Zusammenfassung: Integration von Bewegungsgleichungen

Zusammenfassung: Integration von Bewegungsgleichungen
Vorgehen:
i) Kräfte ermitteln: F~i und einzeichnen.
ii) Freiheitsgrade des Systems bestimmen: Anzahl = f
iii) Koordinatensystem festlegen: q1 , . . . , qf
iv) Kraftkomponenten im gewählten Koordinatensystem bestimmen: Fi1 , . . . , Fif
v) Bewegungsgleichungen aufstellen:
m~a =
X
F~i ⇒ ma1 =
i
X
Fi1 , . . . . . . , maf =
i
X
Fif
i
vi) Bewegungsgleichungen lösen (integrieren)
vii) Anfangsbedingungen erfüllen durch Anpassen der Integrationskonstanten
Beispiele:
Konstante Kraft: Freier Fall, schiefer Wurf, Ion im konstantem elektrischem Feld
Fx
Fx 2
d2 x
=
⇒ x(t) =
t + C1 t + C 2
dt2
m
2m
Kraft proportional zur Geschwindigkeit: Viskose Reibung
Fx
β dx
dx
d2 x
=
=−
⇒ vx =
= C1 e−βt/m
dt2
m
m dt
dt
Kraft proportional zur Auslenkung: Feder mit Federkonstante k, Pendel der Länge ℓ
d2 x
= −ω02 x ⇒ x = x0 cos(ω0 t + δ)
dt2
ω0 =
s
k
m
ω0 =
r
g
ℓ
Kraft proportional zur Auslenkung mit Dämpfung: Gedämpftes Pendel
d2 x
dx
⇒ x = x0 e−λt cos(ωt + δ)
= −ω02 x − 2λ
2
dt
dt
λ=
β
2m
ω=
1
q
ω02 − λ2