Klausur

Sommersemester 2007
Topologie I
Klausur
Aufgabe 1
Seien X, Y, Z topologische Räume mit X quasi-kompakt und Z Hausdorff. Sei
ferner g : X → Y eine stetige Abbildung und h : X → Z eine surjektive stetige
Abbildung. Man zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(1) Es gilt g(x) = g(x0 ) für alle x, x0 ∈ X mit h(x) = h(x0 ).
(2) Es gibt eine stetige Abbildung f : Z → Y mit g = f ◦ h.
(3) Es gibt eine eindeutige stetige Abbildung f : Z → Y mit g = f ◦ h.
Aufgabe 2
Sei ∼ die Äquivalenzrelation auf S 2 = {x ∈ R3 : kxk = 1}, die definiert ist durch:
Es gilt x ∼ y genau dann, wenn x = y oder x = −y. Sei S 2 /∼ der Quotientenraum
und q : S 2 → S 2 /∼ die Projektion.
Sei ferner τ : S 2 → S 2 die Abbildung, die definiert ist durch τ (x) = −x für alle
x ∈ S 2 . Dann ist τ eine topologische Äquivalenz (da τ stetig ist und τ ◦ τ = idS 2 ),
und für jedes A ⊂ S 2 gilt q −1 (q(A)) = A ∪ τ (A).
Man zeige:
(1) Die Abbildung q ist offen und abgeschlossen.
(2) Der Quotientenraum S 2 /∼ ist kompakt (d.h. S 2 /∼ ist ein quasi-kompakter
Hausdorff-Raum).
Für jedes x ∈ S 2 sei nun Vx = {y ∈ S 2 : ky − xk < 1}, also ist Vx eine offene
Umgebung von x in S 2 . Man zeige:
(3) Für jedes x ∈ S 2 gilt Vx ∩ V−x = ∅, V−x = τ (Vx ), q(Vx ) = q(V−x ) und die
Einschränkung von q auf Vx ist injektiv.
(4) q : S 2 → S 2 /∼ ist eine Überlagerung.
Topologie I: Klausur
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Aufgabe 3
Sei X ein topologischer Raum, sei A eine Teilmenge von X (mit der Unterraumtopologie) und sei x0 ∈ A.
Sei i : A → X die Inklusion (mit i(a) = a für alle a ∈ A); es gibt also den
Gruppen-Homomorphismus i∗ : π1 (A, x0 ) → π1 (X, x0 ).
Man zeige:
(1) Gibt es eine stetige Abbildung r : X → A mit r(a) = a für alle a ∈ A, so ist
der Homomorphismus i∗ injektiv.
(2) Gibt es eine stetige Abbildung F : X × [0, 1] → X mit F (x, 0) = x und
F (x, 1) ∈ A für alle x ∈ X, F (x0 , t) = x0 für alle t ∈ [0, 1] und F (a, 1) = a für
alle a ∈ A, so ist i∗ ein Isomorphismus.
Hinweis zu Teil (2): Um zu zeigen, dass i∗ injektiv ist, wende man Teil (1) an.
Um zu zeigen, dass i∗ surjektiv ist, betrachte man für jede Schleife v in (X, x0 )
die durch Fv (s, t) = F (v(s), t) definierte Abbildung Fv : [0, 1] × [0, 1] → X.
Aufgabe 4
Für jedes k ∈ Z sei vk : [0, 1] → S 1 die Schleife in (S 1 , 1), die definiert ist durch
vk (s) = exp(ks) für alle s ∈ [0, 1], wobei exp(t) = e2πit .
Man zeige:
(1) Die Schleifen vm und vn sind homotop in (S 1 , 1) genau dann, wenn m = n.
(2) Zu jeder Schleife v : [0, 1] → S 1 in (S 1 , 1) gibt es ein eindeutiges k ∈ Z, so
dass v und vk homotop sind.
Hier darf man lediglich die folgenden Sätze anwenden:
Satz 1 Zu jeder stetigen Abbildung u : [0, 1] → S 1 mit u(0) = 1 gibt es eine
eindeutige stetige Abbildung w : [0, 1] → R mit w(0) = 0, so dass exp ◦ w = u.
Satz 2 Zu jeder stetigen Abbildung F : [0, 1] × [0, 1] → S 1 mit F (0, t) = 1 für
alle t ∈ [0, 1] gibt es eine stetige Abbildung G : [0, 1] × [0, 1] → R mit G(0, t) = 0
für alle t ∈ [0, 1], so dass exp ◦ G = F .
Hinweis: Sei wk : [0, 1] → R die Abbildung mit wk (s) = ks für alle s ∈ [0, 1].
Dann ist wk (0) = 0 und vk = exp ◦ wk . Nach Satz 1 ist also wk die eindeutige
stetige Abbildung w : [0, 1] → R mit w(0) = 0 und exp ◦ w = vk .