1 Seite 1 Kapitel 5 Stetigkeit Kapitel 5 Stetigkeit Inhalt Inhalt

Kapitel
Kapitel55
Stetigkeit
Stetigkeit
Inhalt
Inhalt
5.1
5.1 Funktionen
Funktionen
5.2
5.2 Stetigkeit:
Stetigkeit:Die
DieDefinition
Definition
5.3
5.3 Stetigkeit:
Stetigkeit:Die
DieEigenschaften
Eigenschaften
5.4
5.4Die
DieExponentialfunktion
Exponentialfunktion
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Seite 2
Kapitel 5: Stetigkeit
Seite 1
1
5.1
5.1Funktionen
Funktionen
Definition.
Definition.Seien
Seien aa und
und bb reelle
reelleZahlen
Zahlenmit
mit aa<<b.
b.Wir
Wirnennen
nennendie
die
Menge
aller
reellen
Zahlen
x
mit
a
≤
x
≤
b
das
abgeschlossene
Menge aller reellen Zahlen x mit a ≤ x ≤ b das abgeschlossene
Intervall
Intervallmit
mitden
denEndpunkten
Endpunkten aa und
und bb und
undbezeichnen
bezeichnendieses
diesesmit
mit
[a,
b].
Formal
ausgedrückt:
[a, b]. Formal ausgedrückt:
[a,
[a,b]
b]=={x
{x ∈∈RR| | aa≤≤xx ≤≤b}.
b}.
Das
Dasoffene
offeneIntervall
Intervallmit
mitden
denEndpunkten
Endpunkten aa und
und bb ist
istdie
dieMenge
Menge
(a,
(a,b)
b):=
:={x
{x ∈∈RR| | aa<<xx<<b}.
b}.
Entsprechend
Entsprechenddefiniert
definiertman
mandie
die halboffenen
halboffenenIntervalle
Intervalle (a,
(a,b]
b] und
und
[a,
[a,b).
b).
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Seite 3
Kapitel 5: Stetigkeit
Unendlich
Unendlichgroße
großeIntervalle
Intervalle
Ferner
Fernerdefiniert
definiertman:
man:
[a,
[a,∞)
∞):=
:={x
{x∈∈RR| |aa≤≤x},
x},
(a,
∞)
:=
{x
∈
R
|
a
<
x},
(a, ∞) := {x ∈ R | a < x},
(–∞,
(–∞,b]
b]:=
:={x
{x∈∈RR| |xx ≤≤b},
b},
(–∞,
b)
:=
{x
∈
R
|
x
<
b}.
(–∞, b) := {x ∈ R | x < b}.
Schließlich
Schließlichbezeichnet
bezeichnetman
manauch
auch RR (=
(=(–∞,
(–∞,∞)
∞)))als
alsIntervall.
Intervall.
Beispiele.
Beispiele. Abgesehen
Abgesehenvon
von RR wird
wird [0,
[0,1]
1] das
dasIntervall
Intervallsein,
sein,das
daswir
wir
am
häufigsten
betrachten.
am häufigsten betrachten.
(0,
(0,∞)
∞) sind
sinddie
diepositiven
positivenreellen
reellenZahlen
Zahlenund
und [0,
[0,∞)
∞) sind
sinddie
die
nichtnegativen
nichtnegativen reellen
reellen Zahlen.
Zahlen.
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Kapitel 5: Stetigkeit
Seite 2
2
Funktionen
Funktionen
Definition.
Definition.Eine
EineFunktion
Funktionist
isteine
eineAbbildung
Abbildungvon
voneinem
einemIntervall
Intervall
nach
R
(Bildbereich
ist
R).
Meist
werden
wir
sogar
nur
Funktionen
nach R (Bildbereich ist R). Meist werden wir sogar nur Funktionen
von
von RR nach
nach RR betrachten.
betrachten.Wenn
Wenn ff eine
eineFunktion
Funktionist,
ist,schreiben
schreibenwir
wir
f(x)
für
das
Bild
der
Zahl
x.
f(x) für das Bild der Zahl x.
