IV_Loesungen_der Schroedingergleichung

Quantenmechanik I
SS 2004 – Lösungen der Schrödingergleichung
41
IV. Lösungen der Schrödingergleichung
4.1) Das Freie Teilchen (V=0)
Im eindimensionalen Fall gilt die Schrödingergleichung: −
h2 ∂2
∂
ψ ( x, t ) = ih ψ ( x, t )
2
2m ∂x
∂t
Wir wählen zur Lösungen einen Ansatz, wonach gilt: ψ k ( x, t ) = a k ⋅ exp(i (k ⋅ x − ω (k ) ⋅ t ))
Nach Einsetzen in die Schrödingergleichung erhalten wir für
relation (Spektralbeziehung):
−
h2
(ik )2 ⋅ψ (x, t ) = ih(− iω (k ) )ψ (x, t )
2m
⇒
ω (k ) =
ω
(k) automatisch die Dispersions-
h ⋅ k 2 E (k )
=
2m
h
p = h⋅k
Die Allgemeine Lösung für ein solches freies Teilchen bezeichnet mal als Wellenpaket und es ergibt
sich aus:
∞
ψ ( x, t ) = ∫ dk ⋅ a(k ) ⋅ exp (i (k ⋅ x − ω (k ) ⋅ t ))
−∞
Angenommen, es gibt nur eine Welle, d.h. a(k ) = δ (k − k 0 ) , so lautet die Wellengeleichung:
∞
ψ ( x, t ) = ∫ dk ⋅ δ (k − k 0 ) ⋅ exp (i(k ⋅ x − ω (k ) ⋅ t )) = exp (i(k 0 ⋅ x − ω (k ) ⋅ t ))
−∞
Das Problem dabei ist, dass überall ψ
2
= 1 gilt, somit ist
∞
∫ψ
2
dx = ∞ nicht normierbar!
−∞
Für ein normierbares Wellenpaket in drei Dimensionen muss also zusammen mit der
Dispersionsrelation in drei Dimensionen gelten:
( )
( ) ((
( ) ))
ψ x, t = ∫ d k ⋅ a k ⋅ exp i k ⋅ x − ω k ⋅ t
3
mit
R3
()
2
2
()
hk
h2 k
Ek
ωk =
=
=
h
2m
2mh
()
Dabei werden die a k aus den Anfangsbedingungen ψ ( x,0) bestimmt. Dabei gilt natürlich (in einer
Dimension):
∞
ψ ( x,0 ) = ∫ dk ⋅ a(k ) ⋅ exp (ikx )
−∞
Man sieht daraus sofort, dass a(k ) so etwas wie die Fouriertransformierte von ψ ( x,0) ist.
Umgekehrt ist natürlich ψ ( x,0) so etwas wie die Fouriertransformierte von a(k ) ist.
Betrachten wir das Teilchen im Impulsraum, so ergibt sich mittels Fouriertransformation:
Φ ( p, t ) =
2π
h
∞
∞

 i
exp
dx
px
⋅
−
⋅
 ∫ dk ⋅ a (k ) ⋅ exp(i (kx − ω (k )t )) =

∫−∞
 −∞
 h
2π
⋅ a(k ) ⋅ exp(− iω (k )t )
h
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42
Für die Norm dieses Wellenpaketes muss natürlich wie üblich gelten:
∞
∫ dp Φ( p, t ) =
2
−∞
∞
!
2π
2
⋅ ∫ dk a (k ) = 1
h −∞
Setzen wir dafür ein Gauß’sches Wellenpaket ein, können wir aus dieser Bedingung diese Funktion
normieren:
(
a(k ) = c ⋅ exp − α (k − k 0 )
2
)
Wir wollen uns jetzt noch etwas ausführlicher mit dem Phänomen der Dispersion auseinandersetzten,
damit verbunden die Eigenschaft des Zerfließens eines Wellenpaketes mit der Zeit. Dazu betrachten
wir zunächst die Wellenfunktion eines Gauß’schen Wellenpaketes von der Form:
(
∞
)
(
∞
)
ψ ( x, t ) = c ∫ dk exp − α (k − k 0 )2 ⋅ exp(i (kx − ω (k )t )) =c ∫ dk exp − α (k − k 0 )2 + ikx ⋅ exp (− iω (k )t )
−∞
−∞
Man kann nun zwei Fälle unterscheiden, nämlich:
(a)
(b)
hk 2
massive Teilchen (z.B. Elektronen): ω =
2m
masselose Teilchen (z.B. Photonen): ω = ck
Wir behandeln zunächst Fall (a). Dazu schreiben wir die Dispersionsrelation um und erhalten
schließlich:
ω (k ) =
[
]
hk 2
h
2
2
=
⋅ (k − k 0 ) + 2kk 0 − k 02 = β ⋅ (k − k 0 ) + v ⋅ k + ω 0
2m 2m
h
2m
hk 2
ω0 = − 0
2m
hk 0 p 0
v=
=
= vg
m
m
β=
........ Gruppengeschwindigke it
Setzen wir dies in die Wellenfunktion ψ ( x, t ) ergibt sich somit folgende Umschreibung, wobei wir
hier die das Gauß’sche Integral nicht explizit lösen:
(
∞
)
ψ ( x, t ) = c ∫ dk exp − (α + iβt ) ⋅ (k − k 0 )2 + ik ( x − vt ) − iω 0 t =
−∞
c⋅
 ( x − vt )2 

