Theoretische Physik B: Elektrodynamik (WS2011/2012)

Department Physik
Universität Paderborn
Paderborn, den 23.01.2012
Dr. Matthias Reichelt
M. Sc. Mathias Wand
Übungen zur Vorlesung
Theoretische Physik B: Elektrodynamik (WS2011/2012)
B LATT XIV
Abgabe: Montag (30.01.2012) in der Vorlesung
1. Metall
(a) Berechnen Sie die Skintiefe in Silber für (sichtbares) Licht der Frequenz f = 5 · 1014 Hz. Die
Leitfähigkeit von Silber beträgt ungefähr 6 · 107 S m−1 . Gehen Sie von εr = µr = 1 aus.
(b) Zeigen Sie, dass in einem guten elektrischen Leiter das elektrische und magnetische Feld um 45◦
zueinander phasenverschoben sind.
(c) Zeigen Sie, dass die Intensität einer elektromagnetischen Welle der Frequenz ω, die in Metall in
z-Richtung propagiert, gegeben ist durch:
I(z) = hS(z)i =
kE02 −κz
e
2µω
Die Leitfähigkeit σ des Metalls ist in den Größen k und κ enthalten (s. Vorlesung).
Tipp: Beweisen Sie zunächst, dass für das zeitliche Mittel (z.B. über eine Periode) zweier reeller
Funktionen
f (z, t) = A cos(kz − ωt + δa )
g(z, t) = B cos(kz − ωt + δb )
folgender Zusammenhang gilt:
1
hf gi = Re{f˜∗ g̃}
2
Dabei sind f˜ und g̃ die komplexwertigen Versionen von f und g, die über den Realteil miteinander
verbunden sind.
2. The physics is theoretical - but the fun is real
Im dieser Aufgabe wird die Bewegung eines Elektrons in einem elektrischen Wechselfeld (z.B. von Licht)
betrachtet, welche durch folgende klassische Bewegungsgleichung beschrieben wird:
me ẍ + 2me γ ẋ + me ω02 x = qE(t)
Dabei ist γ eine Dämpfungskonstante und ω0 die Eigenfrequenz einer hookeschen Feder. Dieses einfache
Oszillatormodell kann beispielsweise zur Beschreibung der Wechselwirkung gebundener Elektronen in
Festkörpern mit einem Lichtfeld verwendet werden.
(a) Zeigen Sie mittels der Methode der Fouriertransformation, dass die retardierte greensche Funktion
des Oszillators G(t − t0 ) im Frequenzraum gegeben ist durch:
1
1
2
me ω + 2iγω − ω02
·
¸
1
1
1
= −
−
2me ω00 ω − ω00 + iγ ω + ω00 + iγ
G(ω) = −
p
Dabei ist ω00 := ω02 − γ 2 die aufgrund der Dämpfung verschobene Resonanzfrequenz. (Verwenden Sie den Ansatz: qE(t) = δ(t − t0 ).)
(b) Bestimmen Sie nun die retardierte greensche Funktion G(τ ) per Rücktransformation in den Zeitbereich. Kontrollergebnis:
G(τ ) = iΘ(τ )
1
0
0
[e−(iω0 +γ)τ − e(iω0 −γ)τ ]
0
2me ω0
Dabei ist τ := t − t0 und Θ(τ ) die Heaviside-Funktion.
(c) Welcher Term bringt in dem Ergebnis für G(τ ) das physikalische Prinzip der Kausalität zum Ausdruck?
(d) Wie kann nun mit Hilfe der Funktion G(τ ) die Bewegung des Elektrons x(t) für beliebige Felder
E(t) berechnet werden?