Der
DerGraph
Grapheiner
einerFunktion
Funktion ff ist
istdie
dieMenge
Mengealler
allerPunkte
Punkte (x,
(x,f(x))
f(x)) mit
mit
xx ∈∈R.
R.
2
3
Beispiele.
Beispiele. f(x)
f(x)==a,
a,f(x)
f(x)==x,x,f(x)
f(x)==xx,2,f(x)
f(x)==1/x
1/x,3,f(x)
f(x)==x.
x.
Bemerkung:
Bemerkung: Jede
Jedesenkrechte
senkrechteGerade
Geradeschneidet
schneidetden
denGraph
Grapheiner
einer
Funktion
in
höchstens
einem
Punkt.
Jede
senkrechte
Gerade
Funktion in höchstens einem Punkt. Jede senkrechte Geradedurch
durch
einen
einenPunkt
Punktdes
desDefinitionsbereichs
Definitionsbereichsschneidet
schneidetden
denGraph
Graphgenau
genau
einmal.
einmal.
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Seite 5
Kapitel 5: Stetigkeit
Wie
Wiekann
kanneine
eineFunktion
Funktiongegeben
gegebensein?
sein?
Möglichkeit
Möglichkeit1:
1: Durch
Durcheine
eine Formel.
Formel.
2
Beispiele:
Beispiele: f(x)
f(x)==xx2..
n
n–1
2
Allgemein
Allgemein f(x)
f(x)==aanxx n++ aan–1xx n–1++...
...++aa2xx 2++aa1xx++aa0;;dies
diesnennt
nenntman
man
n
n–1
2
1
0
ein
einPolynom
Polynom(n-ten
(n-tenGrades).
Grades).
4
2
2
f(x)
f(x)==(x
(x 4+7x
+7x 2+20x+8)/(x
+20x+8)/(x 2+1)
+1)..
Achtung!
Achtung!Bei
Beigebrochen
gebrochenrationalen
rationalenFunktionen
Funktionenmuss
mussder
derNenner
Nenner
immer
immerverschieden
verschiedenvon
vonNull
Nullsein!
sein!
Das
äufigste
Das ist
ist die
die hh
äufigste Art,
Art, die
die uns
uns begegnen
begegnen wird,
wird, aber
aber damit
damit kann
kann
man
mannur
nureinen
einenkleinen
kleinenProzentsatz
Prozentsatzaller
allerFunktionen
Funktionenbeschreiben!
beschreiben!
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Kapitel 5: Stetigkeit
Seite 3
3
Wier
Wierkann
kanneine
eineFunktion
Funktiongegeben
gegebensein?
sein?IIII
Möglichkeit
Möglichkeit1‘:
1‘:Durch
Durchmehrere
mehrereFormeln
Formeln
Beispiele:
Beispiele:
2
f(x)
f(x)==xx2––3x
3x++7,
7,falls
falls xx<<0,
0,
f(x)
=
10.000,
falls
x
=
0,
f(x) = 10.000, falls x = 0,
17
f(x)
f(x)==xx17++200,
200,falls
falls xx>>0.
0.
oder:
oder:
f(x)
f(x)==1,
1,falls
falls xx rational
rational
f(x)
=
0,
falls
x
irrational.
f(x) = 0, falls x irrational.
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Kapitel 5: Stetigkeit
Wie
Wiekann
kanneine
eineFunktion
Funktiongegeben
gegebensein?
sein?III
III
Möglichkeit
Möglichkeit2:
2: Durch
Durcheine
eine Wertetabelle.
Wertetabelle.
Das
Dassind
sindendlich
endlichviele
vieleWerte
Werte (x,
(x,f(x)).
f(x)).
