PS-SS10 Blatt8

Tutor: Martin Friesen
Sommersemester 2010 Analysis I Prof. PhD. Hemion
Präsenzübungen Analysis I Blatt 8
1. Sei z ∈ C und n ∈ N. Die Gleichung z n = a mit a ∈ C besitzt genau n
komplexe Lösungen. Wir stellen dabei a mithilfe der Polarkoordinaten wie folgt
dar: a = |a|eiη mit η ∈ [0, 2π].
Die Lösungen sind gegeben durch folgende Identität:
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ζk := a n := exp(ln(a n )) = exp( n1 ln(|a|eiη )) = exp( n1 (ln(|a|) + iη + 2πik)) =
1
|a| n exp( ni (η + 2πk))
mit k ∈ {0, 1, ..., n − 1}
Letztere Identität ist also unsere kompakte Formel. Man überlege sich die einzellnen Rechenschritte. Anschliessend gebe man Anhand dieser Formel Lösungen für
die Gleichungen der Form: z n = a ∈ R, sowie z n = 1 an. Dieses sind die komplexen Einheitswurzeln in Ihrer nahezu allgemeinsten Form; es fehlt nähmlich der
Fall n ∈ C als weitere Verallgemeinerung. Mit folgender Aussage lassen sich die
Wurzeln umschreiben in die Form x + iy:
eix = cos(x) + isin(x)
Man löse nun folgende Gleichungen zur Übung.
a) z 3 = 8
b) z 2 = 2
c) z 3 = 27
d) z 6 = 1
Diese Aufgabe ist zur kleinen Weiterbildung bezüglich der Komplexen Zahlen
gedacht. Natürlich ist es auch möglich diese dazu zu nutzen die Übungszettel
effizienter zu bearbeiten.
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Tutor: Martin Friesen
2. Seien f, g : R → R zwei stetige Funktionen mit:
f (x) = g(x), für alle x ∈ Q
Zeigen Sie, dass bereits f (x) = g(x) für alle x ∈ R gilt.
Das bedeutet also, dass eine stetige Funktion bereits auf der dichten Teilmenge der
rationalen Zahlen eindeutig festgelegt ist. Man kann dieses mit der eindeutigen
Festlegung von linearen Abbildungen durch die Bilder der Basisvektoren aus der
linearen Algebra vergleichen.
3. Sei f : R → R eine mit f (0) = 0 in 0 stetige Funktion. Ferner gelte:
f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R
Zeigen Sie, dass f bereits auf ganz R stetig ist. Bemerkung es gilt sogar:
Ist f : R → R eine lineare Funktion, dh: f (x+y) = f (x)+f (y) und f (λx) = λf (x),
für alle x, y, λ ∈ R. So ist äquivalent:
(i) f ist stetig in 0
(ii) f ist stetig
(iii) f ist gleichmässig stetig
(iv) ∃C > 0 : |f (x)| ≤ C|x|, ∀x ∈ R
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