Physik I - Formelsammlung

Physik I - Formelsammlung
von Julian Merkert, Wintersemester 2004/05, Prof. Drexlin
Fehlerrechnung
Mittelwert (Arithmetisches Mittel)
x
und wahrer Wert
xw :
n
x=
Standardabweichung
σ
einer Einzelmessung und
σ=√
Mittelwert von
n
1
n−1
n
1X
xi
n i=1
σm
v
u n
uX
2
t
(x − xi )
1X
xi
n→∞ n
i=1
xw = lim
des Mittelwertes:
σm
i=1
Meÿwerten, die in
k
Intervallen
xi
v
u n
uX
1
1
2
t
p
=
(x − xi ) = √ σ
n
n (n − 1) i=1
gemessen wurden:
k
x=
1X
ni xi
n i=1
Normierte Gauÿfunktion:
• σ:
Breite der Kurve
•
Maximum:
•
Vertrauensbereich:
xw !
xw = x ± n · σ
f (x) = √
Poisson-Verteilung:
Fehlerfortpanzung - Standartabweichung
1
2πσ 2
e
−(x−xw )2
2σ 2
x −x
e
x!
der Funktion f (x, y):
s 2
2
∂f
∂f
2
2
σf = σx
+ σy
∂x
∂y
Mittlere quadratische Abweichung (n Messwerte
x1 , ..., xn mit Messwerten y1 , ..., yn :
X
2
χ2 =
(yi − f (xi )) ...minimieren!
Formeln zur Bestimmung der Ausgleichsgerade (Regressionsgerade)
a=
xy − x y
y =a∗x
aus den Messwerten:
b = y − ax
x2 − x2
Translation eines Massenpunktes
Kinematik
Ortsvektor:


x (t)
~r (t) =  y (t) 
z (t)
Geschwindigkeit:
Beschleunigung:
~v (t) =
~a (t) =
d~
r
dt
d~
v
dt
= ~r˙
m
s
= ~v˙ = ~r¨
m
s2
Dynamik
Impuls (bzw. Bewegungszustand):
Kraft:
F~ =
d~
p
dt
= m~a
p~ = m~v
m
kg s2 = N ewton = N
m
kg s
1
[Einheit: m]
F~|| = m~g sin α
Hangabtriebskraft:
Federkraft (Hook'sches Gesetz):
Gravitationskraft:
(Normalkraft
~,
N
F~F = −k~x
k : F ederkonstante ⇒ ω =
q
k
m,
T = 2π
pm
k
F~ (~r) = − GmM
r
R2 ~
µH ,
Haftreibungskoezient
Haftreibungskraft:
~
fH = µH N
Gleitreibungskraft:
~
fG = µG N
Gleitreibungskoezient
µG )
Arbeit, Energie und Kraftfelder
Arbeit = Kraft x Weg, die Arbeit ist skalar!
Z
P2
F~ d~r [N m = Joule]
W =
P1
Leistung:
P =
dW
dt
J
= W att
s
Im konservativen Kraftfeld gilt (v
I
W =
(~r):
Potential):
F~ d~r = 0
Kinetische Energie:
Ekin = 21 mv 2 ,
Potentielle Energie:
Epot = mgh,
~ (~r) = −grad v (~r)
F~ (~r) = −∇v
~ × F~ = 0
rot F~ = ∇
W = ∆Ekin
W = ∆Epot
Systeme von Massenpunkten, Stöÿe
V,
Massenschwerpunkt (CM = centre of mass) (Volumen
~rCM =
Schwertpunktgeschwindigkeit:
~aCM =
Schwerpunktbeschleunigung:
Gesamtimpuls:
~vCM =
Reduzierte Masse:
%=
m
V ):
Z
Z
1 X
1
%
mi~ri =
~rdm =
~r (~r) dV
M i
m
m
d
rCM
dt ~
d
vCM
dt ~
P
P~CM = i p~i = M~vCM ,
Dichte
=
1
M
1
M
=
P
i
P
i
mi~vi
mi ai
im abgeschlossenen System erhalten!