⋅ exp(i(k o x − ω 0 t )) ⋅ exp −

i
t
+
(
)
α + iβ t
4
α
β


π
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Berechnen wir das Normquadrat für ψ ( x, t ) und Φ ( p, t ) , so erhalten wir schließlich:
∞
ψ ( x, t ) = ∫ dx ψ ( x, t ) = c 2 ⋅
2
2
−∞
∞
Φ ( p, t ) =
2
∫ dp Φ( p, t )
−∞
2
= c2 ⋅
π

α
2
⋅ exp −
⋅ ( x − vt ) 
2
2
2
α 2 + β 2t 2
 2(α + β t )

(
2π
2
⋅ exp − 2α (k − k 0 )
h
)
Hieraus kann man sofort die Erwartungswerte für X und P herauslesen, nämlich:
X = v⋅t
P = p0 = k 0 ⋅ h
Weiters ergibt sich für die Varianzen des Mittelwertes
∆X
und
∆P sofort die
quantenmechanische Dispersion, d.h. das Auseinanderfließen des Wellenpaketes mit der Zeit:
α 2 + β 2t 2
α
∆X =
∆P =
h
2 α
Für die Unschärferelation ergibt sich unmittelbar, dass diese mit der Zeit immer größer wird:
∆X ∆P =
h
h
α 2 + β 2t 2
β 2t 2 h
⋅
= ⋅ 1+ 2 ≥
2
α
α
2 α 2
Hieraus sieht man auch sofort das Verhalten von masselosen Teilchen wie Photonen. Da bei diesen
Teilchen gilt β = 0 , kommt es zu keinem Auseinanderfließen des Wellenpaketes.
Anmerkungen:
(a) Problem der Raumspiegelungen (Parität): x → − x
Betrachten wir die Wirkung des Paritätsoperators P im Eigensystem des Ortsoperators X:
P x = −x
P2 x = x
Somit ergibt sich sofort, dass die Einzigen Eigenwerte des Paritätsoperators -1 und +1 sind. Als
Eigenfunktionen von P werden solche Wellenfunktionen dienen, die entweder symmetrisch (+) oder
antisymmetrisch (-) sind. Es gilt also:
ψ ( x ) = ψ (− x )
P+ = +
gerade Funktion :
P− =−−
ungerade Funktion : ψ ( x ) = −ψ (− x )
Abhängig von der Symmetrie des Potentials V wird schließlich
Eigensystem ist nach geraden und ungeraden Funktionen einteilbar.
[H , P] = 0
gelten, d.h. das
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44
(b) Problem der Entartung: Mehrere Lösungen zu gegebenen Energien
Dies kann z.B. sehr leicht auftreten bei kugelsymmetrischen Problemen oder freien Teilchen, da es
viele Impulse p mit gleichem | p | gibt. Betrachten wir dazu die stationäre Schrödingergleichung:

 h2 ∂2
⋅ 2 + V ( x )ψ E ( x ) = Eψ E ( x )
−

 2m ∂x

 h2 ∂2
⋅ 2 + V ( x )ψ E ( x ) = Eψ E ( x )
−

 2m ∂x
Im Falle, dass es keine Entartung gibt, so muss natürlich gelten: ψ E (x ) = ψ E ( x ) . Dies wiederum
impliziert, dass die Eigenfunktionen als reelle Funktionen gewählt werden können.
4.2) Der Potentialtopf (stückweise konstante Potentiale):
Dazu betrachten wir wiederum die stationäre Schrödingergleichung mit einem Potential V(x)
folgendermaßen:

 h2 ∂2
 −
⋅ 2 + V ( x )ψ ( x ) = Eψ ( x )