Man
Mankann
kanndamit
damitnur
nurdie
dieFunktionen
Funktionenbeschreiben,
beschreiben,die
diedurch
durcheine
eine
Wertetabelle
eindeutig
festgelegt
sind
(z.B.
Polynome).
Wertetabelle eindeutig festgelegt sind (z.B. Polynome).
Möglichkeit
Möglichkeit3:
3: Durch
Durchein
ein Orakel.
Orakel.
Sie
Siefragen
fragen x,x,das
dasOrakel
Orakelantwortet
antwortetmit
mit f(x).
f(x).
Gegenüber
einer
Wertetabelle
hat
dies
den
Gegenüber einer Wertetabelle hat dies denVorteil,
Vorteil,dass
dassSie
Siedie
die xx
vorgeben
vorgebenkönnen,
können,und
unddass
dassSie
Sieso
soviele
viele f(x)
f(x) erfragen
erfragenkönnen,
können,wie
wie
Sie
Siewollen.
wollen.
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Kapitel 5: Stetigkeit
Seite 4
4
4.2
4.2Stetigkeit:
Stetigkeit:Die
DieDefinition
Definition
Stetig
Stetigbedeutet
bedeutetunterbrechungslos
unterbrechungslos(englisch:
(englisch:continuous).
continuous).
Unterbrechungslose
Vorgänge
sind
das
Normale.
Unterbrechungslose Vorgänge sind das Normale.(Das
(Daslateinische
lateinische
Sprichwort
Sprichwortdazu
dazuheißt:
heißt:Natura
Naturanon
non facit
facitsaltus,
saltus,die
dieNatur
Naturmacht
machtkeine
keine
Sprünge).
Sprünge).
Uns
Unsprägen
prägensich
sichaber
aberhauptsächlich
hauptsächlichEreignisse
Ereignisseein,
ein,die
diedurch
durcheine
eine
Unstetigkeit
gekennzeichnet
sind.
Besonders
eindrücklich
sind
Unstetigkeit gekennzeichnet sind. Besonders eindrücklich sind
Ereignisse,
Ereignisse,nach
nachdenen
denenes
esganz
ganzanders
andersist
istals
alszuvor.
zuvor.(„Es
(„Eswird
wirdnie
nie
mehr
so
sein
wie
vorher.
“)
mehr so sein wie vorher. “)
Beispiele:
Beispiele: Durchbrechen
Durchbrechen eines
eines Stockes,
Stockes, Zerbrechen
Zerbrechen einer
einer Vase,
Vase,
Eintritt
in
die
Schule,
Geburt
eines
Kindes,
Fall
der
Berliner
Mauer,
Eintritt in die Schule, Geburt eines Kindes, Fall der Berliner Mauer,
Tod,
Tod,...
...
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Kapitel 5: Stetigkeit
Beschreibungen
Beschreibungenvon
vonStetigkeit
Stetigkeit
Sei
Sei ff eine
eineFunktion.
Funktion.Wir
Wirwerden
werdenund
undder
derDefinition
Definitionder
derStetigkeit
Stetigkeit
schrittweise
schrittweisenähern.
nähern.
1.
1.Beschreibung:
Beschreibung: Eine
EineFunktion
Funktionist
iststetig,
stetig,wenn
wennman
mansie
sieohne
ohne
abzusetzen
abzusetzenzeichnen
zeichnenkann.
kann.
2.
2.Beschreibung:
Beschreibung: Eine
EineFunktion
Funktionist
iststetig,
stetig,wenn
wennsie
siekeine
keineSprünge
Sprünge
macht.
macht.
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Kapitel 5: Stetigkeit
Seite 5
5
Motivation
Motivationder
derDefinition
Definition
3.
3.Beschreibung:
Beschreibung: Wir
Wirdefinieren
definieren(zunächst)
(zunächst)nur,
nur,was
wases
esheißt,
heißt,dass
dass
eine
Funktion
f
„in
einem
Punkt“
stetig
ist.