m1 m2
m1 +m2
µ=
v1,i + v1,f = v2,i + v2,f
Elastischer Stoÿ: Impuls und Energie erhalten,
Inelastischer Stoÿ: nur Impulserhaltung. Innere Energie
2
Q = − 12 µvrel
Rotation
Radius
R,
Bahngeschwindigkeit
Rotationskinematik
Winkel im Bogenmaÿ:
ϕ=
s
R
v,
h
Umlaufzeit
1 rad =
360◦
2π
Winkelgeschwindigkeit:
ω=
dϕ
dt
=
Winkelbeschleunigung:
α=
dω
dt
= ϕ̇ = ϕ̈ =
Zentripetalbeschleunigung:
v
R
=
2π
T
az = ω 2 R =
v2
R
T,
ν,
Länge des Kreisbogens
i
= 2πν
aT
R
Frequenz
rad s
(aT : Tangentialbeschleunigung)
Zentripetalkraft
2
Fz = maz
s
Rotationsdynamik
Drehimpuls:
h
~ = ~r × p~ = m (~r × ~v ) = J~
L
ω
~ =
D
Drehmoment:
Hebelgesetz:
F1
F2
PN
i
Erot =
Steiner'scher Satz:
=
h
= ~r0 × F~ = Jα
J=
Trägheitsmoment:
Rotationsenergie:
dL
dt
mi a2i,⊥ =
R ϕ2
ϕ1
RR
0
2
kg ms
i
2
kg m
s2 = N m
a2 dm = %
RR
0
i
⊥ F~ )
(~
r0 : Kraftarm
a2 dV = εM R2
(ε
= 0 . . . 1, a:
Abstand zur Drehachse)
~
D(ϕ)d~
ϕ = 21 Jω 2
JB = JCM + ma2
(a: Abstand der Drehachse in B zu CM)
r2
r1
Kreisel
Nutation: gemeinsame Bewegung der Figurenachse
sachse
~
L
~c und
der momentanen Drehachse
ω
~
um die raumfeste Drehimpul-
(z.B. rotationssymm. Kreisel erhält kurzen Stoÿ)
Präzission: Es wirkt ein äuÿeres Drehmoment
~, L
~
D
ist nicht mehr raumfest. Präzissionsfrequenz:
ωP =
D
L sin α
=
m~
g~
r
Jω
~
Bezugssysteme
Intertialsysteme bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit und sind zur Beschreibung physikalischer Gesetze äqui-
valent.
~v , Geschw.
⊥~
ω , ⊥~r)
Rotierende Bezugssysteme (Geschw. im ruhenden System
~v = ~v 0 + ~u = ~v 0 + ω
~ × ~r
Corioliskraft:
(~
u: Relativgeschwindigkeit
im beschl. System
~v 0 )
F~C = 2m(~v 0 × ω
~)
Zentrifugalkraft:
F~Zf = m~
ω × (~r × ω
~)
Gravitation
Kepler'sche Gesetze
1. Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht
2. Der Radiusvektor (Fahrstrahl) von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen
3. Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen ihrer gröÿten Halbachsen:
a3
T12
= 13 = const
2
T2
a2
rˆ
Newton'sches Gravitationsgesetz: F~ (~r) = −G mM
r ~
2
Gravitationspotenzial:
Epot = −G mM
r ,
ausgedehnte Körper:
dEpot = −G m dM
r
Relativistische Mechanik
Transformationen
Inertialsystem
~u,
S0
bewegt sich mit
Beschleunigung
~a
und Zeit
t
v = vx
relativ zum Inertialsystem
(' gemessen in
S.
Galilei
Lorentz
x0 = x − vt x = x0 + vt x0 = γ(x − vt)
y0 = y
y = y0
y0 = y
0
0
z =z
z=z
z0 = z
t0 = t
t = t0
t0 = γ t − vx
c2
Lorentzfaktor:
γ=
q1
Ortsvektor
~r = (x, y, z)
S 0 ).
u0 = u − v
u = u0 + v
a0 = a
a = a0
ux −v
1− cv2 ux
u
u0y,z = γ 1−y,z
( cv2 ux )
u0x =
2
1− vc2
3
x = γ(x0 + vt0 )
y = y0
z = z 0
t = γ t0 +
ux =
vx0
c2
u0x +v
1+ cv2 u0x
u0y,z
uy,z =
γ (1+ cv2 u0x )
mit Geschwindigkeit
Zeitdilatation:
∆t = γ ∆t0
0
(∆t gemessen im Ruhesystem des Objekts,
∆t
gemessen im System
Längenkontraktion (Lorentz-Fitzgerald-Kontraktion):
(l : Eigenlänge im ruhenden Bezugssystem,
Relativistische Dynamik
Relativistischer Impuls:
Relativistische Kraft:
l = γ l0
0
2
1− vc2
p~ = m~v = γm0~v
F~ = m0 aγ 3 cv2 ~v + m~a
E = mc2
Verbindung von Energie und Trägheit:
Relativistische kinetische Energie:
Gesamtenergie:
in dem sich die Uhr bewegt.)