 2m ∂x
mit
Vmin = 0, V ( x ) = const
Dann kann man zwei Fälle unterscheiden. Einerseits (a) den klassisch erlaubten Fall, dass V < E,
andererseits (b) den klassisch verbotenen Fall, dass 0 = Vmin < E < V.
Fall (a):
h2
ψ ' ' ( x ) = −(E − V )ψ (x )
2m
mit
h2 2
0 ≤ (E − V ) ≡
⋅q →
2m
q=
2m
⋅ (E − V )
h2
Somit ergibt sich die klassische Schwingungsgleichung mit den oszillierenden Eigenlösungen:
ψ ' ' ( x ) = −q 2ψ ( x )
→
ψ ( x ) ∈ {exp(iqx ), exp(− iqx )} ≅ ψ ( x ) ∈ {sin (qx ), cos(qx )}
Fall (b)
h2
ψ ' ' ( x ) = (V − E )ψ ( x )
2m
mit
h2
0 ≤ (V − E ) ≡
⋅κ 2 →
2m
κ=
2m
⋅ (V − E )
h2
Somit ergibt sich der Fall einer Differentialgleichung mit reell exponentiellen Eigenlösungen:
ψ ' ' ( x ) = κ 2ψ ( x )
→
ψ ( x ) ∈ {exp(κx ), exp(− κx )}
≅ ψ ( x ) ∈ {sinh (qx ), cosh(qx )}
Beide Fälle gemeinsam führen mit (i) Randbedingungen der Form ψ ( x 0 ) = α und (ii) Übergangs-
bedinungen der Form ψ 1 ( x + ε ) = ψ 2 ( x − ε ) ,ψ 1 ' ( x + ε ) = ψ 2 ' ( x − ε ) zu einem klassischen SturmLiouville-Problem.
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45
Wir betrachten nun einen Potentialtopf mit einem Potential V(x):
0
V0
V(x) =
V0
für
0≤ x≤ L
sonst
Hier kann man nun wieder zwei Fälle unterscheiden. Einerseits
Fall (A), dass das Potential im Außenraum V0 unendlich groß ist
und andererseits Fall (B) mit einem endlichen Potential V0.
0
0
L
Fall A:
Im Außenraum x ≤ 0 , x ≥ L muss die Wellenfunktion verschwinden, d.h. ψ ( x ) = 0 . Im
Innenraum hingegen gilt die Schrödingergleichung der Form:
 h2 ∂2
 −
⋅ 2
 2m ∂x

ψ ( x ) = Eψ ( x )

Mit der Definition E =
ψ ' ' ( x ) = −k 2ψ ( x )
h2 2
k ergibt sich somit ein Sturm-Liouville-Problem folgender Art:
2m
ψ (0 ) = ψ (L ) = 0
mit
Die Allgemeine Lösung ist eine Linearkombination des Fundamentalsystems. Aus den
Randbedingungen sind die Eigenfunktionen und Energieeigenwerte bestimmbar:
Allgemeine Lösung:
ψ ( x ) = A ⋅ sin (kx ) + B ⋅ cos(kx )
Randbedingungen:
ψ (0 ) = B = 0
!
ψ ( L ) = A ⋅ sin (kL ) = 0 ⇒
!
kL = nπ
nπ
mit
n = 1, 2,3...
L
h 2 k n2 h 2π 2 n 2
=
En =
2m
2mL2
 nπx 
ψ n ( x ) = sin 

 L 
kn =
Eigenwerte:
Energieeigenwerte:
Eigenfunktionen:
Für ein Elektron in einer Box der Größe 1Å mit m = 0,511MeV/c², L = 1Å=105 fm, c=200MeV fm
ergibt sich somit eine Energie in der Größenordnung:
h 2π 2
π 2 ⋅ (hc )
π 2 ⋅ (200 MeV ⋅ fm)
E1 =
=
=
2mL2 2 ⋅ 0,511MeV ⋅ L2 2 ⋅ 0,511MeV ⋅ 10 5 fm
2
2
(
)
2
= 0,000039MeV = 3,86eV
Zur Normierung bilden wir das Normquadrat der Eigenfunktionen. Wie man sieht ist dieser
Normierungsfaktor unabhängig von der Zahl n. Es ergeben sich die normierten Eigenfunktionen:
ψ (x )
2
 nπx  A L !
=1 ⇒
= ∫ dx ⋅ A ⋅ sin 
=
2
 L 
0
L
2
2
2
A=
2
L
⇒
ψ (x ) =
2
 nπx 
⋅ sin 