Sei
also
x
eine
reelle
eine Funktion f „in einem Punkt“ stetig ist. Sei also x0 eine reelle
0
Zahl
Zahlaus
ausdem
demDefinitionsbereich
Definitionsbereichvon
von f.f.
Wir
Wir lassen
lassen xx
Funktionswerte
Funktionswerte
gegen
gegen x0x0 laufen
laufen und
und betrachten
betrachten die
die zugehörigen
zugehörigen
f(x).
f(x).
Dazu
Dazu betrachten
betrachten wir
wir eine
eine beliebige
beliebige Folge
Folge (x(xnn)) reeller
reeller Zahlen,
Zahlen, die
die
gegen
x
konvergiert.
(Es
gibt
viele
solche
Folgen!)
gegen x0 konvergiert. (Es gibt viele solche Folgen!)
0
Dazu
Dazu betrachten
betrachten wir
wir jetzt
jetzt die
die zugehörigen
zugehörigen Funktionswerte
Funktionswerte f(x
f(xnn),),also
also
f(x
),
f(x
),
f(x
),
...
Das
ist
auch
eine
Folge
reeller
Zahlen.
Wenn
f(x1 ), f(x2 ), f(x3 ), ... Das ist auch eine Folge reeller Zahlen. Wenn
1
2
3
diese
diesegegen
gegenf(x
f(x00))konvergiert,
konvergiert,dann
dannist
ist ff stetig
stetiginin xx00..
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Kapitel 5: Stetigkeit
Die
DieDefinition
Definition
Definition.
Definition.Sei
Sei ff eine
eineFunktion,
Funktion,und
undsei
sei xx00 ein
einElement
Elementdes
des
Definitionsbereichs.
Wir
sagen,
dass
die
Funktion
f
stetig
Definitionsbereichs. Wir sagen, dass die Funktion f stetigim
im
Punkt
Punkt xx00 ist,
ist,wenn
wenndie
diebeiden
beidenfolgenden
folgendenBedingungen
Bedingungenerfüllt
erfülltsind:
sind:
(a)
(a)Für
Fürjede
jedeFolge
Folge (x(xnn),),die
diegegen
gegen xx00 konvergiert
konvergiert(wobei
(wobeidie
die xxnn aus
aus
dem
Definitionsbereich
von
f
sein
sollen)
konvergiert
auch
die
dem Definitionsbereich von f sein sollen) konvergiert auch die
Folge
Folge (f(x
(f(xnn)).
)).
(b)
(b)Alle
AlleGrenzwerte
Grenzwerteder
derFolgen
Folgen (f(x
(f(xnn)),
)),die
dieinin(a)
(a)auftreten
auftretensind
sindgleich
gleich
f(x
f(x0).).
0
Die
DieFunktion
Funktion ff heißt
heißtstetig,
stetig,wenn
wennsie
sieininjedem
jedemPunkt
Punktihres
ihres
Definitionsbereichs
Definitionsbereichsstetig
stetigist.
ist.
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Kapitel 5: Stetigkeit
Seite 6
6
Was
Washeißt
heißt„nicht
„nichtstetig“?
stetig“?
Um
Umnachzuweisen,
nachzuweisen,dass
dass ff nicht
nichtstetig
stetigim
imPunkt
Punkt xx00 ist,
ist,hat
hatman
manzwei
zwei
Möglichkeiten:
Möglichkeiten:
Die
DieFunktion
Funktion ff ist
istnicht
nichtstetig
stetigim
imPunkt
Punkt xx0,0,wenn
wennmindestens
mindestenseine
eine
der
beiden
folgenden
Bedingungen
gilt:
der beiden folgenden Bedingungen gilt:
(a)
(a)es
esgibt
gibtmindestens
mindestenseine
eineFolge
Folge (x(xnn),),die
diegegen
gegen xx00 konvergiert
konvergiert
(wobei
die
x
aus
dem
Definitionsbereich
von
f
sein
sollen),
(wobei die xn aus dem Definitionsbereich von f sein sollen),für
fürdie
die
n
die
dieFolge
Folge (f(x
(f(xnn)))) der
derFunktionswerte
Funktionswertenicht
nichtkonvergiert.
konvergiert.
