Übungen zur Mengentheoretischen Topologie

Übungen zur Mengentheoretischen Topologie
Sommersemester 2014
Universität Heidelberg
Mathematisches Institut
Dr. Denis Vogel
Dominik Wrazidlo
Aufgabe 1.
(6 Punkte)
Aufgabe 3.
(6 Punkte)
Blatt 4
Abgabetermin: Mittwoch, 14.05.2014, 9.15 Uhr
(a) Man nde ein Beispiel für einen topologischen Raum (X, O) und eine Äquivalenzrelation ∼
auf X , sodass die Quotientenabbildung q : X → X/ ∼ nicht oen ist.
(b) Zwei reelle Zahlen x, y ∈ R seien äquivalent, x ∼ y , wenn ihre Dierenz x − y rational ist.
Man zeige, dass R/ ∼ die Klumpentopologie trägt.
(c) Es seien (X, O) und (X 0 , O0 ) topologische Räume. Man zeige: Ist f : X → X 0 surjektiv,
stetig und oen, dann ist O0 die Finaltopologie auf X 0 bezüglich f . Ist f : X → X 0 injektiv,
stetig und oen, dann ist O die Initialtopologie auf X bezüglich f .
Für einen topologischen Raum (X, O) und eine Teilmenge A ⊆ X bezeichne ∼A die wie folgt
denierte Äquivalenzrelation auf X :
∀x, y ∈ X : x ∼A y ⇔ x = y oder x, y ∈ A.
Seien (X, O) und (X 0 , O0 ) topologische Räume und seien A ⊆ X und A0 ⊆ X 0 Teilmengen. Man
zeige, dass jede stetige Abbildung f : X → X 0 mit f (A) ⊆ A0 durch f˜([x]) := [f (x)] für alle x ∈ X
eine wohldenierte stetige Abbildung f˜ : X/ ∼A → X 0 / ∼A0 induziert.
Aufgabe 4.
(6 Punkte)
Wie in der Vorlesung wird der n-dimensionale projektive Raum Pn (R) (n ≥ 0) deniert als die
Menge aller Äquivalenzklassen (x0 : ... : xn ) := [(x0 , ..., xn )] von Punkten x = (x0 , ..., xn ) ∈
Rn+1 \ {0} unter der folgenden Äquivalenzrelation:
∀x, y ∈ Rn+1 \ {0} : x ∼ y :⇔ ∃λ ∈ R \ {0} : x = λy.
Man zeige:
(a) Für alle 0 ≤ i ≤ n ist die Abbildung
hi : Rn → Pn (R),
(y1 , ..., yn ) 7→ (y1 : ... : yi−1 : 1 : yi+1 : ... : yn ),
injektiv, stetig und oen.
(b) Für alle 0S ≤ i ≤ n ist hi (Rn ) ein zu Rn homöomorpher Teilraum des Pn (R). Ferner gilt
n
Pn (R) = i=0 hi (Rn ).
(c) Die Abbildung f : R → P1 (R), f (t) = (cos πt : sin πt), ist wohldeniert, stetig und surjektiv.
Sie induziert einen Homöomorphismus R/ ∼f → P1 (R). Um welchen topologischen Raum
handelt es sich bei R/ ∼f ?
Aufgabe X.
(6 Punkte)
Im Folgenden bezeichne I = [0, 1] das Einheitsintervall und X = I × I das Einheitsquadrat
(versehen mit der Produkttopologie). Die Kanten R = {0} × I und R0 = {1} × I von X sind
homöomorph via
h1 : R → R0 ,
0
h2 : R → R ,
h1 (0, y) = (1, y),
h2 (0, y) = (1, 1 − y).
Aus X erhält man durch Selbstverklebung längs h1 den Kreiszylinder Y1 und durch Selbstverklebung längs h2 das Möbiusband Y2 . (a) Es sei Z = S1 × I , wobei S1 = (a, b) ∈ R2 ; a2 + b2 = 1 ⊆ R2 die Einheitskreislinie bezeichnet. Man zeige, dass die Abbildung
ϕ : X → Z,
ϕ(x, y) = ((cos 2πx, sin 2πx), y),
einen Homöomorphismus ϕ̃ : Y1 → Z , ϕ̃([(x, y)]) = [ϕ(x, y)] für alle [(x, y)] ∈ Y1 , induziert.
(b) Für welche ganzen Zahlen n ≥ 0 induziert die stetige Abbildung
f : X → X,
f (x, y) = (x,
1
1
+ (y − ) · cos πnx),
2
2
durch f˜([(x, y)]) := [f (x, y)] für alle (x, y) ∈ X eine wohldenierte stetige Abbildung f˜ :
Y1 → Y2 ?