L
 L 
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46
Fall B:
Außerhalb des Potentialtopfes muss man zwei Fälle unterscheiden, je nachdem, wie groß die
Energie ist: (1) V0 < E oder (2) E < V0.
(1)
Die Schrödingergleichung lautet: −
h2 d 2
ψ ( x ) = ( E − V0 )ψ ( x )
2m dx 2
h2 2
⋅ k = E − V0
2m
Mit dieser Substitution folgt die Schwingungsgleichung: ψ ' ' ( x ) = − k 2ψ ( x ) und als Allgemeine
Lösung, eine ebene Welle:
ψ ( x ) = C + ⋅ e ikx + C − ⋅ e −ikx
mit
k=
2m(E − V0 )
∈R
h2
(2)
h2 d 2
ψ ( x ) = −(V − E 0 )ψ ( x )
Die Schrödingergleichung lautet: −
2m dx 2
h2
⋅ κ 2 = V0 − E
2m
folgt die Differentialgleichung: ψ ' ' ( x ) = κ 2ψ ( x ) und die Allgemeine
Mit dieser Substitution
Lösung:
ψ ( x ) = C + ⋅ e kx + C − ⋅ e − kx
mit
κ=
2m(V0 − E )
∈R
h2
Hierbei muss man jedoch bedenken, dass die Funktion normierbar bleiben muss. Somit kann die
Lösung für x < 0 nur von der Form C + ⋅ exp(kx ) und die Lösung für x > 0 nur von der Form
C − ⋅ exp( − kx) , damit die Funktionen im Unendlich gegen 0 abfallen.
ψ ( x ) = C + ⋅ e kx
ψ (x ) = C − ⋅ e
− kx
für
x<0
für
x>0
Die Eindringtiefe in den Potentialwall wird definiert als
1
κ
=
h2
.
2m(V0 − E )
Innerhalb des Potentialtopfes ist die Lösung unabhängig vom Energiebereich. Die Schrödingergleichung lautet hierbei:
−
h2 d 2
ψ ( x ) = Eψ ( x )
2m dx 2
h2 ~ 2
⋅k = E
2m
Somit ergibt sich für die Allgemeine Lösung wiederum eine Linearkombination von
Exponentialfunktionen der Form:
ψ ( x ) = C + ⋅ e i k x + C − ⋅ e −i k x
~
~
~
~
~
mit
k=
2mE
h2
Mithilfe der Anschlussbedingungen, dass die Wellenfunktion und die Ableitung der Wellenfunktion
an den Übergängen stetig sein muss, sind die Koeffizienten bestimmbar. Der letzte Koeffizient ist für
eine gebundene Lösung aus der Normierungsbedingung berechenbar (Details siehe: Fließbach,
Kapitel 20)!
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4.3) Die Potentialbarriere
Wir betrachten ein stückweise konstantes Potential der
Form:
0
V0
V(x) =
E > V0
V0
x≤0
x>0
für
für
E > V0
0
V ( x ) = V0 ⋅ θ ( x )
Anders ausgedrückt:
0
Wir müssen auch hier wieder zwei Fälle unterscheiden. Einerseits den Fall (A) E < V0 und
andererseits (B) V0 < E.
Fall A:
Analog zum Potentialtopf ergibt sich für die zwei Bereiche einmal eine gewöhnliche Oszillation und
einmal ein exponentielles Abklingen:
h2 2
⋅k
2m
h2
⋅κ 2
x > 0 : (V0 − E ) =
2m
x < 0: E =
2mE
h2
2m(V0 − E )
κ=
h2
→
k=
→
⇒
ψ L (x ) = A ⋅ e ikx + B ⋅ e −ikx
⇒
ψ R ( x ) = C ⋅ e −κX
Hierbei wurde bei der zweiten Lösung wiederum nur jene Lösung berücksichtigt, die normierbar
bleibt und im Unendlichen gegen 0 geht. Die Anschlussbedingungen ergeben:
ψ L (x = 0) = ψ R (x = 0)
ψ L ' ( x = 0 ) = ψ R ' ( x = 0)
A+ B =C
⇒
ik ( A − B ) = −κC
⇒
B ik + κ
=
= e iα
A ik − κ
Daraus folgt sofort durch Einsetzen:
(
)
Somit lassen sich die Koeffizienten ausdrücken durch: A, B = A ⋅ eiα , C = A ⋅ 1 + eiα . Wie man sieht,
gilt A = A ⋅ exp(iα ) es folgt daher Totalreflexion. Für die Funktionen folgt somit:
α