(b)
(b)Es
Esgibt
gibteine
eineFolge
Folge (x(xnn),),die
diegegen
gegen xx00 konvergiert,
konvergiert,so
sodass
dassdie
die
zugehörige
Folge
(f(x
))
zwar
konvergiert
aber
einen
Grenzwert
zugehörige Folge (f(xn )) zwar konvergiert aber einen Grenzwert
n
verschieden
verschiedenvon
von f(x
f(x00)) hat.
hat.
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Kapitel 5: Stetigkeit
Beispiele
Beispielestetiger
stetigerFunktionen
Funktionen
(a)
(a)Konstante
KonstanteFunktion
Funktion f(x)
f(x)==a.
a.
(b)
(b)f(x)
f(x)==x.x.
2
(c)
(c)f(x)
f(x)==xx2 ist
iststetig
stetigim
imPunkt
Punkt xx00==0.
0.
Denn:
Denn:Sei
Sei (x(xnn)) eine
eineFolge
Folgemit
mitGrenzwert
Grenzwert 0.
0.Dann
Danngibt
gibtes
esfür
füralle
alle
εε>>00 eine
Nummer
N,
so
dass
x

=
x
–0
<
ε
ist
für
alle
eine Nummer N, so dass xn  = xn –0 < ε ist für alle nn ≥≥ N.
N.
n
n
Dann
Danngilt
giltauch
auch
2
2
2
f(x
f(xnn))––f(x
f(x00)
)== x
xnn2–0
–0== xxnn2<< εε2<<εε
für
für alle
alle nn ≥≥ N.
N. Also
Also konvergiert
konvergiert auch
auch die
die Folge
Folge der
der Funktionswerte
Funktionswerte
gegen
den
Grenzwert
0
=
f(x
).
Somit
ist
f
stetig
im
Punkt
gegen den Grenzwert 0 = f(x0 ). Somit ist f stetig im Punkt xx0 ==0.
0.
0
0
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Kapitel 5: Stetigkeit
Seite 7
7
Beispiele
Beispiele
(d)
(d)Die
DieFunktion,
Funktion,die
diedefiniert
definiertist
istdurch
durch
f(x)
=
0
für
x
<
0
und
f(x) = 0 für x < 0 und
f(x)
f(x)==11 für
für xx≥≥00
ist
istnicht
nichtstetig
stetigim
imPunkt
Punkt xx0 ==0.
0.
0
(d)
(d)Die
Die Funktion
Funktion f,f,die
diedefiniert
definiertist
istdurch
durchf(x)
f(x)==x,
x,ist
istauch
auchim
imPunkt
Punkt
xx0 ==00 stetig.
stetig.
0
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Seite 15
Kapitel 5: Stetigkeit
5.3
5.3Stetigkeit:
Stetigkeit:Die
DieEigenschaften
Eigenschaften
Ziel:
Ziel:Aus
Aus einer
eineroder
oderzwei
zweistetigen
stetigenFunktionen
Funktionenentsteht
entstehteine
eineneue
neue
stetige
Funktion.
stetige Funktion.
Definition.
Definition.Die
DieSumme
Summe zweier
zweierFunktionen
Funktionen ff und
und gg ist
istdefiniert
definiertals.
als.
(f+g)(x)
(f+g)(x):=
:=f(x)
f(x)++g(x)
g(x) für
füralle
alle x.
x.
3
Beispiel:
Beispiel: Wenn
Wenn ff und
und gg definiert
definiert sind
sind durch
durch f(x)
f(x) == xx3 und
und g(x)
g(x) ==
2
3
2
xx 2++2,
2,so
soist
ist f+g
f+g die
dieFunktion,
Funktion,die
diejedes
jedes xx auf
auf xx3+x
+x 2+2
+2 abbildet.
abbildet.