gemessen im bewegten System)
qm
m(v) = γm0 =
Relative Massenzunahme:
l
0
S,
Ekin = m0 c2 (γ − 1)
Etot = Ekin + m0 c2 = γm0 c2
Relativistische Energie-Impuls-Beziehung:
2
Etot
= p2 c2 + m0 c2
2
Schwingungen
Amplitude
A,
ϕ,
Phase
Kreisfrequenz
Freier harmonischer Oszillator
Hook'sches Gesetz:
2
F~ = −k~x = m ddt2x
Exponential-Ansatz (c, λ
k
m
ω02 =
⇒
Dierentialgleichung:
∈ C): x(t) = ceλt
d2 x
dt2
+ ω02 x = 0
p
λ1,2 = ± −ω02 = ± i ω0
⇒
Darstellungsformen der Bewegungsgleichung:
1.
x(t) = ceiω0 t + c∗ e−iω0 t
2.
x(t) = |c|[ei(ω0 t+ϕ) + e−i(ω0 t+ϕ) ]
3.
x(t) = c1 cos(ω0 t) + c2 sin(ω0 t)
4.
x(t) = A cos(ω0 t + ϕ)
Schwingungsdauer (Periode):
(c
T =
= a + ib; a, b ∈ R
1
f
(Euler-Darstellung aus
(aus
2π
ω0
=
md2 x
dt2
= −kx − b dx
dt
Exponential-Ansatz liefert:
λ1,2 = −γ ±
d2 x
dt2
⇒
2
+ 2γ dx
dt + ω0 x = 0
ω0 > γ
⇒
λ1,2 = −γ ± iω
x(t) = e−γt (ceiωt + c∗ e−iωt ) = Ae−γt cos(ωt + ϕ)
−γt
(e
τ der Energie (beim gedämpften Oszillator
t
Etot = E0 e−2γt = E0 e− τ
x(t)
T
• Logarithmisches Dekrement: δ = ln x(t+T
) = γT = 2τ
•
m
b
=
Q
2π
=
τ
T
, Q = ωτ
2. Starke Dämpfung (Kriechfall):
x(t) = e
b
2m : Dämpfungskonstante)
ω=
p
ω02 − γ 2
nicht erhalten!).
1
2γ ,
Gütefaktor Q:
−γt
=
: exponentieller Dämpfungsterm)
Relaxationszeit
τ=
(γ
p
γ 2 − ω02
1. Schwache Dämpfung (Schwingfall):
•
c = |c|eiϕ )
eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ, c1 = c + c∗ = |c|2 cos ϕ, c2 = i(c − c∗ ) = |c|(−2) sin ϕ)
Freier gedämpfter Oszillator
Dierentialgleichung:
aus Anfangsbedingungen)
αt
[c1 e
−αt
+ c2 e
3. Aperiodischer Grenzfall:
Modizierter Ansatz:
]
γ > ω0
(hohe Güte
→
geringe Dämpfung)
(Überdämpfung)
⇒
λ1,2 = −γ ±
(Keine Schwingung!)
γ = ω0
(Entartung)
λt
x(t) = c(t)e
⇒
⇒
λ1 = λ2 = −γ = −ω0
x(t) = (c1 t + c2 ) e−γt
| {z }
=c(t)
4
p
γ 2 − ω02 = −γ ± α
(α reell!)