ψ LE = A ⋅ e ikx + A ⋅ e i (α − kx ) = 2 A ⋅ e 2 ⋅ cos kx −
i
ψ
E
R
(
= A⋅ 1+ e
iα
)⋅ e
−κx
= 2A⋅e
i
α
2
α

2
α 
⋅ e −κx cos 
2
Beispiel:
Wir wählen Potential und Energie folgendermaßen: V0 = 2 E ,
ik + κ i + 1
=
=
ik − κ i − 1
ψ = 2A ⋅ e
E
L
−i
π
4
2 ⋅e
2 ⋅e
i
π
4
3π
i
4
=e
π

⋅ cos x + 
4

−i
π
α=
2
⇒
und
ψ = 2A ⋅ e
E
R
−π
2
−i
π
4
2mE
=1
h2
k = 1, κ = 1
⇒
Für die Wellenfunktionen folgt:
π
−i
 π
⋅ e cos −  = 2 A ⋅ e 4 ⋅ e − x
 4
−x
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Fall B:
Wir lassen nun den Koeffizienten A weg, indem wir ihn 1 setzen. Für den Bereich links und rechts der
Potentialbarriere gilt somit:
ψL =
e ikx + R ⋅ e −ikx
mit
(E > V0 )
mit
T ⋅e −κx ( E < V0 )
mit
ψ R = T ⋅e iqx
2mE
h2
2m(E − V0 )
q2 =
h2
2m(V0 − E )
κ2 =
h2
k2 =
Aus der Anschlussbedingung am Punkt x = 0 folgt für den Reflexionskoeffizienten bzw.
Transmissionskoeffizienten:
E > V0 :
1+ R = T
E < V0 :
ik (1 − R ) = iqT
1+ R = T
ik (1 − R ) = −κT
ik (1 − R ) = iq (1 + R )
R=
k −q
k+q
T=
ik (1 − R ) = −κ (1 + R )
2k
k +q
R=
k − iκ
k + iκ
Wir erinnern uns wieder an die Wahrscheinlichkeitsstromdichte j: j =
j0 =
(
T=
2k
k + iκ
(
h
⋅ ψ ⋅ψ '−ψ '⋅ψ
2mi
)
)
h
hk
⋅ e −ikx ⋅ ik ⋅ e ikx + ik ⋅ e −ikx ⋅ e ikx =
2mi
m
Für den Fall E > V0 gilt:
(
)
j Re =
h
hk 2 hk
2
⋅ R ⋅ e ikx ⋅ (− ik ) ⋅ R ⋅ e −ikx − ik ⋅ R ⋅ e ikx ⋅ R ⋅ e −ikx = −
⋅R =
⋅R
2mi
m
m
jTr =
h
hq
⋅ T ⋅ e −iqx ⋅ (iq ) ⋅ T ⋅ e iqx + ik ⋅ T ⋅ e −iqx ⋅ T ⋅ e iqx =
⋅T
2mi
m
(
)
2
Für den Fall E < V0 gilt:
(
)
j Re =
h
hk
hk
2
R ⋅ R* =
⋅ R * ⋅ e ikx ⋅ (− ik ) ⋅ R ⋅ e −ikx − ik ⋅ R * ⋅ e ikx ⋅ R ⋅ e −ikx = −
⋅R
m
m
2mi
jTr =
h
⋅ T * ⋅ e −κx ⋅ (− κ ) ⋅ T ⋅ e −κx + κ ⋅ T * ⋅ e −κx ⋅ T ⋅ e −κx = 0
2mi
(
)
Wie man leicht nachprüft, muss der Wahrscheinlichkeitsstrom erhalten bleiben, d.h. jTr + j Re = j 0 !
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Für E < V0 gilt:
j Re + jTr =
hk k − i κ k + i κ
hk
⋅
⋅
+0=
m k + iκ k − iκ
m
Für E > V0 gilt
j Re + jTr =
hk k − q k − q hq 2k
h k ⋅ (k 2 − 2qk + q 2 +4qk ) hk
2k
+
⋅
⋅
= ⋅
=
⋅
⋅
m k +q k +q m k +q k +q m
m
k 2 + 2kq + q 2
4.4) Das Deltapotential:
Das Deltapotential ist der Grenzfall eines entweder sehr schmalen und unendlich tiefen bzw.
unendlich hohen Potentials. Formal hat das Potential die Form:
V ( x ) = V0 ⋅ δ ( x − x 0 ) = V0 ⋅ δ ( x )
für
x=0
Die stationäre Schrödingergleichung hat somit die Form:
h2 d
−
⋅ ψ ' ( x ) = [E − V0 ⋅ δ ( x )]ψ ( x )
2m dx
Indem wir diese Gleichung über einen kleinen Bereich von – bis + integrieren und dann
gehen lassen, folgt für den linken und rechten Anteil:
ψ R ' (0) − ψ L ' (0) =
gegen 0
2m
⋅ V0 ⋅ψ (0)
h2
Dies heißt, dass die Ableitung einen Sprung aufweist. Es gilt nicht mehr, wie sonst üblich, dass die
Wellenfunktion und die Ableitung der Wellenfunktion stetig sein muss, sondern nur, dass die
Wellenfunktion stetig sein muss und die Ableitung der Wellenfunktion einen Sprung aufweist. Für die
Übergangsbedingungen folgt schließlich (Details siehe: Fließbach, Kapitel 19)
ψ L (0) = ψ R (0)
ψ L ' (0 ) = ψ R ' (0 ) + V0 ⋅ψ (0 )
4.5) Der Harmonische Oszillator:
Die stationäre Schrödingergleichung hat dabei mit der Randbedingung, dass die Wellenfunktion im
Unendlichen verschwinden muss, die Form:
 h 2 d 2 mω 2 2 
x ψ ( x ) = Eψ ( x )
⋅ 2 +
−
2