5.3.1
5.3.1Satz.
Satz.Seien
Seien ff und
und gg Funktionen.
Funktionen.Wenn
Wenn ff und
und gg stetig
stetigsind,
sind,
dann
dannist
istauch
auch f+g
f+g eine
einestetige
stetigeFunktion.
Funktion.
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Kapitel 5: Stetigkeit
Seite 8
8
Beweis
Beweis
Beweis.
Beweis. Wir
Wirmüssen
müssenzeigen,
zeigen,dass
dass f+g
f+g ininjedem
jedembeliebigen
beliebigenPunkt
Punkt xx00
stetig
ist.
stetig ist.
Dazu
Dazubetrachten
betrachtenwir
wireine
einebeliebige
beliebigeFolge
Folge (x(xnn),),die
diegegen
gegen xx00
konvergiert.
konvergiert.Wir
Wirmüssen
müssenzeigen,
zeigen,dass
dassdie
dieFolge
Folgemit
mitden
den
Folgengliedern
Folgengliedern (f+g)(x
(f+g)(xnn)) gegen
gegen (f+g)(x
(f+g)(x00)) konvergiert.
konvergiert.
Dazu
Dazusei
sei εε>>00 beliebig.
beliebig.
Trick:
Trick:Setze
Setze ε*ε*:=
:= ε/2.
ε/2.
Da
Da ff stetig
stetiginin xx00 ist,
ist,gibt
gibtes
eseine
eineNummer
Nummer N,
N,so
sodass
dass
f(x
)–f(x
)
<
ε*
ist
für
alle
n
≥
N.
f(x0 )–f(xn ) < ε* ist für alle n ≥ N.
0
n
Da
Da gg stetig
stetiginin xx00 ist,
ist,gibt
gibtes
eseine
eineNummer
Nummer M,
M,so
sodass
dass
g(x
)–g(x
)
<
ε*
ist
für
alle
n
≥
M.
g(x0 )–g(xn ) < ε* ist für alle n ≥ M.
0
n
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Kapitel 5: Stetigkeit
Beweisabschluss
Beweisabschluss
Sei
Sei NN die
diegrößere
größereder
derbeiden
beidenzahlen
zahlen NN und
und M.
M.
Dann
gilt
für
alle
n
≥
N:
Dann gilt für alle n ≥ N:
f(x
f(x00)–f(x
)–f(xnn)
)<< ε*ε* und
und g(x
g(x00)–g(x
)–g(xnn)
)<< ε*ε* für
füralle
alle nn ≥≥N.
N.
Daraus
Darausfolgt
folgt
(f+g)(x
(f+g)(x00)–(f+g)(x
)–(f+g)(xnn)
)== f(x
f(x00)+g(x
)+g(x00))––f(x
f(xnn)–g(x
)–g(xnn)
)==
f(x
f(x0)–f(x
)–f(xn))++g(x
g(x0)–g(x
)–g(xn)
)<< ε*ε*++ε*ε*==ε.ε.
0
n
0
n
Also
Alsokonvergiert
konvergiertdie
dieFolge
Folgeaus
ausden
denGliedern
Gliedern (f+g)(x
(f+g)(xnn)) gegen
gegen
(f+g)(x
).
0
(f+g)(x ).
0
Somit
Somitist
ist f+g
f+g stetig
stetigim
imPunkt
Punkt xx0.0.
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Kapitel 5: Stetigkeit
Seite 9
9
Produkt
Produktmit
miteiner
einerreellen
reellenZahl
Zahl
Definition.
Definition.Sei
Sei ff eine
eine Funktion,
Funktion,und
undsei
sei rr eine
einereelle
reelleZahl.
