ausschneiden’ des Funktionswerts f (x) −→ f (0) erfolgt im Limes limε→0 −∞ f (x)δε (x)dx = f (0).
Der Limes kann nicht ohne weiteres mit der Integration vertauscht werden, weil eben limε→0 δε (x) =:
δ(x) keine wohldefinierte Funktion ist. Trotzdem schreibt man z.B. oft
Z ℓ
Z ∞
1 sin xε
1 sin ℓx
1
1
ikx
δ(x) = lim
= lim
= lim
dk e =
dk eikx ,
ε→0 π x
ℓ→∞ π
ℓ→∞ 2π −ℓ
x
2π −∞
woraus man entnimmt, daß die Fouriertransformierte der δ–Funktion die Konstante √12π ist.
Natürlich ist das Integral auf der rechten Seite wieder als Distribution, nicht
R ∞als Funktion
von x zu verstehen, d.h. der Limes ℓ → ∞ ist wieder erst nach der Integration −∞ dxδ(x)f (x)
auszuführen. Der Vorfaktor der Fouriertransformation ist so gewählt, daß er bei Hin– und Rücktransformation derselbe ist:
Z ∞
Z ∞
1
1
ikx ˜
˜
dk e f (k) ⇔ f (k) := √
dx e−ikx f (x) .
f (x) = √
2π −∞
2π −∞
Beide hintereinander ausgeführt,
Z ∞
Z ∞
Z ∞
Z ∞
1
′
′ 1
′ −ikx′
ikx 1
√
dx
=
dk eik(x−x ) f (x′ ) = f (x) ,
dk e √
dx e
2π −∞
2π −∞
2π −∞
−∞
{z
}
{z
}
|
|
=f˜(k)
=δ(x−x′ )
ergeben wieder die Ausgangsfunktion f (x). Dies kann jedoch nicht als Beweis für die Möglichkeit
der Fouriertransformation betrachtet werden, da die Vertauschung der Integrationsreihenfolge,
die zur δ–Distribution führt, einer mathematischen Begründung bedarf.
Man erkennt
R ∞ auch, daß die Testfunktion f (x) nicht selbst eine δ–Fuktion sein darf, denn die
Integrale −∞ δε2 (x)dx divergieren ∝ ε−1 . δ2 (x) ist demnach undefiniert, ebenso irgendwelche
(nichttrivialen) Funktionen F (δ(x)) mit der δ–Funktion als Argument.
Für wohldefinierte Testfunktionen f (x) können nützliche Rechenregeln durch Integration über
x hergeleitet werden, als sei δ(x) eine gewöhnliche Funktion, die Variablensubstitution, partielle
Integration usw. zuläßt. Gewinnen Sie so durch Integration über x:
a) f (x)δ(x − x0 ) = f (x0 )δ(x − x0 ), speziell (x − x0 )δ(x − x0 ) = 0
b) δ(x) = δ(−x)
c) δ(ax) =
1
|a| δ(x)
für a 6= 0
d) δ(x2 − x20 ) = 2|x1 0 | [δ(x − x0 ) + δ(x + x0 )] für x0 6= 0
P
1
δ(x − xn ) falls f (x) nur endlich viele, einfache Nullstellen xn hat.
e) δ(f (x)) = n |f ′ (x
n )|
f ) −xδ′ (x) = δ(x)


1
Rx
′
′
g) −∞ dx δ(x ) = Θ(x) = 1/2


0
für x > 0
für x = 0 .
für x < 0
Aufgabe 7 Greenfunktion des gedämpften harmonischen Oszillators
Aus der Mechanik kennen Sie vielleicht die Greenfunktion G(t) als die ’Antwort’ des für t < 0
ruhenden Oszillators auf einen Kraftstoß bei t = 0, also formal als Lösung der inhomogenen
DGL
2
d
d
2
+ 2γ + ω0 G(t) = δ(t).