 2m dx
Mithilfe der Substitution z =
mit
ψ (± ∞ ) = 0
mω
x lässt sich diese Differentialgleichung schreiben als:
h

 hω d 2 hω 2
⋅ 2 +
z − E ψ ( z ) = 0
−
2

 2 dz
⇒
 d 2  2E

− z 2  ψ ( z ) = 0
 2 +
 hω

 dz
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50
In diese Differentialgleichung gehen wir mit einem Lösungsansatz, nämlich:
ψ ( z ) = v( z ) ⋅ e
−
z2
2
ψ ' ( z ) = [v ' ( z ) − z ⋅ v( z )] ⋅ e
−
z2
2
ψ ' ' ( z ) = [v ' ' ( z ) − z ⋅ v ' ( z ) − ⋅v( z ) − z ⋅ v' ( z ) + z ⋅ v( z )]⋅ e
2
−
z2
2
[
(
)
]
= v ' ' ( z ) − 2 z ⋅ v ' ( z ) + z − 1 ⋅ v( z ) ⋅ e
2
−
z2
2
Indem wir diesen Lösungsansatz in die Differentialgleichung einsetzen erhalten wir eine neue
Differentialgleichung für v( z ) :
 2E 
v' ' ( z ) − 2 z ⋅ v' ( z ) + 
− 1 ⋅ v( z ) = 0
 hω 
mit
ε=
E
hω
Mithilfe eines Polynomansatzes und eines darauf folgenden Koeffizientenvergleich folgen als
Eigenvektoren die Hermite-Polynome mit den dazugehörigen Eigenwerten:
∞
v( z ) = ∑ an ⋅ z n
n =0
∞
v' ( z ) = ∑ an ⋅ n ⋅ z n−1
n =1
∞
v' ' ( z ) = ∑ an ⋅ n ⋅ (n − 1) ⋅ z n−2
n =2
∞
∞
∑a
n= 2
n
∞
∑a
m =0
∞
⋅ n ⋅ (n − 1) ⋅ z n− 2 − 2 z ⋅∑ a n ⋅ n ⋅ z n−1 + (2ε − 1) ⋅ ∑ a n ⋅ z n = 0
m+2
n =1
n =0
∞
∞
m =1
m =0
⋅ (m + 2) ⋅ (m + 1) ⋅ z m − ∑ 2a m ⋅ m ⋅ z m + ∑ (2ε − 1) ⋅ a m ⋅ z m = 0
Daraus folgt nun folgende rekursive Relation zwischen den Koeffizienten und die allgemeine Lösung
der Differentialgleichung:
am+2 = am ⋅
(1 − 2ε + 2m)
(m + 1) ⋅ (m + 2)
3 − 2ε 3 3 − 2ε 7 − 2ε 5



 1 − 2ε 2 1 − 2ε 5 − 2ε 4
⋅z +
⋅
⋅ z + ...
⋅z +
⋅
⋅ z + ... + a1 ⋅  z +
v( z ) = a0 ⋅ 1 +
6
6
20
2
2
12