Zahl.Wir
Wir
definieren
das
Produkt
r⋅f
von
r
mit
f
durch
definieren das Produkt r⋅f von r mit f durch
(r⋅f)(x)
(r⋅f)(x).=
.=r⋅f(x)
r⋅f(x) für
füralle
alle xx
3
Beispiel:
Beispiel:Wenn
Wenn ff definiert
definiertist
istdurch
durch f(x)
f(x)==xx3,,so
soist
ist 7f
7f die
dieFunktion,
Funktion,
33 abbildet.
die
jedes
x
auf
7x
die jedes x auf 7x abbildet.
5.3.2
5.3.2Satz.
Satz.Sei
Sei ff eine
eine Funktion
Funktionund
und rr eine
einereelle
reelleZahl.
Zahl.Wenn
Wenn ff
stetig
ist,
dann
ist
auch
r⋅f
eine
stetige
Funktion.
stetig ist, dann ist auch r⋅f eine stetige Funktion.
Beweis.
Beweis. ÜA
ÜA
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Seite 19
Kapitel 5: Stetigkeit
Produkt
Produktund
undQuotient
Quotientvon
vonFunktionen
Funktionen
Definition.
Definition.Seien
Seien ff und
und gg Funktionen.
Funktionen.Wir
Wirdefinieren
definierendas
dasProdukt
Produkt
f⋅g
und
den
Quotienten
f/g
der
Funktionen
f
und
g
durch
f⋅g und den Quotienten f/g der Funktionen f und g durch
(f⋅g)(x)
(f⋅g)(x).=
.=f(x)⋅g(x)
f(x)⋅g(x) und
und (f/g)(x)
(f/g)(x)==f(x)/g(x)
f(x)/g(x) für
füralle
alle x.x.
Bemerkung:
Bemerkung: Um
Umden
denQuotienten
Quotienten f/g
f/g definieren
definierenzu
zukönnen,
können,muss
muss
g(x)
≠
0
sein
für
alle
x.
g(x) ≠ 0 sein für alle x.
3
Beispiel:
Beispiel:Wenn
Wenn ff und
und gg definiert
definiertsind
sinddurch
durch f(x)
f(x)==xx3 und
und g(x)
g(x)
33(x +2) abbildet.
==x+2,
so
ist
f
g
die
Funktion,
die
jedes
x
auf
x
x+2, so ist °f g die Funktion, die jedes x auf x (x +2) abbildet.
°
5.3.3
5.3.3Satz.
Satz.Seien
Seien ff und
und gg Funktionen.
Funktionen.Wenn
Wenn ff und
und gg stetig
stetigsind,
sind,
dann
sind
auch
f⋅g
und
f/g
eine
stetige
Funktionen.
dann sind auch f⋅g und f/g eine stetige Funktionen.
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Kapitel 5: Stetigkeit
Seite 10
10
Polynome
Polynomesind
sindstetig
stetig
n
5.3.4
x n–1
n–1++...+
5.3.4Folgerung.
Folgerung.Jedes
JedesPolynom
Polynom f(x)
f(x)==aannxx n+a
+an–1
...+aa11xx++aa00
n–1x
ist
isteine
einestetige
stetigeFunktion.
Funktion.
Beweis.
Beweis. Da
Dadie
dieFunktion
Funktion xxa
axx stetig
stetigist,
ist,ist
istauch
auchdas
dasn-fache
n-fache
n
Produkt
Produktdieser
dieserFunktion,
Funktion,also
alsodie
dieFunktion
Funktion xxa
axx n stetig.
stetig.Also
Alsoist
ist
n
auch
auchdie
dieFunktion
Funktion xx a
aaannxx n stetig.
stetig.Da
DaSummen
Summenstetiger
stetigerFunktionen
Funktionen
stetig
stetigsind,
sind,ist
istalso
alsoauch
auchdas
dasPolynom
Polynom ff stetig.
stetig.
Bemerkung.