Erzwungene Schwingungen
Inhomogene DGL:
2
m ddt2x = −kx − b dx
dt + F0 cos ωt
⇒
ẍ + 2γ ẋ + ω02 x =
•
Homogene DGL: allgemeine Lösung
A1 e−γt cos(ω1 t + ϕ1 )
•
Inhomogene DGL: spezielle Lösung
A2 cos(ωt + ϕ2 )
F0
m
cos ωt
(ω : Erregerfrequenz,
ω1
Frequenz der freien gedämpften
Schwingung)
⇒ x(t) = A1 e−γt cos(ω1 t + ϕ1 ) + A2 cos(ωt + ϕ2 )
Phasenverschiebung
ϕ2 : tan ϕ2 =
A2 : A2 =
Amplitude
Resonanzfrequenz:
Schwebung x(t) = 2a cos
|
√
m
−2γω
ω02 −ω 2
F0
(ω02 −ω 2 )2 +(2γω)2
p
ω02 − 2γ 2
ωR =
ω1 − ω2
ω1 + ω2
t cos
t
2
2
{z
}|
{z
}
Amplitude
A(t)
harm. Schwingung
Pendel
⇒
a⊥ = αl = ϕ̈l
Mathematisches Pendel:
Physikalisches Pendel:
(Die harmonische Schwingung hat die 'Mittenfrequenz')
ϕ̈ +
RM g
J ϕ
= 0, ω0 =
ϕ̈ + gl sin ϕ = 0
q
ϕ̈ + gl ϕ = 0
⇒
(harmonische Näherung:
sin ϕ = ϕ)
RM g
J
Wellen
ν , Wellenlänge λ, Schwingungsperiode T ,
Amplitude A, lineare Massendichte µ
Frequenz
•
transversale Wellen: Auslenkung
•
longitudinale Wellen: Auslenkung
Phasengeschwindigkeit:
Wellenfunktion:
vP h = λν =
⊥
||
ω
k
∂2Ψ
∂z 2
Intensität:
Leistung:
I=
P =
1
2
1
2
~ =
∆Ψ
2π
λ , Dichte
λ = vP h T
(Dispersionsrelation)
=
~
1 ∂2Ψ
2
∂t2
vP
h
o
z
vP h )
1 ∂2Ψ
2
∂t2
vP
h
∂2x
∂z 2
=
µ ∂2x
|FS | ∂t2
(vP h
(Laplace-Operator:
=
∆=
q
|FS |
µ )
∂2
∂x2
+
∂2
∂y 2
+
∂2
∂z 2 )
% vP h A2 ω 2
µ vP h A2 ω 2
Gruppengeschwindigkeit:
vG =
dω
dk
Ph
= vP h + k dvdkP h = vP h − λ dvdλ
Schallwellen
J
k = 1, 38 · 10−23 K
,
q
kT
Schallgeschwindigkeit: vS =
m
Boltzmann-Konstante
Lautstärke:
% =
Ausbreitung
bzw.
Wellengleichung einer entspannten Saite:
Wellengleichung in 3D:
k =
Ausbreitung
n
Ψ(z, t) = A sin(ωt − kz) = cei(ωt−kz) = A sin ω(t −
Wellengleichung für ebene Wellen:
2π
T , Wellenzahl
ω =
Kreisfrequenz
LS = 10 log
I
I0
absolute Temperatur
T,
Molekülmasse
m,
Hörschwelle
[dB]
Doppler-Eekt
Quelle bewegt sich mit
uZ
hin
weg
λ = λ0 − u Z T
f = f0 1− 1uZ
λ = λ0 + uZ T
f = f0 1+ 1uZ
vP h
Beobachter bewegt sich mit
uB
f = f0 (1 +
5
uB
vP h )
vP h
f = f0 (1 −
uB
vP h )
W
I0 = 10−12 m
2
dm
V ,
Doppler-Verschiebung:
∆f = f − f0
Önungswinkel des Mach'schen Kegels:
sin β =
vP h
u
Feste Körper
Elastische Verformung
Dehnung
∆L
F
L , Spannung A , Elastizitätsmodul
∆L
L
Zugkräfte im linearen Bereich:
Schermodul:
G=
F/A
∆L/L
=
K=
Kompressionsmodul:
F/A
tan θ
=
N
E [m
2 ],
relative Volumenabnahme
1 F
E A
N
[m
2]
−∆p
∆V /V
Thermische Eigenschaften
Längenänderung:
∆L
L
Volumenänderung:
= α∆T
∆V
V
(α: Längenänderungskoezient)
= 3α∆T
Wärmetransport:
•
Wärmeleitung: Energietransport durch Stöÿe, ortsfeste Atome
•
Konvektion: Energietransport durch Stotransport
•
Strahlung: Energietransport durch elektromagnetische Strahlung
Wärmestrom:
dQ
dt
=
Temperaturgradient:
Wärmestrom:
dQ
dt
dQ
dt
Wärmemenge
Zeiteinheit
dT
dx
=
Temperaturänderung
= −λA dT
dx
Längeneinheit
dT
dx
(λ: thermische Leitfähigkeit
W
[ mK
]
Flüssigkeiten
Pascal'sches Gesetz:
p(h) = p0 + %F l g h
(h: Höhe)
Auftriebskraft = Gewichtskraft der durch den Körper verdrängten Flüssigkeit
Hydraulische Presse:
2
F2 = F1 A
A1 , h 2 =
A1
A2 h 1
6
∆V
V , Fläche
A,
Kraft
F