Wir erhalten nur dann eine endliche Summe, falls gilt: 2ε − 1 = 2m . Somit ergibt sich hieraus die
Bedingung für die Energieeigenwerte und als Eigenvektoren die (normierten) Hermite-Polynome.
2ε − 1 = 2m
2E
− 1 = 2m
hω
⇒
H0 =1
H1 = 2z
(
H 2 = −2 ⋅ 1 − 2 z 2
(
)
H 3 = −12 ⋅ z − 2 z 3
3
)
und
1

E m = hω ⋅  m + 
2

Quantenmechanik I
SS 2004 – Lösungen der Schrödingergleichung
Die Wellenfunktion hat somit die Form: ψ n ( z ) = c n ⋅ H n ( z ) ⋅ e
−
51
z2
2
mit
n = 0,1,2...
Die Normierungsbedingung liefert schließlich den noch unbestimmten Koeffizienten:
∞
ψ n ( z ) = ∫ dz ⋅ c n2 ⋅ H n2 ( z ) ⋅ e − z =1
2
2
!
cn =
⇒
−∞
1
π ⋅ 2 n ⋅ n!
4.6) Mehrere Dimensionen:
Wir erinnern uns kurz daran, wann man eine Faktorisierung in partiellen Differentialgleichungen
durchführen kann und man den Zustand als Produktzustand schreiben kann:
Seien dazu n generalisierte Koordinaten x1, x2, …, xn geben und der Hamiltonoperator lässt sich
schreiben als Summe von Hamiltonoperatoren, derart, dass gilt:
H ( x1 ,...., xn ) = H1 (x1 ,..., x p ) + H 2 (x p +1 ,..., xn )
Hierbei soll dann gelten, dass:
H 1 (x1 ,..., x p )φ n (x1 ,..., x p ) = E nφ n (x1 ,..., x p )
H 2 (x p +1 ,..., x n )ψ m (x p +1 ,..., x n ) = E mψ m (x p +1 ,..., x n )
Wenn dies erfüllt ist, kann man einen Produktansatz wählen und es folgt damit:
(H 1 + H 2 )φnψ m = (H 1φn )ψ m + φn (H 2ψ m ) = E1φnψ m + E2φnψ m = (E1 + E2 )φnψ m
Allgemeiner gilt, falls H i φ (i ) = E iφ (i ) auf unterschiedliche Koordinatenteilräume wirkt, dass:




 ∑ H i ∏ φ (i ) =  ∑ Ei ∏ φ (i )
 i
 i
 i
 i
Beispiele:
•
Dreidimensionaler Oszillator mit H i =
mω 2 X i2
Pi 2 mω 2 X i2 − h 2 ∂ 2
!
+
=
⋅
+
2m
2
2m ∂X i2
2
Da sich der Hamiltonoperator H als Summe dreier disjunkter Operatoren H 1 + H 2 + H 3
schreiben lässt, ergibt sich die allgemeine Lösung mit:
ψ nml ( x, y, z ) = ψ l (x ) ⋅ψ m ( y ) ⋅ψ n ( z ) = H l ( x ) ⋅ H m ( y ) ⋅ H n ( z ) ⋅ e
−
x2 + y 2 + z2
2
3

Elmn = hω ⋅  l x + m y + n z + 
2

•
2 unabhängige Teilchen in einem Potential
•
Ohne Spin-Bahn-Kopplung gerechnet: H = H 1 (Raum ) + H 2 (Spin )
Quantenmechanik I
SS 2004 – Lösungen der Schrödingergleichung
52
4.7) WKB-Methode (Wentzel-Kramers-Brillouin-Näherungsverfahren)
Dies ist eine eindimensionale Näherungslösung zur stationären Schrödingergleichung und findet
Anwendung, wenn die Potentialänderung sehr gering ist. Die stationäre Schrödingergleichung lautet:

 h2 ∂2

⋅ 2 + [E − V ( x )]ψ (x ) = 0

 2m ∂x
Wir lösen nun diese Schrödingergleichung mittels Ansatz, indem wir ψ ( x ) ≡ e
ψ (x ) = e
i
S(x)
h
definieren:
i
S (x)
h
i
 S (x)
i
ψ ' ( x ) =  ⋅ S ' ( x ) e h

h
i
h
ψ ' ' (x ) =  ⋅ S ' ' (x ) −
i
S (x)
1
2
⋅ [S ' ( x )] e h
2
h

Indem wir diesen Ansatz in die Schrödingergleichung einsetzen, erhalten wir folgende Gleichung:
1
h2  i
2
⋅  ⋅ S ' ' (x ) − 2 ⋅ [S ' (x )]  + [E − V ( x )] = 0 ⇒
2m  h
h

