Schwingungsdifferenzialgleichung

Schwingungsdifferenzialgleichung
Schwingungsdifferenzialgleichung
Fakultät Grundlagen
Hochschule Esslingen
Februar 2016
Fakultät Grundlagen
Schwingungsdifferenzialgleichung
Schwingungsdifferenzialgleichung
Übersicht
1
Schwingungsdifferenzialgleichung
Freie Schwingungen
Erzwungene Schwingungen
Frequenzgang
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Differenzialgleichungen
Folie: 2
Schwingungsdifferenzialgleichung
Freie Schwingungen
Erzwungene Schwingungen
Frequenzgang
Feder-Masse-Schwinger
x(t)
...
Auslenkung aus der
Gleichgewichtslage
FR = −cx
...
Rückstellkraft
FD = −k ẋ
...
Dämpfung
F (t)
...
Erregerkraft
Newtonsches Grundgesetz:
mẍ + k ẋ + cx = F (t);
(m, c > 0 ; k ≥ 0)
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Differenzialgleichungen
Folie: 3
Schwingungsdifferenzialgleichung
Freie Schwingungen
Erzwungene Schwingungen
Frequenzgang
Elektrischer Schwingkreis
U(t)
. . . angelegte Spannung
i(t)
. . . Strom
UL = L di . . . Spannungsabfall an
dt
der Spule
q
UC =
. . . Spannungsabfall am
C
Kondensator ( dq
dt = i)
UR = R · i . . . Spannungsabfall am
Ohmschen Widerstand
Kirchhoffsches Gesetz:
uL + uC + uR = U(t)
DGL
UC (t):
DGL für
für Kondensatorspannung
Stromstärke i(t):
i = C U̇C d
2
q
dt
di
2L d i + R di + 1 i = dU
= C ÜC=⇒
L di + R q· i + = U(t)
dt
d
U
dU C U =
di
C
dt
C
L + Ri + = U(t) =⇒
LC
dt 2+ RC dtdtC +
C dtU(t)
dt
C
dt 2
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Differenzialgleichungen
Folie: 4
Schwingungsdifferenzialgleichung
Freie Schwingungen
Erzwungene Schwingungen
Frequenzgang
Freie Schwingungen; Bezeichnungen
eλt
aẍ + b ẋ + cx = 0 =⇒ aλ2 + bλ + c = 0
b
= 2a
q
c
ω0 =
a
δ
b
λ1,2 = − 2a
±
q
b2
4a2
−

[sec −1 ] 




−1

[sec ] 


. . . Abklingkonstante
. . . Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
q
Kreisfrequenz der geωd = ω02 − δ 2 . . .
[sec −1 ]
dämpftenSchwingung
D = ωδ0
. . . Dämpfungsgrad
dimensionslos
δ
ẍ + 2δ ẋ + ω02 x = 0
λ1,2 = −δ ±
q
δ 2 − ω02
allg. DGL
mechan. Schw.
b
2a
k
2m
elektr. Schw.
R
2L
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Differenzialgleichungen
ω
p0c
p ca
m
√1
LC
c
a