Bemerkung. Die
DiePolynome
Polynomesind
sindmit
mitdie
diewichtigsten
wichtigstenstetigen
stetigen
Funktionen,
Funktionen,aber
aberes
esgibt
gibtauch
auchandere,
andere,z.B.
z.B.die
dieSinusfunktion,
Sinusfunktion,die
die
Funktion
x
a
x,
die
Exponentialfunktion
usw.
Funktion x a x, die Exponentialfunktion usw.
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Kapitel 5: Stetigkeit
5.4
5.4Die
DieExponentialfunktion
Exponentialfunktion
Definition.
Definition.Für
Fürjedes
jedes xx∈∈RR definieren
definierenwir
wirdie
die Exponentialreihe
Exponentialreihe
n
∞
x
exp(x) = ∑
.
n =0 n!
Beispiel:
Beispiel:exp(0)
exp(0)==1.
1.
5.4.1
5.4.1Satz.
Satz.Für
Fürjedes
jedes xx∈∈RR konvergiert
konvergiertdie
dieExponentialreihe.
Exponentialreihe.
Beweis.
Beweis.Wir
Wirwenden
wendendas
dasQuotientenkriterium
Quotientenkriteriuman.
an.Sei
Sei xx fest.
fest.Wir
Wir
wählen
wählen nn ≥≥2x.
2x.Dann
Danngilt
gilt
x n+1
x
(n + 1)!
1
=
≤ .
xn
n +1 2
n!
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11
Die
DieZahl
Zahl ee
Definition.
Definition.Wir
Wirdefinieren
definieren ee:=
:=exp(1).
exp(1). (Eulersche
(EulerscheZahl)
Zahl)
Es
Esgilt:
gilt:ee==2,718281828459…
2,718281828459…
ee ist
isteine
eineirrationale
irrationale(sogar
(sogareine
einetranszendente)
transzendente)Zahl.
Zahl.
x
Üblicherweise
Üblicherweiseschreibt
schreibtman
manauch
auch exp(x)
exp(x)==eex..Man
Mannennt
nenntdiese
diese
Funktion
die
Exponentialfunktion.
Funktion die Exponentialfunktion.
Bemerkung:
Bemerkung: Die
DieZahl
Zahl ee kann
kannauch
auchals
alsGrenzwert
Grenzwertder
derFolge
Folge
n
(1
+
1/n)
n
aufgefasst
werden.
(1 + 1/n) aufgefasst werden.
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Kapitel 5: Stetigkeit
Eigenschaften
Eigenschaftender
derExponentialfunktion
Exponentialfunktion
5.4.2
5.4.2Satz.
Satz.Für
Füralle
alle xx und
und yy gilt
gilt exp(x
exp(x ++y)
y)==exp(x)⋅exp(y).
exp(x)⋅exp(y).
Man
Mannennt
nenntdies
diesdie
die Funktionalgleichung
Funktionalgleichungder
derExponentialfunktion.
Exponentialfunktion.
–1
5.4.3
5.4.3Folgerung.
Folgerung.(a)
(a)exp(–x)
exp(–x)==(exp(x))
(exp(x))–1..
(b)
(b)exp(x)
exp(x)>>00 für
füralle
alle x.x.
Beweis.
Beweis. (a)
(a)exp(x)exp(–x)
exp(x)exp(–x)==exp(x–x)
exp(x–x)==exp(0)
exp(0)==1.
1.Daraus
Darausfolgt
folgt
exp(x)
≠
0
und
exp(–x)
=
1
/
exp(x).
exp(x) ≠ 0 und exp(–x) = 1 / exp(x).
2
(b)
(b)Für
Für xx≥≥00 ist
ist exp(x)
exp(x)==11++xx++xx2//22++ …
…≥≥1.
1.
Für
Für xx<<00 ist
ist –x
–x>>0,
0,also
also exp(–x)
exp(–x)>>0,
0,also
also
exp(x)
=
1
/
exp(–x)
>
0.
exp(x) = 1 / exp(–x) > 0.
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