[S ' (x )]2 = 2m ⋅ [E − V (x )] + ih ⋅ S ' ' (x )
ħ
0,
An dieser Stelle führen wir eine semiklassische Näherung durch, d.h. wir behaupten zwar, dass
aber andererseits nehmen wir an, dass sehr wohl klein ist und führen eine Taylorentwicklung in
Ordnungen durch:
≠
ħ
ħ
S 0 ' ( x ) = ± 2m ⋅ [E − V ( x )] + ih ⋅ S 0 ' ' ( x ) = ± 2m ⋅ [E − V ( x )] +
ih ⋅ S 0 ' ' ( x )
2 ⋅ 2m ⋅ [E − V ( x )]
= ± S '1 ( x ) + O (h )
Durch gewöhnliche Integration erhalte1n wir somit einen Ausdruck für S1 ' ( x ) :
S 0 ( x ) = ± ∫ dx ⋅ S1 ' ( x ) = ± ∫ dx 2m ⋅ [E − V ( x )] = ± ∫ dx ⋅ p ( x )
Für den Fall, dass p(x) = const, so folgt sofort als Lösung für die stationäre Schrödingergleichung
einer ebene Welle, anderenfalls steht im Exponenten der Wellenfunktion ein Integral über p(x):
S 0 ( x ) = ± px
für
S 0 ( x ) = ± ∫ dx ⋅ p ( x )
p( x ) = p0
⇒
p( x ) = p( x )
⇒

 i
px 
 h 
i

 i
ψ ( x ) = exp ± ∫ dx ⋅ p( x ) + O (h )
h

 h
ψ ( x ) = exp ±
Wir führen nun des Weiteren eine systematische Entwicklung durch, indem wir nicht bei O(h )
schon abbrechen, sondern erst bei quadratischen Ordnungen von . Dies liefert:
ħ
S 0 ' ( x ) = ± S 1 ' (x ) +
ih ⋅ S 0 ' ' ( x )
+ O h 2 = ± S1 ' ( x ) + h ⋅ S 2 ' ( x ) + O h 2
(
)
2 ⋅ S0 ' x
( )
( )
Durch Vergleich erhalten wir somit zunächst eine Gleichung folgender Form:
iS 0 ' ' ( x ) = 2S 0 ' ( x ) ⋅ S 2 ' ( x )
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53
Umformung und Integration liefert demnach sofort:
S 0 ' ' (x )
= −2iS 2 ' ( x )
S 0 ' (x )
⇒
ln S 0 ' ( x ) = −2iS 2 ( x ) + c
S 2 (x ) = −
⇒
1
⋅ ln S 0 ' ( x ) + c
2i
( )
Da die allgemeine Lösung die Form S 0 ( x ) = ± S1 ( x ) + h ⋅ S 2 ( x ) + O h 2 hat, folgt schließlich:
ψ ( x ) = exp ⋅ [± S1 ( x ) − h ⋅ S 2 ( x ) + O (h 2 )] = exp ⋅  ± ∫ dx ⋅ p ( x ) − ⋅ ln p ( x ) + O (h 2 )  =
h 
i


h

i
i 
h




 i
⋅ exp ± ∫ dx ⋅ p ( x )
p( x )

 h
c±
Es stellt sich, da es sich um ein Näherungsverfahren handelt, die Frage nach dem Gültigkeitsbereich dieser WKB-Näherung. Hierbei muss natürlich gelten:
ih ⋅ S 0 ' ' ( x ) << 2m[E − V ( x )] = p( x )
2
Indem wir die zuvor gewonnenen Ausdrücke dafür einsetzen, erhalten wir:
ih ⋅
d
d2
− mV ' ( x )
− 2mV ' ( x )
2
2m[E − V ( x )] = ih ⋅
dx ⋅ p( x ) = ih ⋅
<< p ( x )
= ih ⋅
2 ∫
dx
dx
2 2m[E − V ( x )]
2m[E − V ( x )]
Somit folgt schlussendlich, damit die Gültigkeit der Näherung sichergestellt ist:
m ⋅ h ⋅ V ' ( x ) << p( x )
3
Dieses Verfahren ist somit:
•
Exakt:
V ' (x ) = 0
•
Gut:
langsam variierendem Potential
•
Schlecht:
Probleme treten bei kleinen Impulsen auf (z.B. am klassischen Umkehrpunkt des
harmonischen Oszillators dort nähert man das Potential linear und führt eine
analytische Rechnung durch)
⇒
V ( x ) = const