dt2
dt
Die Kraft δ(t) wirkt nur während eines infinitesimalen Zeitintervalls − 2ǫ < t < +R 2ǫ um t = 0
und hat währenddessen die Größe 1ǫ , dies im Limes ǫ → 0. Der Kraftstoß ist δ(t)dt = 1
und bewirkt einen Sprung der Geschwindigkeit, dessen Größe sich durch Integration
der DGL
R
+
−
+
über ein kleines Zeitintervall um t = 0 ergibt: Ġ(0 ) − Ġ(0 ) = Ġ(0 ) = δ(t)dt = 1 (im
Unterschied zur zeitlichen Ableitung Ġ wird sich G selbst bei t = 0 als stetig erweisen).
a) Für t > 0 ist G(t) offenbar Lösung der homogenen Schwingungsgleichung
2
d
d
2
+ 2γ + ω0 G(t) = 0 mit G(0) = 0, Ġ(0) = 1
dt2
dt
als Anfangsbedingung. Finden Sie diese Lösung mit Hilfe des Ansatzes G(t) ∝ eλt . Wie
unterscheiden sich die Fälle γ 2 > ω02 und ω02 > γ 2 , sowie der Grenzfall ω02 = γ 2 ?
b) Unter Verwendung der Greenfunktion läßt sich die Lösung der Schwingungsgleichung für
eine beliebige Inhomogenität f (t) angeben, es ist (Begründung?)
2
Z ∞
d
d
2
G(t − t′ )f (t′ )dt′ Lösung von
x(t) =
+
ω
+
2γ
0 x(t) = f (t).
dt2
dt
−∞
Die Antwort x(t) des Oszillators zur Zeit t hängt demnach von der Kraft f (t′ ) zu allen
2
früheren Zeiten t′ < t ab; das Verschwinden der Greenfunktion für negatives Argument ist
Ausdruck des Kausalitätsprinzips.
c) Berechnen Sie als Beispiel die Auslenkung x(t) des für t ≤ 0 ruhenden Oszillators im Fall
ω02 < γ 2 aufgrund einer zeitlich linear anwachsenden Kraft f (t) = ct, c =const.
d) Der für t ≤ 0 ruhende Oszillator sei für t > 0 der periodischen Kraft f = f0 sin ωt
ausgesetzt. Berechnen Sie die Auslenkung im ungedämpften Fall γ = 0 für t > 0 sowohl
mit Hilfe der Greenfunktion, als auch per Ansatz x(t) ∝ sin ωt+ Lösung der homogenen
Schwingungsgleichung.
Aufgabe 8 Greensche Funktion für die parabolische DGL
Analog zur vorstehenden Aufgabe kann man auch für partielle lineare Differentialgleichungen
Greensche Funktionen definieren. Als Beispiel betrachten wir die eindimensionale Wärmeleitungsgleichung
∂
∂2
− λ 2 T (t, x) = 0 .
∂t
∂x
Hierbei ist T (t, x) die Temperatur zur Zeit t am Ort x und λ die Temperaturleitfähigkeit. Eine
zugehörige Greensche Funktion muß die Gleichung
∂2
∂
− λ 2 G(t − t′ , x − x′ ) = δ(t − t′ ) δ(x − x′ )
∂t
∂x
erfüllen. Zeigen Sie, daß
x2
G(t, x) := √
θ(t) exp −
4λt
4πλt
1
diese Gleichung löst. Beschreiben Sie, wie sich die Temperatur durch Wärmeleitung ändert,
wenn zur Zeit t = 0 am Ort x = 0 punktuell eine Erhitzung vorliegt.
Aufgabe 9 Linienladung
Die Gesamtladung Q sei homogen über eine gerade Linie der Länge 2L verteilt.
a) Geben Sie die Ladungsdichte ρ(~x) an und berechnen Sie das elektrostatische Potential
dieser Ladungsverteilung.
b) Betrachten Sie den Grenzübergang L → 0 bei konstanter Gesamtladung.
c) Betrachten Sie den Grenzübergang L → ∞ bei konstanter Ladung pro Längeneinheit.
Verschieben Sie hierzu den Potentialnullpunkt so, daß das Potential für große L endlich
bleibt.
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