D
√b
2 ac
√k
2 q
mc
R
C
2 ·
L
Folie: 5
Schwingungsdifferenzialgleichung
Freie Schwingungen
Erzwungene Schwingungen
Frequenzgang
Freie Schwingungen; Dämpfung
DGL:
ẍ + 2δ ẋ + ω02 x = 0
δ=0
λ1,2 = ±j · ω0
0 < δ < ω0
λ1,2 = −δ ± j
δ = ω0
λ1,2 = −δ
λ1,2 = −δ ±
q
δ 2 − ω02 , D =
δ
ω0
⇔ D = 0 . . . ungedämpfte Schwingung
x(t) = C1 cos(ω0 t) + C2 sin(ω0 t)
⇒
. . . harmonische Schwingung
⇔ 0 < D < 1 . . . schwache Dämpfung
q
x(t) = e −δt (C1 cos(ωd t) + C2 sin(ωd t))
ω02 − δ 2 ⇒
. . . gedämpfte harmonische Schwingung
| {z }
= ωd
⇔ D = 1 . . . Grenzfall
⇒
x(t) = (C1 + C2 t)e −δt
⇔ D > 1 . . . starke Dämpfung
q
2
2
λ1,2 = −δ ± δ − ω0 ⇒ x(t) = C1 e λ1 t + C2 e λ2 t (λi < 0)
MATLAB: schw dgl hom.m
δ > ω0
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Differenzialgleichungen
Folie: 6
Schwingungsdifferenzialgleichung
Freie Schwingungen
Erzwungene Schwingungen
Frequenzgang
Harmonische Anregung
Im vorangegangenen Abschnitt wurde das Eigenverhalten“ des
”
Systems untersucht. Nun betrachten wir zusätzlich eine Anregung
r (t) von außen.
ẍ + 2δ ẋ + ω02 x = ω02 · r (t);
Lösungsstruktur:
(ω02 =
c
m
>0 ; δ=
k
2m
≥ 0)
x(t) = xh (t) + xp (t)
Interessant ist vor allem die partikuläre Lösung xp (t); sie stellt die
Reaktion des Systems auf eine Anregung von außen dar.
Bei der homogenen Lösung xh (t) muss im Wesentlichen nur
gewährleistet sein, dass sie für t → ∞ gegen Null geht.
Im Folgenden wollen wir die Reaktion des Systems auf eine
harmonische Anregung untersuchen.
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Differenzialgleichungen
Folie: 7
Schwingungsdifferenzialgleichung
Freie Schwingungen
Erzwungene Schwingungen
Frequenzgang
Federerregung
x(t)
...
FR = −cx
...
Auslenkung aus der
Gleichgewichtslage
Rückstellkraft
FD = −k ẋ
...
Dämpfung
xQ = x̂E cos(ωE t)
...
Federerreger
Newtonsches Grundgesetz:
mẍ = −k ẋ − c(x − xQ ) ; (m, c > 0 , k ≥ 0)
bzw. mẍ + k ẋ + cx = c x̂E cos(ωE t)
ẍ + 2δ ẋ + ω02 x = ω02 x̂E cos(ωE t);
Lösungsstruktur:
(ω02 =
x(t) = xh (t) + xp (t)
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c
m
>0 ; δ=
k
2m
≥ 0)
schw dgl inhom.m
Differenzialgleichungen
Folie: 8
Schwingungsdifferenzialgleichung
Freie Schwingungen
Erzwungene Schwingungen
Frequenzgang
Federerregung; partikuläre Lösung
Komplexe Erweiterung: x̃¨ + 2δ x̃˙ + ω02 x̃ = ω02 x̂E ejωE t
x̃p = x̂p ej(ωE t−ϕ) ; x̃˙ p = jωE x̂p ej(ωE t−ϕ) ; x̃¨p = −ωE2 x̂p ej(ωE t−ϕ)
x̂p ej(ωE t−ϕ) · − ωE2 + 2δωE j + ω02 = ω02 x̂E ejωE t : x̂p ej(ωE t−ϕ)
2
(ω0 − ωE2 ) + 2δωE j = ω02 x̂E ejϕ
x̂p
2δωE
Winkel:
tan ϕ =
ω02 − ωE2
q
abs(. . .)
(ω02 − ωE2 )2 + 4δ 2 ωE2 = ω02 x̂E
x̂p
ω 2 x̂
x̂p = √ 2 02 E2 2 2
(ω0 −ωE ) +4δ ωE
x̃p = x̂p ej(ωE t−ϕ) Re(. . .)
= s 2x̂E 2
2 ω
2
ω
xp = x̂p cos(ωE t − ϕ)
E
1− E
+4 δ
ω0
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Differenzialgleichungen
ω0
ω0
Folie: 9
Schwingungsdifferenzialgleichung
Freie Schwingungen
Erzwungene Schwingungen
Frequenzgang
Federerregung; Frequenzgang I
x̂p =
x̂E
s
1−
ωE
ω0
2 2
;
2 ωE 2
+4 ωδ
ω
0
tan ϕ = 22δωE 2 =
ω0 − ωE
0

ωE
. . . dimensionslose Frequenz 



ω0



δ
D=
. . . Dämpfungsgrad
ω0




x̂p



V =
. . . Verstärkungsfaktor
x̂E
u=
Wir interpretieren
plexen Zahl
1
V2
V = f (u; D) = p
tan ϕ = g (u; D) =
2
ωE
ω0
ωE 2
1− ω
0
δ
ω0
1
(1 − u 2 )2 + 4D 2 u 2
2Du
1 − u2
Im
als Betrag der komj
C (u; D) = (1 − u 2 ) + 2Du · j
2Du · j
g (u; D) ergibt den zugehörigen Winkel ϕ.
Re
ϕ
Liegt C innerhalb des Einheitskreises, so
tritt Verstärkung ein.
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Differenzialgleichungen
u2
1
Folie: 10
Schwingungsdifferenzialgleichung
Freie Schwingungen
Erzwungene Schwingungen
Frequenzgang
Federerregung; Frequenzgang II
C (u; D)2 =
2
1 − u 2 + 4D 2 u 2 < 1 quadratische Ergänzung
h
i
h
i2
+ 4D 2 1 − D 2
< 1
u 2 − 1 − 2D 2
√
Minimum bei u 2 =h 1 − 2Di2 > 0 für 1 − 2D 2 > 0 bzw. D < 22
√
Das Minimum 4D 2 1 − D 2 ist für D < 22 kleiner als 1.
Amplitudenfrequenzgang:
1
Der Verstärkungsfaktor V = f (u; D) = √
hat für
(1−u 2 )2 +4D 2 u 2
√
√
Parameterwerte D < 22 bei u = 1 − 2D 2 ein Maximum
Vmax = 2D √11−D 2 > 1
Phasenfrequenzgang:
2Du
ϕ = arctan 1−u
wächst von u = 0 bis u → ∞ monoton von 0
2
bis π. Alle Kurven gehen durch (1| π2 ).
MATLAB: frequenz.m
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Differenzialgleichungen
Folie: 11